集合與常用邏輯用語(yǔ)第一章

第3講全稱量詞與存在量詞課標(biāo)要求考情概覽1．理解全稱量詞與存在量詞的意義．2．能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定考向預(yù)測(cè)：全稱量詞、存在量詞以及含有一個(gè)量詞的命題的否定常常以選擇或填空的形式出現(xiàn)，難度較低．學(xué)科素養(yǎng)：考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合

自測(cè)糾偏03素養(yǎng)微專

直擊高考02重難突破

能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏1量詞名稱常見(jiàn)量詞符號(hào)表示全稱量詞所有的、一切、任意一個(gè)、每一個(gè)、任給等

存在量詞存在一個(gè)、至少有一個(gè)、有些、對(duì)某些等

1.全稱量詞和存在量詞?

?

命題名稱語(yǔ)言表示符號(hào)表示命題的否定全稱量詞命題對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立?x∈M，p(x)

存在量詞命題存在M中的一個(gè)x，p(x)成立?x∈M，p(x)

2.全稱量詞命題、存在量詞命題及含一個(gè)量詞的命題的否定?x∈M，綈p(x)

?x∈M，綈p(x)

【常用結(jié)論】含一個(gè)量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結(jié)論”．1．(教材改編)下列命題中是假命題的是 (

)A．?x∈R,2x－1＞0 B．?x∈N*，(x－1)2＞0C．?x∈R，lgx＜1 D．?x∈R，tanx＝2【答案】B2．(2021年廣元模擬)已知集合A＝{x|x2－2x≤8}，B＝{－2,0}，下列命題為假命題的是 (

)A．?x∈A，x∈B B．?x∈B，x∈AC．?x∈A，x∈B D．?x∈B，x∈A【答案】C3．(2021年遂寧一模)已知命題p：?x∈R，x＞sinx，則 (

)A．綈p：?x∈R，x＜sinx B．綈p：?x∈R，x≤sinxC．綈p：?x∈R，x≤sinx D．綈p：?x∈R，x＜sinx【答案】C4．(多選)下列命題中的真命題是 (

)A．?x∈R，lnx＝1 B．?x∈R，sinx＝0C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,5x＞0【答案】ABD5．設(shè)命題p：正方形都是平行四邊形，則綈p為_(kāi)___________________．【答案】有的正方形不是平行四邊形6．(2021年上饒六校聯(lián)考)已知命題“存在x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．全稱命題與特稱命題的否定(1)弄清命題是全稱命題還是特稱命題是寫(xiě)出命題否定的前提．(2)改寫(xiě)量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫(xiě)．(3)否定結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在全稱命題和特稱命題中，量詞都可以省略． (

)(2)“有的等差數(shù)列也是等比數(shù)列”是特稱命題． (

)(3)“三角形內(nèi)角和是180°”是全稱命題． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√重難突破能力提升2示通法一般地，若一個(gè)全稱命題是真命題，那么它的否定是一個(gè)存在性命題，并且是假命題；若一個(gè)存在性命題是真命題，那么它的否定是一個(gè)全稱命題，并且是假命題．全稱命題與存在性命題的否定，除了關(guān)鍵詞要改變，結(jié)論也要否定，即變化的有兩個(gè)方面，不能只改寫(xiě)一處．含有一個(gè)量詞的命題答案】(1)A

(2)AC【解析】(1)由3－1＜1得A為假命題．故選A．考向2含一個(gè)量詞的命題的否定 (1)(2021年德州模擬)命題“?x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是 (

)A．?x∈R，x3－x2＋1≥0B．?x∈R，x3－x2＋1＞0C．?x∈R，x3－x2＋1≤0D．?x∈R，x3－x2＋1＞0(2)命題“存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方是有理數(shù)”的否定是 (

)A．任意一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)B．任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)C．存在一個(gè)有理數(shù)，它的平方是有理數(shù)D．存在一個(gè)無(wú)理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【答案】(1)B

(2)B【解析】(1)將量詞否定，結(jié)論否定，可得?x∈R，x3－x2＋1＞0.故選B．(2)量詞“存在”改為“任意”，結(jié)論“它的平方是有理數(shù)”否定后為“它的平方不是有理數(shù)”．故選B．【解題技巧】

判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路(2)(2021年重慶月考)(多選)設(shè)非空集合P，Q滿足P∩Q＝Q，且P≠Q(mào)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是 (

)A．?x∈Q，有x∈P

B．?x∈P，使得x?QC．?x∈Q，使得x?P

D．?x?Q，有x?P答案】(1)A

(2)CD (1)(2021年廈門月考)已知命題p：?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0，若命題p是假命題，則a的取值范圍為 (

)A．[1,3] B．[－1,3]C．(1,3) D．[0,2](2)(2021年六安期末)若“?x∈R，λx2－λx＋1＞0”是真命題，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 (

)A．(－∞，0]∪[4，＋∞) B．(0,4)C．[0,4) D．(0,4]【答案】(1)B

(2)C根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)【解題技巧】根據(jù)全稱(存在)量詞命題的真假求參數(shù)的思路：與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問(wèn)題的本質(zhì)是恒成立問(wèn)題或有解問(wèn)題．解決此類問(wèn)題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組)，再通過(guò)解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或范圍．【答案】(1)A

(2)1素養(yǎng)微專直擊高考3邏輯推理的關(guān)鍵要素是：邏輯的起點(diǎn)、推理的形式、結(jié)論的表達(dá)．解決雙變量“存在性或任意性”問(wèn)題關(guān)鍵就是將含有全稱量詞和存在量詞的條件“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系)，目的在于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)和良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)．素養(yǎng)提升——邏輯推理：突破雙變量“存在性或任意性”問(wèn)題【解題技巧】理解全稱量詞與存在量詞的含義是求解本題的關(guān)鍵，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)建關(guān)于a的不等式組，從而求得參數(shù)的取值范圍．【解題技巧】本類問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”，上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想．另外，若把此種類型中的兩個(gè)“存在”均改為“任意”，則“等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來(lái)求解參數(shù)的取值范圍．【解題技巧】理解量詞的含義，將原不等式轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)max，利用函數(shù)的單調(diào)性，求f(x)與g(x)的最大值，得關(guān)于a的不等式，進(jìn)而可求得a的取值范圍．遷移應(yīng)用1．已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，對(duì)任意的x1，x2∈[1,4]有f(x1)>g(x2)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．【答案】(－∞，0)【解析】f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，當(dāng)x∈[1,4]時(shí)，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，則f(x)min>g(x)max，即2>2