2024-2025學(xué)年河南省南陽市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．圓的圓心與半徑分別為（

）A．， B．，C．， D．，2．兩平行直線和之間的距離為（

）A． B．2 C． D．33．已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．4．經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且傾斜角是直線的傾斜角的兩倍的直線方程為（

）A． B． C． D．5．已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或1 C．或2 D．6．直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為（

）A． B． C． D．7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線段的長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則下列向量中與共面的向量是（

）A． B． C． D．10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線與上移動(dòng)，則線段的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離可能為（

）A． B． C． D．11．如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，，為對(duì)角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（

）A． B．三棱錐的外接球的半徑為C．當(dāng)異面直線和所成的角為時(shí)， D．點(diǎn)F到平面與到平面的距離相等三、填空題（本大題共3小題）12．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是13．已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍為，直線l的斜率的取值范圍為．14．如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)P，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.(1)求的面積(2)求外接圓的方程16．在中，頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為邊的中線所在的直線方程為邊的垂直平分線的斜率為．(1)求直線的方程；(2)若直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，求直線l的方程．17．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.

(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.18．已知直線與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求的最小值；(2)求的最小值．19．如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】圓心為，即，半徑為.故選：C2．【答案】A【詳解】平行直線和之間的距離.故選：A3．【答案】A【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A4．【答案】C【詳解】由，解得，即所求方程的直線過點(diǎn)，令直線的傾斜角為，則，顯然是銳角，因此所求方程的直線斜率，所以所求的直線方程為，即.故選：C5．【答案】B【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，若平面與平面的夾角的余弦值為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或1．故選B.6．【答案】D【詳解】由，解得，則直線與直線交于點(diǎn)，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，依題意，，整理得，解得，即點(diǎn)，直線的方程為，即，所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為.故選：D7．【答案】A【詳解】，，.故選：A.8．【答案】D【分析】建系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出，證明平面，求得平面的法向量，由條件得到，將的表達(dá)式整理成二次函數(shù)，利用其最小值即得.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則有,依題意，，,于是，.又因?yàn)槠矫?，平?則,又,平面，故平面,故平面的法向量可取為，因?yàn)槠矫妫?，?則，因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，.故選D.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則得，解得，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則得，該方程組無解，故不存在的值滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則得，解得，即，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則得，該方程組無解，故不存在的值滿足，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10．【答案】CD【詳解】令A(yù)x1,y1、Bx2,y設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則有：，兩式相加得：，所以，則原點(diǎn)到該直線的距離，大于該值的都有可能.故選：CD11．【答案】ACD【分析】在菱形中，過點(diǎn)作直線，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量求出線線角判斷AC；求出點(diǎn)到平面距離判斷D；分析棱錐外接球球心并求出球半徑判斷B.【詳解】在菱形中，過點(diǎn)作直線，由底面，得直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，則，由，得，則，對(duì)于A，，，則，于是，A正確；對(duì)于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，則球心在過垂直于平面的直線上，直線，顯然球心在線段的中垂面上，因此，三棱錐的外接球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由異面直線和所成的角為，得，整理得，而，解得，C正確；對(duì)于D，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，令，得，，令，得，而，則點(diǎn)F到平面的距離，點(diǎn)F到平面的距離，顯然，D正確.故選：ACD12．【答案】或.【解析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí),滿足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.此時(shí)設(shè)直線方程為,則,故,化簡(jiǎn)得.當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線方程為,則.故,化簡(jiǎn)可得.故答案為：或.13．【答案】【詳解】如圖所示：由點(diǎn)，可得直線的斜率為，直線的斜率為，由直線與線段相交，可得的范圍是；由斜率與傾斜角的正切圖象得傾斜角故答案為：；.14．【答案】/【詳解】在三棱柱中，連接，由分別為的中點(diǎn)，得，且，則，，，而，所以.故答案為：.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線的斜率，直線的斜率，則，即.，，.（2）由，外接圓是以線段AB為直徑的圓，線段的中點(diǎn)為，半徑，所以外接圓的方程是.16．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由邊的垂直平分線的斜率為，得直線方程為，即，而邊中線所在的直線方程為，由，解得，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，于是，解得，即點(diǎn)，直線的斜率，所以直線的方程為，即.（2）由（1）知，，，由直線l過點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線l的距離相等，得直線過邊的中點(diǎn)，或，當(dāng)直線過時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，當(dāng)直線時(shí)，直線的斜率為，方程為，即，所以直線l的方程為或.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）在長(zhǎng)方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

有，，，，，，，則，，，，，因此，，又，，平面，所以平面.（2）設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，而則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)12(2)【詳解】（1）由整理得，，令，解得，即直線經(jīng)過定點(diǎn).不妨設(shè)直線的方程為，則有（*）由（*）和基本不等式可得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，的最小值為12；（2）因，由（1）得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.19．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，連接，兩線交于點(diǎn)，因則，，在中，設(shè)，由余弦定理，，解得，則,由題意知：共線且，取線段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，故有,又平面，平面，故得，平面①因且，易知為菱形，故得，又平面，平面，故得，平面②由①，②，因平面，故平面平面，因平面，則平面.（2）如圖，分別以，過點(diǎn)豎直向上的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)與軸成角，因，則且,又，故即二面角的平面角，則，于是，又.則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取；又,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取.設(shè)平面與平面的夾角為，則，設(shè)，因，則，，設(shè)，則，，記，因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，則，故，即平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍為.2024-2025學(xué)年河南省南陽市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．2．已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A． B． C． D．33．已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．4．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上.若，則的面積為（

