第12講函數(shù)與方程1/32考綱要求考點分布考情風(fēng)向標(biāo)1.結(jié)合二次函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點與方程根聯(lián)絡(luò)，判斷一元二次方程根存在性及根個數(shù)．2.依據(jù)詳細(xì)函數(shù)圖象，能夠用二分法求對應(yīng)方程近似解新課標(biāo)第10題考查函數(shù)零點存在性定理；新課標(biāo)Ⅰ第12題以函數(shù)零點為背景，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用；天津第8題依據(jù)根分布求參數(shù)取值范圍；新課標(biāo)Ⅲ第12題依據(jù)函數(shù)零點存在情況求參數(shù)值高考試題對該部分內(nèi)容考查主要角度有兩種：一個是找函數(shù)零點個數(shù)；一個是判斷零點范圍．另外備考中應(yīng)該尤其注意利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)零點2/321.函數(shù)零點(1)方程f(x)＝0有實根?函數(shù)y＝f(x)圖象與x軸有________?函數(shù)y＝f(x)有零點.交點＜

(2)假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上圖象是連續(xù)不停，且有f(a)·f(b)____0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點.一般把這一結(jié)論稱為零點存在性定理.3/322.二分法

假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[m，n]上圖象是一條連續(xù)不停曲線，且f(m)·f(n)<0，經(jīng)過不停地把函數(shù)y＝f(x)零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間兩個端點逐步迫近零點，進而得到零點近似值方法叫做二分法.4/32

1.如圖2-12-1所表示是函數(shù)f(x)圖象，它與x軸有4個不同公共點.給出以下四個區(qū)間，不能用二分法求出函數(shù)f(x)零點區(qū)間是()B圖2-12-1A.[－2.1，－1]B.[1.9,2.3]C.[4.1,5]D.[5,6.1]5/32x1.251.31251.3751.43751.51.5625f(x)－0.8716－0.5788－0.28130.21010.328430.641152.為了求函數(shù)f(x)＝2x＋3x－7一個零點，某同學(xué)利用計算器得到自變量x和函數(shù)f(x)部分對應(yīng)值以下表： 則方程2x＋3x＝7近似解(準(zhǔn)確到0.1)可取為(

)A.1.32B.1.49C.1.4D.1.3解析：經(jīng)過表格得知f(1.375)<0，f(1.4375)>0，所以函數(shù)唯一零點x0

在區(qū)間(1.375,1.4375)內(nèi).故選C.C6/32x－10123f(x)－0.6773.0115.4325.9807.651g(x)－0.5303.4514.8905.2416.892

3.(年山東濟南歷城區(qū)統(tǒng)測)已知函數(shù)

f(x)與g(x)圖象在R上不間斷，由表知函數(shù)y＝f(x)－g(x)在以下區(qū)間內(nèi)一定有零點是()A.(－1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7/32解析：當(dāng)x＝－1時，f(－1)－g(－1)＜0；當(dāng)x＝0時，f(0)－g(0)＜0；當(dāng)x＝1時，f(1)－g(1)＞0；當(dāng)x＝2時，f(2)－g(2)＞0；當(dāng)x＝3時，f(3)－g(3)＞0，且函數(shù)f(x)與g(x)圖象在R上不間斷，由零點存在定理可得，函數(shù)y在(0,1)內(nèi)存在零點.故選B.答案：B8/32包含f(x)零點區(qū)間是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4，＋∞)在性定理可知選C.C9/32考點1函數(shù)零點判定例1：(1)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b))(x－c)＋(x－c)(x－a)兩個零點分別位于區(qū)間( A.(a，b)和(b，c)內(nèi)

B.(－∞，a)和(a，b)內(nèi)

C.(b，c)和(c，＋∞)內(nèi)

D.(－∞，a)和(c，＋∞)內(nèi)10/32

解析：因為f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，f(a)f(b)＜0，f(b)f(c)＜0，所以兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi).答案：A11/3212/32圖D14答案：213/32圖2-12-2A.(0.1,0.2)B.(0.2,0.3)C.(0.3,0.4)D.(0.4,0.5)14/32答案：C15/32

