2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．如圖所示的組合體，則由下列所示的哪個(gè)三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周可以得到（

）A． B． C． D．2．用斜二測(cè)畫法畫出水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的，已知，則的面積為（

）A． B． C．8 D．3．某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（

）A． B． C． D．4．沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)儀器，根據(jù)沙子從一個(gè)容器漏到另一容器的時(shí)間來計(jì)時(shí)．如圖，沙漏可視為上下兩個(gè)相同的圓錐構(gòu)成的組合體，下方的容器中裝有沙子，沙子堆積成一個(gè)圓臺(tái)，若該沙漏高為6，沙子體積占該沙漏容積的，則沙子堆積成的圓臺(tái)的高（

）A．1 B． C． D．5．已知某圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．6．一個(gè)高為的直三棱柱容器內(nèi)裝有水，將側(cè)面水平放置如圖（1），水面恰好經(jīng)過棱，，，的中點(diǎn)，現(xiàn)將底面水平放置如圖（2），則容器中水面的高度是（

）A． B． C． D．7．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則的一個(gè)充分條件是（

）A． B．C． D．8．在空間四邊形中，分別為邊上的點(diǎn)，且，又分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面，且四邊形EFGH是矩形B．平面，且四邊形EFGH是梯形C．平面，且四邊形EFGH是菱形D．平面，且四邊形EFGH是平行四邊形二、多選題（本大題共3小題）9．如圖所示為四邊形的平面圖，其中，，，，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖四邊形，其中，則下列說法正確的是（

）A． B．C．四邊形為等腰梯形 D．四邊形的周長為10．正四棱錐的底面積為3，外接球的表面積為，則正四棱錐的體積為（

）A． B． C． D．11．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）

A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等三、填空題（本大題共3小題）12．如下圖，三角形A'B'C'是三角形ABC的直觀圖，則三角形ABC的面積是.13．已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的側(cè)面積為．14．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則取得最小值．當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為．

四、解答題（本大題共5小題）15．如圖所示，四邊形和四邊形都是梯形，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)證明：四邊形是平行四邊形；(2)，，，四點(diǎn)是否共面？為什么？16．如圖，正四棱臺(tái)是一塊鐵料，上、下底面的邊長分別為40cm和80cm，，O分別是上、下底面的中心，棱臺(tái)高為60cm.(1)求正四棱臺(tái)的表面積；(2)若將這塊鐵料最大限度地打磨為一個(gè)圓臺(tái)，求圓臺(tái)的體積.17．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若為的中點(diǎn)，求證：平面平面.18．如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M，N，K分別為AB，PC，PA的中點(diǎn)，平面平面．(1)判斷直線l與BC的位置關(guān)系并證明；(2)求證：平面PAD；(3)直線PB上是否存在點(diǎn)H，使得平面平面ABCD?若存在，求出點(diǎn)H的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．如圖一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個(gè)底面半徑為x的內(nèi)接圓柱.(1)求此圓錐的表面積與體積；(2)試用x表示圓柱的高h(yuǎn)；(3)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的全面積最大，最大全面積為多少？

