2025屆黑龍江省雙城市兆麟中學(xué)高三新時(shí)代NT抗疫愛心卷（II）數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個(gè)小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側(cè)面積為3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則①處應(yīng)填寫（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度5．設(shè)，，分別是中，，所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線與的位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合C．垂直 D．相交但不垂直6．若復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．8．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．9．已知為圓的一條直徑，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且點(diǎn)到該漸近線的距離為，則雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為A． B．C． D．11．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有12．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.14．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).15．已知復(fù)數(shù),其中是虛數(shù)單位．若的實(shí)部與虛部相等,則實(shí)數(shù)的值為__________．16．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，，（且），則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的值．18．（12分）如圖，是矩形，的頂點(diǎn)在邊上，點(diǎn)，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)（的長(zhǎng)度滿足需求）.設(shè)，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.19．（12分）車工劉師傅利用數(shù)控車床為某公司加工一種高科技易損零件，對(duì)之前加工的100個(gè)零件的加工時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：加工1個(gè)零件用時(shí)（分鐘）20253035頻數(shù)（個(gè)）15304015以加工這100個(gè)零件用時(shí)的頻率代替概率.（1）求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）劉師傅準(zhǔn)備給幾個(gè)徒弟做一個(gè)加工該零件的講座，用時(shí)40分鐘，另外他打算在講座前、講座后各加工1個(gè)該零件作示范.求劉師傅講座及加工2個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過100分鐘的概率.20．（12分）已知在多面體中，平面平面，且四邊形為正方形，且//，，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21．（12分）在銳角三角形中，角的對(duì)邊分別為．已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列．（1）求的值；（2）若的面積為求的值．22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．2．C【解析】

根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計(jì)算可得.【詳解】解：根據(jù)三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點(diǎn)，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側(cè)面積為.故正確的為C.故選：C.本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計(jì)算問題，屬于中檔題.3．B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】；；.所以①處應(yīng)填寫“”故選：B本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象．故選A．考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與性質(zhì)．三角函數(shù)圖象變換方法：5．C【解析】試題分析：由已知直線的斜率為，直線的斜率為，又由正弦定理得，故，兩直線垂直考點(diǎn)：直線與直線的位置關(guān)系6．A【解析】

將整理成的形式，得到復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的的點(diǎn)，從而可選出所在象限.【詳解】解：，所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限.故選:A.本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo).易錯(cuò)點(diǎn)是誤把當(dāng)成進(jìn)行計(jì)算.7．A【解析】

若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，∴，設(shè)，∴，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，函數(shù)恒過點(diǎn)，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個(gè)正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個(gè)正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實(shí)數(shù)m的最大值為，故選：A本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8．C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.9．D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與圓心距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題.10．B【解析】

雙曲線的漸近線方程為，由題可知．設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，解得，所以，解得，所以雙曲線的實(shí)軸的長(zhǎng)為，故選B．11．C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為.故答案為：.本題考查了根據(jù)三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．14．（1），；（2），.【解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個(gè)參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.【詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).點(diǎn)到直線的距離.當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.15．【解析】

直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合已知條件即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：的實(shí)部與虛部相等,所以,計(jì)算得出.故答案為:本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得的值.【詳解】由于，，所以，則，∴，，.故答案為：本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1);(2).【解析】試題分析：（1）由正弦定理得到．消去公因式得到所以．進(jìn)而得到角A；（2）結(jié)合三角形的面積公式，和余弦定理得到，聯(lián)立兩式得到．解析：（I）因?yàn)?，所以，由正弦定理，得．又因?yàn)?，，所以．又因?yàn)椋裕↖I）由，得，由余弦定理，得，即，因?yàn)椋獾?因?yàn)?，所?18．（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設(shè)，由此求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡(jiǎn)整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設(shè)，，由（1）的結(jié)論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，且最大值為.本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質(zhì)及其三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)換思想，應(yīng)用意識(shí).19．（1）分布列見解析，；（2）0.8575【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)求得分布列，并計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.（2）根據(jù)對(duì)立事件概率計(jì)算公式、相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式，計(jì)算出劉師傅講座及加工個(gè)零件作示范的總時(shí)間不超過分鐘的概率.【詳解】（1）的分布列如下：202530350.150.300.400.15.（2）設(shè)，分別表示講座前、講座后加工該零件所需時(shí)間，事件表示“留師傅講座及加工兩個(gè)零件示范的總時(shí)間不超過100分鐘”，則.本小題主要考查隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算，考查相互獨(dú)立事件概率計(jì)算，屬于中檔題.20．（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）構(gòu)造直線所在平面，由面面平行推證線面平行；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的余弦值.【詳解】（1）過點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為,又四邊形為正方形，故可得，故可得平面，又平面，故可得.在三角形中，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，故可得//，為中點(diǎn)；又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，是的中點(diǎn)，故可得//；又，且平面，平面,故面面，又因?yàn)槠矫?，故?即證.（2）連接，，作交于點(diǎn)，由（1）可知平面，又因?yàn)?/，故可得平面，則；又因?yàn)?/，，故可得即，，兩兩垂直，則分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)面的法向量為，則，，則，可取，設(shè)平面的法向量為，則，，則，可取，可知平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.本題考查由面面平行推證線面平行，涉及用向量法求二面角的大小，屬綜合基礎(chǔ)題.21．（1）；（2）.【解析】

(1)根據(jù)成等差數(shù)列與三角形內(nèi)角和可知,再利用兩角和的正切公式,代入化簡(jiǎn)可得,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和與余弦的兩角和公式與等比數(shù)列的性質(zhì)可求得,聯(lián)立即可求解求的值.(2)由(1)可知,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系與正弦定理可求得,再結(jié)合的面積為利用面積公式求解即可.【詳解】解：成等差數(shù)列,可得而,即,展開化簡(jiǎn)得,因?yàn)?故①又成等比數(shù)列,可得,