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《高等數學》練習測試題庫

一.選擇題

1.函數y二一一是()

尸+1

A.偶函數B.奇函數C單調函數D無界函數

2.設f(sin±)=cosx+l,則f(x)為()

2

A2x2-2B2-2x2C1+x2D1-x2

3.下列數列為單調遞增數列的有()

A.0.9,0.99,0.999,0.9999B.999

C.{f(n)},其中f(n尸D.{)

4.數列有界是數列收斂的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D既非充分也非必要

5.下列命題正確的是()

A.發(fā)散數列必無界B.兩無界數列之和必無界

C.兩發(fā)散數列之和必發(fā)散D.兩收斂數列之和必收斂

6.()

A.1B.OC.2D.1/2

7.設e則k=()

A.lB.2C.6D.1/6

8.當x1時，下列與無窮小(x-l)等價的無窮小是()

A.x-1B.x-1C.(x-l)D.sin(x-l)

9.f(x)在點x=xo處有定義是f(x)在x=xo處連續(xù)的1)

A.必要條件B.充分條件

C.充分必要條件D.無關條件

10、當岡＜1時,y=()

A.是連續(xù)的B、無界函數

C.有最大值與最小值D.無最小值

11、設函數f(x)=(1-x)cotx要使f(x)在點：x=0連續(xù)，則應補

充定義f(0)為()

A.B、eC、

D^~e-l

12.下列有跳躍間斷點x=0的函數為()

A.xarctanl/xB、arctanl/x

C.tanl/xD.cosl/x

13、設f(x)在點xO連續(xù)，g(x)在點xO不連續(xù)，則下列結論成立是()

A.f(x)+g(x)在點xO必不連續(xù)

B.f(x)Xg(x：在點xO必不連續(xù)須有

C.復合函數f[g(x)]在點xO必不連續(xù)

/O)

D.g(x)在點xO必不連續(xù)

14、設f(x尸在區(qū)間(-8,+8)上連續(xù)，且f(x)=0,則a,b滿足()

A.a>0,b>0B、a>0,b<0

C.a<0,b>0D.a<0,b<0

15、若函數f(x)在點xO連續(xù)，則卜.列復合函數在xO也連續(xù)的有

()

A.B、

C.tan[f；x)]D.f[f(x)]

16.函數f(x)=tanx能取最小最大值的區(qū)間是下列區(qū)間中的()

A.[0,Ji]B、(0,月)

C.[-Ji/4,Ji/4]D、(-JI/4,"/4)

17、在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)是函數f(x)有界的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D、無關條件

18、f(a)f(b)VO是在[a,b]上連續(xù)的函f(x)數在(a,b)內取零值的()

A.充分條件B.必要條件

C.充要條件D、無關條件

19、下列函數中能在區(qū)間(0,1)內取零值的有()

A.f(x)=x+lB.f(x)=x-l

C.f(x)=x2-lD、f(x)=5x4-4x+l

20、曲線y=x2在x=l處的切線斜率為()

A.k=0B.k=lC.k=2D.-1/2

21＞若直線y=x與對數曲線y=logx相切，則()

A.eB.1/eC.exD.el/e

22.曲線y=lnx平行于直線x-y+l=0的法線方程是()

A.x-y-l=0B.x-y+3e-2=0C.x-y-3e-2=0D.-x-y+3e-2=0

23＞設直線y=x+a與曲線y=2arctanx相切，則a=()

A.±1B.±Ji/2C.±(Ji/2+l)D.±(JI/2-1)

24、設f(設為可導的奇函數,且f'(x0)=a,則f'(-x0)=()

A.aB.-aC.|a.|D.0

25、設y=ln,則y'|x二0=()

A.-1/2B.1/2C.-1D.0

26、設y=(cos)sinx,則y'|x二0=()

A.-lB.0C.1D.不存在

27、設yf(x)=In(1+X),y=f[f(x)],則y'|x=0=()

A.0B.1/In2C.1D.In2

28、已知y=sinx,則y(10)=()

A.sinxB.cosxC.-sinxD.-cosx

29、已知y=xInx,則y(10)=()

A.-l/x9B.1/x9C.8.l/x9D.-8.l/x9

30、若函數f(x);xsin|x|,則()

A.r'、(0)不存在B.f''(0)=0C.「'(0)=3D.f''(0)=JI

31、設函數y=yf(x)在［0,刀］內由方程x+cos(x+y)=0所確定，則

|dy/dx|x=0=()

A.-lB.0C.JI/2D.2

32、圓x2cos。，尸2sin。上相應于0=JI/4處的切線斜率，K=()

