湖南省郴州市2024-2025學年高二下學期3月份聯(lián)考數(shù)學試題學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B． C． D．22．在平面直角坐標系中，已知直線l的方向向量為，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．某校文藝匯演上有一個合晿節(jié)目，3名女同學和4名男同學需從左至右排成一排上臺演唱，則男生甲與女生乙相鄰，且男生丙與女生丁相鄰的排法種數(shù)為（

）A．194 B．240 C．388 D．4804．已知是等差數(shù)列的前項和，且，則（

）A．55 B．50 C．100 D．585．曲線在處的切線方程為（

）A． B． C． D．6．已知圓與過點的直線l交于A，B兩點，則弦的長度的最小值為（

）A． B． C． D．7．2025年春節(jié)期間，有《封神第二部：戰(zhàn)火西岐》《哪吒之魔童鬧?！贰短铺?900》《熊出沒?重啟未來》和《射雕英雄傳：俠之大者》五部電影上映，小羅準備和另外3名同學去隨機觀看這五部電影中的某一部電影，則小羅看《哪吒之魔童鬧海》，且4人中恰有兩人看同一部電影的概率為（

）A． B． C． D．8．過橢圓上一點P，分別向圓和圓作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．若，則的最小值為B．函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱C．存在，使得為偶函數(shù)D．函數(shù)在區(qū)間上的值域與在區(qū)間上的值域相同10．已知為隨機事件，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，則C．若相互獨立，則D．若，則11．已知數(shù)列滿足，且，，數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B．是等比數(shù)列C．時， D．不存在，使得為整數(shù)三、填空題12．的展開式中常數(shù)項為．13．已如隨機變量取所有的值是等可能的，且，則．14．已知對于任意的，存在，使得不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項和．16．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，且，M為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．2025年的農(nóng)歷新年里，某市傳統(tǒng)民俗文化廟會在歷史文化街區(qū)舉辦．廟會設(shè)有7個傳統(tǒng)手工藝展示區(qū)、11個地方美食攤位區(qū)和3個民俗表演舞臺區(qū)，街區(qū)總面積約2萬平方米．游客可選擇乘坐復(fù)古三輪車、騎共享單車或者步行來逛廟會．(1)若游客甲準備在7個傳統(tǒng)手工藝展示區(qū)和3個民俗表演舞臺區(qū)中隨機選取2個區(qū)域游覽，設(shè)甲參觀傳統(tǒng)手工藝展示區(qū)的數(shù)量為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)為了解游客體驗感受，主辦方隨機詢問了350名首次逛廟會且只選擇一種游覽方式的游客，其游覽方式和游覽結(jié)果的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：游覽方式游覽結(jié)果復(fù)古三輪車共享單車步行逛完所有區(qū)域405030未逛完所有區(qū)域2070140以頻率估計概率，若游客乙首次逛廟會，選擇上述三種游覽方式中的一種，求游覽結(jié)束時乙能逛完所有區(qū)域的概率．18．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．19．如圖，已知曲線，曲線的左、右焦點分別是，，且是曲線的焦點，點P是與在第一象限內(nèi)的公共點且，過的直線l分別與曲線和交于點和．(1)求點的坐標及曲線的方程；(2)若與面積分別是，，求的最小值．《湖南省郴州市2024-2025學年高二下學期3月份聯(lián)考數(shù)學試題》參考答案題號12345678910答案BADACDCBACACD題號11答案ABD1．B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法及乘法公式計算化簡，再結(jié)合模長公式計算即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足，則，則.故選：B.2．A【分析】由方向向量求出斜率，即可得出傾斜角.【詳解】因為直線l的方向向量為，所以直線的斜率，所以直線l的傾斜角為.故選：A.3．D【分析】根據(jù)相鄰問題捆綁法進行求解即可.【詳解】因為男生甲與女生乙相鄰，且男生丙與女生丁相鄰，所以先將男生甲與女生乙、男生丙與女生丁分別看作一個整體，與剩下3名學生進行排列有種排法，又男生甲與女生乙之間有種排法，男生丙與女生丁之間有種排法，因此根據(jù)乘法原理得所求種數(shù)為，故選：D4．A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題意，.故選：A.5．C【分析】求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】，則，所以曲線在處的切線方程為，即.故選：C.6．D【分析】記圓心為，由相交弦長和圓的半徑及圓心到過的直線的距離之間的勾股關(guān)系，求出弦長的最小值即可.【詳解】由題意，圓的方程可化為，圓心坐標為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則過的直線與圓的相交弦長，當直線與所在直線垂直時，最大，此時，當最大時，最小，所以最小的弦長.故選：D.7．C【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足小羅看《哪吒之魔童鬧?！?，且4人中恰有兩人看同一部電影的方案數(shù)，最后根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.【詳解】依題意每位同學均有種選擇，則四位同學一共有種方案，若小羅看《哪吒之魔童鬧?！?，且4人中恰有兩人看同一部電影，有兩人看《哪吒之魔童鬧?！?，則有種方案，有一人看《哪吒之魔童鬧?！冯娪埃瑒t有種方案，即滿足小羅看《哪吒之魔童鬧海》，且4人中恰有兩人看同一部電影一共有種方案，所以所求概率.故選：C.8．B【分析】由已知可得，設(shè)，則，則，進而可得，可求最小值.