導(dǎo)數(shù)題型梳理題型1:不含參函數(shù)單調(diào)性題型2:含參函數(shù)單調(diào)性題型3:根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍題型4:切線與公切線問題題型5:切線條數(shù)問題題型6:三次函數(shù)問題題型7:函數(shù)零點(diǎn)問題小題題型8:復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題題型9:等高線問題，題型10:共零點(diǎn)問題題型11:整數(shù)解問題題型12:導(dǎo)數(shù)與不等式比較大小問題題型13:導(dǎo)數(shù)構(gòu)造問題題型15:隱零點(diǎn)問題題型16:極值點(diǎn)偏移題型17:導(dǎo)數(shù)與數(shù)列問題題型18:恒成立有解問題題型19:凹凸反轉(zhuǎn)題型20:端點(diǎn)效應(yīng)一.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性二.求解不含參函數(shù)的單調(diào)性的核心思想與步驟函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來決定，這是一個核心思想，所以我們需要想方設(shè)法找到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，而導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間有一個“臨界點(diǎn)”,到導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像就能找到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間，也就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。通過做題我們或許有一個疑問，為什么有的題目進(jìn)行了二次求導(dǎo)，三次求導(dǎo)，多次求導(dǎo)呢，什么時候需要多次求導(dǎo)?導(dǎo)到多少階才行呢?這里我們需要有一個意識：函數(shù)求導(dǎo)以后也就是導(dǎo)函數(shù)，我們首先觀察正負(fù)，如果正負(fù)確定，就能往回推原函數(shù)的單調(diào)；如果不確定，那么我們退而求其次觀察其單調(diào)性，此時往往結(jié)合我們高一所學(xué)的單調(diào)性的性質(zhì)可以看出，如果可以確定單調(diào)性，再結(jié)合特殊值或者圖像，一般能確定正負(fù)；如果確定不了單調(diào)性，那么就需要往下再次求導(dǎo)，這里往往可以扔掉一些正負(fù)確定的分子、分母或者因式，通過構(gòu)建新的函數(shù)，再次求導(dǎo)。簡而言之，在每一階導(dǎo)函數(shù)，正負(fù)是最優(yōu)先級，這里的思想在題型1以及題型14里面有淋漓盡致的體現(xiàn)，特別是題型14,對于零點(diǎn)的(1)確定定義域(2)求導(dǎo)并化簡出現(xiàn)二次出數(shù)分式以觀以通谷因式分解(3)確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)若導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)，則令導(dǎo)函數(shù)f'(x)=0,求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)(4)確定導(dǎo)函數(shù)的正!(5)綜上所述三.討論含參函數(shù)單調(diào)性含參函數(shù)為什么要討論?在什么地方討論?討論哪些方面?都是平時做題過程中會碰到的問題。因?yàn)椴莞迳袭嫴怀霾輬D，所以需要討論，畫草圖需要確定什么?以導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)舉例，需要確定①參數(shù)是否影響函數(shù)類型(參數(shù)在二次項(xiàng)上時),參數(shù)為0,導(dǎo)函數(shù)就不是二次函數(shù)；②是否有零點(diǎn)；③零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)；④多個零點(diǎn)的大小關(guān)系(注意四.三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的單調(diào)性、零點(diǎn)以及切線問題①單調(diào)性：三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3ax2+2bx+c,若△=4b2-12a·c>0,則函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間；②零點(diǎn)：若△=4b2-12a·c>0,不妨設(shè)f'(x)=3ax2+2bx+c的零點(diǎn)分別為x?,x?。若f(x?)·f(x?)>0,則f(x)有1個零點(diǎn)，如下圖若f(x?)·f(x?)<0,則f(x)有3個零點(diǎn)，如下圖若f(x?)·f(x?)=0,則函數(shù)有2個零點(diǎn)，如下圖若△=4b2-12a·c<0,則函數(shù)有1個零點(diǎn)，如下圖③切線問題若點(diǎn)位于(1)、(3)區(qū)域，則過點(diǎn)可以作3條三次函數(shù)的切線；若點(diǎn)位于(2)、(4)區(qū)域，則過點(diǎn)可以作1條三次函數(shù)的切線；若點(diǎn)位于三次函數(shù)的對稱中心，則過點(diǎn)可以作1條三次函數(shù)的切線；若點(diǎn)位于三次函數(shù)上(非對稱中心),則過點(diǎn)可以作2條三次函數(shù)的切線。五.常見不等式匯總(10)x≥0時，(11)x≥0時，題型1:不含參函數(shù)單調(diào)性題型1:不含參函數(shù)單調(diào)性0,a≠1).,判斷f(x)在區(qū)間(1,+0)內(nèi)的單調(diào)性；(1)當(dāng)a=3時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)討論f(x)的單調(diào)性.的單調(diào)性；(1)當(dāng)a=0時，過原點(diǎn)作函數(shù)f(x)的切線/,求切線/的方程；(2)討論函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)性.題型3:根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍題型3:根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的最小值為().增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.(-,-2)B.(-0,-2)C.(-2,+0)D.[-2上存在單調(diào)遞增區(qū)間”,求a的取值范圍.A.(-4,-3)B.(-5,-2)C.(-5,-3)D.(-4上單調(diào)遞增”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件上不單調(diào)的一個充分不必要條件是()(2)若f(x)在區(qū)間-1,+0)上單調(diào)遞增，求k的取值范圍；題型4:切線與公切線問題題型4:切線與公切線問題例4-1.【2024·重慶渝中·模擬預(yù)測】若斜率為1的直線l與曲線y=In(x+a)和圓 A.