2024－2025學(xué)年度武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)學(xué)情調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題卷面分值：120分考試時(shí)間：120分鐘一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.2.“高興同學(xué)拆開(kāi)一個(gè)盲盒就抽到自己非常喜歡的小機(jī)器人”，這個(gè)事件是（）A不可能事件 B.隨機(jī)事件 C.確定性事件 D.必然事件3.年月日至月日哈爾濱亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，中國(guó)體育代表團(tuán)取得了優(yōu)異的成績(jī)，亞冬會(huì)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（）A. B. C. D.4.的出現(xiàn)為全球領(lǐng)域帶來(lái)了新的活力和機(jī)遇，其日活用戶(hù)數(shù)量在上線僅僅20天就突破了2000萬(wàn)大關(guān)，日活增長(zhǎng)速度超過(guò)了當(dāng)初爆火的，數(shù)據(jù)2000萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.6.下圖是底部放有一個(gè)實(shí)心鐵球的長(zhǎng)方體水槽軸截面示意圖，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時(shí)間（x）關(guān)系的是（）A. B. C. D.7.如圖，在中，小美同學(xué)按如下步驟尺規(guī)作圖：①分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E、F；②作直線，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)G；③作射線，在射線上截?。˙與D不重合），使得；④作直線．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.8.經(jīng)過(guò)一個(gè)“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假設(shè)這兩種可能性相同．某一定時(shí)間內(nèi)隨機(jī)有三人經(jīng)過(guò)該路口，則至少有兩人左拐的概率為（）A. B. C. D.9.如圖，銳角內(nèi)接于，其中，M為銳角的內(nèi)心，連并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)D，若，則銳角的內(nèi)切圓半徑為（）（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留2位小數(shù)）A.0.65 B.0.66 C.0.67 D.0.6810.將拋物線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到如圖所示的圖象．若點(diǎn)在該圖像上，則m的值有（）個(gè)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二．選擇題（共6小題，每小題3分，共18分）11.中國(guó)是最早采用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國(guó)家，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期李惺所著《法經(jīng)》已經(jīng)使用負(fù)數(shù)．若向東走50米記作米，則向西走35米記作______米．12.已知反比例函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的的值______．13.分式方程的解為_(kāi)_____．14.如圖，斜坡坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為15米，則大樹(shù)的高為_(kāi)_____米．（結(jié)果保留根號(hào)）15.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，則線段的最小值是______．16.已知拋物線（a，b，c是常數(shù)），過(guò)兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若且，拋物線上，且，則；④若，當(dāng)時(shí)，直線與該拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是______（填寫(xiě)序號(hào)）三．解答題（共8小題，共72分）17.求不等式組的正整數(shù)解．18.如圖，在中，O是中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：；（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件______，使四邊形為矩形．（不需要說(shuō)明理由）19.為積極響應(yīng)并切實(shí)落實(shí)“雙減”政策，我校精心策劃并組織了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)，旨在充實(shí)和活躍學(xué)生的課余生活，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展．為精準(zhǔn)把握全校學(xué)生參與學(xué)校五個(gè)特色社團(tuán)的意向，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方式，選取了40名學(xué)生展開(kāi)問(wèn)卷調(diào)查．此次調(diào)查規(guī)定，每位學(xué)生僅能從五個(gè)社團(tuán)中挑選一個(gè)．目前，問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果已初步整理，但統(tǒng)計(jì)圖表尚不完善，請(qǐng)你進(jìn)一步補(bǔ)充與完善．社團(tuán)名稱(chēng)A（架子鼓）B（乒乓球）C（手工制作）D（播音主持）E（舞蹈）人數(shù)/人4m16n4請(qǐng)你根據(jù)以上信息結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：（1）填空：______；______；______；請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）在抽樣調(diào)查中，參加5個(gè)社團(tuán)的人數(shù)的眾數(shù)為_(kāi)_____；扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形B的圓心角是______度；（3）若全校有1800名學(xué)生，估計(jì)全校約有多少名學(xué)生愿意參加乒乓球或手工制作社團(tuán)？20.