）A．4 B．6 C．8 D．95．已知圓，則經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線的方程為（

）A． B．C． D．6．動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．7．已知是橢圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離是（

）A． B． C． D．8．已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)法向量為C．若直線，則D．點(diǎn)到直線的距離是210．已知直線，圓是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C．若圓與曲線恰有三條公切線，則D．當(dāng)時(shí)，過直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線，其中為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)11．已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．橢圓的離心率為B．的周長(zhǎng)為C．面積的最大值為D．三、填空題（本大題共3小題）12．方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．已知圓，若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為，此時(shí)直線的一般式方程為.14．橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，直線過左焦點(diǎn)，且與橢圓相交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角為，則的面積等于.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）已知直線過定點(diǎn)，且其傾斜角是直線的傾斜角的二倍，求直線的方程；（2）已知入射光線經(jīng)過點(diǎn)，且被直線反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，求反射光線所在直線的方程.16．已知直線，點(diǎn)和點(diǎn)分別是直線上一動(dòng)點(diǎn).(1)若直線經(jīng)過原點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離.17．已知圓過三點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為1的直線與圓交于兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，求直線的方程.18．已知圓在橢圓里.過橢圓上頂點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，切線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.(1)求的取值范圍；(2)是否存在圓，使得直線與之相切，若存在求出圓的方程，若不存在，說明理由.19．已知兩個(gè)定點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)滿足直線和直線的斜率之積是(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線；(2)記（1）中點(diǎn)的軌跡為曲線，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過定點(diǎn).

參考答案1．【答案】D【詳解】直線的方程可化為，可知傾斜角，且滿足，因此.故選:D.2．【答案】A【詳解】因?yàn)楹突ハ嗥叫?，所以，解得，所以直線可以轉(zhuǎn)化為，由兩條平行直線間的距離公式可得.故選：A3．【答案】C【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為.因?yàn)閳A心在直線上，所以①，因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標(biāo)是），圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選:C.4．【答案】D【詳解】由橢圓定義可得，又因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ砜傻?，即，解得，則的面積為.故選：D.5．【答案】B【詳解】設(shè)經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線的斜率為，直線的斜率為，由題意得，，過點(diǎn)P且弦長(zhǎng)最短的弦應(yīng)是垂直于直線CP的弦，則，得，所以過點(diǎn)且被圓截得弦長(zhǎng)最短的直線的方程為，即.故選：B.6．【答案】B【詳解】設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合.由此得，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得，即.所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.7．【答案】C【詳解】解法一：設(shè)與直線平行的直線為，聯(lián)立整理得，令，解得或，所以與距離，當(dāng)時(shí)，最小，即點(diǎn)到直線的最小距離是.解法二：設(shè)橢圓上點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離，其中，當(dāng)時(shí)，，故選:C.8．【答案】C【詳解】由對(duì)稱性和橢圓定義可知，其中，故，又因?yàn)?，設(shè)點(diǎn)，則，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為4，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為64，所以，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為51，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：C.

9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橹本€的斜率，所以直線的一個(gè)方向向量為，故A正確；對(duì)于B，直線的一個(gè)方向向量為，由，所以不是直線的一個(gè)法向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)橹本€的斜率，且，所以直線與直線垂直，故C正確；對(duì)于D，點(diǎn)到直線的距離，故D正確.故選：ACD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于，整理得，所以解得所以直線恒過定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，直線為，則圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，所以圓上有且僅有4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，曲線整理得，當(dāng)時(shí)，曲線是圓心為，半徑為的圓，圓的圓心，半徑為2，所以兩圓的圓心距為，此時(shí)兩圓外切，恰有3條公切線，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，即圓兩圓的公共弦的方程為，整理得解得直線經(jīng)過點(diǎn).故D正確.故選：ACD11．【答案】ABD【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，橢圓的離心率為，故A正確；對(duì)于B，的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，，設(shè)，則面積的最大值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，，因此，故D正確.故選：ABD.12．【答案】【詳解】由題意可得解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13．【答案】【詳解】圓，整理得，則的圓心為，由題意得直線過圓心，所以，又，所以.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“）.此時(shí)直線方程為，即.故答案為:.14．【答案】【詳解】已知點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又因?yàn)橹本€的斜率，所以的方程為.設(shè)，聯(lián)立方程組消去得，可得，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以.故答案為:.15．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，則直線的傾斜角為，故所求直線的傾斜角為，直線斜率為，所求直線的方程為，即.（2）設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則解得因?yàn)榉瓷涔饩€經(jīng)過點(diǎn)，所以所在直線的斜率為，故反射光線所在直線方程為，即.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）將化為一般式方程，得，,則兩直線平行，故兩直線的距離為，因?yàn)?，所以和兩直線垂直.因?yàn)榈男甭蕿?，所?又因