練4-3【23-24高三·重慶階段練習(xí)】已知函數(shù)f(x)=Inx,8(x)=x°(x>0,a≠0),若存在直線1,使得1是曲線y=f(x)與曲線y=g(x)的公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<eaA.eb+1<aB.ea+1<bC.0<b<ea+1A.3ac<1B.若x?,x?,x?成等差數(shù)列，則a∈(-1,0)U(0C.若恰有兩個不同的零點(diǎn)則D.若g(x)有三個不同的零點(diǎn)t?,t?,t?(t?<t?<t?),則x2+x2+x3=t2+t2+t3R),則下列說法正確的是()D.若直線y=x-a與f(x)有三個交點(diǎn)x?,x?,x?,則x?+x?+x?=0函數(shù)，若方程f”(x)=0有實(shí)數(shù)解x?,則稱點(diǎn)(x?,f(xo))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”,且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知B.若當(dāng)x=1時，f(x)有極值10,則y=f(x)對應(yīng)的拐D.若當(dāng)a=3,b=2時，曲線y=f(x)-8與x軸分別交于A(x?,0)、B(x?,0)、C(x?,0),cx+d有三個不同的零點(diǎn)x?,x?,x?(x?<x?<x?),函數(shù)g(x)=f(x)-1也有三個零點(diǎn)A.b2>3acD.x2+x2+x3=t2+t三個不同的零點(diǎn)x?,x?,x?(x?<x?<x?),若函數(shù)g(x)=f(x)-1也有三個不同的零點(diǎn)t?,t?,t?(t?<t?<t?),則下列等式或不等式一定成立的有()c.x?+x?+x?=t?+t?+t?D.x題型7:函數(shù)零點(diǎn)問題小題題型7:函數(shù)零點(diǎn)問題小題例7-1【24南開第五次聯(lián)考】已知函恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.(1,e)f(x)=d-logax|(a>0)且a≠1),則下列說法正確的是()A.若函數(shù)y=f(x)有4個零點(diǎn)，則0<a<1B.當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y=f(x)有4個零點(diǎn)C.若函數(shù)y=f(x)有2個零點(diǎn)，則a>1D.當(dāng)a>1時，函數(shù)y=f(x)有2個零點(diǎn)①若k=0,f(x)恰有2個零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有1個零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)k,使得f(x)恰有3個零點(diǎn)；④存在正數(shù)k,使得f(x)恰有3個零點(diǎn)f(x)-2|x|有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()若函數(shù)g(x)=A.[0,+o]B.(0,3)C.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()列結(jié)論中正確的是()A.函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)C.若方程有兩個不等實(shí)根，則k的范圍說法中正確的是()題型8:復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題題型8:復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問題例8-1.【24-25高三上重慶渝中階段練習(xí)】已知函數(shù)f(x)=e*+e*,若關(guān)于x的方程f(x2+x)=k,有4個不同的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是()A.(-o,-e)af(x)+a-1=0有且僅有三個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-2e,1-e)B.(1-e,0)C.(-0,1-e)D.(練8-1.【24-25高三·全國階段練習(xí)】已知函,若關(guān)于x的方程2[f(x)]2+(1-2m)f(x)-m=0有5個不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()例9-1【24南開第一次聯(lián)考】已知函若關(guān)于x的方程f(x)=C.5ln3f(x?)=f(x?),x?<x?<x?,則x?+例11-1【24南開第三次聯(lián)考】【多選題】已知函數(shù)f(x)=xex+a(a∈R),,下列說法正確的是()A.若x?≠x?,g(x)=g(x?),則x?+x?>2B.若a=0,則“x?+x?=0”是“f(x?)+g(x?)=0”的充要條件C.若不等式f(x)<g(x)恰有3個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是|例11-2【24巴蜀第二次聯(lián)考】已知關(guān)于x的不等式mx2-2x-Inx<0在(0,+0)上有唯一集中恰有三個整數(shù)解，則整數(shù)a的取值是()(參考數(shù)據(jù)：1n2≈0.6931,In3≈1.0986)題型12:導(dǎo)數(shù)與不等式比較大小問題題型12:導(dǎo)數(shù)與不等式比較大小問題A.c>b>aB.c>aA.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b例12-3.【24-25·全國·階段練習(xí)】設(shè)a=2In1.01,b=√1.02-1,,A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cA.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b練12-1.【24-25高三·廣東深圳·階段練習(xí)】已知a=e?.1-1,b=sin0.1,c=In1.1,A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<a練12-2.【24-25高三上·山東菏澤·期中】設(shè),b=In1.02,c=e0.02-1,則()A.c<a<bB.b<c<aC.b<a<cA.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<bA.a<b<cB.b<c<aC例13-1.【23-24高三上·重慶渝中·階段練習(xí)】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+),導(dǎo)函數(shù)的解集為()A.(-0,1)B.[-0,2]C.[-1,2]D.[2,+0]為f'(x),不等·f(x)恒成立，且,則不等式A.[2,+0]B.[-1,2]C.[0,+0]A.(-0,-1)B.(-0,1)C.(-1,+o)),且f(x)為偶函數(shù)，2,3f(x)cosx+f'(x)sinx>0,則不等式f(x+的解集為()題型：14:函數(shù)零點(diǎn)問題解答題題型：14:函數(shù)零點(diǎn)問題解答題例14-1.【24南開第三次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)f(x)=sinx-xcosx.(2)函數(shù)8(x)=In(x+1)-f'(x)其中f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，試討論函數(shù)g(x)在(1)若過點(diǎn)(2,2)作曲線y=f(x)的切線，切線的斜率為2,求k的值；(2)若函數(shù)f(x)在上恰有兩個極小值點(diǎn)x?,x?,求a的取值范圍；并判斷是否存在實(shí)數(shù)a,使2成立?