第23頁(yè)（共23頁(yè)）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)同步經(jīng)典題精練之正多邊形和圓一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?汕尾期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的邊長(zhǎng)是2，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．3 B．2 C．22 D．2．（2024秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在正n邊形A1A2A3?An中，∠A1A4A5的度數(shù)是（）A．n-3n?180° B．n-3n3．（2024秋?江陰市期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．相等的圓周角所對(duì)的弧相等 C．各邊都相等的多邊形是正多邊形 D．三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等4．（2024秋?橋西區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)G為DE邊上一點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，CG，則△AFG與△CDG的面積和為（）A．4 B．33C．23 D．隨點(diǎn)G5．（2024秋?涼州區(qū)期末）如圖，正三角形和正方形分別內(nèi)接于等圓⊙O1和⊙O2，若正三角形的周長(zhǎng)為m，正方形的周長(zhǎng)為n，則m與n的關(guān)系為（）A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能確定二．填空題（共5小題）6．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接CE，以E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與CE交于點(diǎn)F，連接AF，則∠AFE的度數(shù)是°．7．（2024秋?西湖區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內(nèi)接于⊙O，則∠DCH的度數(shù)為．8．（2024秋?廈門(mén)期末）正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，則該正六邊形的周長(zhǎng)是．9．（2024秋?婺城區(qū)期末）如圖，⊙O與正八邊形ABCDEFGH相切于點(diǎn)A、E，若⊙O的半徑為8，則AE的長(zhǎng)為（結(jié)果保留π）．10．（2024秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）小瑜在公園路邊她發(fā)現(xiàn)了一處被茂密植被遮住的正多邊形花壇．如圖，為了得出邊數(shù)，她將正多邊形的兩邊延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，測(cè)量出∠P＝36°，則可得出正多邊形的邊數(shù)n＝．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?麗水期末）已知：如圖，連結(jié)正五邊形ABCDE各條對(duì)角線，就得到一個(gè)五角星圖案．（1）求五角星頂角∠ADB的度數(shù)；（2）當(dāng)正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)DE＝2時(shí)，求五角星圖案內(nèi)部正五邊形MNLHK的邊HL的長(zhǎng)．12．（2024秋?昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的外接圓．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的扇形面積．13．（2024秋?溫州期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D不重合），求∠CPD的度數(shù)．14．（2024秋?興縣月考）如圖1，有一個(gè)亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該地基的平面示意圖可以近似地看作是半徑為5m的圓內(nèi)接正六邊形，求這個(gè)正六邊形地基的周長(zhǎng)．15．（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為BC上的一點(diǎn)，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為r，則陰影部分面積是；（3）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n＝．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)華東師大新版九年級(jí)同步經(jīng)典題精練之正多邊形和圓參考答案與試題解析題號(hào)12345答案BCDCA一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?汕尾期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的邊長(zhǎng)是2，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．3 B．2 C．22 D．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，求出正六邊形的邊長(zhǎng)，再求出∠AOB＝60°即可求出⊙O的半徑．【解答】解：正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，正六邊形的邊長(zhǎng)是2，如圖，連結(jié)OA，OB，∴∠AOB∴△AOB是等邊三角形，∵正六邊形的邊長(zhǎng)是2，∴AO＝BO＝AB＝2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線求出∠AOB＝60°是解答此題的關(guān)鍵．2．（2024秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在正n邊形A1A2A3?An中，∠A1A4A5的度數(shù)是（）A．n-3n?180° B．n-3n【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理得到正n邊形A1A2A3?An的內(nèi)角為(n-2)×180°n，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求得∠A1A4A3＝∠A4A1A2【解答】解：∵正n邊形A1A2A3?An的內(nèi)角為(n∴∠A2＝∠A3＝∠A3A4A5=(在四邊形A1A2A3A4中，∠A1A4A3＝∠A4A1A2=12[360°﹣2×(n-∴∠A1A4A5=(n-2)×180°n-1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．3．（2024秋?江陰市期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．相等的圓周角所對(duì)的弧相等 C．各邊都相等的多邊形是正多邊形 D．