A.-lB.OC.1D.2

43、若函數f（x）在（a,b）內存在原函數，則原函數有（）

A.一個B.兩個C.無窮多個D,都不對

44.若Jf(x)dx=2cx/2+C=()

A.2ex/2B.4ex/2C.ex/2+CD.ex/2

45.Sxe-xdx=(D)

A.xe-x-e-x+CB、-xe-x+e-x+C

C.xe-x+e-x+CD.-xe-x-e-x+C

46、設P（X）為多項式，為自然數，則/P（x）（x-l）-ndx（）

A.不含有對數函數B、含有反三角函數

C.一定是初等函數D、一定是有理函數

47、/.1°|3x+l|dx=（）

A.5/6B.1/2C.-1/2I）.I

48、兩橢圓曲線x74+y2=l及（x-l）2/9+y74=l之間所圍的平面圖形面積等于

)

A.JiB.2JiC.4JiD.6Ji

49、曲線y=x?-2x與x軸所圍平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積是（）

A.JIB.6JI/15C.16JI/15D.32JI/15

50、點（1,0,-1）與（0,-1,1）之間的距離為（）

A.B.2C.31/2D.21/2

51、設曲面方程（P,Q）則用下列平面去截曲面，截線為拋物線的平面是

（）

A.Z=4B.Z=0C.Z=-2D.x=2

52.平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=l所得截線為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.兩相交直線

53.方程=0所表示的圖形為（）

A.原點（0,0,0）B.三坐標軸

C.三坐標軸D、曲面，但不可能為平面

54、方程3x2+3y2-z2=0表示旋轉曲面，它的旋轉軸是（）

A.X軸B.Y軸C.Z軸D.任一條直線

55.方程3x2-y2-2z2=l所確定的曲面是()

A.雙葉雙曲面B、單葉雙曲面C、橢圓拋物面D、圓錐曲面

二、填空題

1.求極限(x2+2x+5)/(x2+l)=()

2.求極限r(x3-3x+l)/(x-4)+l]=()

3.求極限x-2/(x+2)l/2=()

4.求極限[x/(x+l)]x=()

5.求極限(l-x)l/x二()

6.已知y二sinx-cosx,求y'|x二刀/6=()

7、已知P=巾sin巾+cos4/2,求dp/d力|i|)=JI/6=()

8、己知f(x)=3/5x+x2/5,求f'(0)=()

9、設直線y=x+a與曲線y=2arctanx相切，則()

10、函數產x'2-2x+3的極值是y(l)=()

11.函數y=2x3極小值與極大值分別是()

12.函數y=x2-2x-l的最小值為()

13.函數y=2x-5x2的最大值為()

14.函數f(x)=x2c-x在[T,1]上的最小值為()

15、點(0,1)是曲線y=ax3+bx2+c的拐點，則有b=()c=()

16.Jxxl/2dx=()

17、若F(x)=f(x),則JdF(x)=()

18、若/f(x)dx=x2e2x+c,則f(x)=()

19^d/dxS?arctantdt=()

20、已知函數f(x)=在點x=0連續(xù)，則a=()

21.JO2(x2+l/x4)dx=()

22.f49xl/2(l+xl/2)dx=()

23./031/2adx/(a2+x2)=()

24.JOIdx/(4-x2)l/2=()

25.J刀/3刀sin(〃/3+x)dx=()

26.J49xl/2(l+xl/2)dx=()

9,/2,/2

27>f4x(l+x)dx=()

28、J，49x,/2(l+x,/2)dx=()

29/?x,/2(l+x,?2)dx=()

30>f.i9x1/2(l+x,/2)dx=()

3L/49xl/2(l+xU2)dx=()

32.J49xl/2(l+xl/2)dx=()

33.滿足不等式|x-2|Vl的X所在區(qū)間為()

34、設f(x)=[x]+1,貝I]f(Ji+10)=()

35.函數Y=|*inx|的周期是()

36.y=sinx,y=cosx直線x=0,x=Ji/2所圍成的面積是()

37、y=3-2x?x2與x軸所圍成圖形的面積是()

38、心形線r=a(l+cosB)的全長為()

39、三點(1,1,2),(-1,1,2),(0,0,2)構成的三角形為()

4()、一動點與兩定點(2,3,1)和(4,5,6)等距離，則該點的軌跡方程是

()

41.求過點(3,0,?1),且與平面3x-7y+5z?12=0平行的平面方程是()

42.求三平面x+3y+z=l,2x-y-z=0,-x+2y+2z=0的交點是()

43.求平行于xoz面且經過(2,?5,3)的平面方程是()

