PAGEPAGE13培優(yōu)點(diǎn)八平面對(duì)量一、平一、平面對(duì)量的線性運(yùn)算例1：如圖，三個(gè)半徑為的圓兩兩外切（，，為圓心），且等邊的每一邊都與其中的兩個(gè)圓相切，則．【答案】【解析】由題意易得，所以．二、平二、平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算例2：已知對(duì)隨意平面對(duì)量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．若平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，，代入得，，即，∵，∴，故選A．三、平三、平面對(duì)量數(shù)量積例3：如圖在矩形中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】選基向量和，由題意得，，，∴，∴，即，解得，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴，，∴．故選B．四、平四、平面對(duì)量和三角形函數(shù)，解三角形的綜合例4：在中，，，，是的內(nèi)心，若，其中，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，依據(jù)題意知，點(diǎn)在以，為鄰邊的平行四邊形內(nèi)部，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為，在中，，，，∴由余弦定理得，，解得或（舍去），又為的內(nèi)心，所以內(nèi)切圓半徑，又，∴，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為．故答案為A．五、平五、平面對(duì)量和平面幾何的綜合例5：在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，以為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，∵動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，設(shè)圓的半徑為，∵，，∴，∴，∴，∴圓的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵，所以，∴，，∴，其中，∵，，故的最大值為，故選A．對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)一、選擇題1．梯形中，且，則（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【解析】由梯形易得：，所以，又，所以，由于，所以，可得．故選C．2．在中，是邊所在直線上隨意一點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵中，是邊所在直線上隨意一點(diǎn)，∴存在實(shí)數(shù)，使得，即，化簡(jiǎn)得，∵，∴結(jié)合平面對(duì)量基本定理，得，解之得，．故選C．3．已知兩點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)滿意，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，，由，得，∴點(diǎn)的軌跡為一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因在直線上，故圓心到直線的距離，故，故選C．4．已知，且，，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，，且，又，取中點(diǎn)為，可得，∵，∴的終點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處，的最小值為；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線時(shí)，的最大值為，∴的取值范圍是，故選A．5．若為所在平面內(nèi)隨意一點(diǎn)，且滿意，則的形態(tài)為（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】，即，∵，∴，即，∴是等腰三角形，故選A．6．長(zhǎng)度都為的向量，的夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧（劣?。┥希?，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，即，即，故，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）；故，故的最大值為．7．過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得圓心坐標(biāo)滿意，即，可知圓心在直線上運(yùn)動(dòng)，則．設(shè)，則，易知函數(shù)在上為增函數(shù)，所以．故選C．8．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)為內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)（，），則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)．因?yàn)椋?，即，所以，所以，則．由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)閮?nèi)（含邊界），因此平行于直線的直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即，故選D．9．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿意，若的面積為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則三角形的面積為，解得，由，且，，三點(diǎn)共線，可知，，故．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過點(diǎn)作的垂線為軸，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，則，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”）．故的最小值為．故選B．10．已知，，，；若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得，，，∵，∴，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，由可得，由可得，∴的最大值為，最小值為．則的范圍是．故選D．11．在平面內(nèi)，定點(diǎn)，，，滿意，，動(dòng)點(diǎn)，滿意，，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，，∴到，，三點(diǎn)的距離相等，是的外心，，∴，同理可得，，，從而是的垂心，∴的外心與垂心重合，因此是正三角形，且是的中心，，∴正三角形的邊長(zhǎng)為，∴以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，，，三點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，由，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，而，即是的中點(diǎn)，可以寫出的坐標(biāo)為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故選B．12．如圖，在平面四邊形中，，，，．若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵谄矫嫠倪呅沃校?，，所以，，，設(shè)，，所以，，因?yàn)?，所以，即，解得，即，因?yàn)樵谏?，所以，由，得，即，因?yàn)?，，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．所以的最小值為，故選A．13．已知為的重心，過點(diǎn)的直線與邊，分別相交于點(diǎn)，．若，則當(dāng)與的面積之比為時(shí)，實(shí)數(shù)的值為．【答案】或【解析】設(shè)，則由，，可得，所以．①又為的重心，所以．結(jié)合，，三點(diǎn)共線，得．②聯(lián)立①②消去，得，解得或．14．已知腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形中，為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值是．【答案】【解析】如圖，以為原點(diǎn)，，的方向分別為軸，軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，∴，，，∴，故，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，其最小值為．15．在中，，且，若，則實(shí)數(shù)的值是．【答案】【解析】設(shè)在中，三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，∵，則為的重心，又∵，則，如圖，作的中線，，，∴．由余弦定理得，，∴，即，由正弦定理得，再由余弦定