如圖，是的外接圓，，連接，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：直線是的切線．（2）若的半徑為2，，求的長(zhǎng)．21.如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)畫(huà)線不得超過(guò)3條．（1）如圖1，正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，是上格點(diǎn)，是與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，畫(huà)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（2）在圖1中，在上畫(huà)點(diǎn)，使得．（3）如圖2，的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，是上格點(diǎn)，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)對(duì)應(yīng)線段，再在上畫(huà)點(diǎn)，使得．（4）在圖2中，在上畫(huà)點(diǎn)，使得．22.在電影《哪吒之魔童鬧?！分?，同學(xué)們覺(jué)得海妖從空間裂縫G點(diǎn)處跳出襲擊陳塘關(guān)的畫(huà)面非常生動(dòng)有趣，同學(xué)們把海妖起跳后飛行的路線看作拋物線的一部分，取海平面上水平線為x軸，鉛垂線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，從海妖起跳到著落的過(guò)程中，海妖離海平面的鉛垂高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足（，a、h、n都為常數(shù)），若，海妖起跳后的最高點(diǎn)距海平面，與點(diǎn)G的水平距離是．陳塘關(guān)正面城墻與起跳點(diǎn)G的水平距離，城墻寬，城墻高．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明海妖能否成功跳到城墻上？（3）為阻止海妖攻入城墻，一名士兵在中點(diǎn)E處朝海妖放箭，箭的路線可看作直線（k、b為常數(shù)），問(wèn)士兵要想射中空中飛行的海妖，k的值至少為_(kāi)_____（直接寫(xiě)出結(jié)果）．23.已知：在菱形中，，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)．【問(wèn)題背景】（1）如圖1，若，求證：．【問(wèn)題探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．（用含n的式子表示）24.如圖，拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與正半軸交于點(diǎn)B，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱(chēng)軸為，且．（1）直接寫(xiě)出拋物線解析式為_(kāi)_____．（2）如圖1，點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)E是第一象限拋物線上一點(diǎn)，使得，，求E點(diǎn)坐標(biāo)．（3）將拋物線關(guān)于y軸翻折得到拋物線，如圖2，它與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)P，與正半軸交于點(diǎn)Q，與y軸正半軸交于點(diǎn)C，直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，且平分，求點(diǎn)P到直線的最大距離．

2024－2025學(xué)年度武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)學(xué)情調(diào)研（三）數(shù)學(xué)試題卷面分值：120分考試時(shí)間：120分鐘一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下列四個(gè)圖形中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，但不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的定義，中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義是解題的關(guān)鍵；根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的定義，中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義依次判斷即可求解；【詳解】解：A、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故不符合題意；B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故不符合題意；故選：B2.“高興同學(xué)拆開(kāi)一個(gè)盲盒就抽到自己非常喜歡的小機(jī)器人”，這個(gè)事件是（）A.不可能事件 B.隨機(jī)事件 C.確定性事件 D.必然事件【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了隨機(jī)事件，必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，據(jù)此解答即可．【詳解】解：“高興同學(xué)拆開(kāi)一個(gè)盲盒就抽到自己非常喜歡的小機(jī)器人”這個(gè)事件是隨機(jī)事件，故選：B．3.年月日至月日哈爾濱亞洲冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)上，中國(guó)體育代表團(tuán)取得了優(yōu)異的成績(jī)，亞冬會(huì)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)可以近似的看成如圖所示的立體圖形，它的左視圖是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，即可得出答案．【詳解】解：從幾何體的左側(cè)觀察有兩個(gè)上下排列的矩形，從幾何體的右側(cè)觀察也有兩個(gè)矩形，右側(cè)下方的矩形的高比左側(cè)下方的矩形矮，在左視圖中下面的長(zhǎng)方形中的虛線是右側(cè)下方的矩形的邊，幾何體的左視圖如下所示：故選：C

