湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．i3．已知函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最大值是8 B．函數(shù)的最小值是8C．函數(shù)的最大值是 D．函數(shù)的最小值是4．在中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，.設(shè)，，則（

）A． B．C． D．5．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，終邊構(gòu)成一條直線，且，則（

）A． B． C． D．6．已知是球的球面上的兩點(diǎn)，，點(diǎn)為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，函數(shù)圖象與相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，若任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，對(duì)于都有成立，且，當(dāng)，且時(shí)，都有．則給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為；③函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)；④方程在上有4個(gè)根；其中正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．某市教育局為了解疫情時(shí)期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名高中學(xué)生，對(duì)他們每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（

）A．這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6~8小時(shí)的人數(shù)有100人B．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí)C．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為9.2小時(shí)D．估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8.6小時(shí)10．在中，設(shè)角所對(duì)的邊分別為a,b,c，則下列命題一定成立的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，，，則有唯一解C．若是銳角三角形，，，設(shè)的面積為S，則D．若是銳角三角形，則11．如圖，在棱長(zhǎng)為5的正方體中，M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為線段上，且，則以下命題正確的是（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是B．保持PM與垂直時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為C．若保持，則的軌跡長(zhǎng)度為D．平面被正方體截得截面為等腰梯形三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，l是直線且，則“”是“”的.條件(參考選項(xiàng)：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).13．已知函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．已知，，記，，有下面四個(gè)結(jié)論：①若，則的最大值為；

②若，則的最小值為；③若，則的最大值為1；④若，則的最大值為．則錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是．四、解答題（本大題共5小題）15．平面內(nèi)給定兩個(gè)向量.(1)求；(2)求.16．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，．(1)求角的大小；(2)求的面積．17．如圖所示，在長(zhǎng)方形中，，為的中點(diǎn)，以為折痕，把折起到的位置，且平面平面.(1)求證：；(2)求四棱錐的體積；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)P，使得平面，若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.18．象棋作為中華民族的傳統(tǒng)文化瑰寶，是一項(xiàng)集科學(xué)競(jìng)技，文化于一體的智力運(yùn)動(dòng)，可以幫助培養(yǎng)思維能力，判斷能力和決策能力.近年來，象棋也繼圍棋?國際象棋之后，成為第三個(gè)進(jìn)入普通高校運(yùn)動(dòng)訓(xùn)練專業(yè)招生項(xiàng)目的棋類項(xiàng)目.某校象棋社團(tuán)組織了一場(chǎng)象棋對(duì)抗賽，參與比賽的40名同學(xué)分為10組，每組共4名同學(xué)進(jìn)行單循環(huán)比賽.已知甲?乙?丙?丁4名同學(xué)所在小組的賽程如表：第一輪甲-乙丙-丁第二輪甲-丙乙-丁第三輪甲-丁乙-丙規(guī)定；每場(chǎng)比賽獲勝的同學(xué)得3分.輸?shù)耐瑢W(xué)不得分，平局的2名同學(xué)均得1分，三輪比賽結(jié)束后以總分排名，每組總分排名前兩位的同學(xué)可以獲得獎(jiǎng)勵(lì).若出現(xiàn)總分相同的情況，則以抽簽的方式確定排名（抽簽的勝者排在負(fù)者前面），且抽簽時(shí)每人勝利的概率均為，假設(shè)甲?乙?丙3名同學(xué)水平相當(dāng)，彼此間勝?負(fù)?平的概率均為，丁同學(xué)的水平較弱.面對(duì)任意一名同學(xué)時(shí)自己勝?負(fù)?平的概率都分別為.每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求丁同學(xué)的總分為5分的概率；(2)已知三輪比賽中丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙?丁2名同學(xué)是平局，求甲同學(xué)能獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率.19．對(duì)于集合和常數(shù)，定義：為集合相對(duì)的“余弦方差”.(1)若集合，，求集合相對(duì)的“余弦方差”；(2)若集合，證明集合相對(duì)于任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)常數(shù)，并求這個(gè)常數(shù)；(3)若集合，，，相對(duì)于任何常數(shù)的“余弦方差”是一個(gè)常數(shù)，求，的值.

