2025年2月高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.）1.已知函數(shù)在處可導(dǎo)，且則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處可導(dǎo)，且，所以.故選：A2.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，又由，則，即切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：A.3.曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】確定曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為2，因?yàn)?，所以，所以，故選：C.4.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，?故選：C.5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】求出，由可得答案．【詳解】，則，解得．故選：B.6.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為非負(fù)數(shù)，列不等式，解不等式即可求得的取值范圍.【詳解】由題意得，在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B7.若曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，則A. B.0C.2 D.1【答案】D【解析】【詳解】分析：由曲線與曲線在交點(diǎn)處有公切線，根據(jù)斜率相等，求解，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解．詳解：由曲線，得，則，由曲線，得，則，因?yàn)榍€與曲線在交點(diǎn)處有公切線，所以，解得，又由，即交點(diǎn)為，將代入曲線，得，所以，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)在點(diǎn)處的公切線，建立方程求解是解答的關(guān)鍵，，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．8.若直線與曲線和曲線同時(shí)相切，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的意義，根據(jù)兩直線的斜率相等求出，再由，求出即可.【詳解】設(shè)直線直線與曲線相切于，與曲線相切于點(diǎn)，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則有，則在點(diǎn)處切線的方程為，即，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則有，則在處切線的方程為，即，則有，則有，又由，則有，則，則；故選：A．二、多項(xiàng)選擇題本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】選項(xiàng)A:正確；選項(xiàng)B:錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：正確；選項(xiàng)D：，正確；故選：ACD10.已知函數(shù)，則函數(shù)在下列區(qū)間上單調(diào)遞增的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)大于0求出單調(diào)遞增區(qū)間，得到答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，，令得：或，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞增．故選：AC．11.設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的定義域是B.當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方C.存在單調(diào)遞增區(qū)間D.有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間【答案】BC【解析】【分析】由函數(shù)定義域的求解可判斷A,根據(jù)基本函數(shù)的性質(zhì)可判斷當(dāng)時(shí)，可判斷B,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可判斷C,D.【詳解】由，得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不正確.當(dāng)時(shí)，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，的圖象位于x軸下方，所以B正確.，令，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，故存在，使得，則函數(shù)只有一個(gè)根，當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，所以C正確，D不正確.故選：BC三、填空題本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)直線垂直即可求解.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，故函數(shù)在處的切線的斜率為.∵直線的斜率為，切線與直線垂直，所以，解得.故答案為：3.13.已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，列出不等式即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，依題意，不等式在上有解，等價(jià)于在上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：．14.若對(duì)任意的、，且，，則的最小值是_______________________．【答案】【解析】【分析】分析出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即可求得實(shí)數(shù)的最小值.【詳解】對(duì)任意的、，且，，易知，則，所以，，即，令，則函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋?，可得，所以函?shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，，所以，，因此，實(shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題本題共5小題，共77分.15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（1）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合求導(dǎo)法則即可逐一求解.【小問(wèn)1詳解】由可得【小問(wèn)2詳解】由可得【小問(wèn)3詳解】由得【小問(wèn)4詳解】由得16.已知函數(shù).（1）求曲線與直線垂直的切線方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相切，求直線的斜率.【答案】（1）（2）或5【解析】【分析】（1）求出切線的斜率，再寫(xiě)出切線方程；（2）根據(jù)切線的斜率與直線的方程列方程組求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樾甭蕿?，所以，所以，?所以所求切線方程為，即.【小問(wèn)2詳解】，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程：，則則，整理得，所以，所以或5.17.設(shè)函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線為，求a，b的值；（2）求的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1），；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）已知切線求方程參數(shù)，第一步求導(dǎo)，切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率.(2)第一步定義域，第二步求導(dǎo)，第三步令導(dǎo)數(shù)大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】定義域?yàn)?，，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線為，所以，所以；所以把點(diǎn)代入得：.即a，b的值為：，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，列表得：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，單增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中得切線問(wèn)題第一步求導(dǎo)，第二步列切點(diǎn)在曲線，切點(diǎn)在切線，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線斜率這三個(gè)方程，可解切線相關(guān)問(wèn)題.18.已知函數(shù).討論的單調(diào)性；【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)和因式分解，分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可分析函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】，令，則或，①若，則有，所以函數(shù)在R上為增函數(shù)；②若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；③若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減.19已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，討論零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求，根據(jù)a的范圍分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而判斷f(x)的單調(diào)性；（2）令并參變分離，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)與常數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】的