高2027屆拔尖強基聯(lián)盟高一下3月聯(lián)合練習(xí)數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）2025年3月注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評講）.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.2.在中，，是一元二次方程的兩個根，那么是（）A銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷3.梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅涅勞斯的著作《球面學(xué)》中，經(jīng)過不斷地研究和推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)任何一條直線截三角形的各邊或其延長線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積.即如圖所示，若直線分別截三邊延長線于點，，，則有，現(xiàn)若發(fā)現(xiàn)圖中，，則為（）A. B. C. D.14.已知函數(shù)的定義域是，滿足，且，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.45.求的值為（）A.1 B.2 C. D.46.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，那么該三角形解的情況為（）A.無解 B.恰有一解 C.恰有兩解 D.不能確定7.函數(shù)的圖象如圖所示，其中，，則（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，滿足，且函數(shù)在單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最大值為，最小值為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，是兩個非零向量，則下列說法正確的是（）A若，則 B.若，則使得C.若，則與的夾角為銳角 D.在方向上的投影向量的模為10.已知函數(shù)最小正周期是，把它的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則以下結(jié)論中正確的有（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.當(dāng)時，的值域為C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在上有3個零點11.在中，，角、、對邊分別為，，，則下列式子正確的是（）A.BC.若是直角三角形，則.D.若是銳角三角形，在上有一動點，則最小值為.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，與的夾角為，則______.13.已知，.若，，則的值是______.14.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知，求的值.（2）已知，，與的夾角為，當(dāng)與垂直時，求的值.16.已知函數(shù).（1）求對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位，再將橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足.（1）求角的大?。唬?）若是銳角三角形，，求的最小值.18.已知，.（1）若，其中，求；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍.19.已知面積為6，內(nèi)角的對邊分別為.為中點，為邊靠近點的三等分點.（1）求的面積；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的最小值.

高2027屆拔尖強基聯(lián)盟高一下3月聯(lián)合練習(xí)數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）2025年3月注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、班級、考場/座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.答選擇題時，必須使用2B鉛筆填涂；答非選擇題時，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫；必須在題號對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫無效保持答卷清潔、完整.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評講）.一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】因為角的終邊過點，所以，.故選：D.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，屬于容易題.2.在中，，是一元二次方程的兩個根，那么是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷【答案】A【解析】【分析】由根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)、和角正切公式判斷正切值符號，即可得.【詳解】由題設(shè)，，易知同正，則，而，所以均為銳角，即是銳角三角形.故選：A3.梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家梅涅勞斯的著作《球面學(xué)》中，經(jīng)過不斷地研究和推導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)任何一條直線截三角形的各邊或其延長線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積.即如圖所示，若直線分別截三邊延長線于點，，，則有，現(xiàn)若發(fā)現(xiàn)圖中，，則為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由向量的數(shù)量積公式分別得到，，然后兩式相除得的值，由條件即可求出.【詳解】，，∴，又∵，∴，故選：A.4.已知函數(shù)的定義域是，滿足，且，，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，推得，得到函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合和函數(shù)的對稱性，求得，且，結(jié)合周期性，即可求得的值.【詳解】由，可得，又由，可得，即，所以，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，因為，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又因為，可得，所以的圖象關(guān)于中心對稱，可得，則因為，可得，且，，所以，則.故選：B.5.求的值為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】借助切化弦，輔助角公式，誘導(dǎo)公式，二倍角公式對代數(shù)式進行化簡求職.【詳解】，故選：D.6.在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，那么該三角形解的情況為（）A.無解 B.恰有一解 C.恰有兩解 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】由三角形內(nèi)角的性質(zhì)得，結(jié)合的大小關(guān)系，即可判斷三角形個數(shù).【詳解】中，則，而，，所以，顯然滿足的三角形恰有兩個.故選：C7.函數(shù)的圖象如圖所示，其中，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)解析式，再代入自變量求函數(shù)值即可.【詳解】由題圖，且，則，故，由，則，又，則，所以，則.故選：D8.