大招3柯西不等式大招總結(jié)在求二元(或多元)代數(shù)式最值或者二元(或多元)不等式的證明的題目中,巧用柯西不等式會(huì)比較方便快捷.二維形式:,等號(hào)成立條件:.擴(kuò)展:等號(hào)成立條件:(當(dāng)或時(shí),和都等于,不考慮二維形式的證明:等號(hào)在且僅在,即時(shí)成立.向量形式的證明:令,.典型例題例1.實(shí)數(shù)滿足,則的最大值是.解方法由柯西不等式得故的最大值是.故答案為.方法萬能法方法3：令，直線與橢圓相切時(shí)有最值由硬解定理（見圓錐曲線）得，，所以最大值為方法4：三角換元輔助角公式，所以最大值為例2.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是.解方法1:∵實(shí)數(shù)滿足,由柯西不等式可得,即,求得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),故的最小值是2.故答案為.方法,令,題目轉(zhuǎn)換為,求的最小值,地位等價(jià)法,方法,令,例3.函數(shù)的最大值為,此時(shí).解由柯西不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),即時(shí),取等號(hào).故答案為.例4.(1)證明柯西不等式:;(2)若且,用柯西不等式求的最大值.解(1)證明:.(2)由柯西不等式可得.的最大值為.例5.(2019-全國卷=3\*ROMANIII)設(shè),且.(1)求的最小值;(2)若成立,證明:或.解(1),且,由柯西不等式可得,可得,即有的最小值為.(2)證明：由,柯西不等式可得,可得,即有的最小值為,由題意可得,解得或.自我檢測(cè)1.已知定義域在上的函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若為正實(shí)數(shù),且,求證:.2.設(shè)正數(shù)滿足,求證:,并給出等號(hào)成立條件.3.設(shè),且,則的最小值為.4.已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn),是它們的一個(gè)公共點(diǎn).且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為()A.B.C.D.5.設(shè)為互不相等的正整數(shù),求證:.1.(1)解:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,的最小值為3,即.(2)證明:由(1)知,,又為正實(shí)數(shù),由柯西不等式得,,即2.證明:正數(shù)滿足,再由柯西不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào),故成立.3.由柯西不等式得,,的最小值為.故答案為.4.設(shè)橢圓的長半軸為,雙曲線的實(shí)半軸為,半焦距為,由橢圓和雙曲線的定義可知,設(shè),橢圓和雙曲線的離心率分別為,由余弦定理可得,(1)在橢圓中,(1)化簡為即,即,(2)在雙曲線中,(1)化簡為即,即,(3)聯(lián)立(2)(3)得,,由柯西不等式得,即,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故最大值為.方法2:設(shè)橢圓的長半軸為,雙曲線的實(shí)半軸為,半焦距為,由橢圓和雙曲線的定義可知,設(shè),橢圓和雙曲線的離心率分別為,由余弦定理可得,由,得,令,當(dāng)時(shí),,即的最大值為.方法3:設(shè),則,則,則,由正弦定理得即.故選A.5.證明:由柯西不等式可得,即為,當(dāng)且僅當(dāng),即有時(shí),上式取得等號(hào).故不等式成立.成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資