．4.的出現(xiàn)為全球領(lǐng)域帶來(lái)了新的活力和機(jī)遇，其日活用戶(hù)數(shù)量在上線僅僅20天就突破了2000萬(wàn)大關(guān)，日活增長(zhǎng)速度超過(guò)了當(dāng)初爆火的，數(shù)據(jù)2000萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法．熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，要正確確定的值以及的值是解決此題的關(guān)鍵．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值時(shí)，是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，是負(fù)數(shù)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：2000萬(wàn)，故選：B．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除、冪的乘方、積的乘方、合并同類(lèi)項(xiàng)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同底數(shù)冪的乘除、冪的乘方、積的乘方、合并同類(lèi)項(xiàng)的運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故此選項(xiàng)正確，符合題意；D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．6.下圖是底部放有一個(gè)實(shí)心鐵球的長(zhǎng)方體水槽軸截面示意圖，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時(shí)間（x）關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)蓄水池的橫斷面示意圖，可知水的深度增長(zhǎng)的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不變，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：由蓄水池的橫斷面示意圖可得，水的深度增長(zhǎng)的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不變，故選：D．【點(diǎn)睛】主要考查了函數(shù)圖象的讀圖能力和函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合的應(yīng)用．要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類(lèi)型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論．7.如圖，在中，小美同學(xué)按如下步驟尺規(guī)作圖：①分別以點(diǎn)A、C為圓心，以大于為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E、F；②作直線，交于點(diǎn)O，交于點(diǎn)G；③作射線，在射線上截?。˙與D不重合），使得；④作直線．若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)尺規(guī)作圖可知是的垂直平分線，可得，再結(jié)合，判定四邊形是平行四邊形，可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，接下來(lái)說(shuō)明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：尺規(guī)作圖的過(guò)程，得是的垂直平分線，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，，∴，∴．∵，∴．∵，∴．故選：B．8.經(jīng)過(guò)一個(gè)“T”字型路口的行人，可能右拐，可能左拐．假設(shè)這兩種可能性相同．某一定時(shí)間內(nèi)隨機(jī)有三人經(jīng)過(guò)該路口，則至少有兩人左拐的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查用樹(shù)狀圖求事件的概率，概率的計(jì)算公式，正確理解題意并列舉所有可能的情況是解題的關(guān)鍵．用樹(shù)狀圖列舉出所有等可能的情況，計(jì)算至少有兩人左拐的次數(shù)，利用概率計(jì)算公式求解．【詳解】解：樹(shù)狀圖如下：共有8種等可能的情況，其中至少有兩人左拐的有4種，∴至少有兩人左拐的概率為，故選：A．9.如圖，銳角內(nèi)接于，其中，M為銳角的內(nèi)心，連并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)D，若，則銳角的內(nèi)切圓半徑為（）（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留2位小數(shù)）A.0.65 B.0.66 C.0.67 D.0.68【答案】B【解析】【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓與外接圓的綜合，涉及垂徑定理，切線的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，連接，，，，連接交于，過(guò)作于，設(shè)銳角的內(nèi)切圓半徑為，由內(nèi)切圓可得點(diǎn)到三邊距離為，，，是的角平分線，先證明，得到，再在中，由，得到，在和中求出，，最后根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，連接，，，，連接交于，過(guò)作于，設(shè)銳角的內(nèi)切圓半徑為，∵M(jìn)為銳角的內(nèi)心，∴點(diǎn)到三邊距離為，，，是的角平分線，∴，，∵，，∴，∴，，，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴中，，，，∴，∵，∴，∴中，，，中，，，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：B．10.將拋物線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到如圖所示的圖象．若點(diǎn)在該圖像上，則m的值有（）個(gè)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)，二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．先利用配方法得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到點(diǎn)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后拋物線形狀不變，只是開(kāi)口方向相反，可得出新的拋物線解析式為：，再把把點(diǎn)看成是函數(shù)的上一點(diǎn)，然后畫(huà)出圖形利用數(shù)形結(jié)合的方式求解即可．【詳解】解：的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，點(diǎn)關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：，則得到新的拋物線解析式為：．把點(diǎn)看成是函數(shù)的上一點(diǎn)，如圖，故有4個(gè)交點(diǎn)，故選：D二．選擇題（共6小題，每小題3分，共18分）11.