三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等【考點(diǎn)】正多邊形和圓；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；確定圓的條件；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；推理能力．【答案】D【分析】分別利用確定圓的條件、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)、圓周角定理、正多邊形的定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，故不符合題意；C、各邊都相等且各角也都相等的多邊形是正多邊形，故不符合題意；D、三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，確定圓的條件、三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?橋西區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)G為DE邊上一點(diǎn)，連接AG，F(xiàn)G，CG，則△AFG與△CDG的面積和為（）A．4 B．33C．23 D．隨點(diǎn)G【考點(diǎn)】正多邊形和圓；三角形的面積．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出PQ的長(zhǎng)，再根據(jù)S△AFG+S△CDG=12AF?GM+12CD?GN=12×2?GM+12×2?【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)G作AF的垂線，分別交AF、CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M、N，設(shè)正六邊形的中心為O，過(guò)點(diǎn)O作AF的垂線，分別交AFCD于點(diǎn)P、Q，則MN＝PQ，連接OC，在Rt△COQ中，OC＝2，CQ＝1，∴OQ=O∴MN＝PQ＝23，∴S△AFG+S△CDG=12AF?GM+1=12×2?GM+＝GM+GN＝MN＝23．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵．5．（2024秋?涼州區(qū)期末）如圖，正三角形和正方形分別內(nèi)接于等圓⊙O1和⊙O2，若正三角形的周長(zhǎng)為m，正方形的周長(zhǎng)為n，則m與n的關(guān)系為（）A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能確定【考點(diǎn)】正多邊形和圓；函數(shù)關(guān)系式；等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外接圓與外心．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】設(shè)兩個(gè)圓的半徑為R，根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系用含有R的代數(shù)式表示m，n，再比較m、n的大小即可．【解答】解：設(shè)兩個(gè)圓的半徑為R，如圖1，連接O1B，過(guò)點(diǎn)O1作O1D⊥BC，垂足為D，∵△ABC是⊙O1的內(nèi)接正三角形，∴∠BO1D＝60°，∴BD=32O1B=∴BC＝2BD=3R∴m＝3BC＝33R，如圖2，連接O2B，過(guò)點(diǎn)O2作O2E⊥BC，垂足為E，∵正方形ABCD是⊙O2的內(nèi)接正方形，∴∠BO2E＝45°，∴BE=22O2B=∴BC＝2BE=2R∴n＝4bc＝42R，由于33=27，42=∴m＜n．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，直角三角形的邊角關(guān)系以及函數(shù)關(guān)系式，掌握正多邊形與圓的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接CE，以E為圓心，EA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與CE交于點(diǎn)F，連接AF，則∠AFE的度數(shù)是54°．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】54．【分析】根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和得到∠AED＝∠CDE=(5-2)×180°5【解答】解：在正五邊形ABCDE中，∵∠AED＝∠CDE=(5-2)×180°5∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠CED=12×（180°﹣108∴∠AEF＝108°﹣36°＝72°，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE=12×（180°﹣72故答案為：54．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正五邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?西湖區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內(nèi)接于⊙O，則∠DCH的度數(shù)為9°．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；圓周角定理．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；推理能力．【答案】9°．【分析】根據(jù)正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內(nèi)接于⊙O，得到CH=CG，CD=CB，求得DH=【解答】解：∵正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內(nèi)接于⊙O，∴CH＝CH，CD＝CB，∴CH=CG，∴DH=∴∠DCE＝∠BCG，∵∠HCG=(5-2)×180°5=108°，∠DCB∴∠DCE＝∠BCG=12故答案為：9°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正五邊形和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?廈門(mén)期末）正六邊形內(nèi)接于半徑為1的圓，則該正六邊形的周長(zhǎng)是6．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；推理能力．【答案】6．【分析】根據(jù)正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑進(jìn)行解答即可．【解答】解：如圖，連接OB、OC，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝1，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝1，∴該正六邊形的周長(zhǎng)是6×1＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的正多邊形和圓，理解正六邊形被半徑分成六個(gè)全等的等邊三角形是解答此題的關(guān)鍵．9．（2024秋?婺城區(qū)期末）如圖，⊙O與正八邊形ABCDEFGH相切于點(diǎn)A、E，若⊙O的半徑為8，則AE的長(zhǎng)為6π（結(jié)果保留π）．