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.(i)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(ii)證明：f(x)在區(qū)間(0,π)內(nèi)有唯一零點(diǎn)x?,且x?<2x?(1)若k=0,求證：f(x)僅有1個零點(diǎn)；(2)若f(x)在區(qū)間(0,2π)沒有零點(diǎn)，求a的取值范圍.(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+0)各恰有一個零點(diǎn)，求a的取值范圍.(1)求a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x?,且e-2<f(x?o)<2-2題型16:極值點(diǎn)偏移題型16:極值點(diǎn)偏移例16-1【24南開第一次聯(lián)考】【多選題】已知實(shí)數(shù)a,b滿足a+b<0,函數(shù)f(x)=aex+be-x+cx(e為自然對數(shù)的底數(shù))的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為x?,x?,且x?<x?,則下列說法正確的有()A.a>0B.2a+c<0例16-2【24南開第五次聯(lián)考】若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)存在兩個不同的數(shù)x?,xz,同時滿足f(x?)=f(x?),且f(x)在點(diǎn)(x?,f(x(1)證明：f(x)=2x3-6x為“切合函(2)若“切合函數(shù)”(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),并設(shè)滿足條練16-1【24巴蜀第二次聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2(1)若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-x+a有兩個不同的極值點(diǎn)x?,x?(x?<x?),當(dāng)λ≥1時，求證：f(x)=(x-1)lnx-ax-a(a≠0)在區(qū)間(0,+00上有兩個不同的零點(diǎn)x?,x?,且x?<x?,則下列選項(xiàng)正確的是()題型17:導(dǎo)數(shù)與數(shù)列問題題型17:導(dǎo)數(shù)與數(shù)列問題例17-1【24重慶南開中學(xué)第一次聯(lián)考】已知函數(shù)f(x)=sinx-In(x+1).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)a?=1,an+1=In(an+1),證明：題型18:恒成立有解問題題型18:恒成立有解問題R).實(shí)數(shù)a的取值范圍.(2)若a>0,不等式f(x)>2g(x)對一切x∈R+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.練18-1.【重慶市巴蜀中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題】對于函數(shù)題型19:凹凸反轉(zhuǎn)題型19:凹凸反轉(zhuǎn)且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)A的值為()A.44成立，則x+y=()3x+2y-6,則x+練19-2【2022全國卷】設(shè)函,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切(2)證明：f(x)>1.題型20:端點(diǎn)效應(yīng)題型20:端點(diǎn)效應(yīng)(2)若f(x)<sin2x恒成立，求a的(2)若函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的圖象沒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x≥0時，,求a的取值范圍.1.【24南開第一次聯(lián)考】已知a,b∈R,關(guān)于x的不等式ex≥ax+b在R上恒成立，則ab的最大值為()切線，則a的取值范圍為()若方程f(-x)+f(x)=0有且僅有四個不同的解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.A.(0,e)B.(e,+0)C.(0,2為f(x)的導(dǎo)數(shù)),求證：x?-x?>√(4-3b)2-4.6.【24年重慶南開中學(xué)第8次聯(lián)考】已知f(x)=(x-1)ekx,k∈R,其中e=2.71828……為自然對數(shù)的底數(shù).(2)當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)的最小值為-1,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.(1)當(dāng)b=1時，f(x)≥g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)已知直線l?、l?是曲線y=g(x)的兩條切線，且直線l?、l?的斜率之積為1.(i)記x?為直線l?、l?交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求證：xo<1;(ii)若l?、l?也與曲線y=f(x)相切，求a,b的關(guān)系式并求出b的取值范圍.)時，[f(x)]2>8(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍ex-2.(1)若a=0,求曲線f(x)在x=1處的切線方程；(2)當(dāng)x>ex-2時，不等式f(x)≤0恒成立，求a的取值范圍.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2),h(x)=ae×(a>0).若曲線y=g(x)與y=h(x)存在公切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.值范圍.(ii)證明：若0<a?<√3,則對任意正整數(shù)n,都有信封的這一情況有多少種?后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler,1707~1783)給出了解答：記都裝錯n封信的情況為Dn種，可以用全排列n!減去有裝正確的情況種數(shù)閱讀材料二：英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.閱讀以上材料后請完成以下問題：(2)估算√e的大小(保留小數(shù)點(diǎn)后2位),并給出用e和n表示Dn的估計(jì)公式；f(x)的二階不動點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)f(x)的n階不動點(diǎn).其中一階不動點(diǎn)簡稱不動點(diǎn)，二階不動點(diǎn)也稱為穩(wěn)定點(diǎn).f(x)的穩(wěn)定點(diǎn)”的充分必要條件；(3)已知a>-1,討論函的穩(wěn)定點(diǎn)個數(shù)所以f(x)的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+0);例1-3【答案】f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+0),無單調(diào)遞增區(qū)間所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+0),無單調(diào)遞增區(qū)間；例1-4【答案】單調(diào)遞增區(qū)間為(-0,1),(1,2),無減區(qū)間.