/山東省日照市2025屆高三下學(xué)期校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，，則（

）A．15 B．9 C． D．3．“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知是第一象限角，且，則的值為（

）A． B． C． D．5．點(diǎn)在直線上，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．106．定義在上的函數(shù)滿足以下條件：①；②對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有．則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．7．高考入場(chǎng)安檢時(shí)，某學(xué)校在校門口并排設(shè)立三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，進(jìn)入考場(chǎng)的學(xué)生只需要在任意一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)安檢即可進(jìn)入．現(xiàn)有三男三女六位學(xué)生需要安檢，則每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)的男生和女生人數(shù)相等的可能情況有（

）A．66種 B．93種 C．195種 D．273種8．已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和4，高為．若該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球的表面積的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．若，則的最小值為10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知為非零向量，若，則的夾角為銳角B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C．若方程表示橢圓，則D．點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，的最大值是11．已知點(diǎn)集，其部分圖形如圖中陰影所示，圖形將平面剩余部分分成內(nèi)外兩部分（空白區(qū)域），下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖形內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為B．圖形上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為C．當(dāng)時(shí)，圖形關(guān)于對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，圖形內(nèi)外邊界的長(zhǎng)度和為三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，則．13．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.14．設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線與的右支交于點(diǎn)，與的左支交于點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則雙曲線的漸近線方程為．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角的對(duì)邊分別為，且．(1)求角；(2)若為邊上一點(diǎn)，且，求的值．16．近期根據(jù)中國(guó)消費(fèi)者信息研究報(bào)告顯示，超過(guò)的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，某網(wǎng)購(gòu)專營(yíng)店統(tǒng)計(jì)了2025年1月5日到9日這5天到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)和時(shí)間第天間的數(shù)據(jù)，列表如下：1234575849398100(1)由表中給出的數(shù)據(jù)判斷是否可以用線性回歸模型擬合人數(shù)和時(shí)間第天之間的關(guān)系？若可用，估計(jì)1月10日到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)；若不可用，請(qǐng)說(shuō)明理由（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)，若相關(guān)系數(shù)，則線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合，精確到0.01）；(2)該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案．方案一：購(gòu)物金額每滿100元可減5元；方案二：一次性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折．某顧客計(jì)劃在此專營(yíng)店購(gòu)買1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠．參考數(shù)據(jù)：．附：相關(guān)系數(shù)．17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足．(1)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最小值為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．①求實(shí)數(shù)的值；②求證：．19．已知在四面體中，分別為所在棱的中點(diǎn)，如圖所示．(1)證明：平面；(2)若兩兩垂直，則稱四面體為“斜垂四面體”．①在斜垂四面體中，若，求直線與平面所成角的正弦值；②在空間直角坐標(biāo)系中，平面內(nèi)有橢圓，直線與交于兩點(diǎn)．為空間中一點(diǎn)，若為斜垂四面體，求其外接球表面積的最小值，并求出此時(shí)的直線方程．

