不等關(guān)系與不等式教案不等關(guān)系與不等式教案「篇一」【教學(xué)目標(biāo)】1.通過(guò)具體情境讓學(xué)生感受和體驗(yàn)現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、改變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度。2．建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系。3．了解不等式或不等式組的實(shí)際背景。4.能用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):１.通過(guò)具體的問(wèn)題情景，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性。２.用不等式或不等式組表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式或不等式組研究含有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系的問(wèn)題。3.理解不等式或不等式組對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值。難點(diǎn):1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系。2.用不等式或不等式組解決簡(jiǎn)單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。【方法手段】1.采用探究法，按照閱讀、思考、交流、分析，抽象歸納出數(shù)學(xué)模型，從具體到抽象再?gòu)某橄蟮骄唧w的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。2.教師提供問(wèn)題、素材，并及時(shí)點(diǎn)撥，發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。3.設(shè)計(jì)教典型的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性?！窘虒W(xué)過(guò)程】教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖導(dǎo)入新課日常生活中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系。你能舉出一些例子嗎？實(shí)例1.某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫35℃，最低氣溫29℃。實(shí)例2.若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零。實(shí)例3.兩點(diǎn)之間線段最短。實(shí)例4.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。引導(dǎo)學(xué)生想生活中的例子和學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)中的例子。在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生肯定會(huì)迫不及待的能說(shuō)出很多個(gè)例子來(lái)。即活躍了課堂氣氛，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。推進(jìn)新課同學(xué)們所舉的這些例子聯(lián)系了現(xiàn)實(shí)生活，又考慮到數(shù)學(xué)上常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系，非常好。而且大家已經(jīng)考慮到本節(jié)課的標(biāo)題《不等關(guān)系與不等式》，所舉的實(shí)例都是反映不等量的關(guān)系。（下面利用電腦投影展示兩個(gè)實(shí)例）實(shí)例5：限時(shí)40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行使時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40km/h。實(shí)例6：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%。同學(xué)們認(rèn)真觀看顯示屏幕上老師所舉的例子。讓學(xué)生們邊看邊思考：生活中有許多的事情的描述可以采用不等的數(shù)量關(guān)系來(lái)描述過(guò)程引導(dǎo)能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，但是我們還要能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，那么我們用什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢？什么是不等式呢？用大屏幕展示一組不等式-7<-5;3+4>1+4;2x≤6;a+2≥0;3≠4。能用不等式及不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)，也就是建立不等式數(shù)學(xué)模型的過(guò)程通過(guò)對(duì)不等式數(shù)學(xué)模型的研究，反過(guò)來(lái)作用于現(xiàn)實(shí)生活，這才是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最終目的。思考并回答老師的問(wèn)題：可以用不等式或不等式組來(lái)表示不等關(guān)系。經(jīng)過(guò)老師的啟發(fā)和點(diǎn)撥，學(xué)生可以自己總結(jié)出：用不等號(hào)將兩個(gè)解析試連接起來(lái)所成的式子叫不等式。目的是讓學(xué)生回憶不等式的一些基本形式，并說(shuō)明不等號(hào)≤，≥的含義，是或的關(guān)系。回憶了不等式的概念，不等式組學(xué)生自然而然就清楚了。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)迫不及待地想說(shuō)出自己的觀點(diǎn)了。合作探究（一）。下面我們把上述實(shí)例中的不等量的關(guān)系用不等式或不等式組一一的表示出來(lái)，那應(yīng)該怎么表示呢？這兩位同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確？老師要表?yè)P(yáng)學(xué)生：“很好！這樣思考問(wèn)題很?chē)?yán)密。”應(yīng)該用不等式組來(lái)表示此實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，也可以用“且”的形式來(lái)表達(dá)。