【詳解】f(x)的定義域?yàn)?-0,1)U(1,2),即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-0,1),(1,2),無減區(qū)間；練1-1【答案】在(0,+c0)上單調(diào)遞增【詳解】(1)由題可得h(x)定義域?yàn)?0,+o),i令故h'(x)>0在(0,+o)上恒成立，則h(x)在(0,+0)上單調(diào)遞增.【詳解】(1)解：由函數(shù)f(可解得a=2,(2)解：由(1)知Lx>0,則f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(0,+0)上單調(diào)遞增.練1-3【答案】f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+0)上單調(diào)遞增即g(x)在(1,2-In2)上單調(diào)遞減，在(2-In2,+o)上單調(diào)遞增，練1-4【答案】(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+)(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+0),令當(dāng)x>0時，h'(x)<0,故h(x)在(0,+0)單調(diào)遞減，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+)例2-1【答案】見解析③時，f(x)在(0,+)單調(diào)遞增；故所求切線方程為y-7=-4(x-1),即4x+y-11=0(或y(2)由題意可得f(x)的定義域?yàn)?0,+0).由f(x)>0,得x>2,由f(x)<0,得0<x<2,則f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+)上單調(diào)遞增.由f(x)>0,得0<x<-a或x>2,由f'(x)<0,得-a則f(x)在(-a,2)上單調(diào)遞減，在(0,-a)和(2,+0)上單調(diào)遞增.當(dāng)-a=2,即a=-2時，f(x)≥0恒成立，則f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.由f(x)>0,得0<x<2或x>-a,由f'(x)<0,得2<x<-a,則f(x)在(2,-a)上單調(diào)遞減，在(0,2)和(-a,+w當(dāng)-2<a<0時，f(x)在(-a,2)上單調(diào)遞減，在(0,-a)和(2,+0)上單調(diào)遞增；例2-3【答案】答案見解析；【詳解】函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+o),求導(dǎo)①當(dāng)4-4a≤0,即a≥1時，f'(x)≤0恒成立，此時f(x)在此時f(x)在(1-√1-a,1+√1單調(diào)遞減；此時f(x)在(0,1+√1-a)上單調(diào)遞增，在(1+√1-a,+)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a≥1時，函數(shù)f(x)在(0,+0)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在(1-√1-a,1+√1-a)上單調(diào)遞增，在(0,1-√1-a)和(1+當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1+√1-a)上單調(diào)遞增，在(1+√1-a,+0)上單調(diào)遞減設(shè)切點(diǎn)為(x?,f(x?)),切線方程為y-f(x?)=f(x?)(x-x?),因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以f(x?)=f(x?)x?,即(2)易知f(x)=(a+1)-(ax+a+1)ex,練2-1【答案】答案見解析【詳解】函數(shù)f(x)的定義域是(0,+0)此時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+0),無減區(qū)間；此時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+),無減區(qū)間； 綜上所述，a≤0時，f(x)的增區(qū)間為(0,+0),無減區(qū)間；練2-2【答案】答案見解析令f'(x)=0,則兩根分別為x?=ea,(0,+0),無單調(diào)遞減區(qū)間；所以f(x)單調(diào)遞增區(qū)間),(ea,+o),單調(diào)遞減區(qū)間所以f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(,單調(diào)遞減區(qū)間為練2-3【答案】答案見解析例3-1【答案】Cg(x)>g(1)=e,故,即1,即a的最小值為e-1.例3-2【答案】D,所以,所以則-4k(2x+1)=3(2x)2-4·2x+20,令2x+1=t∈(1,7),于是-4kt=3(t-1)2-4·(t-1)+20=3t2-10t+27,即且當(dāng)有兩個交點(diǎn)時，兩個交點(diǎn)不重合，因此8<-4k<20,解得-5<k<-2,令F(x)=f'(x),則F(x)=ex+1-2,且F(x)在-1,+0)單調(diào)遞增，令F(x)=0,解得x=ln2-1>-1,所以當(dāng)x∈(-1,1n2-1)時，F(xiàn)(x)<0,故F(x)單調(diào)遞減；所以F(x)min=F(n2-1)=4-2又f(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)F(x)m≥0,故k≤4-2ln2.練3-4【答案】(-0,-2)U(2,+)【詳解】(1)因,所以f'(x)=x2-2mx+4.則△=(-2m)2-16>0,解得m>2或m<-2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-0,-2)U(2,+a).【詳解】(1)g(x)=b-2x,故g(1)=b-2,又y=x+1斜率為1,故b-2=-1,解(2)因?yàn)閎=1,故h(x)=-x2+(2a+1)x-aInx(x>0),故h(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)當(dāng),h(x)≤0,h(x)在(0,+c0)當(dāng)當(dāng)單調(diào)遞減；單調(diào)遞減；(3)m(x)=a(2x-Inx)-x+x2=x2+(因?yàn)?x-1>0,故φ(4)≤0,即a≤-4例4-1.【答案】D【詳解】設(shè)直線/與曲線y=In(x+a)的切點(diǎn)為P(x?,yo),則x?=1-a,yo=0,例4-2【答案】(0,1)【詳解】作圖可得f(x)=|lnx|的零點(diǎn)為1,故不妨設(shè)0<x?<1,x?>1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知:,即則A(0,1-Inx?),B(0,lnx?-1),因?yàn)?<x?<1,且xix?=1例4-3.【答案】B設(shè)A(x,f(x?)),B(x?,f(當(dāng)x?<x?<0,或0<x?<x?時，f'(x?)≠f'(x?),故x?<0<x?,當(dāng)x?<0時，函數(shù)f(x)在點(diǎn)A(x?,f(x?))處,,例4-4【答案】B即3k2-4k<-1或3k2-4k≥0,例4-5【答案】所以函數(shù)f(x)在(-,2)上單調(diào)遞增，在(2,+w)上單調(diào)遞減.