參考答案1．【答案】B【詳解】A旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，不滿足題意；B旋轉(zhuǎn)一周是兩個(gè)圓錐，滿足題意；C旋轉(zhuǎn)一周是圓錐，不滿足題意；D旋轉(zhuǎn)一周是圓柱挖去一個(gè)圓錐的幾何體，不滿足題意.故選：B.2．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以是直角三角形且，可得，所以的面積，則的面積．故選：A3．【答案】B【詳解】設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以.該圓錐體積為故選：B4．【答案】B【詳解】設(shè)沙漏下半部分的圓錐的容積為，沙子堆成的圓臺(tái)體積為，該圓錐內(nèi)沙子上方的剩余空間體積為．由題意可知，即，則，則下半部分圓錐剩余空間的高為圓錐高的一半，即沙子堆成的圓臺(tái)的高為圓錐高的一半，即圓臺(tái)的高為．故選：B5．【答案】D【詳解】設(shè)圓錐母線長為，由題意，所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：D6．【答案】C【分析】設(shè)直三棱柱的底面面積為，在圖中，設(shè)水面的高度為，根據(jù)圖和圖中水的體積相等可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】記棱，，，的中點(diǎn)依次為，設(shè)直三棱柱的底面面積為，在圖中，設(shè)水面的高度為，則水的體積為，在圖中，幾何體為直四棱柱，因?yàn)榉謩e為棱，，，的中點(diǎn)，所以，則水的體積為，解得.故選C.7．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由空間中線面關(guān)系以及線面平行的判定定理逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：由，可得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由可得，故C正確；對(duì)于D：由可得相交或，故D錯(cuò)誤.故選C.8．【答案】B【詳解】如圖所示，在平面內(nèi)，?，又平面，平面平面．分別是的中點(diǎn)，．又?，．在四邊形EFGH中，且?四邊形EFGH為梯形．故選：B．9．【答案】BC【詳解】由題意可畫出其直觀圖如下，其中，故A錯(cuò)誤，B正確；過點(diǎn)分別作，垂足分別為點(diǎn)，故，，故，則四邊形為等腰梯形，故C正確；故四邊形的周長為，即D錯(cuò)誤.故選：BC.10．【答案】AB【分析】先由外接球的表面積得到外接球半徑，連接AC、BD交于點(diǎn)E，分球心O在線段PE上和球心在PE的延長線上，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎睦忮F的底面積為3，所以底面邊長為3，又因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，所以球的半徑r為2.連接AC、BD交于點(diǎn)E，設(shè)球心為O，則，當(dāng)球心O在線段PE上時(shí)，則，所以正四棱錐的體積為；當(dāng)球心在線段PO的延長線上時(shí)，則，所以正四棱錐的體積為.故選AB.11．【答案】AD【詳解】對(duì)A，不妨取點(diǎn)與點(diǎn)重合，因?yàn)槠矫?，在平面?nèi)，且不過點(diǎn)，所以異面，即此時(shí)異面，A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以平面，所以平面，B正確，不符合題意；對(duì)C，易知，點(diǎn)到平面的距離為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，C正確；對(duì)D，記的中點(diǎn)分別為，連接，易知平面，平面，所以，因?yàn)?，是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，又平面，所以，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：AD

12．【答案】2【詳解】由直觀圖畫出原圖，如圖，可得是等腰三角形，且，所以三角形的面積.故答案為:2.13．【答案】【詳解】由題設(shè)，已知球?yàn)閳A柱的外接球，且球體半徑，圓柱高為，根據(jù)球的對(duì)稱性，圓柱底面半徑為，則圓柱側(cè)面積.故答案為：14．【答案】；.【詳解】將側(cè)面繞著旋轉(zhuǎn)，使得側(cè)面和側(cè)面在同一平面內(nèi)，如圖，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值.

當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，記的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，由正方體性質(zhì)可知，，所以為平行四邊形，所以，易知，所以為平行四邊形，所以，所以四點(diǎn)共面，即平面截正方體所得的截面為四邊形，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，所?故答案為：；.

15．【答案】(1)證明見解析(2)共面，理由見解析【詳解】（1）由，分別為，的中點(diǎn)，可得，又，，所以，四邊形為平行四邊形．（2），，，四點(diǎn)共面，理由如下：由題意易知，四邊形為平行四邊形，．由（1）知，，與共面．又，，，，四點(diǎn)共面．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖，正四棱臺(tái)的每個(gè)側(cè)面皆為全等的等腰梯形，分別取的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)M作于H，則，故，所以正四棱臺(tái)的表面積為；（2）若要這塊鐵料最大限度打磨為一個(gè)圓臺(tái)，則圓臺(tái)的上下底面圓與正四棱臺(tái)的上下底面正方形相切，高為正四棱臺(tái)的高，則圓臺(tái)的上底面半徑為20cm，下底面半徑為40cm，高為60cm，則圓臺(tái)的體積為.17．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）如圖：連接BD，設(shè)，連接OM，∵在正方體中，四邊形是正方形，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.（2）如圖：連接，NB，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，又，∴四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面由（1）知平面，，平面，平面，∴平面平面.18．【答案】(1)，證明見解析；(2)證明見解析；(3)存在，為中點(diǎn)，證明見解析.【詳解】（1）.依題意，，平面，平面，則平面，又平面平面，平面，所以.（2）取中點(diǎn)，連接，在中，在中，，則，即四邊形為平行四邊形，因此，平面，平面，所以平面.（3）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面平面證明如下：取的中點(diǎn)為，連接，在中，，平面，平面，則平面，同理可證，平面，又平面，，所以平面平面.19．【答案】(1)表面積，體積(2)，(3)當(dāng)時(shí)，.【詳解】（1）由，，得，所以，，故，；（2）由相似可得，得，；（3）記圓柱得全面積為S，，∵，∴當(dāng)時(shí)，.2024-2025學(xué)年廣東省深圳市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．已知是空間的一個(gè)基底，那么下列選項(xiàng)中不可作為基底的是（

