在在離散系統(tǒng)分析中，z變換是非常重要的工具，z變換(ZT在離散系統(tǒng)中的地位相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng) 變換(LT) 6161z變6.1.1z變換的定一） (LT)到z變換(ZT抽抽樣信號的LT(對連續(xù)信號進行均勻抽樣后可得到離散時間信號f(t

fs(t

fs(t)f(t)T(ts(t)T

f(kT)(tkTkf(t

fs(t

fs(t)f(t)T(t∵(tkT)∵(tkT)e

f(kT)(tkTk f(t)F(s) f(kTkTs

(62

fs(t)的雙邊k令z= (z為復(fù)變量

復(fù)變量z的函則Fz)

k

f(kT)z (6322復(fù)變量z與s的關(guān)

稱序列f(kT)的雙邊z變F(s

eST

F(z)zeS

s域與z域間的重要關(guān)s lnz 二）z變換的定f(k)的雙邊z變換，求和運算二）z變換的定只在正k域進行(無論k<0時f(k)是否為零）f(k)為因果序列時即f(k)=0,k<0 F(z) k

f(k)zkf(k)zk

因果序列的單、雙邊z變換簡寫為F(zZff(k)=Z1[

F(z稱為f(k)的象函FF(zkf(k)z(67F(zkf(k)z(68f(k)F說明：本書對單、雙邊z變換都做6.6.1.2z(重要的概念、不可少的條件F(z) f(k)zkkF(z f(k)zk

(67(68

列f(k)z變換才存在。kf(k)zk～絕對可和條件（ZT存在的充要條件f(k)，使其z的冪級數(shù)一一zf(k)僅在有限區(qū)間k1kk2存在例 求以下有限長序 f(k)的z變換(1)f(k)(k (2 (k)1

21

k

(k)的z變換是與z無關(guān)的常數(shù)1，因而在z的全平面收斂，即|z|0

滿足0|z|<(即不包括|z|和|z|=)時雙邊z變換存

(1)(1)F(z)k(k1(2)F(z)f z222 F(zF(zkf(k)zk(67)f(k)z(6kz=eST，z是復(fù)變傳媒大學(xué)信玉例 求f(k)

1 21F(z)kF(z)k3 3f(k)z2 結(jié)論f(k)為有限長序列時其象函數(shù)F(z)是z的有限次冪z-（可能包括|z|0和|z|（可能包括|z|0和|z|z例2求f(kak(k)的z變換，并確定其收斂域z

ak

zF(z)

=

zk

k

k0 當(dāng)|a/z|<1(即|z|>a)時該級數(shù)收斂結(jié)論：因果序列僅當(dāng)|z|>|a|時其ZT其收斂域為半徑為|a|的圓外區(qū)FF(z)kf(k)z(6f(k)ak(k)F(z)zz z稱為收斂求和b求和bii11b三）反因果序列z變換及

F(z) f(k)zkk

(6-例3求f(kak(k1)的z變換，并確定其收斂域F(z)

akz

=

a1z

=

z/a

k

k k當(dāng)|z/a|<1即|z|a)時該級結(jié)論：反因果序列僅當(dāng)|z|<|a|時其ZT存在，其收斂域為半徑為|a|的圓內(nèi)區(qū)域。ff(k)ak(k1)F(z)zz,z1i1i求求 kbkb1b強調(diào)：強調(diào)：z變換的收斂域(重要的概念、不可少的條件f(k)ak(k) F(z)

z

, f(k)ak(k1) F(z)

z

, 的序列f(k)，不僅要給出序列的z變換式，例4求f(kbk(k1ak(k)的z變換，并確定其收斂域。

F(z)bk

a k

zz

zz半徑為|b|的

半徑為|a|半徑為|a|的

半徑為|b|z變換存在

z學(xué)院總有限長序列收斂域：至少滿足0<|z|因果序列的收斂域：在z平面上半徑為|a|的圓外區(qū)反因果序列收的斂域：在z平面上半徑為|b|的圓雙邊序列當(dāng)|a|<|b|時ZT存在，斂域為|a|<|z|<|b|