依題意，直線y=-4k與函數(shù)h(m)=(1-m)2e則函數(shù)h(m)在(-0,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，練4-2【答案】a≤√3-2則△=(2a+1)2-4a×2=(2a-1)2=0,符合題意，2ax2+(2a+2)x-1=0在(0,+)上無變號根，a<-1或-1≤a≤√3-2,所所令h(x)=(a-1)(Inx-xa)+Ina+1,則h(x)在(0,+0)上有零點(diǎn)，當(dāng)x→+00時，h(x)→-0,故h(x)在(0,+)上恒有零點(diǎn)，從而a>1恒成立；綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：練4-4【答案】練4-5【答案】(-0,-4)U(0,+c)切線方程為：y-(xo+a)exo=(xo+1+a)∴a的取值范圍是(-o,-4)U(0,+0),故答案為：(-o,-4)U(0,+0)例5-1.【答案】B【詳解】解法一由f(x)=xex+1,得f'(x)=(x+1)ex.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo,xoe×0+1),把(2,1)代入可得-xoex0=ex0(xo+1)(2-xo),即x?-2x。-2=0因?yàn)?=12>0,所以該方程有2個不同的實(shí)數(shù)解，故切線有2條解法二由f(x)=xex+1,得f'(x)=(x+1)e×,令f'(x)=0,得x=-1.故f(x)在(-0,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，數(shù)形結(jié)合可知，過點(diǎn)P可作曲線y=f(x)的2條切線.例5-2.【答案】C由y=lnx可得,則切線方程為1,可得當(dāng)a>0時，由g'(x)<0可得0<x<當(dāng)x趨近于0時，1趨近于+0;當(dāng)x趨近于+時，1趨近于+;所以若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=Inx的兩條切線，則0<a<eb,例5-3【答案】C【詳解】設(shè)切點(diǎn)為P(x?,yo),對y=ex+1求導(dǎo)可得：y=ex+1,可得切線方程為：y-exo+1=exo+1(x-x?),把點(diǎn)(a,b)代入可得b-exo+1=exo+1(a-xo),化為b=exo+1(a-xo+1),令f(x)=ex+1(a-x+1),x可得x=a時函數(shù)f(x)取得極大值f(a)=ea+1練5-1【答案】CD由函數(shù)f(x)=-x3+ax2-2x,所以切線方程為y-(-t3+at2-2t)=(-3t2+2a因?yàn)辄c(diǎn)(0,-1)在切線上，可得-1-(-t3+at2-2t)=(-3t2+2at-2)(0-t),即方程2t3-at2+1=0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為t>3,結(jié)合選項(xiàng)C、D符合題意.練5-2【答案】2【詳解】由已知可得，,定義域?yàn)?-1,+0),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，曲線在點(diǎn)A處切線的斜令h(x)=0,解得x=2,當(dāng)x∈(-1,2)時，h'(x)<0,此時h(x)單調(diào)遞減，又因?yàn)閔,且函數(shù)連續(xù)不間斷，即切線的條數(shù)為2.故答案為：2.練5-3.【答案】(-,-4)U(0,+c0)∵切線過原點(diǎn)，∴-(xo+a)exo=(xo+1整理得：x2+ax?-a=0,∵切線有兩條，∴△=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范圍是(-c,-4)U(0,+0),故答案為：(-,-4)U(0,+0)例6-1【答案】ABD,對A:因?yàn)閒(x)有三個零點(diǎn)，所以f(x)必有兩個極值點(diǎn)，所以△=4-12ac>0,3ac<1,A正確；若g(x)恰有兩個零點(diǎn)，則m或n必為極值點(diǎn)；對D:由韋達(dá)定得(x?+x?+x?)2-2(x?x?+x?x?+x?X?)=(t即x2+x2+x3=ti+t經(jīng)+t,故D正確.例6-2【答案】BCD對于B,令g(x)=f(x)+a=x3+(a-1)x,則g(-x)=(-x)3+(a-1)(-x)=-g(x),函數(shù)f(x)在(-0,x?),(x?,+)上遞增，在(x?,x?)上遞減，f(x?)>f(0)=-a>0,f(x?)<由三次函數(shù)的圖象特征知，函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有3個交點(diǎn)，C正確；對于D,由選項(xiàng)B知，函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,-a)對稱，而直線y=x-a關(guān)于點(diǎn)因此函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=x-a的3個交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(0,-a)對稱，例6-3【答案】A【詳解】由函數(shù)f(x)=x3+ax2+1因函數(shù)f(x)有三個零點(diǎn)，即函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有三個公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與例6-4【答案】AC值點(diǎn)，故A正確；令f'(x)>0或綜上所述，函數(shù)f(x)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；令h(x)=x3-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-h(x),將h(x)的圖象向上移動一個單位得到f(x)的圖象，D錯誤.練6-1【答案】ACD【詳解】對于A選項(xiàng)，若函數(shù)f(x)所以，△=4a2+12b>0,即a2+3b>0,A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)x=1時，函數(shù)f(x)有極值10,對于C選項(xiàng)，當(dāng)a=2時，函數(shù)f(x)在(-0,+oo)上無極值點(diǎn)則函數(shù)f(x)在(-0,+)上為單調(diào)函數(shù)，則f(x)=3x2-4x-b≥0恒成立，則△=16+12b≤0,解得b即實(shí)數(shù)b的取值范圍是],C對；兩邊同除x3可得1即t3-2t2-3t+1=t3-(t?+t?+t?)t2+(t?t?+t?t?+t?t對則f'(x)=3ax2+2bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故△=4b2-12ac>0,對于D,根據(jù)a(x-x?)(x-x?)(x-x?)=ax3+bx2+cx+d,展開可得ax3-a(x?+x?+x?)x2+a(x?x?則ax3+bx2+cx+d-1=a(x-t?)(x-t故-a(t?+t?+t?)=b,a(t?t?因此t?+t?+t?=x?+x?+x?,t?t故(x?+x?+x?)2-2(x?xz+x?x?+x?x?)=(t?+t?+t?)2-2練6-3.【答案】BD【詳解】對于A,由于當(dāng)a=b=-10=f(0)可知f(x)并不單調(diào)遞增，故A錯誤；對于C,假設(shè)存在a,b使得y=f(x)的圖象關(guān)于x=b對稱，則f(b+x)=f(b-x)恒成立此即a(b+x)3-a(b+x)2+b(b+x)=a(b-x)3-a(b-x)2+整理得6ab2x+2ax3+2bx=4abx,即3ab2x+ax3+bx=2abx,3ab2x-bx=bx(2a-3ab-1).