（二）。問(wèn)題一：設(shè)點(diǎn)A與平面的距離為d，B為平面上的任意一點(diǎn)。請(qǐng)同學(xué)們用不等式或不等式組來(lái)表示出此問(wèn)題中的不等量的關(guān)系。老師提示：借助于圖形，這個(gè)問(wèn)題是不是可以解決？（下面讓學(xué)生板演，結(jié)合三角形草圖來(lái)表達(dá)）問(wèn)題（二）：某種雜志原以每本2。5元的價(jià)格銷(xiāo)售，可以售出8萬(wàn)本，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若單價(jià)每提高0。1元，銷(xiāo)售量就可能相應(yīng)減少20xx本。若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示銷(xiāo)售的總收入仍不低于20萬(wàn)元呢？是不是還有其他的思路？為什么可以這樣設(shè)？很好，請(qǐng)繼續(xù)講。這位學(xué)生回答的很好，表述得很準(zhǔn)確。請(qǐng)同學(xué)們對(duì)兩種解法作比較。問(wèn)題（三）：某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不超過(guò)500mm鋼管的3倍。怎樣寫(xiě)出滿足上述所有不等式關(guān)系的不等式？假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根。根據(jù)題意，應(yīng)當(dāng)有什么樣的不等量關(guān)系呢？右邊的三個(gè)不等關(guān)系是“或”還是“且”的關(guān)系呢？這位學(xué)生回答得很好，思維很?chē)?yán)密，那么該用怎樣的不等式組來(lái)表示此問(wèn)題中的不等關(guān)系呢？通過(guò)上述三個(gè)問(wèn)題的探究，同學(xué)們對(duì)如何用不等式或不等式組把實(shí)際問(wèn)題中隱藏的不等量關(guān)系表示出來(lái)，這一點(diǎn)掌握得很好。請(qǐng)同學(xué)們完成書(shū)本練習(xí)第74頁(yè)1，2。課堂小結(jié)：1.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以幫助我們解決實(shí)際生活中的問(wèn)題。2.數(shù)學(xué)和我們的生活聯(lián)系非常密切。3.本節(jié)課鞏固了二元一次不等式及二元一次不等式組，并且能用它來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問(wèn)題。還要注意思維要嚴(yán)密，規(guī)范，并且要注意數(shù)形結(jié)合等思想方法的綜合應(yīng)用。布置作業(yè)：第75頁(yè)習(xí)題3.1A組4，5。29℃≤t≤35℃x≥0|AC|+|BC|>|AB||AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|。|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|。|AB|-|AC|<|BC|.交被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。如果用表示速度，則v≤40km/h。f≥2.5%或p≥2.3%學(xué)生自己糾正了錯(cuò)誤：這種表達(dá)是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮蓚€(gè)不等量關(guān)系要同時(shí)滿足，所以應(yīng)該用不等式組來(lái)表示次實(shí)際問(wèn)題中的不等量關(guān)系，即可以表示為也可表示為f≥2.5%且p≥2.3%。過(guò)點(diǎn)A作AC⊥平面于點(diǎn)C，則d=|AC|≤|AB|可設(shè)雜志的定價(jià)為x元，則銷(xiāo)售量就減少萬(wàn)本。銷(xiāo)售量變?yōu)?8-)萬(wàn)本，則總收入為(8-)x萬(wàn)元。即銷(xiāo)售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式表示為(8-)x≥20。解法二：可設(shè)雜志的單價(jià)提高了0.1n元，（n）我只考慮單價(jià)的增量。那么銷(xiāo)售量減少了0.2n萬(wàn)本，單價(jià)為（2.5+0.1n）元，則也可得銷(xiāo)售的總收入為不低于20萬(wàn)元的不等式，表示為（2.5+0.1n）（8-0.2n）≥20。截得兩種鋼管的總長(zhǎng)度不能超過(guò)4000mm。截得600mm鋼管的數(shù)量不能超過(guò)500mm鋼管的3倍。截得兩種鋼管的數(shù)量都不能為負(fù)數(shù)。它們是同時(shí)滿足條件，應(yīng)該是且的關(guān)系。由實(shí)際問(wèn)題的意義，還應(yīng)有x,y要同時(shí)滿足上述三個(gè)不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來(lái)表示：如果學(xué)生沒(méi)有想到的話，老師可以在黑板上板演示意圖，啟發(fā)學(xué)生考慮三邊的大小關(guān)系。此時(shí)啟發(fā)學(xué)生“或”字可以嗎？學(xué)生沒(méi)有了聲音，他們?cè)谒伎贾５降仔胁恍心?？有的回答“行”，有的回答“不行”。此時(shí)學(xué)生們?cè)谒伎迹瑫r(shí)間長(zhǎng)的話，老師要及時(shí)點(diǎn)撥。讓學(xué)生知道，在解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)該貫穿數(shù)形結(jié)合的思想，以形助數(shù)，下面有學(xué)生的聲音，有學(xué)生在討論，有的學(xué)生還有疑問(wèn)。老師注意關(guān)注學(xué)生的思維狀況，并且及時(shí)的加以指導(dǎo)。此時(shí)學(xué)生已經(jīng)真正進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)狀態(tài)，老師再給出問(wèn)題（三）使學(xué)生一直處于跟隨老師積極思考和解決問(wèn)題的狀態(tài)。問(wèn)題是教學(xué)研究的核心，以問(wèn)題展示的形式來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)與探究意識(shí)?！窘虒W(xué)反思】(【設(shè)計(jì)說(shuō)明】)本節(jié)課內(nèi)容很多，都是不等式和不等式組的有關(guān)問(wèn)題，還有很多是生活中的實(shí)例，學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)很感興趣，課堂的氣氛也很好，大多數(shù)學(xué)生都能很積極地回答問(wèn)題，使課堂的學(xué)習(xí)氣氛很濃，確實(shí)也做到了愉快教學(xué)。