已知函數(shù)，滿足，且函數(shù)在單調(diào)遞增，設(shè)函數(shù)在區(qū)間的最大值為，最小值為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，利用單調(diào)性確定的范圍，結(jié)合范圍可求答案.詳解】，，,又時，單調(diào)遞增,，，且，，，或，或，時，，時，，∴和在其范圍內(nèi)，即取得最大值和最小值，.又時，，的最小值始終在處取得，且最大值，，綜上的取值范圍為.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)，是兩個非零向量，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則使得C.若，則與的夾角為銳角 D.在方向上的投影向量的模為【答案】ABD【解析】【分析】依據(jù)向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)，研究模、夾角、垂直，投影向量的概念，向量共線定理等知識對選項逐一判斷即可.【詳解】對于A選項：因為，所以，正確；對于B選項：由向量共線定理知正確；對于C選項:若，則當(dāng)同向且為非零向量是滿足條件，此時夾角不為銳角，故不正確；對于D選項：由投影向量的概念知，在方向上的投影向量的模為，正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的最小正周期是，把它的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則以下結(jié)論中正確的有（）A.的圖象關(guān)于直線對稱 B.當(dāng)時，的值域為C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在上有3個零點【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)中函數(shù)的基本性質(zhì)求參數(shù)值得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷各項的正誤.【詳解】由題設(shè)知，且為奇函數(shù)，則，又，所以，則，，則是的一條對稱軸，A對；，則，故值域為，B對；，則不是一個對稱中心，C錯；，則，而在上只有2個零點，D錯.故選：AB11.在中，，角、、對邊分別為，，，則下列式子正確的是（）A.B.C.若是直角三角形，則.D.若是銳角三角形，在上有一動點，則最小值為.【答案】BCD【解析】【分析】利用商數(shù)關(guān)系、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)得判斷A；根據(jù)A分析及余弦定理有，再應(yīng)用基本不等式判斷B；根據(jù)已知得，進而有，，再應(yīng)用三角形面積公式判斷C；過作，要求的最小值，應(yīng)在之間運動，再應(yīng)用向量數(shù)量積的定義及運算律得求最小值判斷D.【詳解】A，，則，即，，即，又，則，由正弦定理得，，錯；B，由及余弦定理，得，即，由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，對；C，在中，由于，所有，均不為直角，進而，則，代入得：，由于為銳角，所以，，所以，對；D，過作，則，又在之間運動時，與的夾角為鈍角，因此要求的最小值，應(yīng)在之間運動，即，又，當(dāng)時，取最小值為，對.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，與的夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及其定義求.【詳解】由.故答案為：13.已知，.若，，則的值是______.【答案】.【解析】【分析】又得到的氛圍，由同角三角函數(shù)的關(guān)系求得.利用誘導(dǎo)公式得到，再由余弦函數(shù)在單調(diào)得到角的關(guān)系，然后得到結(jié)果.【詳解】∵，由∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又∵在上單調(diào)遞減，∴，∴，故答案為：14.在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】法一：應(yīng)用正弦邊角關(guān)系得，再由余弦定理、銳角三角形內(nèi)角性質(zhì)及二倍角余弦公式可得，進而有，，即可得，即可求范圍；法二：應(yīng)用正余弦定理有，結(jié)合銳角三角形內(nèi)角性質(zhì)得，后續(xù)同法一.【詳解】法一：由正弦定理角化邊得，由，所以.由，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，則，，因為為銳角三角形，，解得，設(shè)，則，法二：由正弦定理角化邊得.由余弦定理，則.由正弦定理，則.則，由為銳角三角形，得，.所以，即，后續(xù)同法一.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）已知，求的值.（2）已知，，與的夾角為，當(dāng)與垂直時，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先利用兩角和差公式化簡得出的值，再利用齊次化思想將目標轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子求解；（2）先求，再利用數(shù)量積的運算律化簡即可求.【詳解】（1），解得.則（2）由題意可得，則，解得16.已知函數(shù).（1）求的對稱中心和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象先向左平移個單位，再將橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.【答案】（1）對稱中心為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用三角恒等變換得，再應(yīng)用正弦函數(shù)的性質(zhì)求對稱中心和遞增區(qū)間；（2）根據(jù)圖象平移得，進而求其在給定區(qū)間的值域.【小問1詳解】，令，，對稱中心為，令，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】，因為，所以，則，則，即值域為.17.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足.（1）求角的大小；（2）若是銳角三角形，，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正余弦定理可得，結(jié)合三角形內(nèi)角性質(zhì)求角；（2）由正弦定理得，結(jié)合已知得，進而有，再應(yīng)用余弦定理可得，由基本不等式求其最小值.【小問1詳解】由正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以，，因為，所以.【小問2詳解】由正弦定理得，則，，則，，則，由余弦定理知，，，，當(dāng)時取得最小值為，的最小值為.18.已知，.（1）若，其中，求；（2）求關(guān)于的不等式的解集；（3）若函數(shù)在內(nèi)有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由已知及求的正余弦值，進而得；（2）應(yīng)用三角恒等變換得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解集；（3）問題化為有兩個解，再應(yīng)用換元法求右側(cè)的值域，即可得范圍.【小問1詳解】，又，解得或，所以或；【小問2詳解】由，所以，則，由正弦函數(shù)圖象可知，得，解集為；【小問3詳解】有兩個零點，所以有兩個解，顯然時無解，則有兩個解，令，則，令，在上單調(diào)遞減且值域為，在上單調(diào)遞減且值域為，由余弦函數(shù)圖象知時有2個解，此時，當(dāng)函數(shù)有兩個零點時，.19.已知面積為6，內(nèi)角的對邊分別為.為中點，為邊靠近點的三等分點.（1）求的面積；（2）若，求的取值范圍；（3）若，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)設(shè)，將分別用表示，通過求出的值，從而找出的面積與面積的關(guān)系，即可求得；