式顯然不成立，矛盾.所以不存在a,b使得y=f(x)的圖象關(guān)于x=b對稱，故C錯誤；f(1)=b<0.和和即3x2+2bx+c=0,則△=4b2-12c>0,即b2>3c,所以A錯誤；所以x3+bx2+cx+d=(x-x?)(x-x?)(x-x?)=x3-(x?+x?+x?所以x?+x?+x?=t?+t?+t?,x?X?X?-t?t3=-1,故C正確，D錯誤；例7-1【答案】D若f(x)在(-0,-2)內(nèi)有零點(diǎn)，則,解②當(dāng)-2≤x≤0時，令f(x)=0,解當(dāng)x∈(1,+)時，g(x)>0,g(x)在(1,+0)上單調(diào)遞增，當(dāng)k>e時，有兩個實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f(x)在(0當(dāng)k>e時，函數(shù)f(x)在[點(diǎn).例7-2【答案】B又g(e)=ae<0,故g(t)=at-Int+1與x軸有公共點(diǎn)，故a<0時不成立；例7-3【答案】BC①當(dāng)0<a<1時，y=x2x的圖象如下：由圖知，只有一個交點(diǎn)，即函數(shù)只有一個零點(diǎn)；②a>1時，y=x2!Inx的圖象如下：點(diǎn).,兩圖象有兩個交點(diǎn)，原函數(shù)有兩個零點(diǎn)；,兩圖象無交點(diǎn)，原函數(shù)無零點(diǎn)，故D錯誤；例7-4【答案】BC【詳解】令f(x)=d?-loga=0,則dA=loga×,y=a!與y=lo當(dāng)0<a<1時，作出函數(shù)y=ax,y=|logax|的圖象，如圖(1)所示，所以當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)=a×-|logax|的零點(diǎn)個數(shù)為2;當(dāng)a>1時，作出函數(shù)y=ax,y=|logax|的圖象，此時兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)取決于,可得a=xx,即xlnxx=Inx=1,所!當(dāng)x>0時，1<a<ee時，函數(shù)y=ax,y=|logax|的圖象有3個交點(diǎn)，如圖(2)所示，當(dāng)a=ee時，函數(shù)y=a×,y=|logax|的圖象有2個交點(diǎn)，如圖(3)所示；當(dāng)時，函數(shù)y=a×,y=|logax|的圖象有1個交點(diǎn)，如圖(4)所示.綜上所述：時，函數(shù)y=f(x)的圖象有2個零點(diǎn)；當(dāng)0<a<1或a=ee時，函數(shù)y=f(x)的圖象有4個零點(diǎn)；當(dāng)1<a<ee時，函數(shù)y=f(x)的圖象有6個零點(diǎn).對于①,當(dāng)k=0時，由f(x)=|lgx|-2對函數(shù)y=-lgx求導(dǎo),由題意可練7-2【答案】A令x2+x=0,得x=-1,或x=0(舍去),(2)當(dāng)a=0時，由(1)知有x=-1,或x=0,x=3三個零點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)x<0時有一個零點(diǎn)-1,x=0是函數(shù)的一個零點(diǎn)，所以當(dāng)x>0時函數(shù)只有一個零點(diǎn)，令9-3x=0,得x=3,即不論a取大于0的何值，x=3是函數(shù)的一個零點(diǎn)，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,+α]【詳解】若f(x)有兩個零點(diǎn)，則f(x)=memx-Inx=0等價于mxemx-xlnx=0(x>0)有兩個解，因?yàn)閙≥0,x>0,所以In因?yàn)間(t)=(t+1)et,則當(dāng)t>0時g(t)>0,所以g(t)在0,+0)上單調(diào)遞增，練7-4.【答案】BCD所以函數(shù)f(x)只有1個零點(diǎn).A錯誤；對B:欲,須在(0,+0)上恒成立所以h(x)的最小值為,因?yàn)?所以.故B正確；設(shè)m(x)=-x2lnx,x>0則m'(x)=-2xlnx-x=-x(2Inx+1),x>0.如圖所示：所以k=-x2Inx有兩個解時，.故C正確；所以n(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,+0)上單調(diào)遞減.因?yàn)?8=256,3?=243,所所以函的圖象如下：練7-5.【答案】ACD又m(1)=0,且當(dāng)x趨近于正無窮時，m(x)趨近于0,貝),令n(x)=Inx-Ina·x+1,①當(dāng)a∈(0,1)時，Ina<0,n(x)>0,n(x)在(0,+0)單調(diào)遞增又n(1)=-Ina+1>0,且當(dāng)x趨近于0時，n(x)趨近于-o,且當(dāng)x∈(0,xo)時，n(x)<0,h(x)>0,故此時h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(xo,+)時，n(x)>0,h(x)<0,此時n(x)單調(diào)遞增；令n(x)<0,解),此時n(x)單調(diào)遞減；貝在(0,+0)恒成立，故h(x)在(0,+0)單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)，不滿足題意；又當(dāng)x趨近于0時，n(x)趨近于0;當(dāng)x趨近于+時，n(x)趨近于-0,故當(dāng)x∈(0,x?),n(x)<0,此時,h(x)單調(diào)遞減；此時h(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；此時h(x)<0,h(x)綜上所述，若h(x)有極大值和極小值，則a∈(1,e),故C正確；也即,也即例8-1.【答案】A【詳解】f(x)=e*+e的定義域?yàn)镽,且f(-x)=e?*+e=f(x),故f(x)=e*+e*在(0,+)上單調(diào)遞增，由對稱性可知f(x)在(-0,0)上單調(diào)遞減，f(x)(0)min,此時x2+x=0,解得x?=0或-1,僅有2個實(shí)數(shù)根，不合要求，舍去；例8-2【答案】.B作出函的大致圖象如圖所示.由圖知f(x)=e有兩個根，此時方程有2個不同的解；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,-2e).所以1-a>e,解得a<1-e,方程2[f(x)]2+(1-2m)f(x)-m=0可得m的取值范圍練8-2.【答案】D的圖象，如圖所示：令t=f(x),先解f(t)=0,知其有兩根t?=0和t?=2+√m,例9-1【答案】A【詳解】圖，,由題：2-e×3=m=x?=In(2-m),e4-2=m=x?=In(m+2),設(shè)h(m)=-2m+5in(m+2)+4(0<m<1)則則x?+2x?+3x?=-2-2cosx?+3(x?+x?)-xz=-2cosx?-x?+6π-2,令g(x)=-2cosx-x+6π-2(0<故答案為：例10-1.【答案】A函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+)上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在(0,+o)上有兩個零點(diǎn)，記為x?,x?(0<x?<x?),令,求導(dǎo)得,由h(c)<0,得0<c<3.由h(c)>0得c>3,例10-2【答案】D【詳解】因?yàn)閍>0,所在(0,+)為增函數(shù)，由y=aex象知，(0,+0)有唯一的零點(diǎn)x?,若b≥1,則y=In(x+b)>0在(0,+)恒成立，與f(x)≥0矛盾，故b<1.顯然f(x)=(ae×-)In(x+b)當(dāng)且僅當(dāng)1-b=2即b=-1時等號成立；練10-1.