參考答案1．【答案】A【分析】利用交集的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故A正確.故選：A2．【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部加虛部為0求解．【詳解】，所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為，因?yàn)閷?shí)部和虛部互為相反數(shù)，所以，解得.故選：B.3．【答案】B【分析】利用基本不等式可求得的最小值判斷BD；由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知無最大值判斷AC.【詳解】函數(shù)，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8，故B正確，D錯(cuò)誤；由，知時(shí)，，所以，故無最大值，故AC錯(cuò)誤.故選：B.4．【答案】A【詳解】由題意，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，，可得，，則，故選：A5．【答案】D【分析】由終邊角的特性得到，再結(jié)合兩角和的余弦展開式和余弦二倍角公式求解即可；【詳解】因?yàn)榻桥c角始邊與軸的正半軸重合，終邊構(gòu)成一條直線，所以所以，又，所以，故選：D.6．【答案】B【分析】由和得三棱錐體積達(dá)到最大值時(shí)平面，進(jìn)而由錐體體積最大值結(jié)合體積公式即可求出，從而由球的表面積公式得解.【詳解】設(shè)球的半徑為R，則由題，因?yàn)椋匀忮F體積達(dá)到最大值時(shí)，平面，所以，故，所以球的表面積為.故選：B.7．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得周期為，根據(jù)周期公式可得.將不等式恒成立的范圍化為的解集的子集，即可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】，由題意可得相鄰最低點(diǎn)距離個(gè)周期，即，，由得：，，即，所以，，，即，，解得：.故選：C.8．【答案】D【分析】對(duì)于①，令代入已知等式可求出，再結(jié)合其為偶函數(shù)可得f3=0，從而可求出函數(shù)的周期為6，利用周期可求得結(jié)果；對(duì)于②，由為偶函數(shù)，結(jié)合周期為6分析判斷；對(duì)于③，由當(dāng)，且時(shí)，都有，可得y=fx在上為嚴(yán)格增函數(shù)，再結(jié)合其為偶函數(shù)及周期為6分析判斷；對(duì)于④，由f3=0，的周期為6，及函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.【詳解】①：對(duì)于任意，都有成立，令，則，解得，又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以f3=0所以，所以函數(shù)的周期為6，所以，又由，故；故①正確；②：由（1）知的周期為6，又因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以，而的周期為6，所以，，所以：，所以直線是函數(shù)y=fx的圖象的一條對(duì)稱軸．故②正確；③：當(dāng)，且時(shí)，都有．所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格減函數(shù)，而的周期為6，所以函數(shù)y=fx在上為嚴(yán)格減函數(shù)．故③正確；④：f3=0，的周期為6，所以，又在先嚴(yán)格遞減后嚴(yán)格遞增，所以在上除端點(diǎn)外不存在其他零點(diǎn)，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)y=fx在上有四個(gè)零點(diǎn)．故④正確；故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查抽象函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性，單調(diào)性和周期性，解題的關(guān)鍵是利用賦值法求出f3=0，從而可得9．【答案】BCD【分析】對(duì)于A：直接利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)眾數(shù)的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于C：直接利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；對(duì)于D：直接利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，按照平均數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：從頻率分布直方圖，可以得到，即這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6~8小時(shí)的人數(shù)有200人，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由頻率分布直方圖可以得到，抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí)，由此可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí)，故B正確；對(duì)于C：由頻率分布直方圖可以得到，設(shè)抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為k小時(shí)，則有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為9.2小時(shí)，由此可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為9.2小時(shí)，故C正確；對(duì)于D：由頻率分布直方圖可以得到，抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為小時(shí)，由此可以估計(jì)該市高中學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8.6小時(shí)，故D正確；故選：BCD10．【答案】BCD【分析】由余弦定理可判斷；由正弦定理可判斷；利用邊化角結(jié)合面積公式可得，求的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的范圍，即可判斷；由銳角三角形可得及，利用在上的單調(diào)性結(jié)合誘導(dǎo)公式可判斷.【詳解】，，，為銳角，但不能確定角是否為銳角，故不一定是銳角三角形，故錯(cuò)誤；由正弦定理得，，，有唯一解，故正確；，，，，又，解得，，，，，，即，故正確；是銳角三角形，，又，，，又在上單調(diào)遞增，，，，故正確；故選：.11．【答案】BD【分析】根據(jù)平面展開即可判斷A；過做平面平面，即可判斷B；根據(jù)點(diǎn)的軌跡是圓弧，即可判斷C；作出正方體被平面所截的截面即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，將正方體的下底面和側(cè)面展開可得如圖圖形，連接，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖：平面，平面，，又，，，平面，平面，平面,，同理可得，，，平面．平面．所以過點(diǎn)作交交于，過作交交于，由，可得，平面，平面，平面，同理可得平面，平面，則平面平面．設(shè)平面交平面于，則的運(yùn)動(dòng)軌跡為線段，由點(diǎn)在棱上，且，可得，連接，則，所以，又，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，如圖：若，則在以為球心，為半徑的球面上，過點(diǎn)作平面，則，此時(shí)．所以點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓弧上，此時(shí)圓心角為．