第1頁（共1頁）2024年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算2+（﹣3）過程正確的是（）A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）2．（3分）南湖公園是長(zhǎng)春市著名旅游景點(diǎn)之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖3．（3分）在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則∠α的大小為（）A．54° B．60° C．70° D．72°4．（3分）下列運(yùn)算一定正確的是（）A．2a?3a＝6a B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a55．（3分）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學(xué)的身高，c表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，則a＞c C．若a＞b，c＞0，則ac＞bc D．若a＞b，c＞0，則6．（3分）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為θ，則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為（）A．a(chǎn)sinθ千米 B．千米 C．a(chǎn)cosθ千米 D．千米7．（3分）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)O為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段OA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G，點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點(diǎn)M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180° C．AM＝CM D．OMAB8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，2）在函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若BC，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．（3分）單項(xiàng)式﹣2a2b的次數(shù)是．10．（3分）計(jì)算：．11．（3分）若拋物線y＝x2﹣x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，則c的取值范圍是．12．（3分）已知直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且y隨x的增大而減小，則b的值可以是.（寫出一個(gè)即可）13．（3分）一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB＝12cm．現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在直線l上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)至少為cm．（結(jié)果保留π）14．（3分）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，連結(jié)AD．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠ABD＝∠DAC；②AF＝FG；③當(dāng)DG＝2，GB＝3時(shí)，F(xiàn)G；④當(dāng)2，AB＝6時(shí)，△DFG的面積是，上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x．16．（6分）2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學(xué)科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一種．一對(duì)雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報(bào)這種組合的學(xué)生分成A、B、C三個(gè)班，其中每位學(xué)生被分到這三個(gè)班的機(jī)會(huì)均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率．17．（6分）《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數(shù)和金價(jià)各是多少？請(qǐng)解答這個(gè)問題．18．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是邊AB的中點(diǎn)，∠AOD＝∠BOC．求證：四邊形ABCD是矩形．19．（7分）某校為調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機(jī)抽取20名學(xué)生對(duì)食堂進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分10分），將收集到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖：（數(shù)據(jù)分成4組：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）b．高中部20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)在8≤x＜9這一組的是：8.08.18.28.28.48.58.68.78.8c．初中部、高中部各20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)初中部8.38.5高中部8.3m根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中m的值為；（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)分不低于8.5分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學(xué)生中，設(shè)初中部、高中部對(duì)食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為a、b，則ab；（填“＞”“＜”或“＝”）②高中部共有800名學(xué)生在食堂就餐，估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)C、D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，四邊形ABCD面積為2；（2）在圖②中，四邊形ABCD面積為3；（3）在圖③中，四邊形ABCD面積為4．21．（8分）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車輛通過兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）a的值為；（2）當(dāng)x≤a時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）通過計(jì)算說明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時(shí)）22．