中國(guó)是最早采用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示相反意義的量的國(guó)家，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期李惺所著《法經(jīng)》已經(jīng)使用負(fù)數(shù)．若向東走50米記作米，則向西走35米記作______米．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，理解具有相反意義的量是解題的關(guān)鍵．正數(shù)和負(fù)數(shù)是一組具有相反意義的量，據(jù)此即可求得答案．【詳解】解：若向東走50米記作米，則向西走35米記作米，故答案為：．12.已知反比例函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的的值______．【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，可知反比例函數(shù)的圖像在第二象限，所以可得不等式，只要寫(xiě)一個(gè)小于的數(shù)即可．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖像，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，反比例函數(shù)的圖像在第二象限，，，只要寫(xiě)一個(gè)小于的數(shù)即可，的值為(答案不唯一)．故答案為：

．13.分式方程的解為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，系數(shù)化為1，最后檢驗(yàn)得出答案．【詳解】解：去分母，得，去括號(hào)，得，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)，得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．故答案為：．14.如圖，斜坡的坡度，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹(shù)，當(dāng)太陽(yáng)光與水平面的夾角為時(shí)，大樹(shù)在斜坡上的影子長(zhǎng)為15米，則大樹(shù)的高為_(kāi)_____米．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確構(gòu)造直角三角形．如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，設(shè)米，米，勾股定理求出，解直角三角形求出，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作水平地面的平行線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，在中，，設(shè)米，米，，，米，米，，（米），（米），答：大樹(shù)的高度為米．故答案為：．15.如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，，則線段的最小值是______．【答案】【解析】【分析】將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得為等邊三角形、，推出，易知當(dāng)時(shí)，取最小值，即為．過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，從而證明，即．在等邊中，通過(guò)，求出，，，即可求出，從而求出線段的最小值．【詳解】解：如圖，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接、，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：為等邊三角形，線段是線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，，，，，，線段長(zhǎng)度最小時(shí)，的長(zhǎng)度也最小，而時(shí)，取最小值，即為．過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，在等邊中，，，，，，，，，，的最小值為，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．16.已知拋物線（a，b，c是常數(shù)），過(guò)兩點(diǎn)，且．下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若且，在拋物線上，且，則；④若，當(dāng)時(shí)，直線與該拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論是______（填寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②③【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，求二次函數(shù)關(guān)系式，將點(diǎn)代入關(guān)系式，計(jì)算判斷①；將及點(diǎn)代入關(guān)系式用含有b的代數(shù)式表示a，即可得出交點(diǎn)式，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的位置得出不等式，求出解集判斷②；根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，再分四種情況討論得出不等式組，求出解集判斷③；先求出二次函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求出當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)直線和拋物線有一個(gè)交點(diǎn)得出答案．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)．將點(diǎn)代入關(guān)系式，，整理，得，所以①正確；當(dāng)時(shí)，．將點(diǎn)代入關(guān)系式，得，即，∴，∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．∵，∴．當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，不符合題意．綜上所述，．所以②正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，可知該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為．當(dāng)點(diǎn)P，Q在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，，無(wú)解；當(dāng)點(diǎn)P，Q在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)時(shí)，，無(wú)解；當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)時(shí)，，解得；綜上所述：．