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接交于，連接，所以平面被正方體截得的截面為．，，，，所以，，且，所以截面為梯形，，截面為等腰梯形，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)，截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上.12．【答案】充分不必要【詳解】面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.根據(jù)題意由判斷定理得.若，直線則直線，或直線，或直線l與平面相交，或直線l在平面內(nèi).由，直線得不到，故可得出結(jié)論..【詳解】面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.因?yàn)橹本€且所以由判斷定理得.所以直線，且若，直線則直線，或直線，或直線l與平面相交，或直線l在平面內(nèi).所以“”是“”成立的充分不必要條件.故答案為：充分不必要.【點(diǎn)睛】本題考查充分條件，必要條件的判斷，涉及到線面、面面關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.13．【答案】【分析】由題意可知在上單調(diào)遞減，令，則由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，由此列不等式組即可求解.【詳解】由題意可知，在上單調(diào)遞減，令，則在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以，解得，故答案為：14．【答案】①②【分析】把變形成，利用常數(shù)t值并借助“1”的妙用求解，再按t的不同取值計(jì)算即可判斷；用常數(shù)t表示出xy的取值范圍，然后將n變形成用xy表示，再借助函數(shù)、均值不等式求解計(jì)算并判斷作答.【詳解】依題意，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，對(duì)于①，時(shí)，有，①不正確；對(duì)于③，時(shí)，有，③正確；令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即，，則對(duì)于②，時(shí)，，，而，由對(duì)勾函數(shù)知對(duì)是遞增的，對(duì)是遞減的，則時(shí)，，無最小值，即②不正確；對(duì)于④，時(shí)，，，而，，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取“=”，則有時(shí)，，即④正確，所以錯(cuò)誤結(jié)論的序號(hào)是①②.故答案為：①②15．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求出、和，接著由向量夾角余弦公式即可得解.（2）由坐標(biāo)形式的向量模長(zhǎng)公式即可計(jì)算得解.【詳解】（1）由題，，所以.（2）由題得，所以.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）利用余弦定理得到，再將兩邊平方，即可求出，最后由面積公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)椋?，即，即，顯然，所以，又，所以；（2）由余弦定理，即，又，所以，解得，所以.17．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，在長(zhǎng)方形中，和為等腰直角三角形，∴，∴，即，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴；（2）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則，且，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∴；（3）連接交于點(diǎn)，假設(shè)在上存在點(diǎn)P，使得平面，連接，∵平面，平面平面，∴，∴在中，，∵，∴，∴，即，∴在棱上存在一點(diǎn)P，且，使得平面.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求解；（2）利用相互獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的概率的加法公式即可求解.【詳解】（1）丁同學(xué)總分為5分，則丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平，記第輪比賽丁同學(xué)勝、平的事件分別為，，丁同學(xué)三輪比賽結(jié)果為一勝兩平的事件為M，則，即丁同學(xué)的總分為5分的概率為.（2）由于丁同學(xué)獲得兩勝一平，且第一輪比賽中丙、丁2名同學(xué)是平局，則在第二、三輪比賽中，丁同學(xué)對(duì)戰(zhàn)乙、甲同學(xué)均獲勝，故丁同學(xué)的總分為7分，且同丁同學(xué)比賽后，甲、乙、丙三人分別獲得0分，0分、1分，若甲同學(xué)獲得獎(jiǎng)勵(lì)，則甲最終排名為第二名.①若第一、二輪比賽中甲同學(xué)均獲勝，則第三輪比賽中無論乙、丙兩位同學(xué)比賽結(jié)果如何，甲同學(xué)的總分為6分，排第二名，可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，此時(shí)的概率.②若第一輪比賽中甲同學(xué)獲勝，第二輪比賽中甲、丙2名同學(xué)平局，第三輪比賽中乙、丙2名同學(xué)平局或乙同學(xué)獲勝，甲同學(xué)的總分為4分，排第二名，可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，此時(shí)的概率.③若第一輪比賽中甲、乙2名同學(xué)平局，第二輪比賽中甲同學(xué)獲勝，第三輪比賽中當(dāng)乙、丙2名同學(xué)平局時(shí)，甲同學(xué)的總分為4分，排第二名，可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，此時(shí)的概率；第三輪比賽中當(dāng)乙，丙同學(xué)沒有產(chǎn)生平局時(shí)，甲同學(xué)與第三輪比賽乙、丙中的勝者的總分均為4分，需要進(jìn)行抽簽來確定排名，當(dāng)甲同學(xué)抽簽獲勝時(shí)甲同學(xué)排第二名，可以獲得獎(jiǎng)勵(lì)，此時(shí)的概率.綜上，甲同學(xué)能獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率.19．【答案】(1)(2)證明見解析，這個(gè)常數(shù)為；(3)或【分析】（1）根據(jù)集合相對(duì)的“余弦方差”的定義及特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)集合相對(duì)于常數(shù)的“余弦方差”的定義及兩角差的余弦公式即可求解；（3）根據(jù)集合相對(duì)于常數(shù)的“余弦方差”的定義及三角恒等變換公式即可求解.【詳解】(1)解：當(dāng)集合，時(shí)，集合相對(duì)的“余弦方差”；(2)證明：當(dāng)集合時(shí)，集合相對(duì)于常數(shù)的“余弦方差”，此時(shí)“余弦方差”是一個(gè)常數(shù)，且常數(shù)為；(3)解：當(dāng)集合，，時(shí)，集合相對(duì)于任何常數(shù)的“余弦方差”，要使上式對(duì)任何常數(shù)是一個(gè)常數(shù)，則且，所以，所以，又，，解得或．湖南省長(zhǎng)沙市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)摸底考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖，空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則(