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；弧長(zhǎng)的計(jì)算；切線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；正多邊形與圓；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】6π．【分析】連接OA、OE、OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OAH＝∠OEF＝90°，分別計(jì)算出六邊形與八邊形的內(nèi)角和，即可推出結(jié)果．【解答】解：如圖，連接OA、OE，∵⊙O與正八邊形ABCDEFGH相切于點(diǎn)A，E，∴∠OAH＝∠OEF＝90°，∵六邊形AHGFEO的內(nèi)角和為（6﹣2）×180°＝720°，∠H＝∠G＝∠F＝（8﹣2）×180÷8＝135°，∴∠AOE＝720°﹣90°×2﹣135°×3＝135°，∴AE的長(zhǎng)為135π×8180故答案為：6π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）小瑜在公園路邊她發(fā)現(xiàn)了一處被茂密植被遮住的正多邊形花壇．如圖，為了得出邊數(shù)，她將正多邊形的兩邊延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，測(cè)量出∠P＝36°，則可得出正多邊形的邊數(shù)n＝5．【考點(diǎn)】正多邊形和圓．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；幾何直觀．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)∠P＝36°，求出∠PAB+∠PBA，結(jié)合正多邊形的每個(gè)外角都相等求出外角，結(jié)合外角和求解即可得到答案．【解答】解：∵正多邊形的兩邊延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，且∠P＝36°，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣36°＝144°，∵圖形是正多邊形花壇，∴∠PAB∴n=故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?麗水期末）已知：如圖，連結(jié)正五邊形ABCDE各條對(duì)角線，就得到一個(gè)五角星圖案．（1）求五角星頂角∠ADB的度數(shù)；（2）當(dāng)正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)DE＝2時(shí)，求五角星圖案內(nèi)部正五邊形MNLHK的邊HL的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；相似三角形的判定與性質(zhì)；多邊形的對(duì)角線．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；圖形的相似；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）36°；（2）五角星圖案內(nèi)部正五邊形MNLHK的邊HL的長(zhǎng)為5-1【分析】（1）先求得正五邊形的內(nèi)角和，從而得出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；（2）先求得正五邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于108°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得∠EDA＝∠DEC＝36°，∠DHL＝∠DLH＝72°，則DH＝DL＝EH，EL＝ED＝2，設(shè)DH＝DL＝EH＝x，則HL＝2﹣x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝（5﹣2）×180°×15∴∠ADB＝108°-12×（180°﹣108°）×2（2）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AE＝DE＝DC＝BC，∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝180°-360°5∴∠EDA＝∠EAD＝∠DEC＝∠DCE＝∠CDB＝∠CBD＝36°，∴∠HDL＝36°，∠DHL＝∠DEC+∠EDA＝72°，∠DLH＝∠DCE+∠CDB＝72°，∴∠DHL＝∠DLH，∠EDL＝∠ELD＝72°，∴DH＝DL＝EH，EL＝ED＝2，設(shè)DH＝DL＝EH＝x，則HL＝2﹣x，∵∠HDL＝∠DEL，∠HLD＝∠DLE，∴△HDL∽△DEL，∴DLEL∴EL?HL＝DL2＝x2＝2×（2﹣x），解得x1=5-1，x2=∴五角星圖案內(nèi)部正五邊形MNLHK的邊HL的長(zhǎng)為5-1【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正多邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)與方法，證明△HDL∽△DEL是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的外接圓．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的扇形面積．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算；正方形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】正多邊形與圓；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）⊙O的半徑是22；（2）2π．【分析】（1）由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O為外心，得到CD＝4，△OCD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OC＝OD=22CD＝2（2）根據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，O為外心，∴CD＝4，△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝OD=22CD＝2∴⊙O的半徑是22；（2）∵⊙O是邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的外接圓，∴∠COD=360°4∴圖中陰影部分的扇形面積=90π×(2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，熟練掌握正多邊形和圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?溫州期末）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為DE上的一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)D不重合），求∠CPD的度數(shù)．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；圓周角定理．【專(zhuān)題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；推理能力．【答案】36°．【分析】由正多邊形的中心角相等求出∠COD，由圓周角定理即可求出∠CPD的度數(shù)．