注注意：求序列的z變換，必須標(biāo)明其收斂66 常用序列的z1、單位樣值序列1、單位樣值序列(kz22ak(k), zz(a）k(zz

,z zabk(k1)

z

, (b)k(

zz

,zFF(z)f(k)zk(6k(k)zz, 1ejk(k)zzej,zej55、正弦序62z變62z變換的性1、線性性質(zhì)(常用重點bk(k1) 1、線性性質(zhì)(常用重點例1求f(k)(k2kk12k(k)的ZT解F(z)F(z)

z z z12z(z2z12

Im[z]

半徑為2的若f1(k)F1(zf2(若f1(k)F1(zf2(k)F2(za1za2z b1f1(k) b2f2(k)b1F1(z)b2F2(zmax(a1,a2)zmin(1,2 (624)1z 半徑為1的 半徑為1/2的例 求cos0k(k)和sin0k(k)的ZT cos k 1(

j0

ej0k sin k

(ej0

ej0k4、虛指4、虛指數(shù)ejk(k)zzej,zej cosk(k)zzcos0z2zcosz(62200，sink(k)0zzsin2zcos z(623022、移位(移序)f-

f(k)(k-5-4-3-2-1

34

0 34 -

f(k50

f(k530 f(k序列序列移位后取單邊，較移位列長度有增(

f(k3- - -

-1

0 (1)(1)雙邊zf- f(k)

az

-5-4-3-2-1

34 5則f(k az

- -10

5FF(zkf(k)z(67- - -

-1 例3求(kM)的z

(k∵(k)

z

z …k…(k

M)zM z

0 (kMM0時收斂域

z M0時收斂域=？1z

F(kF(kf(k(61 (2)單邊(2)單邊z變換的移位(移序a)f(k右移(常用重點f-

討論：f(k)討論：f(k)為因果序列時，右移后信息量--5-4-3-2-1記

34

- - f(k-若f(k)(k)F(zz f(若f(k)(k)F(zz f(km)(k)zmF(z)f(km)zkmz(626（其中m0且為整數(shù) 證

f(k)為雙f(k)為雙邊序列時，右移后其單邊所含信息比移位前單邊信f(k2)(k)z2F(z)f(2)f(1)

4求

f(k)

12 2

k4ZT1k

2 ∵2 (k)z 2z z 1

1kf(k)2 2

(k4 f(k)12z18z3(2z收斂域

z2b)f(kb)f(k-

f(k[注：[注：f(k左移后ZT-5-4-3-2-1

34

-6-

-

f(kf(k1)(k)zF(z)ff(k2)(k)z2F(z)f(0)z2f(1)

-

-- -10 f(k)(k)F(z

zmf(k)左移后其單邊所含信息比移位前單邊信息 f(km)(k)zmF(f(k)左移后其單邊所含信息比移位前單邊信息k（其中m0且為整數(shù) 證

z (627例 f(k）ak2 (k)ak2的單邊ZT (雙邊信號f(k)(k)ak(k)F(z

z

zf(k2)(k)z2F(z)f(2)f(1)z1f(k2)(k)z2F(z)f(0)z2f(1)f1(k）f(k2)

z

f(2)f(1)z1

z

zf

f(1)z

a2 zaf

z

z1法二f(kak2(ka2ak(k1

z

z2f(k)ak2(k)a2ak(k)2

z大學(xué)信(k

z

等比級數(shù)，公比qN (k)(k)(kmN)1zN

z2

"z收斂？

mz 收斂收斂條件|z- (即|z|>1

Re[z例例 求有始周期序列N(k)(k)(kmN)的z變換mN(k)11zz(t)T11eRe[s]單位33、序列卷積(常用重點說明：只k域卷積定理,z域卷積定理很少用(略)例例 求ak(k)bk(k)的z變換其中0a ∵ak(k)F(z bk(k)F(z

zzz

zz

z2若f1(k)若f1(k) F1(zf2(k) F2(za1 a2 則f1(k)f2(kF1(z)F2(z(630收斂 max(a1,a2) min(1,2 (證略