44.通過Z軸和點(31,-2)的平面方程是()

45、平行丁X軸且經過兩點(4,(),-2)和(5,1,7)的平面方程是()

三、解答題

1.設Y=2X_5X2,問X等于多少時Y最大？并求出其最大值。

2.求函數y=x2-54/x.(x<0=的最小值。

3.求拋物線y=x2-4x+3在其頂點處的曲率半徑。

4.相對數函數y=lnx上哪一點處的曲線半徑最小？求出該點處的曲率半徑。

5.求y=x2與直線y=x及y=2x所圍圖形的面積。

6.求y=ex,y=e-x與直線x=l所圍圖形的面積。

7、求過(1,1,-1),(-2,-2,2)和(1,-1,2)三點的平面方程。

8、求過點(4,-1,3)且平行于直線(x-3)/2=y=(z-1)/5的直線方程。

9、求點(-1,2,0)在平面x+2y?z+l=0上的投影。

10^求曲線y=sinx,y=cosx直線x=0,x=n/2所圍圖形的面積。

11.求曲線y=3-2x-x2與x軸所圍圖形的面積。

12.求曲線y2=4(x-l)與y2=4(2-x)所圍圖形的面積。

13.求拋物線y=-x2+4x-3及其在點(0,3)和(3,0)得的切線所圍成的圖形狗面

積。9/4

14、求對數螺線r=eaO及射線0二?刀，0二刀所圍成的圖形的面積.

15、求位于曲線y二ex下方，該曲線過原點的切線的左方以及x軸上方之間的圖

形的面積。

16.求由拋物線y2=4ax與過焦點的弦所圍成的圖形面積的最小值。

17、求曲線yr?與x=y2繞y軸旋轉所產生旋轉體的體積。

18、求曲線產achx/a,x=0,y=(),繞x軸所產生旋轉體的體積。

19、求曲線x2+(y5尸=16繞x軸所產生旋轉體的體積。

20、求x2+y2=a2,繞x=-b,旋轉所成旋轉體的體積。

21.求橢圓x2/4+y2/6=l繞軸旋轉所得旋轉體的體積。

22、擺線x=a(l?sint),y=a(l-cost)的一拱，y=0所圍圖形繞y=2a(a>0)旋轉所得旋轉

體體積。

23.計算曲線上相應于的一段弧的長度。

24.〃?算曲線y=x/3(3-x)上相應丁1WXW3的一段弧的長度。

25.計算半立方拋物線y2=2/3(x-l)3被拋物線y2=x/3截得的一段弧的長度。

26.計算拋物線y2=2px從頂點到這典線上的一點M(x,y)的弧長。

27、求對數螺線r=ea"自0=0至lj0二3的一段弧長。

28、求曲線「。二1自0二3/4至04/3的一段弧長。

29、求心形線r=a(l+cos。)的全長。

30、求點M(4,-3,5)與原點的距離。

31.在yoz平面上,求與三已知點A(3,1,2),B(4,-2,-2)和C(0,5,1)等距

離的點。

32.設U=a-b+2c,V=-a+3b-c,試用a,b,c表示2U-3V。

33.一動點與兩定點(2,3,1)和(4,5,6)等距離。求這動點的軌跡方程。

34.將xoz坐標面上的拋物線z2=5x繞軸旋轉一周，求所生成的旋軸曲方程。

35、將xoy坐標面上的圓x2+y2=9繞Z軸旋轉一周，求所生成的旋轉曲面的方程。

36、將xoy坐標面上的雙曲線4x2-9y2=36分別繞x軸及y軸旋轉一周，求所生

成的旋轉曲面的方程。

37、求球面x2+y2+z2=9與平面x+z=l的交線在xoy面上的投影方程。

38、求球體x2+(y-l)2+(z-2)2^9在xy平面上的投影方程。

39、求過點(3,0,-1),且與平面3x?7x+5z-12=0平行的平面方程.

