2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第30章二次函數(shù)30.2二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2二次函數(shù)y=ax2+c的圖像和性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄（新版）冀教版學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課主要講解二次函數(shù)y=ax^2+c的圖像和性質(zhì)，包括圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸等。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課內(nèi)容與九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第30章二次函數(shù)相關(guān)，學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課前已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的基本概念和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象能力，通過(guò)觀察和分析二次函數(shù)圖像，理解函數(shù)性質(zhì)與參數(shù)之間的關(guān)系。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)二次函數(shù)的性質(zhì)，并進(jìn)行合理推理。

3.提升直觀想象能力，通過(guò)圖形直觀理解二次函數(shù)圖像的幾何特征。

4.增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，將二次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握的相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)掌握了二次函數(shù)的基本概念，包括二次函數(shù)的定義、一般形式、頂點(diǎn)坐標(biāo)等。此外，學(xué)生還應(yīng)該熟悉一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，以及如何通過(guò)函數(shù)表達(dá)式分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：九年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍保持一定的興趣，尤其是對(duì)圖形和幾何問(wèn)題。他們的數(shù)學(xué)能力在逐步提高，能夠進(jìn)行一定的邏輯推理和抽象思考。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生可能更傾向于通過(guò)圖形直觀理解概念，而另一部分學(xué)生可能更習(xí)慣于通過(guò)代數(shù)方法解決問(wèn)題。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)y=ax^2+c的圖像和性質(zhì)時(shí)，可能會(huì)遇到以下困難：一是理解參數(shù)a和c對(duì)圖像形狀的影響，二是將函數(shù)性質(zhì)與實(shí)際情境相結(jié)合，三是從代數(shù)表達(dá)式到圖像的轉(zhuǎn)換過(guò)程中可能出現(xiàn)的思維障礙。此外，對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)，將二次函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較，可能會(huì)造成混淆。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有本節(jié)課所需的教材《數(shù)學(xué)》冀教版九年級(jí)下冊(cè)第30章內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的二次函數(shù)圖像變化趨勢(shì)的圖片、函數(shù)性質(zhì)對(duì)比的圖表，以及二次函數(shù)應(yīng)用實(shí)例的視頻。

3.實(shí)驗(yàn)器材：無(wú)實(shí)驗(yàn)器材需求。

4.教室布置：布置教室環(huán)境，設(shè)置分組討論區(qū)，準(zhǔn)備白板或投影儀展示教學(xué)圖表和視頻。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、導(dǎo)入環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.創(chuàng)設(shè)情境：展示一組生活中的拋物線圖像，如拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡、建筑屋頂?shù)?，引?dǎo)學(xué)生思考這些圖像與數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)有何關(guān)聯(lián)。

2.提出問(wèn)題：引導(dǎo)學(xué)生回顧一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，提出問(wèn)題：“如果我們將一次函數(shù)的圖像進(jìn)行變形，會(huì)發(fā)生什么變化？”

3.學(xué)生回答：邀請(qǐng)學(xué)生分享自己的想法，教師總結(jié)并引出二次函數(shù)的概念。

二、講授新課（20分鐘）

1.二次函數(shù)的定義：介紹二次函數(shù)的定義，強(qiáng)調(diào)其一般形式y(tǒng)=ax^2+c，并講解a、c對(duì)圖像的影響。

2.二次函數(shù)的圖像：展示二次函數(shù)圖像的典型形狀，講解開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸等性質(zhì)。

3.參數(shù)a的講解：重點(diǎn)講解參數(shù)a對(duì)圖像的影響，通過(guò)實(shí)例演示a的正負(fù)、大小對(duì)圖像的開口方向和寬度的影響。

4.參數(shù)c的講解：講解參數(shù)c對(duì)圖像的影響，通過(guò)實(shí)例演示c的正負(fù)、大小對(duì)圖像的上下平移的影響。

5.二次函數(shù)的性質(zhì)：講解二次函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等，并舉例說(shuō)明。

三、鞏固練習(xí)（15分鐘）

1.練習(xí)一：給出幾個(gè)二次函數(shù)，要求學(xué)生根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判斷圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸。

2.練習(xí)二：給出幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題，要求學(xué)生利用二次函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題。