(k) z z (z

z若若f(k)F(z則bf(k)Fzb zb z （631) 證略)21k(k)F(2z)22zz2 (k)

例例 求21k(k)的ZTz

z

可直 型變換55、序列乘kz域微分 f(k)F(z z kf(k)zdFzdz

z

（634（證略k2f(k)zdzdF(z)

zdz dz m dm f(k)zdz

F(z

z

表示共進行m次例 求(k1)(k1)的ZT

導(dǎo)和乘(–z)的運k(k)zddzk(k)zddzz1zzzz

z1

反變換時6、初值定6、初值定 f(k)(k) F(z f(0)limFz （635 z f(1)lim zF(z)zf(0zf(2)limz

z2F(z)

z2f(0)zf(1)

表61f(m)limzz例

F(z)

mk

f(k)zkz解f(0)z1z(z2)(zz(1解f(0)z1z(z2)(zz(12z1)(1z1f(1)limzF(z)zf(0)32z1zz(12z1)(1z17、終值定若f(k)7、終值定

F(z) z則f()limf(klimz1)Fzk z

(6取z1的極限，說終值存在的條件 z 終值存在的條件 z 且0例12：已知F(z

z12

z2

f

。z1 滿足01的條件f()存在。f()lim(z1)F(z)lim(z1)

單位

1

z實際上f(k

2

(k)f()88z(序列的求和k例13: 求2i的ZTki 2 i i

2i(i)f(i

i

f(i∵2k(k)

z

z證證:f(k)(kkf(i) F(z)f(i)(ki) iz f(k)F(zz則g(k)kf(i) F(z)max(,1)z(6-37izk 2iziz zz23z6.36.3逆z變換[由F(z)求f求逆z變換的方法[當(dāng)F(z)為z的有理分式時 ）冪級數(shù)展開法[用長除法將F(z)展開成冪級數(shù) (略、、 z2、ak(kzz,z其中a可以實數(shù)、虛、ak(k1)z,zak(k)zzz部分分式展開法(重點

需要掌握常用序列的FF(z)B(zA(z m bzzm1bzz(645nzn1az10F(z)B(zA(z m (zz1)(zz2)"(zzi)"(zznbzzm bzF(s)B(sA(s m (ss1)(ss2) (ssi) (ssnbssm bs 部分分式展開 部分分式展開象函數(shù)F(z)的一般說明說明:從數(shù)學(xué)的角度把F(z)展開成部分分式的方法與把F(s)開成部分分式的方法完全相一一)F(z)[即n個根為互不相等的單根時B(z zm

zm

bz1)若mn

F(z)

m A(z (zz1)(zz2)"(zzi)"(zzn

"

" F(z)zzkzzF(z)zzkzz kzz z為為了把每一個部分分式表示成基本變換對的形式，先將展開成部分分式，然后再乘z。（與拉氏反變換的區(qū)別F(z)kF(z)k1zk2zkiz2若mknz先用多項式除法把F(z)分解為有理多項式和有理真分式之和,后把有理分式用上述方法展開成部分例 已知（

53z27z

2 f(k) 3z27z z(1 z（

f(k)

2k(kz(13 z

強調(diào)：由強調(diào)：由F(z)求其序列f(k)時,必須結(jié)合收斂域才能確定對應(yīng)的f說明：說明：F(z)為真分式時，可以不除z直接展開成部但這種方法，整 比上面的方法麻煩

1

3) 1 2 13z27z z1

z z 3) z2f(k)1313k1(k1)22k1(k1)13k2k(k 13 132 例 F(z)

z(z0.5)(z1求）

2)

13 3)13

z12時的f(k) F(z) z 2z 3 z z F(z)

3 2z z z12時f(k)為因果序列,zmax(1 2,13f(k)3 2 2 3k(k z13時f(k)為反因果序列 zmin(12,13f(k)312k21/3k(k ? 3 2 f(k)為雙邊序列?ff(k)213k(k)312k(例3已知 z

z

,1

z2求f(k)z1 z z z對應(yīng)因果信號對應(yīng)反因f(k)212k(k)2k3k(k 3含共軛復(fù)例

z 已知（

z

z1z1

1求fk（z） z z z2z1z

j j（ze3)(z 3)(zz

z1

jz12

j(ze3

(z

j3

zk1k1 k F(z)