（9分）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB＝3，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且AM＝CN，試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點(diǎn)P，作射線AP．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM＝MP；（2）∠CAP的大小為度，線段MN長(zhǎng)度的最小值為．【方法應(yīng)用】某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持AM＝DN．鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為米．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），作射線AD，在射線AD上取點(diǎn)P，使AP＝BD，以AP為邊作正方形APMN，使點(diǎn)M和點(diǎn)C在直線AD同側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BD＝4時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離為；（3）連結(jié)PN，當(dāng)PN⊥AC時(shí)，求正方形APMN的邊長(zhǎng)；（4）若點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，則CD的長(zhǎng)為.（寫出一個(gè)即可）24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝x2+2x+c（c是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，﹣2）．點(diǎn)A、B是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為m、﹣m，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣5m，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)AB、AC．（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證：當(dāng)m取不為零的任意實(shí)數(shù)時(shí)，tan∠CAB的值始終為2；（3）作AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)D，以AD為邊、AC為對(duì)角線作菱形ADCE，連結(jié)DE．①當(dāng)DE與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形ADCE的面積；②當(dāng)此拋物線在菱形ADCE內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)y隨x的增大而增大時(shí)，直接寫出m的取值范圍．

2024年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算2+（﹣3）過程正確的是（）A．+（3+2） B．+（3﹣2） C．﹣（3+2） D．﹣（3﹣2）【答案】D【解答】根據(jù)有理數(shù)加法法則第2條：絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．2+（﹣3）＝﹣（3﹣2）故答案為D．2．（3分）南湖公園是長(zhǎng)春市著名旅游景點(diǎn)之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）A．主視圖 B．俯視圖 C．左視圖 D．右視圖【答案】B【解答】解：南湖公園是長(zhǎng)春市著名旅游景點(diǎn)之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的俯視圖．故選：B．3．（3分）在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則∠α的大小為（）A．54° B．60° C．70° D．72°【答案】D【解答】解：∠α＝180°72°，故選：D．4．（3分）下列運(yùn)算一定正確的是（）A．2a?3a＝6a B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5【答案】C【解答】解：A．2a?3a＝6a2，故本選項(xiàng)不符合題意；B．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不符合題意；C．（ab）2＝a2b2，故本選項(xiàng)符合題意；D．（a3）2＝a6，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5．（3分）不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，a、b分別表示兩位同學(xué)的身高，c表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A．若a＞b，則a+c＞b+c B．若a＞b，b＞c，則a＞c C．若a＞b，c＞0，則ac＞bc D．若a＞b，c＞0，則【答案】A【解答】解：由題意得，a＞b，∴a+c＞b+c，∴圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是若a＞b，則a+c＞b+c．故選：A．6．（3分）2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)A時(shí)，位于海平面R處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)R到點(diǎn)A的距離為a千米，仰角為θ，則此時(shí)火箭距海平面的高度AL為（）A．a(chǎn)sinθ千米 B．千米 C．a(chǎn)cosθ千米 D．千米【答案】A【解答】解：在Rt△ALR中，AR＝a，∠ARL＝θ，∴sinθ，∴AL＝AR?sinθ＝asinθ（千米）．答：火箭距海平面的高度AL為asinθ千米，故選：A．7．（3分）如圖，在△ABC中，O是邊AB的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)B為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段BO于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E；②以點(diǎn)O為圓心、BD長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段OA于點(diǎn)F；③以點(diǎn)F為圓心、DE長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)G，點(diǎn)G與點(diǎn)C在直線AB同側(cè)；④作直線OG，交AC于點(diǎn)M．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠AOM＝∠B B．∠OMC+∠C＝180° C．AM＝CM D．OMAB【答案】D【解答】解：由作圖過程可知，∠AOM＝∠B，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；∵∠AOM＝∠B，∴OM∥BC，∴∠OMC+∠C＝180°，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；∵O是邊AB的中點(diǎn)，OM∥BC，∴點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，∴AM＝CM，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)已知條件不能得出OMAB，故D選項(xiàng)不正確，符合題意．