/山東省名校考試聯(lián)盟2025屆高三下學期2月開學聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．設集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．4．某商品的廣告支出費用單位：萬元與銷售量單位：萬件之間的對應數(shù)據(jù)如表所示：廣告支出費用x5銷售量y1518根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，則第三個樣本點對應的殘差為（

）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的項數(shù)為，若該數(shù)列前3項的和為3，最后三項的和為63，所有項的和為110，則n的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．136．已知是橢圓的左、右頂點，點為上不同于的一點，若的最大值為，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．在三棱錐中，已知，，，則該三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域為，對于，滿足，且當時，.若函數(shù)恰有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則（

）A． B．所有項的系數(shù)和為1 C．沒有常數(shù)項 D．的系數(shù)為1410．設函數(shù)，已知在有且僅有3個零點，則（

）A．在有且僅有2個極大值點B．在有且僅有1個極小值點C．在單調(diào)遞增D．若在單調(diào)遞減，則的最小值為211．已知圓，點為直線與軸的交點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，直線與交于點，則（

）A．若直線與圓相切，則 B．時，四邊形的面積為C．的取值范圍為 D．已知點，則為定值三、填空題（本大題共3小題）12．在菱形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，則.13．已知數(shù)列滿足，且，，，則數(shù)列的前10項和為.14．如圖所示的迷宮共有9個格子，相鄰格子有門相通，9號格子就是迷宮出口，整個迷宮將會在4分鐘后坍塌，若1號格子有一只老鼠，這只老鼠以每分鐘一格的速度在迷宮里亂竄它通過各扇門的機會相等，則此老鼠在迷宮坍塌之前逃生的概率是.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角，，，所對邊分別為，，，已知，且(1)求(2)若為邊的中點，且，，求的面積.16．已知函數(shù).(1)當時，求曲線過點的切線方程;(2)當時，，求a的取值范圍.17．如圖，在三棱柱中，四邊形為正方形，已知，，三棱錐的體積為(1)設平面CAB與平面的交線為l，證明：(2)在線段上是否存在一點P，使得直線AP與平面ABC所成角的正弦值為若存在，指出P點的位置;若不存在，說明理由.18．在直角坐標系中，點到點的距離比到軸的距離大，記動點的軌跡為(1)求的方程;(2)過上一點P作拋物線的兩條切線，切點分別為M，（ⅰ）設，若，，求P點坐標;（ⅱ）設兩直線PM、PN與C在x軸上方包括x軸的交點分別為P，Q，R或，，，，記三角形PQR和四邊形STQR面積分別為，，若，恒成立，求的最大值.19．設，已知無窮數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且，記數(shù)列的前n項所構(gòu)成的集合為，對于任意正整數(shù)n，從集合中任取不同的若干項(取出的項數(shù)大于等于1，如果項數(shù)是1，運算結(jié)果是它本身)，如果這些項之間進行加法或減法運算后所得的數(shù)的絕對值所構(gòu)成的正整數(shù)集合為，且，則稱數(shù)列為完美數(shù)列.(1)分別判斷數(shù)列和是否為完美數(shù)列，不需要說明理由;(2)若等差數(shù)列是完美數(shù)列，求公差的所有可能取值;(3)若從集合中任取不同的若干項之間進行加減法運算后所得的數(shù)的絕對值互不相同，且為完美數(shù)列.證明：