所以③正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)．將點(diǎn)代入關(guān)系式，得，解得，∴二次函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，；此時(shí)直線與該拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，則．綜上所述，或.所以④不正確．正確的結(jié)論是①②③．故答案為：①②③．三．解答題（共8小題，共72分）17.求不等式組的正整數(shù)解．【答案】1，2，3【解析】【分析】本題主要考查了求不等式組的正整數(shù)解，先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，然后根據(jù)解集得出正整數(shù)的解．詳解】解：解不等式①，得；解不等式②，得，則不等式組的解集是，所以正整數(shù)解有1，2，3．18.如圖，在中，O是的中點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接．（1）求證：；（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件______，使四邊形為矩形．（不需要說(shuō)明理由）【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，對(duì)于（1），根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，即可得，再根據(jù)可得結(jié)論；對(duì)于（2），由（1）可知，即可知四邊形是平行四邊形，再添加一個(gè)內(nèi)角等于或?qū)蔷€相等，答案不唯一．【小問(wèn)1詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴．∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．∵，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．當(dāng)時(shí)，∴四邊形是矩形．故答案為：（答案不唯一）．19.為積極響應(yīng)并切實(shí)落實(shí)“雙減”政策，我校精心策劃并組織了豐富多彩的社團(tuán)活動(dòng)，旨在充實(shí)和活躍學(xué)生的課余生活，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展．為精準(zhǔn)把握全校學(xué)生參與學(xué)校五個(gè)特色社團(tuán)的意向，學(xué)校采用隨機(jī)抽樣的方式，選取了40名學(xué)生展開(kāi)問(wèn)卷調(diào)查．此次調(diào)查規(guī)定，每位學(xué)生僅能從五個(gè)社團(tuán)中挑選一個(gè)．目前，問(wèn)卷調(diào)查結(jié)果已初步整理，但統(tǒng)計(jì)圖表尚不完善，請(qǐng)你進(jìn)一步補(bǔ)充與完善．社團(tuán)名稱(chēng)A（架子鼓）B（乒乓球）C（手工制作）D（播音主持）E（舞蹈）人數(shù)/人4m16n4請(qǐng)你根據(jù)以上信息結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖解答下列問(wèn)題：（1）填空：______；______；______；請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）在抽樣調(diào)查中，參加5個(gè)社團(tuán)的人數(shù)的眾數(shù)為_(kāi)_____；扇形統(tǒng)計(jì)圖中扇形B的圓心角是______度；（3）若全校有1800名學(xué)生，估計(jì)全校約有多少名學(xué)生愿意參加乒乓球或手工制作社團(tuán)？【答案】（1）12，4，10（2）4，（3）估計(jì)全校約有名學(xué)生愿意參加乒乓球或手工制作社團(tuán)【解析】【分析】本題主要考查了條形統(tǒng)計(jì)圖，扇形統(tǒng)計(jì)圖和用樣本估計(jì)總體，學(xué)會(huì)從統(tǒng)計(jì)圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵，（1）總抽查人數(shù)，，，然后補(bǔ)全條形圖即可得解；（2）由眾數(shù)的定義即可得解，由扇形統(tǒng)計(jì)圖計(jì)算即可得解；（3）全校愿意參加乒乓球或手工制作社團(tuán)的學(xué)生有：，計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：由題可知，（人），(人)，，補(bǔ)全的條形統(tǒng)計(jì)圖如下：故答案為：12，4，10；【小問(wèn)2詳解】解：∵眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，∴在這組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴參加5個(gè)社團(tuán)的人數(shù)的眾數(shù)是，由扇形統(tǒng)計(jì)圖知，的圓心角是：，故答案為：4，；【小問(wèn)3詳解】解：(人)，答：估計(jì)全校約有名學(xué)生愿意參加乒乓球或手工制作社團(tuán)．20.如圖，是的外接圓，，連接，過(guò)點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）求證：直線是的切線．（2）若的半徑為2，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，圓的切線的判定定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）連接，由圓周角定理可得，則，從而推出，即可證明結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得是等腰直角三角形，進(jìn)而得到，再利用勾股定理求出，，即可求出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，連接，，，，，，又是半徑，直線是的切線．【小問(wèn)2詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，是等腰直角三角形，，，，，半徑為2，，在中，，在中，，．21.如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)畫(huà)線不得超過(guò)3條．（1）如圖1，正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，是上格點(diǎn)，是與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，畫(huà)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（2）在圖1中，在上畫(huà)點(diǎn)，使得．