【解答】解：連接OC，OD，∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠COD=360°5∴∠CPD=12∠COD＝【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，正多邊形和圓，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，正多邊形的性質(zhì)．14．（2024秋?興縣月考）如圖1，有一個(gè)亭子，它的地基的平面示意圖如圖2所示，該地基的平面示意圖可以近似地看作是半徑為5m的圓內(nèi)接正六邊形，求這個(gè)正六邊形地基的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；正多邊形與圓；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】30m．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB∵OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB＝OA＝5m，∴正六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)＝6×5＝30（m），答：這個(gè)正六邊形地基的周長(zhǎng)為30m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．15．（2024秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為BC上的一點(diǎn)，連接DP，CP．（1）求∠CPD的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為r，則陰影部分面積是14（π﹣2）r2（3）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，CP是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，則n＝8．【考點(diǎn)】正多邊形和圓；扇形面積的計(jì)算；正方形的性質(zhì)；圓周角定理．【專(zhuān)題】矩形菱形正方形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；正多邊形與圓；與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力．【答案】（1）45°；（2）14（π﹣2）r2（3）8．【分析】（1）連接OD，OC，根據(jù)正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，結(jié)合圓周角定理可得∠CPD；（2）根據(jù)陰影部分面積＝扇形COD的面積﹣三角形COD的面積，代入值計(jì)算即可；（3）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出∠COP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）如圖，連接OD，OC，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴∠DPC（2）∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DOC＝90°，∵⊙O的半徑為r，∴陰影部分面積＝扇形COD的面積﹣三角形COD的面積=14×π×r2-12r2=14（故答案為：14（π﹣2）r2（3）如圖，連接PO，OB，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，∴CP=∴∠COP∴n＝360÷45＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，正確掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．函數(shù)關(guān)系式用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個(gè)字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書(shū)寫(xiě)時(shí)有順序性，例如，y＝x+9時(shí)表示y是x的函數(shù)，若寫(xiě)成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE4．等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．5．等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒ǎ话愕?，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．6．多邊形的對(duì)角線（1）多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．（2）n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可引出（n﹣3）條對(duì)角線．從n個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)引出（n﹣3）條，而每條重復(fù)一次，所以n邊形對(duì)角線的總條數(shù)為：n（n﹣3）2（n≥3，且n為整數(shù)）（3）對(duì)多邊形對(duì)角線條數(shù)公：n（n﹣3）2的理解：n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對(duì)角線，故可連出（n﹣3）條．共有n個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n（n﹣3）條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以再除以2．（4）利用以上公式，求對(duì)角線條數(shù)時(shí)，直接代入邊數(shù)n的值計(jì)算，而計(jì)算邊數(shù)時(shí)，需利用方程思想，解方程求n．7．正方形的性質(zhì)（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質(zhì)①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．④兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．8．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．9．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫(huà)一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過(guò)一點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)兩點(diǎn)也能畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫(huà)且只能畫(huà)一個(gè)圓．10．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說(shuō)明：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．11．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用切線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常常作的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造直角三