階段拔尖專訓(xùn)7圓與尺規(guī)作圖1．[2024連云港六模]【問題提出】如何用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖①，已知扇形AOB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺過圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【解】(作法不唯一)如圖①，直線OG即為所求．【問題聯(lián)想】如圖②，已知線段MN，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP(點(diǎn)P在MN上方)；【解】如圖②，三角形MNP即為所求．【問題再解】如圖③，已知扇形AOB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．(以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡)2.1672年，丹麥數(shù)學(xué)家莫爾在他的著作《歐幾里得作圖》中指出：只用圓規(guī)可以完成一切尺規(guī)作圖．后來(lái)意大利數(shù)學(xué)家馬斯凱羅尼又獨(dú)立發(fā)現(xiàn)此結(jié)論，并寫在他的著作《圓規(guī)的幾何學(xué)》中．請(qǐng)你利用數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下面的作圖題：如圖，已知⊙O，A是⊙O上一點(diǎn)，只用圓規(guī)將⊙O的圓周四等分．(按如下步驟完成，保留作圖痕跡)．【解】如圖，點(diǎn)G，D，H即為所求．3．[2024鄭州模擬]如圖，點(diǎn)A，B為⊙O上的兩點(diǎn)，連結(jié)AO，BO，AB(∠AOB＜90°)．(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，過點(diǎn)B作OA的平行線，與⊙O交于點(diǎn)C(保留作圖痕跡，不寫作法)；【解】如圖，直線BC即為所求．(2)連結(jié)AC，則∠CAO與∠O有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【解】如圖，∠O＝2∠CAO.理由：∵BC∥OA，∴∠CAO＝∠BCA.∵∠O＝2∠BCA，∴∠O＝2∠CAO.4.馬家窯文化以發(fā)達(dá)的彩陶著稱于世，其陶質(zhì)堅(jiān)固，器表細(xì)膩，部分紅彩、黑彩、白彩共用，彩繪線條流暢細(xì)致，圖案多變，形成了絢麗典雅的藝術(shù)風(fēng)格，創(chuàng)造了一大批令人驚嘆的彩陶藝術(shù)精品，體現(xiàn)了古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖①的彩陶紋樣呈現(xiàn)的是三等分圓周，古人用等邊三角形三點(diǎn)定位的方法確定圓周的三等分點(diǎn)，這種方法和下面三等分圓周的方法相通．如圖②，已知⊙O和圓上一點(diǎn)M.作法如下：①以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑，作弧交⊙O于A，B兩點(diǎn)；②連結(jié)MO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)C.即點(diǎn)A，B，C將⊙O的圓周三等分．(1)請(qǐng)你依據(jù)以上步驟，用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在圖②中將⊙O的圓周三等分(保留作圖痕跡，不寫作法)；【解】如圖，點(diǎn)A，B，C即為所求．(2)根據(jù)(1)畫出的圖形，連