（3）如圖2，的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，是上格點(diǎn)，先將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫(huà)對(duì)應(yīng)線段，再在上畫(huà)點(diǎn)，使得．（4）在圖2中，在上畫(huà)點(diǎn)，使得．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析（4）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，找到關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后找到關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接格點(diǎn)交網(wǎng)格線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；（3）取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接，則，根據(jù)網(wǎng)格的特點(diǎn)，得出，即可求解；（4）在（3）的結(jié)論下找到兩個(gè)個(gè)三角形的銳角的正切分別為和，即可求解取格點(diǎn)網(wǎng)格線中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則即為所求，【小問(wèn)1詳解】找到關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，和點(diǎn)下方第三條網(wǎng)格線的交點(diǎn)即關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．【小問(wèn)2詳解】如圖所示，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接格點(diǎn)交網(wǎng)格線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)即為所求；理由如下，連∴四邊形是平行四邊形，∴，∵根據(jù)平行線分線段成比例可得：，∴∴四邊形平行四邊形，又∵∴四邊形是矩形，∴∵∴是等腰直角三角形，∴又由①可得，即∴是的垂直平分線，∴∴＝【小問(wèn)3詳解】解：如圖所示，即為所求，取與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連接，則＝理由如下，如圖，連接根據(jù)平行線分線段成比例可得∴，又∵∵∴∴是直角三角形∴∴＝【小問(wèn)4詳解】如圖所示，取格點(diǎn)網(wǎng)格線中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則即為所求，理由如下，∵∵，∵∴∴∴同（2）可得，∴又∴又∵點(diǎn)在上，∴【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度直尺作圖，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，正切的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22.在電影《哪吒之魔童鬧?！分校瑢W(xué)們覺(jué)得海妖從空間裂縫G點(diǎn)處跳出襲擊陳塘關(guān)的畫(huà)面非常生動(dòng)有趣，同學(xué)們把海妖起跳后飛行的路線看作拋物線的一部分，取海平面上水平線為x軸，鉛垂線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，從海妖起跳到著落的過(guò)程中，海妖離海平面的鉛垂高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足（，a、h、n都為常數(shù)），若，海妖起跳后的最高點(diǎn)距海平面，與點(diǎn)G的水平距離是．陳塘關(guān)正面城墻與起跳點(diǎn)G的水平距離，城墻寬，城墻高．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明海妖能否成功跳到城墻上？（3）為阻止海妖攻入城墻，一名士兵在中點(diǎn)E處朝海妖放箭，箭的路線可看作直線（k、b為常數(shù)），問(wèn)士兵要想射中空中飛行的海妖，k的值至少為_(kāi)_____（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）（2）海妖能成功跳到城墻上（3）【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．（1）由題意找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后找到與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求解；（2）先求出的坐標(biāo)，然后求出時(shí)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，與進(jìn)行比較即可得解；（3）求出直線與拋物線的邊界值，進(jìn)而即可得解．【小問(wèn)1詳解】解：∵海妖起跳后的最高點(diǎn)距海平面，與點(diǎn)G的水平距離是．∴，，∴，∵，∴，∴，解得，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為；【小問(wèn)2詳解】解：∵陳塘關(guān)正面城墻與起跳點(diǎn)G的水平距離，城墻寬，城墻高，∴，，令得，，解得，（舍）或，∵，∴海妖能成功跳到城墻上；【小問(wèn)3詳解】解：∵，，E為的中點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，解得，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴方程整理得，∴，∴，此時(shí)直線與點(diǎn)下方的拋物線相切（舍）或，∴，∴k的值至少為，故答案為：．23.已知：在菱形中，，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為上一點(diǎn)．【問(wèn)題背景】（1）如圖1，若，求證：．【問(wèn)題探究】（2）如圖2，在（1）條件下，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．求證：．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．（用含n的式子表示）【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】對(duì)于（1），連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再說(shuō)明，接下來(lái)證明，可得答案；對(duì)于（2），先根據(jù)菱形的面積相等得出，即可得出答案；對(duì)于（3），作，連接，由（1）得是等邊三角形，，即可得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得，根據(jù)平行線分線段成比例可得，即，然后說(shuō)明，可得，再說(shuō)明，接下