3.學(xué)生討論：分組討論，分享解題思路，教師巡視指導(dǎo)。

四、課堂提問(wèn)（5分鐘）

1.提問(wèn)一：二次函數(shù)與一次函數(shù)有何區(qū)別？

2.提問(wèn)二：如何根據(jù)二次函數(shù)的表達(dá)式判斷其圖像的開口方向？

3.提問(wèn)三：二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用有哪些？

五、師生互動(dòng)環(huán)節(jié)（5分鐘）

1.教師提問(wèn)：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，檢查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度。

2.學(xué)生提問(wèn)：鼓勵(lì)學(xué)生提出疑問(wèn)，教師解答并引導(dǎo)學(xué)生深入思考。

3.教師總結(jié)：對(duì)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

六、核心素養(yǎng)能力的拓展要求（5分鐘）

1.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力：引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出二次函數(shù)模型，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力：通過(guò)分析二次函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

3.培養(yǎng)直觀想象能力：通過(guò)觀察二次函數(shù)圖像，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

4.增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)：引導(dǎo)學(xué)生將二次函數(shù)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，提高解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)雙邊互動(dòng)，緊扣實(shí)際教學(xué)過(guò)程中需要凸顯的重難點(diǎn)，解決問(wèn)題及核心素養(yǎng)能力的拓展要求。用時(shí)共計(jì)45分鐘。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用》：介紹二次函數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用案例，如拋物線運(yùn)動(dòng)、建筑設(shè)計(jì)、成本分析等。

-《二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律》：探討二次函數(shù)圖像的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸等參數(shù)變化對(duì)圖像的影響，以及這些變化在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

-《二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系》：分析二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，包括函數(shù)的零點(diǎn)、圖像與方程解的關(guān)系等。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試自己繪制二次函數(shù)的圖像，并觀察不同參數(shù)對(duì)圖像的影響。

-通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)或圖書館資源，查找二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用案例，撰寫小論文或報(bào)告。

-嘗試解決一些與二次函數(shù)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，如計(jì)算拋物線運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)、最遠(yuǎn)距離等。

-探究二次函數(shù)在幾何證明中的應(yīng)用，如證明拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離。

-設(shè)計(jì)一些與二次函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)游戲或教學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)興趣和參與度。

3.知識(shí)點(diǎn)全面拓展：

-研究二次函數(shù)的對(duì)稱性，探討對(duì)稱軸與參數(shù)的關(guān)系。

-探究二次函數(shù)圖像的切線問(wèn)題，如切線方程的求解、切線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)等。

-研究二次函數(shù)的最值問(wèn)題，包括求函數(shù)的最大值或最小值的方法。

-分析二次函數(shù)圖像的凹凸性，探討參數(shù)對(duì)圖像凹凸性的影響。

-探究二次函數(shù)與坐標(biāo)系的關(guān)系，如函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、切點(diǎn)等。

4.實(shí)用性強(qiáng)的拓展活動(dòng)：

-組織學(xué)生進(jìn)行小組合作，共同解決實(shí)際問(wèn)題，如設(shè)計(jì)拋物線運(yùn)動(dòng)軌跡、計(jì)算建筑物的屋頂面積等。

-利用二次函數(shù)的知識(shí)，分析現(xiàn)實(shí)生活中的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)，如成本函數(shù)、收益函數(shù)等。

-設(shè)計(jì)二次函數(shù)圖像的動(dòng)態(tài)變化實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察函數(shù)參數(shù)變化對(duì)圖像的影響。

-開發(fā)二次函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件或應(yīng)用程序，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

1.回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)y=ax^2+c的圖像和性質(zhì)，包括開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸等。

2.總結(jié)參數(shù)a和c對(duì)圖像的影響，指出a決定開口方向和寬度，c決定圖像的上下平移。

3.強(qiáng)調(diào)二次函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等，并舉例說(shuō)明其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

4.鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的應(yīng)用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

當(dāng)堂檢測(cè)：

1.選擇題（每題2分，共10分）

-二次函數(shù)y=2x^2-3x+1的圖像開口方向是（）

A.向上B.向下C.向左D.向右

-二次函數(shù)y=-x^2+4x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(1,-4)B.(2,-3)C.(3,0)D.(1,0)