故選：D．8．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，2）在函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象上．將直線OA沿y軸向上平移，平移后的直線與y軸交于點(diǎn)B，與函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象交于點(diǎn)C．若BC，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）A．（0，） B．（0，3） C．（0，4） D．（0，2）【答案】B【解答】解：由題意，∵點(diǎn)A（4，2）在函數(shù)y上，∴k＝4×2＝8．∴反比例函數(shù)為y．設(shè)直線OA為y＝kx，∴4k＝2．∴k．∴直線OA為yx．又設(shè)向上平移m個(gè)單位到直線BC，∴B（0，m），直線BC為yx+m．再設(shè)（a，）（a＞0），∴a+m．∴ma．作CH⊥y軸于H，∴CH＝a，BHma，BH2+CH2＝BC2．∴a2+a2＝5．∴a＝2．∴4﹣m＝1．∴m＝3．∴B（0，3）．故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。9．（3分）單項(xiàng)式﹣2a2b的次數(shù)是3．【答案】3．【解答】解：?jiǎn)雾?xiàng)式﹣2a2b的次數(shù)是：3．故答案為：3．10．（3分）計(jì)算：．【答案】．【解答】解：原式＝2．故答案為：．11．（3分）若拋物線y＝x2﹣x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，則c的取值范圍是c．【答案】c．【解答】解：由題意，∵拋物線y＝x2﹣x+c（c是常數(shù)）與x軸沒有交點(diǎn)，∴Δ＝1﹣4c＜0．∴c．故答案為：c．12．（3分）已知直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且y隨x的增大而減小，則b的值可以是2（答案不唯一）.（寫出一個(gè)即可）【答案】2（答案不唯一）．【解答】解：∵直線y＝kx+b（k、b是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)（1，1），∴1＝k+b．∵y隨x的增大而減小，∴k＜0，當(dāng)k＝﹣1時(shí)，1＝﹣1+b，解得：b＝2，∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）．13．（3分）一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊AB與直線l重合，AB＝12cm．現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′落在直線l上，則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長(zhǎng)至少為8πcm．（結(jié)果保留π）【答案】8π．【解答】解：有題可知點(diǎn)A經(jīng)過的軌跡是以B為圓心的弧AA'．∵∠A＝30°，∴∠ABC＝60°∴∠CBC'＝120°，∴∠ABA'＝120°，弧AA'得長(zhǎng)度為：8π．故答案為：8π．14．（3分）如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G，連結(jié)AD．給出下面四個(gè)結(jié)論：①∠ABD＝∠DAC；②AF＝FG；③當(dāng)DG＝2，GB＝3時(shí)，F(xiàn)G；④當(dāng)2，AB＝6時(shí)，△DFG的面積是，上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有①②③．【答案】①②③．【解答】解：①∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴∠ABD＝∠DAC，故結(jié)論①正確；②∵AB是半圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∵DE⊥AB，∴∠BDE+∠ABD＝90°，∴∠ADE＝∠ABD，∴∠ADE＝∠DAC，∴AF＝FD，∵∠ADB＝90°，∴∠ADE+∠BDE＝90°，∠AGD+∠DAC＝90°，又∵∠ADE＝∠DAC，∴∠BDE＝∠AGD，∴FD＝FG，∴AF＝FG，故結(jié)論②正確；③∵DG＝2，GB＝3，∴BD＝DG+GB＝5，在Rt△ADG中，tan∠DAC，在Rt△ABD中，tan∠ABD，∵∠ABD＝∠DAC，∴，∴AD2＝10，在Rt△ADG中，由勾股定理得：AG，∴AF＝FGAG，故結(jié)論③正確；④∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，2，∴，即點(diǎn)D，C為半圓弧上的三等分點(diǎn)，∴∠ABD＝∠DAC＝30°，在Rt△ABD中，AB＝6，sin∠ABD，∴AD＝AB?sin∠ABD＝6×sin30°＝3，在Rt△ADG中，tan∠DAC，∴DG＝AD?tan∠DAC＝3×tan30°＝√3，∴S△ADGAD?DG3，∵AF＝FG，∴S△DFGS△ADG，故結(jié)論④不正確，綜上所述：正確的結(jié)論是①②③．故答案為：①②③．三、解答題：本題共10小題，共78分。15．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x．【答案】2．【解答】解：原式＝x2；當(dāng)x時(shí)，原式2．16．（6分）2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學(xué)科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一種．一對(duì)雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報(bào)這種組合的學(xué)生分成A、B、C三個(gè)班，其中每位學(xué)生被分到這三個(gè)班的機(jī)會(huì)均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率．【答案】．【解答】解：列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有9種等可能的結(jié)果，其中這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的結(jié)果有：（A，A），（B，B），（C，C），共3種，∴這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率為．17．（6分）《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買金，每人出400錢，剩余3400錢；每人出300錢，剩余100錢．問合伙人數(shù)和金價(jià)各是多少？請(qǐng)解答這個(gè)問題．【答案】合伙人數(shù)為33人，金價(jià)為9800錢．【解答】解：設(shè)合伙人數(shù)為x人，由題意得，400x﹣3400＝300x﹣100，解得：x＝33，∴400x﹣3400＝9800（錢），答：合伙人數(shù)為33人，金價(jià)為9800錢．18．（7分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是邊AB的中點(diǎn)，∠AOD＝∠BOC．求證：四邊形ABCD是矩形．【答案】見解答．【解答】解：由題可知，∵O是邊AB的中點(diǎn)，∴OA＝OB，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（ASA），∴DA＝CB，∵∠A＝∠B＝90°，∴DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形．