)

A. B.

C. D.2.圓的圓心到直線的距離為A. B.2 C.3 D.3.已知圓M：截直線所得線段的長(zhǎng)度是，則圓M與圓N：的位置關(guān)系是A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離4.在直三棱柱中，，，分別是，的中點(diǎn)，，則與所成角的余弦值是A. B. C. D.5.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為1，E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離等于

A. B. C. D.6.當(dāng)點(diǎn)到直線l：為任意實(shí)數(shù)的距離取最大值時(shí)，則A. B. C. D.7.若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍是(

)A. B. C. D.8.已知圓C：的圓心為點(diǎn)C，直線l：與圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)A在圓C上，且，若，則A.1 B.2 C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.下面三條直線：，：，：不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值可以是A. B. C. D.410.已知圓O：，則A.圓O與直線必有兩個(gè)交點(diǎn)

B.圓O上存在4個(gè)點(diǎn)到直線l：的距離都等于1

C.若圓O與圓恰有三條公切線，則

D.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P向圓O引兩條切線，A，B為切點(diǎn)，則的最小值為811.已知正方體的邊長(zhǎng)為2，M為的中點(diǎn)，P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是(

)A. B.平面

C.AM與所成角的余弦值為 D.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。12.已知，方程表示圓，則__________.13.設(shè)圓滿足：①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為在滿足條件①，②的所有圓中，圓心到直線l：的距離最小的圓的方程為____________________.四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.本小題12分

正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn)，在側(cè)棱上存在一點(diǎn)N，使得，則________.15.本小題12分在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：，直線l：若直線l與圓C相切于點(diǎn)N，求切點(diǎn)N的坐標(biāo)；若，直線l上有且僅有一點(diǎn)A滿足：過點(diǎn)A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點(diǎn)分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值．16.本小題12分已知平面直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)，，求直線AB的斜率和傾斜角；若點(diǎn)A，B，C，D可以構(gòu)成平行四邊形，且點(diǎn)D在第一象限，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若點(diǎn)是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．17.本小題12分如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點(diǎn)，作交PB于點(diǎn)求證：平面EDB；求證：平面EFD；求平面CPB與平面PBD的

夾角的大小.18.本小題12分如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積;設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.