【答案】B【詳解】函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0,+o),而0<x<1=Inx<0,x=1=Inx=0,x>1→要使f(x)≥0,則二次函數(shù)y=x2+ax+b,在0<x<1所以，只需-(a+1)≤0→a+1≥0=a≥-1,故a的最小值為-1.例11-1【答案】ACD由x≠x?,g(x?)=8(x?),不妨設(shè)x?<x?,證明如下：由圖象可知，0<x?<1<x?,則2-x?>1,g(x?)-g(2-x?)=g(x?)-g(2-x?),故g(x?)<g(2-x?),則x?>2-x?,故x?+x?>2,A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，若a=0且x?+xz=0,則x?=-x?,所以f(x?)+g(x?)=0,充分性成立；如圖所示，顯然f(t)+g(t?)=0但t+t?≠0,故必要性不成立，B選項(xiàng)錯誤；得g(x)與f(x)的圖象關(guān)于對稱，由B選項(xiàng)可知，f(x)=xex+a(a∈R)即為把若不等式f(x)<g(x)恰有3個整數(shù)解解),故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，若不等式f(x)<g(x)恰有2023個整數(shù)解x,x?,…X2023,+f(-1010)+g(1010)+f(-1011)+g(1011)=2023a,故D選項(xiàng)正確例11-2【答案】又由函數(shù)h(x)的圖象是恒過點(diǎn)(0,-2)的直線，所以作出函和h(x)(1,0)時，m-2=0,即m的值為2;練11-1.【B【詳解】不等式xlnx+x2-(a+1)x+a≤0當(dāng)x=1時，0+1-1≤0成立，所以其它兩個整數(shù)解大于1,令h(x)=x2-Inx-x,則則h(x)=x2-Inx-x在(1,+0)上單調(diào)遞增，又h(1)=0,所以h(x)>0,所以g(x)在(1,+o)上單調(diào)遞增，所以不等的兩個整數(shù)解只能是2,3,所以整數(shù)a=5.例12-1.【答案】B),所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，∴f(0.02)>f(0)=0=a=1n1.02>品=b.設(shè)p(x)=in(1+x)-sinx,x∈(0,1),所以p(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以p(x)<p(0)=0,所以p(0.02)例12-2.【答案】C【詳解】構(gòu)造,x∈(0,+∞),則故u(x)在(0,+0)內(nèi)單調(diào)遞減因?yàn)?1.02+0.01)2=1.0609<e,所以1.02<Je-0.01,即1.01ln1.03>1.02In1.02,即In1.03101>In1.02-02,即a=1.0310同理構(gòu)造,x∈(0.01,+0),則構(gòu)造),則,故v(x)對任意x∈(0,e+0.01)恒成立，則g(x)在(0,e+0.01)單調(diào)遞增，故g(1.03)>g(1.02),即即1.即In1.0202>In1.011.03,即c=1.02102>1.01L則a,b,c的大小關(guān)系是b<c<a.例12-3.【答案】D【詳解】令f(x)=Inx,g(x)=√x-1,h(x)=f(x)-g(x)=Inx-√x所以a>b,例12-4.【答案】Ba=2In1.01=In1.012=In(1+0.01)2=In(1+2×0.01+0.01由于1+4x-(1+x)2=2x-x2=x(2-x)所以當(dāng)0<x<2時，1+4x-(1+x)2>0,即√1+4x>(1+x),f'(x)>0,令g(x)=In(1+2x)-√1+4x+1,由于1+4x-(1+2x)2=-4x2,在x>0時，1+4x-(1+2x)2<0,所以g'(x)<0,即函數(shù)g(x)在[0,+0]上單調(diào)遞減，所以g(0.01)<g(0)=0,即[方法二]:,即函數(shù)f(x)在(1,+0)上單調(diào)遞減,即函數(shù)g(x)在(1,3)上單調(diào)遞增練12-1.【答案】C令g(x)=sinx-x,x>0,則g'(x)=cosx-1≤0在(0,+)上恒成立，故g(x)=sinx-x在(0,+o)單調(diào)遞減，故g(x)<g(0)=0,令h(x)=In(1+x)-x,x>0,故h(x)=In(1+x)-x在(0,+0)上單調(diào)遞減，故h(x)<h(0)=0,即c=In1.1<0.令k(x)=j'(x),則k(x)=-sinx+x,故l(x)=k'(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞增，又k'(0)=0,故k'(x)>0故k(x)=j'(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞增，又j'(0)=0,故j'(x)>0故r(x)=e'(x)在x∈(0,1)上單調(diào)遞減，又e(0)=練12-2.【答案】D練12-3.【答案】A所所以函數(shù)g(x)在(0,+0)上遞增，所所所所故選：B.例13-1【答案】C令所以G(x)在(0,+)上是單調(diào)遞增.不等式.,所求不等式即G(x+4)<G(6).由于G(x)在(0,+o)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所故不等式的解集為(-4,2).例13-2【答案】B【詳解】設(shè),f(x)>f'(x)+1,即f(x)-f(x)+1<0,g(x)在R上單調(diào)遞減，又f(2)=e2+1,即g(x)≥g(2),∴x≤2,∴原不等式的解集為(-c0,2).例13-3.【答案】A【詳解】設(shè)g(x)=In(x+1)·f(x),x>-1,不等不等式ln(x+3)f(x+2)≥ex+2,等價于e-(x+2)·In(x+3)f(即h(x+2)≥h(4),得x+2≥4,解出x≥2.練13-1.【答案】B令g(x)=3×f(x),則g(x)=3×(In3·f(x)+f(x))>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增，練13-2.【答案】D【詳解】令g(x)=f(x)sin3x,),則g(x)=3f(x)sin2xcosx+f(x)sin3x=sin2x[3f(x)cosx+f(x)sinx],),可得當(dāng)x∈0,π時，sinx≥0,∴f'(x)≥0,:f(x)單調(diào)遞增；(2)g(x)=In(x+1)-f'(x)=In(x+1)又g(0)=0,所以g(x)在x∈-1,0注意到g(0)=1>0,由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一x?∈(0,t)所以g()>g(0)=0,所以h(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，在(0,+0)單調(diào)遞減，故h(x)≤h(0)=0,所以③當(dāng)時,y=xcosx遞減,所1),使得g(x?)=0,④當(dāng)x∈π,2π)時，In(x+1)>0,xsinx≤0,故g(x)>0,綜上，函數(shù)g(x)在(-1,2π)上恰有3個零點(diǎn).【詳解】(1)由題意可得：因(0,+0)內(nèi)單調(diào)遞增，可知關(guān)于x?的方程l根為1,即x?=1,所以g(x)在[1,3]內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)；所以g(x)在[1,3]內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)；且g(1)=0,可知g(m)>g(1)=0,可知g(x)在1,m)內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)，①當(dāng)g(3)=3In3-2k≤0,綜上所述：若k)時，g(x)在[1,3]內(nèi)有且僅有1個零點(diǎn)；若k)時，8(x)在[1,3]內(nèi)有且僅有2個零點(diǎn)【詳解】解：(1),則f(x)=-sinx+x∴g(x)上單調(diào)遞增.