6.3.1平面向量基本定理第六章

平面向量及其6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示整體感知[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1．理解平面向量基本定理及其意義，了解向量基底的含義．2．掌握平面向量基本定理，會(huì)用基底表示平面向量．3．會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問題．[討論交流]

預(yù)習(xí)教材P25－P27的內(nèi)容，思考以下問題：?jiǎn)栴}1．平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？問題2．基底中兩個(gè)向量滿足什么條件？[自我感知]經(jīng)過認(rèn)真預(yù)習(xí)，結(jié)合你對(duì)本節(jié)課的理解和認(rèn)識(shí)，請(qǐng)畫出本節(jié)課的知識(shí)邏輯體系．探究建構(gòu)探究1平面向量基本定理探究問題1如圖，設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么與e1，e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1，e2表示？依據(jù)是什么？

探究問題2如果e1，e2是共線向量，那么向量a能否用e1，e2表示？為什么？[提示]

不一定，當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示，否則不能表示．[新知生成]1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)______向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，____________實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．2．基底：若e1，e2______，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．不共線有且只有一對(duì)不共線【教用·微提醒】

(1)同一平面內(nèi)的基底有無數(shù)個(gè)，只要兩向量不共線即可．(2)當(dāng)基底確定后，任一向量的表示法是唯一的，即λ1，λ2是唯一確定的．4

√√BC

[由平面向量基本定理可知，AD的說法是正確的．對(duì)于B，由平面向量基本定理可知，若平面的基底確定，那么同一平面內(nèi)任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的．對(duì)于C，當(dāng)λ1＝λ2＝0或μ1＝μ2＝0時(shí)，結(jié)論不成立．]

[學(xué)以致用]

1．(1)(多選)設(shè){e1，e2}是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，能作為基底的是(

)A．e1＋e2和e1－e2

B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2(2)已知向量{a，b}是一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，則x－y＝________．√√√3

4

4

反思領(lǐng)悟

用基底表示向量的一般方法(1)根據(jù)平面向量基本定理可知，同一平面內(nèi)的任何一個(gè)基底都可以表示該平面內(nèi)的任意向量．用基底表示向量，實(shí)質(zhì)上是利用向量加法的三角形法則或平行四邊形法則，進(jìn)行向量的線性運(yùn)算．(2)基底的選取要靈活，必要時(shí)可以建立方程或方程組，通過方程或方程組求出要表示的向量．

2a＋ca＋b

4

4

4

反思領(lǐng)悟

利用向量解決幾何問題的一般思路(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基底．(2)將相關(guān)的向量用基底表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(3)利用向量知識(shí)進(jìn)行向量運(yùn)算，得向量問題的解．(4)將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解．[學(xué)以致用]

3．用向量方法證明：菱形對(duì)角線互相垂直．已知四邊形ABCD是菱形，AC，BD是其對(duì)角線．求證：AC⊥BD．

【教用·備選題】如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝2EB．求證：AD⊥CE4

4243題號(hào)1應(yīng)用遷移

√243題號(hào)1

23題號(hào)14

√

23題號(hào)41

√

243題號(hào)1

243題號(hào)1

1．知識(shí)鏈：(1)平面向量基本定理．(2)用基底表示向量．(3)平面向量基本定理的應(yīng)用．2．方法鏈：數(shù)形結(jié)合．3．警示牌：注意基底中的向量必須是不共線的兩個(gè)向量．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．平面內(nèi)滿足什么條件的兩個(gè)向量可以構(gòu)成基底？[提示]平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量都可以構(gòu)成一個(gè)基底．2．若存在實(shí)數(shù)λ1，λ2，μ1，μ2及不共線的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，則λ1，λ2，μ1，μ2有怎樣的大小關(guān)系？[提示]由題意λ1e1＋λ2e