設(shè)計(jì)是按照老師引導(dǎo)式教學(xué)，邊講授邊引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)習(xí)思考問(wèn)題及能自己解決問(wèn)題，鍛煉學(xué)習(xí)能自主的學(xué)習(xí)能力?！窘涣髟u(píng)析】一是課堂容量適中，二是實(shí)例很好，接近生活，學(xué)生感興趣。三是學(xué)生回答問(wèn)題積極踴躍，和老師配合很好。四是多媒體應(yīng)用的恰到好處，教學(xué)設(shè)備很完善，老師也能很熟練的應(yīng)用。不等關(guān)系與不等式教案「篇二」教學(xué)分析本節(jié)課的研究是對(duì)初中不等式學(xué)習(xí)的延續(xù)和拓展，也是實(shí)數(shù)理論的進(jìn)一步發(fā)展在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，將讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從一系列的具體問(wèn)題情境中，感受到在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，并充分認(rèn)識(shí)不等關(guān)系的存在與應(yīng)用對(duì)不等關(guān)系的相關(guān)素材，用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過(guò)用對(duì)能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來(lái)。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中還安排了一些簡(jiǎn)單的、學(xué)生易于處理的問(wèn)題，其用意在于讓學(xué)生注意對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實(shí)數(shù)的基本理論，并能用實(shí)數(shù)的基本理論來(lái)比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。在本節(jié)教學(xué)中，教師可讓學(xué)生閱讀書(shū)中實(shí)例，充分利用數(shù)軸這一簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合工具，直接用實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)與形兩方面建立實(shí)數(shù)的順序關(guān)系要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)。三維目標(biāo)1.在學(xué)生了解不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景下，利用數(shù)軸回憶實(shí)數(shù)的基本理論，理解實(shí)數(shù)的大小關(guān)系，理解實(shí)數(shù)大小與數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置間的關(guān)系。2.會(huì)用作差法判斷實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小，會(huì)用配方法判斷二次式的大小和范圍。3.通過(guò)溫故知新，提高學(xué)生對(duì)不等式的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：比較實(shí)數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷二次式的大小和范圍。教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確比較兩個(gè)代數(shù)式的大小。課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.(章頭圖導(dǎo)入)通過(guò)多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫(huà)面，它將學(xué)生帶入“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中是大量存在的，由此產(chǎn)生用數(shù)學(xué)研究不等關(guān)系的強(qiáng)烈愿望，自然地引入新課。思路2.(情境導(dǎo)入)列舉出學(xué)生身體的高矮、身體的輕重、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)呢?讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師組織不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在系這樣學(xué)生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入進(jìn)一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課。推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題1回憶初中學(xué)過(guò)的不等式，讓學(xué)生說(shuō)出“不等關(guān)系”與“不等式”的異同怎樣利用不等式研究及表示不等關(guān)系?2在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系你能舉出一些實(shí)際例子嗎?3數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的兩實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?4任意兩個(gè)實(shí)數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語(yǔ)怎樣表達(dá)這個(gè)關(guān)系?活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶初中學(xué)過(guò)的不等式概念，使學(xué)生明確“不等關(guān)系”與“不等式”的異同不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號(hào)“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系，可用“a>b”“a教師與學(xué)生一起舉出我們?nèi)粘Ｉ钪胁坏汝P(guān)系的例子，可讓學(xué)生充分合作討論，使學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著大量的不等關(guān)系在學(xué)生了解了一些不等式產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的有關(guān)內(nèi)容。