19.本小題12分古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比值為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)P到的距離是點(diǎn)P到的距離的2倍．求點(diǎn)P的軌跡的方程；過點(diǎn)B作直線，交軌跡于P，Q兩點(diǎn)，P，Q不在y軸上．過點(diǎn)B作與直線垂直的直線，交軌跡于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，記四邊形EPFQ的面積為S，求S的最大值；設(shè)軌跡與y軸正半軸的交點(diǎn)為C，直線OP，CQ相交于點(diǎn)N，試證明點(diǎn)N在定直線上，求出該直線方程．

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考點(diǎn)是空間向量基本定理，考查了向量的線性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形把所研究的向量用三個(gè)基向量表示出來，屬于基礎(chǔ)題．

由題意，把，，三個(gè)向量看作是基向量，由圖形根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用三個(gè)基向量表示出來，即可得到答案．【解答】

解：由題意

又，，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了根據(jù)圓的一般方程求圓心以及點(diǎn)到直線距離，屬于基礎(chǔ)題.

求出圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可.【解答】

解：由題意得

，即

，則其圓心坐標(biāo)為

，則圓心到直線

的距離為

.故選：3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查直線和圓的位置關(guān)系及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式求出a的值是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

根據(jù)直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，求出a的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為M：，

則圓心為，半徑，

圓心到直線的距離，

圓M：截直線所得線段的長(zhǎng)度是，

，

即，即，，

則圓心為，半徑，

圓N：的圓心為，半徑，

則，

，，

，

即兩個(gè)圓相交．

故選：4.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了向量法求直線與直線所成角，屬于基礎(chǔ)題.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解出與所成角.

【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，，，

，

故選5.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)面之間的距離，屬于基礎(chǔ)題.

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量進(jìn)行求解即可.

【解答】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則有

令，則，

又，

點(diǎn)到平面的距離

故選6.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查經(jīng)過定點(diǎn)的直線，兩直線垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

將直線方程變形為，得直線系恒過點(diǎn)，由此得到P到直線l的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于PA，即可求出

【解答】

解：直線，

可將直線方程變形為，

解得，，

由此可得直線系恒過點(diǎn)，

則P到直線l的最近距離為0，此時(shí)直線過

P到直線l的最遠(yuǎn)距離為，此時(shí)直線垂直于

，直線l的斜率為，

，7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查了直線與圓得位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.

先求出圓心和半徑，比較半徑和，要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，用圓心到直線的距離公式，可求得結(jié)果．【解答】

解：圓，整理為，

圓心坐標(biāo)為，半徑為，

要求圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為，

則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，

，

，

，，

，

設(shè)直線l的傾斜角為，則，

即

直線l的傾斜角的取值范圍是，

故選8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查圓的方程、平面向量的數(shù)量積、直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

利用圓的知識(shí)與向量數(shù)量積，即可求解.

【解答】

解：設(shè)弦MN的中點(diǎn)為B，由題可知圓C的半徑為，因?yàn)椋?，故?/p>

所以，

，

可得

，

解得9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查三條直線不能構(gòu)成三角形的條件，三條直線中有兩條直線平行或者三直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，屬于中檔題.

三直線不能構(gòu)成三角形時(shí)共有4種情況，即三直線中其中有兩直線平行或者是三條直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，在這四種情況中，分別求出實(shí)數(shù)m的值.

【解答】

解：①當(dāng)直線：平行于：時(shí)，，

②當(dāng)直線：平行于：時(shí)，，

③當(dāng)：平行于：時(shí)，，m無解，

④當(dāng)三條直線經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)時(shí)，把直線

與的交點(diǎn)代入：得

，解得或，

綜上，滿足條件的m為4、或、或、或

故選10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，以及與圓有關(guān)的最值問題，屬于難題.