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?，得到，又，所以，故選：D.2．【答案】B【詳解】在等差數(shù)列中，已知，所以，即，那么.同樣根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)，所以.則.把代入可得.故選：B3．【答案】C【詳解】復(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，，復(fù)數(shù)，是純虛數(shù)，當(dāng)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)時(shí)，有解得，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件.故選C.4．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，所以，左右兩?cè)平方得，所以，又因?yàn)槭堑谝幌笙藿牵?，則.故選：D.5．【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，可得.則因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：C.6．【答案】A【詳解】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足條件，所以函數(shù)是偶函數(shù)，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)都有，所以不妨設(shè)，則有，因此時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，，因?yàn)闀r(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，所以，即，故選：A7．【答案】B【詳解】①每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)均為一男一女通過(guò)，共有種不同的結(jié)果；②三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)中，一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)0人，一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)一男一女，一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)兩男兩女，共有種不同的結(jié)果；③六人均在同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)，共有種不同的結(jié)果.則每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)的男學(xué)生人數(shù)與女學(xué)生人數(shù)均相等的情況有種.故選：B.8．【答案】B【詳解】如圖，作出圓臺(tái)的軸截面，要使球的表面積最大，則球需要與相切，設(shè)圓的半徑為，則，因?yàn)?，所以，作，，因?yàn)?，所以，而，由勾股定理得，則，且，而，即得到，解得，則該球的表面積的最大值為，故B正確.故選：B9．【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)椴皇堑膶?duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)槭堑膶?duì)稱中心，故B正確；C選項(xiàng)，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，由得，所以的最小值即為兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離，即為，因?yàn)?，所以的最小值?故選：BCD.10．【答案】BD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知，將兩邊同時(shí)平方可得.展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，即.可知.當(dāng)與同向時(shí)，，此時(shí)夾角為，不是銳角，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)于展開(kāi)式的通項(xiàng)為.令，解得.將代入通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)為，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，若方程表示橢圓，則需滿足.解得的取值范圍是且，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)可得，解得，則，即.根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊可知.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，所以的最大值是，D選項(xiàng)正確.故選：BD.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由題知點(diǎn)集是以，為半徑的圓，如圖1，當(dāng)時(shí)，內(nèi)部空白區(qū)域是以為圓心，為半徑的圓，此時(shí)空白區(qū)域面積最小，即內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為，所以命題A正確；對(duì)于B，因?yàn)閳D形上點(diǎn)到原點(diǎn)距離為，由構(gòu)成該圖形的動(dòng)圓中，圓心到原點(diǎn)距離，半徑，故每個(gè)圓到原點(diǎn)最小距離均為，故圖形到原點(diǎn)的最小距離為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，存在參數(shù)滿足，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由，取，代入，即點(diǎn)也在中，故時(shí)，圖形關(guān)于直線對(duì)稱，所以C正確；對(duì)于D，時(shí)，如圖2，內(nèi)邊界的長(zhǎng)度，其中為圓，半徑為，、為圓半徑為外邊界，而由，，為半圓，半徑為，為半圓半徑為，為圓，半徑為，為圓，半徑為，故內(nèi)外邊界和為，所以D正確.故答案為：ACD.12．【答案】/【詳解】因，，則.故答案為：.13．【答案】【分析】分析可知的定義域?yàn)?，且，即可得結(jié)果.【詳解】令，解得，可知的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故答案為.14．【答案】【詳解】由，得為的中點(diǎn)；又，所以，所以；設(shè)，由雙曲線的定義，得，，所以，從而，所以；由直線的斜率為，得.在中，，即；在中，由余弦定理，得，即，整理得，解得，所以，所以漸近線方程為.故答案為：15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，，由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，所以，法一：即，因?yàn)?，所以，所以，所以：，所以，即．法二：即，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即．?）因?yàn)?，又因?yàn)?，所以為等邊三角形，則，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），故．16．【答案】(1)可用，109(2)選擇方案二更劃算【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，所以，所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)與天數(shù)之間的關(guān)系．而，則所以令，可得，所以1月10日到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為109．（2）若選方案一?需付款元．若選方案二?設(shè)需付款元，則的取值可能為，則，，所以，因此選擇方案二更劃算．17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，則，由，則，所以等差數(shù)列的公差為，所以，故故數(shù)列的前項(xiàng)和．（2）當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，將代入上式，則，綜上所述，．，可得，又因?yàn)?，則，由方程，可得，解得，由，則等差數(shù)列的公差為3，所以，由，則．18．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)①；②證明見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，令，得：，令，得：，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）①由（1）知：．由，又，所以切點(diǎn)，由（1）可知，切點(diǎn)在直線的上方，所以，整理得，設(shè)，則，（也可構(gòu)造）設(shè)，則在上恒成立．所以在單調(diào)遞增．又，又，方程只有1解：．②依題意：要證，當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增，所以不等式成立；當(dāng)時(shí)，要證，即．設(shè)，則．設(shè)．則．當(dāng)時(shí)，，所以．所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，成立．綜上：當(dāng)時(shí)，在上恒成立．19．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①；②最小值為，直線方程為【詳解】（1）如圖，連接，由分別是棱的中點(diǎn)，得，又平面平面，所以平面.（2）①由（1）知，平行且等于平行且等于，得與平行且相等，則四邊形為平行四邊形，又，則四邊形為菱形，，而，則，同理，如圖，將該三