實(shí)例1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃。實(shí)例2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xA實(shí)例3：若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零。實(shí)例4：兩點(diǎn)之間線段最短。實(shí)例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。實(shí)例6：限速40km/h的路標(biāo)指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40km/h。實(shí)例7：某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%。教師進(jìn)一步點(diǎn)撥：能夠發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)當(dāng)然很好，這說(shuō)明同學(xué)們已經(jīng)走進(jìn)了數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，但作為我們研究數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，能用數(shù)學(xué)的眼光、數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過(guò)程，這是我們每個(gè)研究數(shù)學(xué)的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過(guò)的什么知識(shí)來(lái)表示這些不等關(guān)系呢?學(xué)生很容易想到，用不等式或不等式組來(lái)表示這些不等關(guān)系那么不等式就是用不等號(hào)將兩個(gè)代數(shù)式連結(jié)起來(lái)所成的式系那-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。教師引導(dǎo)學(xué)生將上述的7個(gè)實(shí)例用不等式表示出來(lái)實(shí)例1，若用t表示某天的氣溫，則26℃≤t≤32℃.實(shí)例3，若用x表示一個(gè)非負(fù)數(shù)，則x≥0.實(shí)例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|。|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交換被減數(shù)與減數(shù)的位置也可以。實(shí)例6，若用v表示速度，則v≤40km/h.實(shí)例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對(duì)于實(shí)例7，教師應(yīng)點(diǎn)撥學(xué)生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時(shí)滿足，避免寫(xiě)成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對(duì)的但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%。對(duì)以上問(wèn)題，教師讓學(xué)生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個(gè)結(jié)論。討論結(jié)果：(1)(2)略;(3)數(shù)軸上任意兩點(diǎn)中，右邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)比左邊點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)大。(4)對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a應(yīng)用示例例1(教材本節(jié)例1和例2)活動(dòng)：通過(guò)兩例讓學(xué)生熟悉兩個(gè)代數(shù)式的大小比較的基本方法：作差，配方法。點(diǎn)評(píng)：本節(jié)兩例的求解，是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的，這兩種方法是代數(shù)式變形時(shí)經(jīng)常使用的方法，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握。變式訓(xùn)練1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是A.f(x)>g(x)B.f(x)=g(x)C.f(x)答案：A解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x)。2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2。∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1。例2比較下列各組數(shù)的大小(a≠b)。(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);(2)a4-b4與4a3(a-b)?；顒?dòng)：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，常根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系，歸結(jié)為判斷它們的差的符號(hào)來(lái)確定本例可由學(xué)生獨(dú)立完成，但要點(diǎn)撥學(xué)生在最后的符號(hào)判斷說(shuō)理中，要理由充分，不可忽略這點(diǎn)。解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b?！遖>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b。(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2]。∵2a2+(a+b)2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí)取等號(hào))。又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]<0?！郺4-b4<4a3(a-b)。