2 z1 j

zj3 j3 jf(k)[2（ejA(z)只含有一對共軛復(fù)根。例 F(z)

z2 3z

∵sink(k)

zsinz22zcoscos sin 類似拉氏反變換的配類似拉氏反變換的配F(z) z22zcos6例 F(z)

z2

z1,求f(k)F(z)

cos ,sin coskcosk(k)z2zcosz22zcosf(k) 2sink(k6

f 二二)F(z含有重極點(重根) （z

(z1)2(z

(z

(z

(z (z

（

(z1)（ 2z4 2z4

Z

Z (z1)

（

dz

Z1

1

z例 已知F（z(z例 已知F（z(z21)(z1, 1 f(k)f(k)1k111k(k444

4(z

(664離散系統(tǒng)的z 系統(tǒng)差分方程的變換域例 已知y(k)y(k1)2y(k2)(k)2(k2)y(1) y(2)0.5 求yzi(k yzs(k),y(kY(z)M(z)B(z)E(z) (z) (zA(z A(z

zi zsz24

z

2zY(z) z2z1 z2z1Y(z) Yzi(z Yzs(zY(z)

2 2 0.5z1.5z z z z zYzi(z Yzs(z yzi(k yzs(k任意階的差分方程的 aniy(ki)bmje(ki j

j (650令Z[y(k)]=Y(z)Z[e(k)]=E(z),據(jù)單邊z變換的 i

i k

jani Y(z)aniy(ki bmj

E(z)i

i0 k0 M(z

j B(zf(k)(k)F(zzf(km)(k)zmf(k)(k)F(zzf(km)(k)zmF(z)f(km)zkmz(6

zi(z)Yzs(z6.4.2系統(tǒng)的6.4.2系統(tǒng)的z1)數(shù)乘2)加法

f

y(k)f1(k)f2(k

D D3)延時單

f(k y(k)f(k

個完整的系e(k

DD0b DD0

f

F(z)

Y(z)2)加法

y(k)f1(k)f2(k3延時

Df(k y(k)f(kD

Y(z)F1(z)F2(z)

fzz

z1F(z)f

F

z

z1F(z+f(k)F(zf(k1)f(k)F(zf(k1)z1F(z)f(1)e(k

DD

bD +D +b0

b

+X(z)a

z域框

z2Xb

Y6656.5.1系統(tǒng)

bzm

zm1"bzH(z)

zn zn1"az H(z)只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)而與激初始狀態(tài)H(z)反映系統(tǒng)的固有特 i

i

k ani

Y(z)

ani

y(ki

bmj

E(z)i

i

k j (zYzs(zE(z(653inany(ki) jmbmje(kj(650玉 中國傳媒z)玉H(z) H(z)yzs(k)h(k)e(k)77H(z)E(z(z)7Y（6511、由系統(tǒng)的差分方程求（656H(zh(k)例3y(k)4y(k1)3y(k2)（656H(zh(k)例4已知某一系統(tǒng)的H(z)

z2z25z

寫出該系統(tǒng)的差分方HH(z)Yzs(z)E(z13z114z13z2z23z24zYzs(z)yy(k)5y(k1)6y(k2)e(k)6e(k2 例 已知e(k)(k)時 (k)20.5 13k 求該系統(tǒng)的Hz)和描述該系統(tǒng)的差分方程。z2z25z1

6Y(z) H(z)E(z)H(z) H(z) 2z25z z5z 66y(k)5y(k1)1y(k2)2e(k)3e(k1)1e(k2)

z3

z1z0.5z1 H(z)