根據(jù)直線切過定點(diǎn)切該定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷A；求出圓的圓心到直線l的距離可判斷B；

將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，轉(zhuǎn)化為兩圓外切可判斷C；

由，且當(dāng)PO最小時(shí)最小時(shí)可判斷【解答】

解：對(duì)于A，將直線整理得，由知，，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)椋栽摱c(diǎn)在圓內(nèi)，故A正確；

對(duì)于B，圓的圓心到直線l：的距離為，所以過圓心且與直線l平行的直線與圓相交有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，與直線l平行且與圓相切，并且與直線l在圓心同側(cè)的直線到l的距離為1，所以只有三個(gè)點(diǎn)滿足題意，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為，因?yàn)閮蓤A有三條公切線，所以兩圓外切，所以，解得，故C正確；對(duì)于D，連接OP，OA，OB，

因?yàn)锳，B為切點(diǎn)，所以，，所以，且當(dāng)PO最小時(shí)，最小，所以當(dāng)PO與直線垂直時(shí)，，又因?yàn)榘霃綖?，所以，，所以，故D正確．

故選11.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查線面平行、線線垂直的向量表示，直線與直線所成角的向量求法，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法逐一分析求解即可.【解答】

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，

則，，，，，

所以，，，

由平面，得，即，

化簡(jiǎn)可得：，所以動(dòng)點(diǎn)P在直線上，

對(duì)于選項(xiàng)A：，，

，

所以與不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：，平面，

平面，所以平面，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：，

，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：動(dòng)點(diǎn)P在直線上，且P為側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，

則P在線段上，，

所以，D選項(xiàng)正確；

故選12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查圓的一般方程，屬于基礎(chǔ)題.

只有在時(shí)，二元二次方程才表示圓，求解時(shí)應(yīng)注意這個(gè)隱含條件.【解答】

解：由得或2，

當(dāng)時(shí)，方程為，

得，表示圓，滿足條件；

當(dāng)時(shí)，方程為，

即，

得，不表示圓，不滿足條件，

故，

故答案為：13.【答案】，或

【解析】【分析】本小題主要考查求圓的方程，屬于中檔題.

圓被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為3：1，劣弧所對(duì)的圓心角為，設(shè)圓的圓心為，圓P截X軸所得的弦長(zhǎng)為，截y軸所得弦長(zhǎng)為2；可得圓心軌跡方程，圓心到直線l：

的距離最小，利用基本不等式，求得圓的方程．

【解答】

解：圓的圓心為，半徑為r，則點(diǎn)P到x軸，y軸的距離分別為，由題設(shè)知圓P截x軸所得劣弧對(duì)的圓心角為，知圓P截x軸所得的弦長(zhǎng)為，故，

又圓P截y軸所得的弦長(zhǎng)為2，所以有

從而得

又點(diǎn)到直線的距離為，

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，此時(shí)，從而d取得最小值．

由此有

解此方程組得或

由于知

于是，所求圓的方程是，或14.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查線線垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題。

首先建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)分別寫出M，N，A，B四點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直關(guān)系即可求解.

【解答】

解：如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，設(shè)，，則，，，，解得，故15.【答案】解：

設(shè)切點(diǎn)N為，則有，解得：

或，

所以切點(diǎn)N的坐標(biāo)為或圓C：的圓心，半徑，設(shè)，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得，即，

由題意直線，圓C：，

則圓心到直線的距離，

可得，，解得

【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)和圓心連線與切線垂直以及切點(diǎn)在圓上建立關(guān)系式，求解切點(diǎn)坐標(biāo)即可；

由圓的方程可得圓心坐標(biāo)及半徑，由APCQ為正方形，可得可得圓心到直線的距離為，可得m的值．16.【答案】解：直線AB的斜率為，

設(shè)傾斜角為，則，

，

直線AB的傾斜角為

如圖，

當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，，

設(shè)，則，

解得，，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為

由題意得為直線BE的斜率.

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，直線BE的斜率最小，

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，直線BE的斜率最大，

故直線BE的斜率的取值范圍為，即的取值范圍為

【解析】【分析】本題考查直線的斜率、傾斜角，直線斜率的應(yīng)用，屬于中檔題.

有過兩點(diǎn)的直線的斜率求得AB的斜率；由傾斜角的正切值為斜率，求得傾斜角；

由圖知，當(dāng)點(diǎn)D在第一象限時(shí)，，，設(shè)，得，求得x，y，得點(diǎn)D的坐標(biāo)；

由題意得為直線BE的斜率，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，直線BE的斜率最小；當(dāng)點(diǎn)E與