19．（7分）某校為調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機(jī)抽取20名學(xué)生對(duì)食堂進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分10分），將收集到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布直方圖如圖：（數(shù)據(jù)分成4組：6≤x＜7，7≤x＜8，8≤x＜9，9≤x≤10）b．高中部20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)在8≤x＜9這一組的是：8.08.18.28.28.48.58.68.78.8c．初中部、高中部各20名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：平均數(shù)中位數(shù)初中部8.38.5高中部8.3m根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）表中m的值為8.3；（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)分不低于8.5分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學(xué)生中，設(shè)初中部、高中部對(duì)食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為a、b，則a＞b；（填“＞”“＜”或“＝”）②高中部共有800名學(xué)生在食堂就餐，估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）8.3；（2）①＞；②360人．【解答】解：（1）由題意得，m8.3，故答案為：8.3；（2）①∵初中部的中位數(shù)為8.5，∴a≥10，由題意得，b＝4+5＝9，∴a＞b，故答案為：＞；②800360（人），答：高中部共有800名學(xué)生在食堂就餐，估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)約為360人．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形ABCD，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)C、D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，四邊形ABCD面積為2；（2）在圖②中，四邊形ABCD面積為3；（3）在圖③中，四邊形ABCD面積為4．【答案】（1）見解答．（2）見解答．（3）見解答．【解答】解：（1）如圖①，四邊形ABCD即為所求．（2）如圖②，四邊形ABCD即為所求．（3）如圖③，四邊形ABCD即為所求．21．（8分）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車輛通過兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時(shí)間x（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）a的值為；（2）當(dāng)x≤a時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）通過計(jì)算說明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過120千米/時(shí)）【答案】（1）；（2）y＝90x+2（x）；（3）沒有超速．【解答】解：（1）由題意得，100a＝20，解得a，故答案為：；（2）設(shè)當(dāng)x時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），則：，解得，∴y＝90x+2（x）；（3）當(dāng)x時(shí)，y＝902＝9.5，∴先勻速行駛小時(shí)的速度為：114（千米/時(shí)），∵114＜120，∴輛汽車減速前沒有超速．22．（9分）【問題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問題：如圖①，在等邊△ABC中，AB＝3，點(diǎn)M、N分別在邊AC、BC上，且AM＝CN，試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值．【問題分析】小明通過構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問題，再通過定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問題．【問題解決】如圖②，過點(diǎn)C、M分別作MN、BC的平行線，并交于點(diǎn)P，作射線AP．在【問題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問題：（1）證明：AM＝MP；（2）∠CAP的大小為30度，線段MN長(zhǎng)度的最小值為．【方法應(yīng)用】某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形BCDE是矩形，AB＝AC＝CD＝2米，∠ACB＝30°．MN是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)M在AC上，點(diǎn)N在DE上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持AM＝DN．鋼絲繩MN長(zhǎng)度的最小值為米．【答案】（1）證明過程見解析；（2）30，；（3）．【解答】（1）證明：∵CP∥MN，MP∥NC，∴四邊形CPMN是平行四邊形，∴MP＝NC，又∵AM＝CN，∴AM＝MP．（2）解：∵AM＝MP，∴∠CAP＝∠MPA，∵∠PMC＝∠ACB＝60°，∴∠CAP＝∠MPA＝30°．∵四邊形CPMN是平行四邊形，∴MN＝PC，當(dāng)PC⊥AP最小時(shí)，MN也有最小值，此時(shí)PCAC．∴MN最小值是．故答案為：30，．（3）解：如圖過M、D作ED、MN的平行線，則四邊形MNDP是平行四邊形，∴MN＝DP，∠PMC＝∠ACB＝30°，∴∠PAM＝∠APM＝15°，當(dāng)DP⊥AP時(shí)，DP最小，∵∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴∠PAD＝∠CAD+∠PAM＝45°，在△ACD中，ADAC＝2，∴DP＝AD?sin45°．故答案為：．23．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），作射線AD，在射線AD上取點(diǎn)P，使AP＝BD，以AP為邊作正方形APMN，使點(diǎn)M和點(diǎn)C在直線AD同側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BD＝4時(shí)，點(diǎn)D到直線AC的距離為；（3）連結(jié)PN，當(dāng)PN⊥AC時(shí)，求正方形APMN的邊長(zhǎng)；（4）若點(diǎn)N到直線AC的距離是點(diǎn)M到直線AC距離的3倍，則CD的長(zhǎng)為或.（寫出一個(gè)即可）【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）或．【解答】解：（1）∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵BC＝6，∴BDBC＝3，在Rt△ABD中，AB＝5，∴AD4．（2）如圖①，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵BC＝6，BD＝4，∴CD＝2，由（1）知AF＝4，∵S△ACDAC?D