Yzs

B(z) bzm zm1"bz m E(z)

zn zn1"azmmH(z)B(z)B Bj1 (zz)(zz)"(z zj(zp)(zp)"(zp(612nznii當(dāng)當(dāng)zpi時H(z)∵∵zzj時Hz)B(z0的mz1z2zjzm稱H(z)極(零)點把把系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極(零)點畫在z平面上的圖，稱作系統(tǒng)函數(shù)的零、極點z平面上極點用零點用“o”表示

j--j

1

pp1(一階 0.52j22e(一階3 0.5j4(一階)322z1 2二階一階3H(z)(z0.8)zz(z1)22j4z22 4注意：確定常數(shù)B需要具體條6.5.36.5.31、離散系統(tǒng)H(z)的極點在z平面的位置與h(k)的形式的關(guān) 離離散系統(tǒng)極點分布區(qū)域可分成單位圓內(nèi)、單位圓上、a)pi在z平面pi(

H1(z)

z

z

h(k)Bak(k) bej(

(z) k1

1k 1k

zh1(k

zbej zbej2h(k)Abkcos(k)(k2h2(k 0

1

當(dāng)k時h(k當(dāng)k時h(k)=0z H(z) kak1(k)(z傳大學(xué)信息b)b)Piz一階pi一階

1j1

H1(z)

zk

zk

h(k)(1)k(kp1,2

H(z) ,

z21…0

ze

zeh2(k)Acos(k)(kh(k幅度穩(wěn)定。0

單位圓上的r階極點對應(yīng)的h單位圓上的r階極點對應(yīng)的h(k)，其幅度隨的r階極

(z Pi在z一階極pia(a H1(z一階極j

zk

h(k)ak(k1k1p1,

ae (

(z) , z zaej zaej2h(k)Aakcos(k)(k2h1(kk0

Rez

h2(k r階極pra( r階極

kak1(k)(za)2大單位圓外的極點，對應(yīng)的h(k)其幅度隨k的大小1、H(z)的極點在z平面的位置與h(k)的形式的關(guān)小(zz(zz1)(zz2)"(zzm(zp1)(zp2)"(zH(z)B(z)

Rez1

zz"zz ),極點位于z平面單位圓內(nèi)的系統(tǒng)，其h(k)當(dāng)k時衰減到零一階極點位于z平面單位圓上的系統(tǒng)，其單位樣值響應(yīng)h(k)幅二階(含二階)以上的極點位于z平面單位圓上或極點位于單位圓h(k)～離散穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件kh(k)～離散因果、穩(wěn)定系統(tǒng)k0（（1）系統(tǒng)穩(wěn)a)a)從時域判b)由系統(tǒng)函數(shù)的極點H(z)B(z) (zz1)(zz2)"(zzm (zp1)(zp2)"(zpn z

z

"

z

Rez1

1

Rez極點全部在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系例6：圖所示因果系統(tǒng)，1)試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 2)求h(k ++

+

1

YHH(z)z5z20.2z0.242z03z0極點均在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)h(k)[2(0.6)k3(0.4)k](k陣 an an acn cn cn

準(zhǔn)則陣列不要求c)離散系統(tǒng)陣列不要求c)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 an an

a

n n

cn1 dn dn dn 2n

d

dn-2 ##r2

a0,

,

AA(z)annnzn1z0dn

cn1c0

c0cn

dn

cnc0

n

c)離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 準(zhǔn)例7：某一離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kz23zH(z)

2z2(K1)z

2K離離散二階系統(tǒng)穩(wěn)定的A(z)A(1)a202 z10A(1)0記a2a0連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性準(zhǔn)則 準(zhǔn)連續(xù)二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件A(s)a2s +a1s記 a2因果系統(tǒng)：yzs(k)不出現(xiàn)于e(k)之前的系即即系統(tǒng)滿足:在k<0時若e(k)=0則 h(k)=0k<0~離散因果系統(tǒng)的充要條 b)由b)由系統(tǒng)

a)從k域a)從k域判HH(z)的收斂域滿足z 離散因果系統(tǒng)的充要條的圓內(nèi)部H(z)B(z) (zz1)(zz2)"(zzm

"