點(diǎn)評(píng)：比較大小常用作差法，一般步驟是作差――變形――判斷符號(hào)變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變?yōu)椤胺e”，后者將“差”化為一個(gè)或幾個(gè)完全平方式的“和”，也可兩者并用。變式訓(xùn)練已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小?；顒?dòng)：要比較任意兩個(gè)數(shù)或式的大小關(guān)系，只需確定它們的差與0的大小關(guān)系。解：xy-1=x-yy。∵x>y，∴x-y>0。當(dāng)y<0時(shí)，x-yy<0，即xy-1<0.∴xy<1;當(dāng)y>0時(shí)，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)字母y取不同范圍的值時(shí)，差xy-1的正負(fù)情況不同，所以需對(duì)y分類(lèi)討論。例3建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越積但問(wèn)：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了?請(qǐng)說(shuō)明理由?；顒?dòng)：解題關(guān)鍵首先是把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，然后比較前后比值的大小，采用作差法。解：設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時(shí)增加的面積為m，根據(jù)問(wèn)題的要求a由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%。因此a+mb+m>ab≥10%。所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了。點(diǎn)評(píng)：一般地，設(shè)a、b為正實(shí)數(shù)，且a0，則a+mb+m>ab。變式訓(xùn)練已知a1，a2，…為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則A.a1+a8>a4+a5B.a1+a8C.a1+a8=a4+a5D.a1+a8與a4+a5大小不確定答案：A解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2)。∵{an}各項(xiàng)都大于零，∴q>0，即1+q>0。又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5。知能訓(xùn)練1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個(gè)數(shù)為A.3B.2C.1D.02.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。答案：1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0。③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0?！嘀挥孝俸愠闪ⅰ?.解：因?yàn)?x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0。所以2x2+5x+9>x2+5x+6。課堂小結(jié)1.教師與學(xué)生共同完成本節(jié)課的小結(jié)，從實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)的回顧，到兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較方法;從例題的活動(dòng)探究點(diǎn)評(píng)，到緊跟著的變式訓(xùn)練，讓學(xué)生去繁就簡(jiǎn)，聯(lián)系舊知，將本節(jié)課所學(xué)納入已有的知識(shí)體系中。2.教師畫(huà)龍點(diǎn)睛，點(diǎn)撥利用實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)對(duì)兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較時(shí)易錯(cuò)的地方鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生對(duì)節(jié)末的思考與討論在課后作進(jìn)一步的探究。作業(yè)習(xí)題3―1A組3;習(xí)題3―1B組2。設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了教學(xué)方法的優(yōu)化經(jīng)驗(yàn)告訴我們：課堂上應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇、設(shè)計(jì)最能體現(xiàn)教學(xué)規(guī)律的教學(xué)過(guò)程，不宜長(zhǎng)期使用一種固定的教學(xué)方法，或原封不動(dòng)地照搬一種實(shí)驗(yàn)?zāi)；?jīng)種教學(xué)方法中，沒(méi)有一種能很好地適應(yīng)一切教學(xué)活化經(jīng)就是說(shuō)，世上沒(méi)有萬(wàn)能的教學(xué)方化經(jīng)對(duì)個(gè)性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。2.本節(jié)設(shè)計(jì)注重了難度控制不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣，可以說(shuō)與其他所有內(nèi)容都有交匯，歷來(lái)是高考的重點(diǎn)與熱制不為本章開(kāi)始，可以適當(dāng)開(kāi)闊一些，算作拋磚引玉，讓學(xué)生有個(gè)自由探究聯(lián)想的平臺(tái)，但不宜過(guò)多向外拓展，以免對(duì)學(xué)生產(chǎn)生負(fù)面影響。3.本節(jié)設(shè)計(jì)關(guān)注了學(xué)生思維能力的訓(xùn)練訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升思維的品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直面的重要課題，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教育的主練訓(xùn)用一題多解有助于思維的發(fā)散性及靈活性，克服思維的僵練訓(xùn)式訓(xùn)練教學(xué)又可以拓展學(xué)生思維視野的廣度，解題后的點(diǎn)撥反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升。