參考答案1．【答案】B【詳解】由，得，解得，所以集合，又因為，所以.故選：B.2．【答案】C【詳解】因為，則，所以，故選：C.3．【答案】D【詳解】解：對于、當時顯然錯誤；對于、當時顯然錯誤；對于、當時顯然錯誤；對于、由，得，，則，當且僅當時取等號，故正確.故選：.4．【答案】D【詳解】解：由已知，，，所以，于是，，因此，第三個樣本點對應的殘差為故選：D5．【答案】A【詳解】設這個數(shù)列有n項，則，，因此，即，則，解得故選：A6．【答案】C【詳解】因為是橢圓C的左、右頂點，點為上不同于的一點，由對稱性，可設，直線的傾斜角分別為，易知，則，當時，，又，得到，所以，因為，又，則，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大，即當點與橢圓的上或下頂點重合時，最大，而的最大值為，因此，所以，得到，因此橢圓的離心率，故選：C.7．【答案】A【詳解】由題意分析可得：三棱錐可放置在如圖所示的長方體中，設長方體的長寬高分別為，則，解得該長方體的長為，寬為1，高為2，則三棱錐的體積為故選：A.8．【答案】D【詳解】當時，，，則，∵在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，∵，滿足，∴在上單調(diào)遞增，∵，，，，，由得，，令，則，令則，圖象如圖所示，結(jié)合圖象得中需提供一個根，且該根位于之間，故，又∵，∴故選：D.9．【答案】BCD【詳解】因為第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，故A錯誤;令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為，故B正確;在中，第項，取，即，所以不存在常數(shù)項，故C正確;取，即，所以，所以的系數(shù)為14，故D正確.故選：BCD10．【答案】AC【詳解】已知在有且僅有3個零點，則在上有2個或3個極值點，即在上有且僅有2個極大值點，故A正確；當時，，在有且僅有3個零點，，，，當或時，函數(shù)取得極小值，故在有2個或1個極小值點，故B錯誤;當時，，，，故在單調(diào)遞增，故C正確;若在單調(diào)遞減，則，，，，，的最小值為，故D錯誤;故選：AC.11．【答案】ACD【詳解】解：圓轉(zhuǎn)化為標準方程為，,在直角中，；對于A:若直線與圓相切，圓心到直線的距離，解得，所以A正確;對于B:當時，，，，四邊形的面積，所以B錯誤;對于C:，因為，所以，由對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以C正確;對于D:方法一：當時，存在與軸的交點，，，所以四點共圓，且為此圓直徑，圓心為，半徑為，此圓方程為：，因為是此圓與圓的相交弦，故直線方程為兩圓方程作差，即，化簡得：，所以直線AB經(jīng)過定點,因為，所以，因為在直線AB上，所以，即點在以為直徑的圓上，因為，，所以圓心恰為點，半徑為，因為點在該圓上，所以為定值，所以D正確.方法二：利用圓的極點極線性質(zhì)，當時，存在與軸的交點，切點所在直線AB的方程為，化簡得，所以直線AB經(jīng)過定點,因為，所以，因為在直線AB上，所以，即點在以為直徑的圓上，因為，，所以圓心恰為點，半徑為，因為點在該圓上，所以為定值，所以D正確.故選：ACD.12．【答案】6【詳解】解：如圖：由題意，得,,，故答案為：6.13．【答案】2036【詳解】因為，且，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列的前10項和為：.故答案為：14．【答案】【詳解】小鼠逃生路線有以下六種情況：；.概率分別為所以小老鼠逃生概率為故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得：，則，所以，則所以，，或，，則，或，又因為，所以，所以，故.（2）在中由余弦定理得：，所以①，因為D為AB邊的中點，所以，所以，所以②，②-①得：，所以.16．【答案】(1)或；(2)【詳解】（1）當時，函數(shù)，求導得，而，當為切點時，，切線方程為；當不為切點時，設切點為，，則，整理得，令，求導得，當時，，當時，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，，即，因此，，切點為，切線方程為，所以曲線過點的切線方程為，或.（2）函數(shù)，求導得，且，當時，，則當時，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，因此；當時，令，求導得，由，得，若，則，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，不符合題意；若，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，因此，所以實數(shù)a的取值范圍是17．【答案】(1)證明見解析(2)存在，P是線段的中點【詳解】（1）因為四邊形為正方形，所以，又因為平面，平面，所以平面，因為平面CAB，平面平面，所以（2）由題意知，，設三棱錐的高為h，因為三棱錐的體積為，所以，過C向平面作垂線，垂足為H，，取AB，的中點，分別為E，F(xiàn)，連接HE，HA，CE，因為，，所以，，因為平面，AH，平面，所以，，在直角中，，，所以，在直角中，，，所以，因為，，，滿足，所以，所以H在AB的中垂線EF上，且，所以H為四邊形的中心，以H為坐標原點，HA，HB，HC分別為x軸，y軸，z軸建立如圖坐標系，，，，，，設，則，由可得：，即，所以，假設線段上存在一點P，使得直線AP與平面ABC所成角的正弦值為，設，因為C，，P三點共線，所以設，即，則，則，，設平面ABC的法向量為，所以即令，則，，所以，設直線AP與平面ABC所成角為，則，解得，，此時，P是線段的中點，所以，當P是線段的中點時，直線AP與平面ABC所成角的正弦值為18．【答案】(1)當時，；當時，(2)（?。?；（ⅱ）8【詳解】（1）設，由題意可知，，當時，，兩邊平方，化簡整理得；當時，，兩邊平方，化簡整理得故軌跡的方程為：當時，；當時，.（2）（?。┯深}意可知，設，，由，則，所以，則直線的方程為令，則，故.又，故，，故，解得（負值已舍去），則點坐標為.（ⅱ）當點在上時，設點坐標為，切點M，N的坐標分別為和.不妨設，則直線PM的方程為，將代入可得，解得由，可得，，聯(lián)立和可得，解得，設Q，R的坐標分別為和，不妨設，則，同理可知，故直線QR的斜率為，直線QR的方程為，點P到直線QR的距離為又，故，當點在上時，設P點坐標為，，設切點M，N的坐標分別為和，不妨設，則直線PM的方程為，將代入可得，解得由，可得，聯(lián)立和可得，解得設S，T，Q，R的坐標分別為，和，.不妨設，由于四邊形STQR為等腰梯形，則又，恒成立，則，故的最大值為19．【答案】(1)是完美數(shù)列，而不是(2)1和2；(3)證明見解析【詳解】（1）數(shù)列是完美數(shù)列，而不是完美數(shù)列；，，，則，集合的元素是到間的正整數(shù)，可以從集合中任取不同的若干項，進行加法或減法運算后所得的數(shù)的絕對值所構(gòu)成，所以是完美數(shù)列.，，，當時，，從集合中任取不同的若干項，進行加法或減法運算得不到，所以不是完美數(shù)列.（2）設的公差，考慮，則，，而，不符合題意.由（1）可知數(shù)列是完美數(shù)列，故的公差可能是又數(shù)列是完美數(shù)列，故的公差可能是2；因為，，，，故中若干項之間進行加法或減法運算后所得的數(shù)的絕對值，能夠構(gòu)成集合，假設中若干項之間進行加法或減