【規(guī)律方法】判斷函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上是否存在零點，慣用以下三種方法：①當(dāng)對應(yīng)方程易解時，可經(jīng)過解方程，看方程是否有根落在給定區(qū)間上[如第(3)題]；②利用函數(shù)零點存在性定理進行判斷[如第(1)題]；③經(jīng)過函數(shù)圖象，觀察圖象給定區(qū)間上交點來判斷[如第(2)題].16/32考點2依據(jù)函數(shù)零點存在情況，求參數(shù)值例2：(1)(年新課標(biāo)Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點，則a＝(

)答案：C17/32

(2)(年云南昆明模擬)已知定義在

R上偶函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0,2]上f(x)＝x，若關(guān)于x方程f(x)＝logax有三個不一樣實根，則a取值范圍為____________.

解析：由

f(x－4)＝f(x)知，函數(shù)周期為4，又函數(shù)為偶函數(shù)， ∴f(x－4)＝f(x)＝f(4－x). ∴函數(shù)圖象關(guān)于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2.圖D1518/3219/32【互動探究】A.(1,3)C.(0,2)B.(0,3)D.(0,1)20/32

解析：畫出函數(shù)f(x)圖象如圖D16，觀察圖象可知，若方程f(x)－a＝0有三個不一樣實數(shù)根，則函數(shù)y＝f(x)圖象與直線y＝a有3個不一樣交點，此時需滿足0＜a＜1.故選D.圖D16答案：D21/32考點3二分法應(yīng)用

例3：已知函數(shù)

f(x)＝lnx＋2x－6. (1)求證：函數(shù)f(x)在其定義域上是增函數(shù)；

(2)求證：函數(shù)f(x)有且只有一個零點；

(3)求這個零點所在一個區(qū)間，使這個區(qū)間長度不超22/32(1)證實：函數(shù)f(x)定義域為(0，＋∞)，設(shè)x1<x2，則lnx1<lnx2，2x1<2x2.∴l(xiāng)nx1＋2x1－6<lnx2＋2x2－6.∴f(x1)<f(x2).∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).(2)證實：∵f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0.∴f(x)在(2,3)上最少有一個零點.又由(1)知，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)＝0至多有一個根，從而函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上有且只有一個零點.23/3224/32【規(guī)律方法】(1)二分法是求方程根近似值一個計算方法，它只能用來求函數(shù)變號零點；(2)給定精度ε，用二分法求函數(shù)y＝f(x)零點近似值步驟以下：①確定區(qū)間[m，n]，驗證f(m)·f(n)<0，給定精度ε；②求區(qū)間[m，n]中點x1；③計算f(x1)：ⅰ)若f(x1)＝0，則x1就是函數(shù)y＝f(x)零點；ⅱ)若f(m)·f(x1)<0，則令n＝x1[此時零點x0∈(m，x1)]；ⅲ)若f(x1)·f(n)<0，則令m＝x1[此時零點x0∈(x1，n)]；④判斷是否到達精度ε：若|m－n|≤ε，則得到零點近似值為m(或n)；不然重復(fù)步驟②～④.25/32【互動探究】26/32答案：A27/32

思想與方法 ⊙利用分類討論思想判斷方程根分布

例題：關(guān)于x方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，給出以下四個命題： ①存在實數(shù)k，使得方程恰有2個不一樣實根； ②存在實數(shù)k，使得方程恰有4個不一樣實根； ③存在實數(shù)k，使得方程恰有5個不一樣實根； ④存在實數(shù)k，使得方程恰有8個不一樣實根.其中假命題個數(shù)是()A.0B.1C.2D.328/32解析：依據(jù)題意可令|x2－1|＝t(t≥0)，①則方程化為t2－t＋k＝0.②

作出函數(shù)y＝|x2－1|圖象(圖略)，結(jié)合函數(shù)圖象可知：

(1)當(dāng)t＝0或t>1時，方程①有2個不一樣根；

(2)