(2)∵f(-x)=cos(-x)-a(-x)2=co∴f(x)是上的偶函數(shù).值點(diǎn)”因f'(x)=-sinx-2ax,設(shè)h(x)=f'(x),則h(x)=-cosx-2a.①當(dāng)a≥0時，h'(x)≤0,則h(x)上單調(diào)遞減∴h(x)≤h(0)=0.則f'(x)≤0,此時f(x)在上單調(diào)遞減，無極小值.則f'(x)≥0,此時f(x)上單調(diào)遞增，無極小值.∴f'(x)≤0,此時f(x)在上單調(diào)遞減，無極小值.則存在t,使得h(t)=由(*)式，知sinx?=-2ax?∴【詳解】(1)求導(dǎo)f'(x)=ex-acosx,∴f(0)=1-a所以切線方程為：y-0=(1-a)(x-0),綜上，a的取值范圍是(1,+0).構(gòu)造p(t)=e2t-2etsint-1,所以p(t)=2e2t-2et(sint+cost)=2et(et-sint-cost),所以2x?>x?【詳解】(1)由題意，(2)由題意及(1)得，由(1)可知此時f(x)>0,所以此時函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)，與已知矛盾，所以h(x)=e×+a(xsinx-2cosx),,使函數(shù)h(x)在(0,x?)上遞減，在(xo上遞增,【詳解】(1)當(dāng)k=0,所以f(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增，且f(0)=0,所以f(x)僅有1個零點(diǎn).當(dāng)k≥0時，f'(x)>0,f(x)在(-1,2)上單調(diào)遞增，此時f(x)僅有1個零點(diǎn)0;所以f'(x)>f'(0)=4+k>0,所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，,所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，此時f(x)僅有1個零點(diǎn)0;由上知f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上f'(0)=4+k>0,f'(2)=k<0,f(x)在(0,xo)上單調(diào)遞增，在(x?,2)上單調(diào)遞減要使f(x)有兩個零點(diǎn)，此時且f'(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，f(0)=4+k<所以f(x)在(-1,x?)上單調(diào)遞增，在(x?,0)上單調(diào)遞減，所以f(x?)>f(0)=0,所以f(-1+ei)<0,所以f(x):上有1個零點(diǎn)，此時f(x)有兩個零點(diǎn)練14-3.【答案】(1)證明見解析；(2)號零點(diǎn).點(diǎn),即f(x)有兩個極值點(diǎn).當(dāng)0<a<1時，0<x<2π,),且(a-1)π>-π,f(x)單調(diào)遞減.②當(dāng),即時，(1-a)π<2aπ,(2)①當(dāng)a>1時，,f(π)=sinaπ>0,f(2π)=sin練14-4.(1)y=2x【詳解】(1)f(x)的定義域?yàn)?-1,+)切線斜率為2設(shè)g(x)=e*+a(1-x2)所以g(x)在(0,+o)上單調(diào)遞增所以g(x)>g(0)=1+a≥0,即f'(x)>0故f(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn)，不合題意所以所I在(-1,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減，所以又又-1<eae-1<0,f(eae-1)<ae-ae即f(x)在(-1,0)上有唯一零點(diǎn)例15-1.【答案】(1)a=1;(2)見解析.【詳解】(1)解：因?yàn)閒(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-Inx)(x>0),則f(x)≥0等價于h(x)=ax-a-Inx≥0,求導(dǎo)可知則當(dāng)a≤0時h'(x)<0,即y=h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，所以h(x)又因?yàn)閔(1)=a-a-In1=0,所!解得a=1;另解：因?yàn)閒(1)=0,所以f(x)≥0等價于f(x)所以解得a=1;(2)證明：由(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,f可得2x-2-Inx=0,記t(x)=2x-2-Inx,則所以t(x),從而t(x)=0有解，即f(x)=0存在兩根Xo,X2,所以f(xo)=xo2-xo-xolnxo=【詳解】(1)由題可知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+0),此時函數(shù)f(x)在(0,+0)上單調(diào)遞增；所以f(x)在(上單調(diào)遞減，,+0)上單調(diào)遞增(2)當(dāng)a=1時，f(x)=x2+x-Inx,要證明f(x)+e*>x2+x+2,只用證明ex-In,即可得方程有唯一解設(shè)為x?,且xo≠1,x一0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增得證.故曲線y=f(x)在處的切線方程為1,即4πx-4y-π2+4=(2)由(1)得f(x)=cosx+2x令函數(shù)u(x)=f'(x),則u(x)=-sinx+2>0,所以u(x)=f'(x)是增函數(shù)因?yàn)閒'(O)=1,),使得f(),使得f(xo)=cos故【詳解】(1)由題意得f(x)=Inx-ax+1的定義域?yàn)?0,+0),當(dāng)a≤0時，f'(x)>0,f(x)在(0,+0)上單調(diào)遞增，無極值；即f(x)在(0,)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，(2)證明：設(shè)g(x)=xe×-Inx-x-1,x>0,即g(x)≥0,即xex≥Inx+例16-1【答案】ABD【詳解】由題知方程f'(x)=ae*-be-*+c=ctcC-=0?ae2+ce*-b=0有兩不等實(shí)根x?,x?,且f(x)在(-0,x?),(x?,+)上單調(diào)遞增，在(x?,x?)單調(diào)遞減，令t=ex,t>0,則方程at2+ct-b=0有兩個不等正實(shí)根t?,t?,其中t?=ex1,t?=若a=0,則f'(x)=0?cex-b=0,則f(x)=0不可能有兩個解，所以a≠0.對于D:f(x?)+f(x?)=a(e×1+e×2)+b(e-x1+e-x2)+c(x?+例16-2【答案】(1)證明見解析(2)①證明見解析；②證明見解析【詳解】(1)假設(shè)存在x?,x?滿足題意，易知f'(x)=6x2-6,f(x?)=f(x?)?2x3-6x?=2x2-6x?→xf'(x?)=f'(x?)→6x2-6=6x2-6=由題可,因?yàn)間(x)為“切合函數(shù)”,故存在不同的x?,x?(不妨設(shè)0<x?<x?),(i)先證：,即證：,則由0<x?<x?可知t>1,要證上式，只需證：,,易知,故m(t)在(1,+)上單調(diào)遞減，所以m(t)<m(1)=0,故成立， (ii)由上面的②式可得：,代入到①式中可得：,整理后也可得到M(a)=3e2a+ea-2=(3ea-2→3ea-2>0=M'(a)>0=h'(a)在)上單調(diào)遞增，所以L(x)≥0在(0,+0)上恒成立，