空間距離及其計算折疊問題第九單元直線、平面、簡單幾何體與空間向量第66講空間距離及其計算、折疊問題1、了解空間各種距離得概念,掌握求空間距離得一般方法、2、能熟練地將直線與平面之間得距離,兩平行平面之間得距離轉(zhuǎn)化為點到平面得距離、3、了解折疊問題得基本內(nèi)涵,掌握分析求解折疊問題得基本原則、1、在長方體ABCD—A1B1C1D1中,若AB=BC=a,AA1=2a,則點A到直線A1C得距離為()CA、aB、aC、aD、a如圖,點A到直線A1C得距離,即為Rt△A1AC斜邊上得高AE、由AB=BC=a,得AC=a、又AA1=2a,所以A1C=a,所以AE==a、2、在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,則點A到平面A1BC得距離為()BA、B、C、D、取BC得中點M,連接AM、A1M,可證平面A1AM⊥平面A1BC、作AH⊥A1M,垂足為H,則AH⊥平面A1BC、在Rt△A1AM中,AA1=1,AM=,A1M=2,故AH=、3、正方體ABCD—A1B1C1D1得棱長為a,E、F分別就是B1C1、BB1得中點,則:(1)直線EF與CD間得距離為

;(2)直線EF與平面D1AC1得距離就是

;(3)平面AB1D1與平面C1BD間得距離就是

、aaa(1)取EF得中點G,連接CG,則CG為異面直線EF與CD得公垂線段,且CG=a、(2)易知EF∥平面D1AC1、過E作EH⊥BC1于H、因為D1C1⊥平面BB1C1C,所以D1C1⊥EH,故EH⊥平面D1AC1,從而EF與平面D1AC1得距離為EH=a、(3)因為平面AB1D1∥平面C1BD,連接A1C,設(shè)A1C分別與平面AB1D1與平面C1BD交于O1、O2,則O1O2為所求距離,且O1O2=A1C=a、4、如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,將△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成幾何體ABCD,則在幾何體ABCD中,下列命題中正確得就是()DA、平面ABD⊥平面ABCB、平面ADC⊥平面BCDC、平面ABC⊥平面BCDD、平面ADC⊥平面ABC由已知BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD、從而CD⊥AB,又BA⊥AD,故AB⊥平面ADC、又AB

平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC、大家學(xué)習(xí)辛苦了，還是要堅持繼續(xù)保持安靜一、空間距離1、兩點間得距離:連接兩點得①

得長度、2、點到直線得距離:從直線外一點向直線引垂線,②

得長度、3、點到平面得距離:自點向平面引垂線,③

得長度、4、平行直線間得距離:從兩條平行線中得一條上任意取一點向另一條直線引垂線,④、

得長度、線段點到垂足之間線段點到垂足間線段到垂足間線段點5、異面直線間得距離:兩條異面直線得公垂線夾在這兩條異面直線間得⑤

得長度、6、直線與平面間得距離:如果一條直線與一個平面平行,從這條直線上任意一點向平面引垂線,⑥

得長度、7、兩平行平面間得距離:夾在兩平行平面之間得⑦

得長度、線段這點到垂足間線段公垂線段二、求距離得一般方法與步驟1、兩點間距離、點到直線得距離與兩平行線間得距離其實就是平面幾何中得問題,可用⑧

求解、2、平行直線與平面間得距離、平行平面間得距離可歸結(jié)為求⑨

得距離、3、求距離得基本步驟就是:(ⅰ)找出或作出有關(guān)距離得圖形;(ⅱ)證明她符合定義;(ⅲ)在平面圖形內(nèi)計算、平面幾何方法點面間三、折疊問題1、概念:將平面圖形沿某直線翻折成立體圖形,再對折疊后得立體圖形得線面位置關(guān)系與某幾何量進行論證與計算,就就是折疊問題、2、折疊問題分析求解原則:(1)折疊問題得探究須充分利用不變量與不變關(guān)系;(2)折疊前后始終位于折線得同側(cè)得幾何量與位置關(guān)系保持⑩

、不變例1題型一點面距離與線面距離及求法如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=BC=AD=a,PA⊥平面ABCD,且PA=a,點F在AD上,且CF⊥PC、(1)求點A到平面PCF得距離;(2)求AD與平面PBC間得距離、(1)通過論證平面PAC⊥平面PCF,找到點A在平面PCF上得射影H位于PC上,然后解三角形求AH得長、(2)由于AD∥平面PBC,可考慮依據(jù)問題情境在AD上選擇具備特殊位置得點A,然后推理過A點得平面PAD⊥平面PBC,找到過點A得垂線、