【詳解】由，可得，，所以，，由，可得，半徑為，由，可得，半徑為，由橢圓的定義，設(shè)，則，則，則，所以.故選：B.9．AC【分析】先利用輔助角公式化簡，根據(jù)平移變換的原則結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性即可判斷B；根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性即可判斷C；分別求出兩個函數(shù)的值域即可判斷D.【詳解】，對于A，令，則，所以，則，所以，故A正確；對于B，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得，因為，所以平移后的函數(shù)圖象不關(guān)于原點對稱，故B錯誤；對于C，，要使為偶函數(shù)，則，所以，又因為，所以，所以存在，使得為偶函數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以，所以，因為，所以，故D錯誤.故選：AC.10．ACD【分析】根據(jù)互斥事件的概率公式即可判斷AB；根據(jù)相互獨立事件的乘法公式即可判斷C；根據(jù)條件概率公式即可判斷D.【詳解】對于A，若為互斥事件，則，故A正確；對于B，若為互斥事件，則，，故B錯誤；對于C，若相互獨立，則，故C正確；對于D，若，則，所以，故D正確.故選：ACD.11．ABD【分析】根據(jù)遞推公式求出即可判斷A；根據(jù)遞推公式可得即可判斷B；利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項，再利用錯位相減法求出，再利用作差法即可判斷C；化簡即可判斷D.【詳解】對于A，，，故A正確；對于B，由，得，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故B正確；對于C，由B選項知，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，則，，兩式相減得，所以，，因為，所以，所以當時，，所以當時，，故C錯誤；對于D，，因為不同時為整數(shù)，所以，故D正確．故選：ABD．12．448【分析】首先求展開式的通項公式，再根據(jù)特征項，即可求解.【詳解】二項展開式的通項公式為，令，得，所以展開式的常數(shù)項為.故答案為：13．【分析】由題意可得，根據(jù)期望公式求出，再求出方差，再根據(jù)方差的性質(zhì)即可得解【詳解】由題意可得，則，解得，所以，所以.故答案為：.14．【分析】令，則，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的零點，進而求出的符號分別情況，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出，即可得解.【詳解】令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以又，且當時，，當時，，即，且當時，，當時，，所以存在唯一，使得，所以，故當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式與等比中項公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項公式；（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項，進而得，從而得到的通項公式，利用等差和等比數(shù)列前n項和公式分組求和即可求出.【詳解】（1）因為為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由，得，①由，，成等比數(shù)列得，則，②聯(lián)立①②解得或，又因為，則，所以．綜上．（2）由知，，又為公比是2的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.16．(1)證明見解析；(2)【分析】（1）連接，連，證明，再利用線面平行的判定推理作答.（2）取中點，連PO，證明平面，以點O為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量求線面角的正弦.【詳解】（1）連接，連，如圖，正方形中，N為的中點，而M為PD的中點，則，而平面，平面，所以平面.（2）取中點，連，如圖，正中，，，連接，因為，所以，所以，平面，則平面，在平面內(nèi)過O作，則射線兩兩垂直，以點O為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值是.17．(1)分布列見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望；（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運算求解.【詳解】（1）由題意知：所有可能取值為，則有：，，，可知的分布列為：012所以的數(shù)學期望為：.（2）記事件A為“游客乙乘坐復(fù)古三輪車游園”，事件為“游客乙騎共享單車游園”，事件為“游客乙步行游園”，事件為“游園結(jié)束時，乙能參觀完所有區(qū)域”，由題意可知：，，由全概率公式可得，所以游園結(jié)束時，乙能參觀完所有展園的概率為.18．(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，再分和兩種情況討論即可；（2）由（1）知，要使函數(shù)有兩個零點，則，則，進而可得出答案.【詳解】（1），當時，，所以函數(shù)在單調(diào)減區(qū)間為，當時，令，則，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，綜上所述，當時，在單調(diào)減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）由（1）知，要使函數(shù)有兩個零點，則，當時，，又當時，，當時，，因為函數(shù)有兩個零點，所以，令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又因為，所以不等式的解集為，所以實數(shù)的取值范圍為.19．(1)，的方程是(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求出點的橫坐標，再代入拋物線方程即可求出點的坐標，再將點的坐標代入橢圓方程求出，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，，將直線方程分別與拋物線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出，，求出點到直線的距離，再求出的表達式，進