(zp1)(zp2)"(z z z z思考題 因果、穩(wěn)定系統(tǒng)收斂域應(yīng)滿足什么條件zz (06666.6.1離散系頻率響應(yīng)：研究因果的、穩(wěn)定的離散系統(tǒng)在正弦(或虛指數(shù))激勵下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(k)隨激勵信號e(k)的頻LT yLT研究當(dāng)1）e(k)Asin 為正弦序列e(k)Aej 為虛指數(shù)序列時

yss(k)yss(k)設(shè)設(shè)e(k)Asink(k)正弦序列

y(k

LTyzs(k)e(k)LTyzs(k)e(k)h(kYzs(z)E(z)H(z)E(z) (zE(z) (zej)(ze-j

(zej)(ze-j ze ze

nn

zaAH(ej2AaAH(ej2AH(ej2ej()bAH(ej2AH(ej2ej( ze ze z HH(ej) H(ej)yzs(k)

ej(kAH(AH(ej

ej(k)Ai(pi)knin

k (k)AH(ej (k)AH(ej)sin[k(ssH(ej)

H(ej

~頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej

~幅頻特 ～相頻特結(jié)論：結(jié)論：H(ej)反映了離散系統(tǒng)在正弦(或虛指數(shù))序列激勵下，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)yss(k)隨激勵信號e(k)的頻率變化的特性。故 e(k)Acos(k)yss(k)

H

j

cos[k( (6當(dāng)e(kAejke(k)Asinky(ke(k)Asinky(k)AH(ej)sin[k((6

j)

AH

j

ej(k由Hz由Hz)求H(ej)的條件∵當(dāng)zej時,在z平面上對應(yīng)單位圓Hz)在單位圓上收斂時,用H(ej)Hzze即H(z)的收斂域滿 z (1,頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej的計算H(ejH(ej)H(zze 說H(z)在單位圓上的函數(shù)就是頻率說數(shù)。(離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的特點 由于ej是周期為2的周期函數(shù)，因而頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)必然也是周期為2的周期（離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的特點）因此,畫H(ej的頻率特性數(shù)。(離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)的特點6.6.26.6.2H(z)B(z)A(z

jn

z

zj

當(dāng)H(z)在單位圓上收斂時(H(z)的極點均在單位圓內(nèi)z piie

jCj

j

iDi

CC" ej12"mH(ej)H(ej)ejB DD"Dej12" H(ej

BC1C2 C D1D2 Dn mH(ej) mH(ej)H(zjzjZe H(ej)ej( nipi

頻率響應(yīng)的幾何確定法(略jmjmzj

當(dāng)H(z)在單位圓上收斂時(H(z)的極點均在單位圓內(nèi)j izj iznjmpinB(zA(zH(z)

zjCj

jHH(ej)H(ziiii

ZZeze

ej

iDi

復(fù)變量ej在z平面上沿單位圓逆時針旋轉(zhuǎn)時H(ej)中各矢量的模和幅角也 j z

從0~2(或–~)完成一個周 某一離散系統(tǒng)的z域模型如圖所求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)Hej，并畫出其幅頻特性曲線。若輸入為e(k)21cosk求此時該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (k H(z)

z0

z0

E(z)

Y(z)H(ej

)H(z) zze

e4

e

1H(ejH

3) je3

6 6 (k)ss21cosk11Dyss(k)H(ejcos[k( (66例2某一離散系統(tǒng)的z域模型如圖所示，求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)Hej若輸入為e(k25

k90D

求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) H(z)5(z 4(z14

z4

3 3E(z)

X(z)5

Y(z)∵z1 z15e

1 51HejH(z1

Ze

（ej1 j ej0 （e3）

z域框yyss(k)51.89cos2k90 17DD3e(k)Acos(kyss(k)AH )cos[k(6.7z變換 變換的關(guān) fs(t) f(t)T(t) f(t (tkTs)s

f(kTs)(tkTsf(t)F(f(t)F(s)skf(kT)ekSTss(6z令zeSTs f(kTs)z則F(則F(z)kf(k)zsTsTs1lnz11）sz

(6- ss ss(1)