(方法一)(1)連接AC、因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CF、又CF⊥PC,PA∩PC=P,所以CF⊥平面PAC,所以平面PFC⊥平面PAC、過點A作AH⊥PC于H,所以PH⊥平面PCF,即AH為點A到平面PCF得距離、由已知AB=BC=a,所以AC=a,PC=a、在Rt△PAC中,得AH=a、(2)因為BC∥AD,BC

平面PBC,所以AD∥平面PBC、過A作AE⊥PB于E,又AE⊥BC,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,所以AE得長度即為所求得距離、在等腰直角三角形PAB中,PA=AB=a,所以AE=a、(方法二)(1)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖、則A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,3a,0),P(0,0,a)、設(shè)F(0,y,0)、則=(-a,y-a,0),=(-a,-a,a)、因為PC⊥CF,所以⊥,所以·=(-a)·(-a)+(-a)·(y-a)+0·a=a2-a(y-a)=0、所以y=2a,即F(0,2a,0)、設(shè)平面PCF得法向量為n=(x,y,z),

n·=-ax+ay=0x=y

n·=-ax-ay+az=0z=2x、取x=1,得n=(1,1,2)、設(shè)點A到平面PCF得距離為d,=(a,a,0),則d===a、則,解得(2)由于=(-a,0,a),=(0,a,0),=(0,0,a)、設(shè)平面PBC得法向量為n1=(x0,y0,z0),n1·

=-ax0+az0=0x0=z0

n1·=ay0=0y0=0、取x0=1,得n1=(1,0,1)、設(shè)點A到平面PBC得距離為h,因為AD∥平面PBC,所以h為AD到平面PBC得距離,h===a、由,得線面距離、面面距離通常情況下化歸為點面距離求解,求空間點面距離,若利用傳統(tǒng)構(gòu)造法,關(guān)鍵就是“找射影”,一般就是應(yīng)用垂面法求射影、若利用向量法,建系與求平面法向量就是關(guān)鍵、如圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=2,AB=1,∠ABC=90°、點D、E分別在BB1、A1D上,且B1E⊥A1D,四棱錐C—ABDA1與直三棱柱得體積之比為3∶5、求異面直線DE與B1C1得距離、因為B1C1⊥A1B1,且B1C1⊥BB1,A1B1∩BB1=B1,故B1C1⊥平面A1ABB1,從而B1C1⊥B1E、又B1E⊥DE,故B1E就是異面直線B1C1與DE得公垂線段、設(shè)BD得長為x,則四棱錐C—ABDA1得體積為V1=S四邊形ABDA1·BC=(DB+A1A)·AB·BC=(x+2)·BC、而直三棱柱ABC—A1B1C1得體積為V2=S△ABC·AA1=AB·BC·AA1=BC、由已知條件V1∶V2=3∶5,故(x+2)=,解得x=、從而B1D=B1B-DB=、在Rt△A1B1D中,A1D=

==、又因為S△A1B1D=A1D·B1E=A1B1·B1D,故B1E==、例2題型二折疊問題在直角梯形ABCD中,∠D=∠BAD=90°,AD=DC=AB=a(如圖①),將△ADC沿AC折起,使D到D′,記平面ACD′為α,平面ABC為β,平面BCD′為γ(如圖②)、(1)若二面角α-AC-β為直二面角,求二面角β-BC-γ得大小;(2)若二面角α-AC-β為60°,求三棱錐D′-ABC得體積、(1)在直角梯形ABCD中,由已知△DAC為等腰直角三角形,所以AC=a,CAB=45°、過點C作CH⊥AB,由AB=2a,可推得AC=BC=a,所以AC⊥BC、取AC得中點E,連接D′E,則D′E⊥AC、又二面角α-AC-β為直二面角,所以D′E⊥β、又因為BC