40、求過點M0(2,9,-6)且與連接坐標原點及點M0的線段OMO垂直的平面方

程。

41.求過(1,1,1),(2-2,2)和(1,-1,2)三點的平面方程。

42、一平面過點(1,0,-1)且平行于向量a=｛2』』｝和b=｛試求這平面方

程。

43.求平面2xy+2z8=()及x+y+z10=()夾角弦。

44.求過點(4,-1,3)且平行于直線(x-3)/2=y=(z-1)/5的直線方程。

45.求過兩點M(3,-2,1)和M(-1,0,2)的直線方程。

46.求過點(0,2,4)且與兩平面x+2z=l和y-3z=z平行的直線方程。

47、求過點(3,1,-2)且通過直線(x-4)/5=(y+3)/2+z/l的平面方程。

48、求點(-1,2,0)在平面x+2y-z+l=0上的投影。

49、求點P(3,-1,2)到直線x十2y-z+1=()的距離。

5()、求直線2x-4y+z=0,3X-y-2z=()在平面4x-y+z=l上的投影直線的方程。

四、證明題

1.證明不等式：

2.證明不等式

3.設，g(x)區(qū)間上連續(xù),g(x)為偶函數，且滿足條件

證明：

4.設n為正整數，證明

5.設是正值連續(xù)函數，則曲線在上是凹的。

6.證明：

7.設是定義在全數軸上，且以T為周期的連續(xù)函數,a為任意常數，則

「j\x)dx=￡f(x)dx

JaJO

8.若是連續(xù)函數，則

9.設，在上連續(xù)，證明至少存在一個使得

f(^g(x)dx=/(幻。1

10.設在上連續(xù)，證明：

11.設在上可導，且，證明：

bM

ff(x)dx<-(b-a)2

12

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《高等數學》練習測試題庫參考答案

選擇題

1------10ABABDCCDAA

11——20ABABBCAADC

21——30DCDAABCCCA

31——40BABDDCCAAD

41——50ABCDDCACCA

51------55DDCCA

填空題

1.2

2.3/4

3.0

4.e-1

5.e-1

6.(31/2+1)/2

7.(1+)

8.9/25

9.-1或1-

10.2

11.-1,0

12.-2

13.1/5

14.0

15.0,1

16.C+2x3/2/5

17.F(x)+C

18.2xe(1+x)

19.0

20.0

21.21/8

22.271/6

23./3a

24./6

25.0

26.2(31/2-1)

27./2

28.2/3

29.4/3

30.21/2

31.0

32.3/2

33.(1,3)

34.14

35.

36.7/6

3732/3

38.8a

39.等腰直角

40.4x+4y+10z-63=0

41.3x-7y+5z-4=0

42.(1,-1,3)

43.y+5=0

44.x+3y=0

45.9x-2y-2=0

三.解答題

1.當X=l/5時，有最大值1/5

2.X=-3時，函數有最小值27

3.R=l/2

4.在點(，?)處曲率半徑有最小值3X31/2/2

5.7/6

6.e+l/e-2

7.x-3y-2z=0

8.(x-4)/2=(y+l)/l=(z-3)/5

9.(-573,2/3,2/3)

10.2(21/2-1)

11.32/3

12.4X21/2/3

13.9/4

a~,2ftc-2a\

1/4t.——(a-e)

4

15.e/2

16.8a2/3

17.3Ji/10

7ra2a+^(e2-e-2)

18.—

4

19.160Ji2

20.2Ji2a2b

2L咀L

3

22.7Ji2a3

23.1+1/2In3/2

24.273-4/3

+>),+“2+),2

Zo.-+--為------

2p

27.J"，*

28.1n3/2+5/12

29.8a

30.5X21/2

31.(0,1,-2)

32.5a-llb+7c

33.4x+4y+10z-63=0

34.y2+z2=5x

35.x+y2+z2=9

36.x軸：4x2-9(y2+z2)=36y軸：4(x2+z2)-9y2=36

37.x2+y2(l-x)2=9z=0

38.x2+y2+(l-x)2^9z=O

39.3x-7y+5z-4=0

40.2x+9y-6z-121=0

41.x-3y-2z=0

42.x+y-3z-4=0

43.

44.==

45.==

46.==

47.8x-9y-22z-59=0

48.(-5/3,2/3,2/3)

49.

50.

四.證明題

1.證明不等式：

證明：令

則，

令/(?=0,得X=O

f(-l)=f(l)=V2,f(0)=l

貝lj1M/(x)MV2

上式兩邊對X在上積分，得不出右邊要證的結果，因此必須對f(x)進行分析，顯

然有于是

dx<+<J：(1+爐)dx,故

2<^yl\+x4dx<-

i3

2.證明不等式

證明：顯然當時，(n>2)有

1

1I1—7t

1<,=一W<--,=arcsinA

J()2=T

J-"yl\-x22Jo1-x206

即,

3.設，g(x)區(qū)間上連續(xù),g(x)為偶函數，且滿足條件

證明：

證明：

f,f(x)g(xWx令x=u-Cf(-u)g(-u)du=/f(r)g(xWx

J-a=JaJO

「J(x)g(x世二(-x)g(x世+rf(x)g(x)ca=￡[/(%)+f(-x)]^x)dx=A[^x)dx

4.設n為正整數，證明

證明：令t=2x,有