-二次函數(shù)y=x^2+2x+1的對(duì)稱軸是（）

A.x=1B.x=-1C.y=1D.y=-1

-二次函數(shù)y=3x^2-4的圖像（）

A.無(wú)頂點(diǎn)B.頂點(diǎn)在x軸上C.頂點(diǎn)在y軸上D.無(wú)對(duì)稱軸

-二次函數(shù)y=-x^2+4x+3的極值是（）

A.3B.-3C.0D.無(wú)極值

2.填空題（每題2分，共10分）

-二次函數(shù)y=ax^2+c的開口方向是______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，對(duì)稱軸是______。

-二次函數(shù)y=2x^2-4x+3的極值是______，最大（?。┲迭c(diǎn)坐標(biāo)是______。

-二次函數(shù)y=-x^2+3x-2的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是______。

3.解答題（每題5分，共15分）

-給定二次函數(shù)y=x^2-6x+9，求：

1)該函數(shù)的圖像開口方向；

2)該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

3)該函數(shù)的對(duì)稱軸。

-給定二次函數(shù)y=-2x^2+8x-3，求：

1)該函數(shù)的圖像開口方向；

2)該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

3)該函數(shù)的對(duì)稱軸；

4)該函數(shù)的極值。板書設(shè)計(jì)①二次函數(shù)y=ax^2+c的圖像和性質(zhì)

-二次函數(shù)定義：y=ax^2+c，a≠0

-開口方向：a>0時(shí)開口向上，a<0時(shí)開口向下

-頂點(diǎn)坐標(biāo)：(0,c)

-對(duì)稱軸：x=0（y軸）

-函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值

②參數(shù)a和c對(duì)圖像的影響

-a的影響：決定開口方向和寬度

-c的影響：決定圖像的上下平移

③二次函數(shù)的性質(zhì)

-單調(diào)性：開口向上時(shí)，x遞增，y遞增；開口向下時(shí)，x遞增，y遞減

-極值：開口向上時(shí)，頂點(diǎn)為最小值點(diǎn)；開口向下時(shí)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)

-函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)：解一元二次方程ax^2+c=0，得到x的值

④二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

-拋物線運(yùn)動(dòng)：計(jì)算拋物線運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)、最遠(yuǎn)距離等

-建筑設(shè)計(jì)：計(jì)算建筑物的屋頂面積、設(shè)計(jì)拋物線屋頂

-經(jīng)濟(jì)學(xué)：成本函數(shù)、收益函數(shù)等經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)的分析

⑤二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

-二次函數(shù)的零點(diǎn)：解一元二次方程ax^2+bx+c=0，得到x的值

-二次函數(shù)圖像與方程解的關(guān)系：函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)方程的解反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.創(chuàng)設(shè)情境教學(xué)：在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我嘗試通過(guò)展示生活中的拋物線圖像，激發(fā)學(xué)生的興趣，讓他們能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活聯(lián)系起來(lái)，這是一種創(chuàng)新的教學(xué)方式。

2.多媒體輔助教學(xué)：在講解二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，我使用了多媒體資源，如圖片、圖表和視頻，這些資源不僅使課堂更加生動(dòng)，而且有助于學(xué)生更好地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問(wèn)題

1.學(xué)生對(duì)二次函數(shù)性質(zhì)的理解不夠深入：在課堂練習(xí)和提問(wèn)中，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)理解不夠透徹，尤其是對(duì)于開口方向和對(duì)稱軸的理解。

2.學(xué)生實(shí)踐應(yīng)用能力有待提高：盡管我在課堂上強(qiáng)調(diào)了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，但學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力仍然有限，他們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)顯得有些吃力。

3.課堂互動(dòng)不足：雖然我嘗試了師生互動(dòng)，但整體上課堂互動(dòng)還不夠充分，有些學(xué)生參與度不高，這可能影響了教學(xué)效果。

反思改進(jìn)措施（三）

1.深化二次函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)：為了幫助學(xué)生更好地理解二次函數(shù)的性質(zhì)，我計(jì)劃在接下來(lái)的教學(xué)中，通過(guò)更多的實(shí)例和練