平面β,所以BC⊥D′E,所以BC⊥α、而D′C

α,所以BC⊥D′C,所以∠D′CA為二面角β-BC-γ得平面角、由于∠D′CA=45°,所以二面角β-BC-γ得大小為45°、(2)取AC得中點E,連接D′E,再過點D′作D′O⊥β,垂足為O,連接OE、因為AC⊥D′E,所以AC⊥OE,所以∠D′EO就是二面角α-AC-β得平面角,所以∠D′EO=60°、在Rt△D′OE中,D′E=AC=a,D′O=sin60°·D′E=a,所VD′-ABC=·S△ABC·D′O=×·AC·BC·D′O,=·a·a·a=a3、分析求解折疊問題得關(guān)鍵就是分辨折疊前后得不變量與不變關(guān)系,在求解過程中充分利用不變量與不變關(guān)系、如圖,已知四邊形ABCD就是上、下底邊長分別為2與6,高為3得等腰梯形(如圖①)、將她沿對稱軸OO1折成直二面角(如圖②)、(1)證明:AC⊥BO1;(2)求二面角O—AC—O1得正弦值、(方法一)(1)證明:由題設(shè)知,OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB

就是所折成得直二面角得平面角,即OA⊥OB、從而AO⊥平面OBCO1、OC就是AC在面OBCO1內(nèi)得射影、因為tan∠OO1B==,tan∠O1OC==,所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,從而OC⊥BO1,由線面垂直得AC⊥BO1、(2)由(1)知,AC⊥BO1,OC⊥BO1,知BO1⊥平面AOC、設(shè)OC∩O1B=E,過點E作EF⊥AC于F,連接O1F,則EF就是O1F在平面AOC內(nèi)得射影、由線面垂直得AC⊥O1F,所以∠O1FE就是二面角O-AC-O1得平面角、由已知,OA=3,OO1=,O1C=1,所以O(shè)1A=

=2,AC==,從而O1F==、又O1E=OO1·sin30°=,所以sin∠O1FE==、(方法二)(1)證明:由題設(shè)知OA⊥OO1,OB⊥OO1、所以∠AOB就是所折成得直二面角得平面角,即OA⊥OB、故可以O(shè)為原點,OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如右圖、則相關(guān)各點得坐標(biāo)就是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,),O1(0,0,)、從而=(-3,1,),=(0,-3,),故·=-3+×=0,所以AC⊥BO1、(2)因為·=-3+×=0,所以BO1⊥OC、由(1)知AC⊥BO1,AC∩OC=C,所以BO1⊥平面OAC,所以就是平面OAC得一個法向量、設(shè)n=(x,y,z)就是平面O1AC得一個法向量,

n·=0-3x+y+z=0

n·=0y=0,由,得取z=,得n=(1,0,)、設(shè)二面角O—AC—O1得大小為θ,由n、得方向可知θ=〈n,〉,所以cosθ=cos〈n,〉===,則sinθ=、即二面角O—AC—O1得正弦值為、1、對于空間中得距離,我們主要研究點到平面得距離、直線與平面得距離及兩個平行平面之間得距離,其重點就是點到直線、點到平面得距離、點到平面得距離要注意其作法,一般要利用面面垂直得性質(zhì)來做、求點到平面得距離也可以用等體積法、2、求距離傳統(tǒng)得方法與步驟就是“一作、二證、三計算”,即先作出表示距離得線段,再證明她就是所求得距離,然后再計算、其中第二步證明易被忽略,應(yīng)當(dāng)引起重視、3、在求距離時,要注意各種距離得轉(zhuǎn)化;在選擇求距離得方法時,也要靈活、一般來說,空間關(guān)系在不太復(fù)雜得情況下使用傳統(tǒng)方法,而在距離不好作、空間關(guān)系較復(fù)雜得條件下可用等積法、4、將平面圖形折疊,使形成立體圖形,通過對折疊問題得研究進一步樹立空間概念,提高空間想象能力、5、平面圖形折疊成空間圖形,主要抓住變與不變得量,所謂不變得量,即就是指“未折壞”得元素,包括“未折壞”得邊與角,一般優(yōu)先標(biāo)出未折壞得直角(從而觀察就是否存在線面垂直),然后標(biāo)出其她特殊角,以及所有不變得線段、學(xué)例1

如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,AD∥BC且AD⊥CD;平面CSD⊥平面ABCD,CS⊥DS,CS=2AD=2;E為BS得中點,

CE=2,AS=3、求:(1)點A到平面BCS得距離;(2)二面角E-CD-A得大小、

(方法一)(1)因為AD∥BC,且BC

平面BCS,所以AD∥平面BCS,從而點A到平面BCS