備課資料備用習(xí)題1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。2.試判斷下列各對(duì)整式的大?。?1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1。3.已知x>0，求證：1+x2>1+x。4.若x5.設(shè)a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。參考答案：1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0?！?x-3)2>(x-2)(x-4)。2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)=m2-2m+5+2m-5=m2。∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0?！鄊2-2m+5≥-2m+5。(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)=a2-4a+3+4a-1=a2+2?！遖2≥0，∴a2+2≥2>0?！郺2-4a+3>-4a+1。3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2=1+x+x24-(x+1)=x24。又∵x>0，∴x24>0?！?1+x2)2>(1+x)2。由x>0，得1+x2>1+x。4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y)?！選0，x-y<0?！?2xy(x-y)>0。∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y)。5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b。當(dāng)a>b>0時(shí)，ab>1，a-b>0。則(ab)a-b>1，于是aabb>abba。當(dāng)b>a>0時(shí)，0則(ab)a-b>1。于是aabb>abba。綜上所述，對(duì)于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba。不等關(guān)系與不等式教案「篇三」一、教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體問(wèn)題情境，讓學(xué)生感受到現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的不等關(guān)系；2.通過(guò)了解一些不等式（組）產(chǎn)生的實(shí)際背景的前提下，學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)內(nèi)容；3.理解比較兩個(gè)實(shí)數(shù)（代數(shù)式）大小的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。二、教學(xué)重點(diǎn)：用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題理解不等式（組）對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值。三、教學(xué)難點(diǎn)：使用不等式（組）正確表示出不等關(guān)系四、教學(xué)過(guò)程：（一）導(dǎo)入課題現(xiàn)實(shí)世界和生活中，既有相等關(guān)系，又存在著大量的不等關(guān)系我們知道，兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，等等人們還經(jīng)常用長(zhǎng)與短，高與矮，輕與重，大與小，不超過(guò)或不少于等來(lái)描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)等人數(shù)學(xué)中，我們用不等式來(lái)表示這樣的不等關(guān)系。提問(wèn)：1.“數(shù)量”與“數(shù)量”之間存在哪幾種關(guān)系？(大于、等于、小于).2.現(xiàn)實(shí)生活中，人們是如何描述“不等關(guān)系”的呢？（用不等式描述）引入知識(shí)點(diǎn)：1.不等式的定義：用不等號(hào)、≤、≥、≠表示不等關(guān)系的式子叫不等式.2.不等式ab的含義不等式ab應(yīng)讀作“a大于或者等于b”，其含義是指“或者a>b，或者a=b”，等價(jià)于“a不小于b，即若a>b或a=b之中有一個(gè)正確，則ab正確.3.實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)與方法。（1）如果ab是正數(shù)，那么ab；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負(fù)數(shù)，那么ab.反之也成立，就是（ab>0a>b；ab=0a=b；ab（二）基礎(chǔ)練習(xí)1.用不等式表示下面的不等關(guān)系：（1）a與b的和是非負(fù)數(shù)；（2）某公路立交橋?qū)νㄟ^(guò)車(chē)輛的高度h“限高4m”；解：（1）ab0；（2）h4.2.有一個(gè)兩位數(shù)大于50而小于60，其個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字大2.試用不等式表示上述關(guān)系（用a和b分別表示這個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字）.解：由題意知5010ab60,5010ab60,5011a260ba2,ba2,43a5.11114811a5843.比較（a+3）（a-5）與（a+2）（a-4）的大小解：（a+3）（a-5）-（a+2）（a-4）=（a22a15）-a22a6=-7（三）提升訓(xùn)練1.比較x23與3x的大小，其中xR。222233333解：x33xx3x3x3x3x24422220、x233x.方法總結(jié)：兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小，通常用作差法來(lái)進(jìn)行，其一般步驟是：第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將差化積；第三步：定號(hào)最后得出結(jié)論。2.小明帶了20元錢(qián)去超市買(mǎi)筆記本和鋼筆已知筆記本每本2元，鋼筆每枝5筆已他所能買(mǎi)的筆記本和鋼筆的數(shù)量分別為x，y，則x，2x5y20,y應(yīng)滿足關(guān)系式xN。yN.3.一個(gè)盒中紅、白、黑三種球分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)，黑球個(gè)數(shù)至少是白球個(gè)數(shù)的一半，至多是紅