）A． B．C． D．2．如圖所示，在四面體A－BCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，記，，，則等于（

）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，24．如圖，在平行六面體中，，，，則的長為（

）A． B．C． D．5．已知正方體的棱長為1，且，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，，則（

）A． B．3 C．2 D．57．已知正方體不在同一表面上的兩個(gè)頂點(diǎn)，，則正方體的體積為（

）A．32 B．64 C．48 D．8．已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．（多選）下面關(guān)于空間直角坐標(biāo)系的敘述正確的是（

）A．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱B．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱C．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱D．空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個(gè)部分10．已知向量，，，則（

）A． B．C． D．11．若直線的方向向量為，平面的法向量為，則不可能使的是（

）A．， B．，C．， D．，三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)、，C為線段AB上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為．13．已知，則．14．已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，．(1)求的長；(2)求和夾角的余弦值．16．已知向量，.(1)求；(2)求；(3)求.17．已知空間三點(diǎn)，，，設(shè)，．(1)若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，，求．18．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．證明：(1)平面；(2)平面平面．19．若，則稱為維空間向量集，為零向量，對(duì)于，任意，定義：①數(shù)乘運(yùn)算：；②加法運(yùn)算：；③數(shù)量積運(yùn)算：；④向量的模：，對(duì)于中一組向量，若存在一組不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)，(1)對(duì)于，判斷下列各組向量是否線性相關(guān)：①；②；(2)已知線性無關(guān)，試判斷是否線性相關(guān)，并說明理由；(3)證明：對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，均有，

參考答案1．【答案】B【詳解】對(duì)A：設(shè)，即，因?yàn)椴还裁妫什淮嬖趯?shí)數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底；對(duì)B：因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得，故共面，不可作為基底；對(duì)C：設(shè)，即，因?yàn)椴还裁?故不存在實(shí)數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底；對(duì)D：設(shè)，即，因?yàn)椴还裁?，故不存在?shí)數(shù)滿足，則不共面，可以作為基底.故選：B.2．【答案】A【詳解】連接AE，如圖所示，∵E是CD的中點(diǎn)，，，∴＝＝．在△ABE中，，又，∴.故選：A.3．【答案】D【分析】由A，B，C三點(diǎn)共線，得與共線，然后利用共線向量定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選D.4．【答案】A【詳解】平行六面體中，，因?yàn)?，，，，所以，所以，即的長為.故選：A.5．【答案】D【詳解】記x，y，z軸正方向上的單位向量分別為，，，則，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故選：D.6．【答案】B【詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，，所以．故選：B7．【答案】B【詳解】，又因?yàn)椋瑑牲c(diǎn)不在同一表面上，所以A，B兩點(diǎn)間的距離即為正方體的體對(duì)角線長.設(shè)正方體的邊長為a，則，即，所以正方體的體積為64.故選：B8．【答案】B【詳解】由，解得當(dāng)共線時(shí)，由，即解得，所以當(dāng)夾角為鈍角時(shí)，故選：B9．【答案】BD【詳解】點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，故錯(cuò)誤；點(diǎn)與關(guān)于y軸對(duì)稱，故正確；點(diǎn)與不關(guān)于平面對(duì)稱，故錯(cuò)誤；空間直角坐標(biāo)系中的三條坐標(biāo)軸組成的平面把空間分為八個(gè)部分，故正確．故選：.10．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故，故D正確.故選：BD11．【答案】ABC【分析】由題意得只需即可，然后逐個(gè)分析判斷.【詳解】若，則需，即，對(duì)于A，，所以A正確，對(duì)于B，，所以B正確，對(duì)于C，，所以C正確，對(duì)于D，，所以D錯(cuò)誤.故選ABC.12．【答案】【詳解】，，得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.13．【答案】【分析】利用空間向量的數(shù)量積、夾角公式計(jì)算可得答案.【詳解】，（舍去）．14．【答案】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】易知向量在向量上的投影向量為.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，又，，，，，