中考題中銳角三角函數(shù)問題的變化特點(diǎn)分析目錄TOC\o"1-5"\h\z\u1前言 12銳角三角函數(shù)的概念 13西南片區(qū)銳角三角函數(shù)考題的變化特點(diǎn) 23.1近幾年西南片區(qū)考點(diǎn)分布情況 23.2西南片區(qū)中考試題的變化特點(diǎn)分析 44西南片區(qū)銳角三角函數(shù)考題的解題分析 54.1特殊角三角函數(shù)值的計算問題 54.2銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題 74.3銳角三角函數(shù)問題的拓展探究 185教學(xué)建議與學(xué)生備考 205.1教學(xué)建議 205.2學(xué)生備考 206小結(jié) 21參考文獻(xiàn) 22

摘要：銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是中考升學(xué)考試的必考內(nèi)容，掌握該知識不但可以幫助學(xué)生取得良好的成績，更重要的是能夠?yàn)橐院蟾邔哟蔚膸缀?、函?shù)等一系列知識的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).本文首先對近五年西南片區(qū)中考題中有關(guān)銳角三角函數(shù)問題的考點(diǎn)、分值、題型等進(jìn)行總結(jié)，分析其變化特點(diǎn),然后對不同問題給出解答且分析其解題思路,最后給出教學(xué)建議和學(xué)生備考建議.關(guān)鍵詞：中考銳角三角函數(shù)；變化特點(diǎn)；解題分析1.前言銳角三角函數(shù)問題是中考的必考內(nèi)容.銳角三角函數(shù)的考試內(nèi)容通常出現(xiàn)在選擇題、填空題、計算題和簡答題中，每一年的考試中，相同的題型考點(diǎn)相同但問答要求、解答的思路和方式都有一定的變化.西南片區(qū)的銳角三角函數(shù)問題包括特殊角的三角函數(shù)值問題和綜合應(yīng)用問題，特殊角三角函數(shù)值考查方式由單獨(dú)考查變?yōu)閹讉€知識點(diǎn)并列考查，對特殊角三角函數(shù)值進(jìn)行歸納總結(jié)，斟酌解決問題的方法以應(yīng)對考題的變化；綜合應(yīng)用題考查實(shí)際圖和幾何圖兩類，這兩種題型差異是實(shí)際圖加入數(shù)學(xué)建模思想，對比可以掌握考題的走向，而對比需要分析.分析題目變化一方面可以幫助學(xué)生對銳角三角函數(shù)理解和認(rèn)識，讓學(xué)生明白特殊角的三角函數(shù)值不是一個死記硬背的東西而是一種靈活的思維變換；另一方面通過對問題的研究，歸納銳角三角函數(shù)問題的變化，可以幫助教師在教學(xué)中正確把握銳角三角函數(shù)問題的特性，正確掌握解題思路的變化，有利于教學(xué)；還可以幫助學(xué)生掌握中考中銳角三角函數(shù)的考查方向，以便于學(xué)生備考.2.銳角三角函數(shù)的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine),記作sinA,即sinA=.∠A的正弦sinA隨著∠A的變化而變化 .在Rt△ABC中，∠C=90°，把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine),記作cosA,即cosA=.B對邊斜邊CA鄰邊在Rt△ABC中，∠C=90°，把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent),記作tanA,即tanA=.對于銳角A的每一個確定的值，sinA有一個我唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是A的函數(shù).同樣地，cosA、tanA也是A的函數(shù).∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的銳角三角函數(shù)（trigonometricfunctionofacuteangle)REF_Ref18055\r\h[1].3.西南片區(qū)銳角三角函數(shù)考題的變化特點(diǎn)3.1近幾年西南片區(qū)考點(diǎn)分布情況西南片區(qū)銳角三角函數(shù)問題在2015--2020年西南片區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中的考點(diǎn)分布情況統(tǒng)計如下：年份地區(qū)題號題型分值考點(diǎn)2015云南省第19題解答題6分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用貴州省貴陽市第18（2）題簡答題10分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用第20題簡答題10分銳角三角函數(shù)的定義四川省成都市第15（1）題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值第17題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用第18題填空題4分銳角三角函數(shù)的和差2016云南省第18（1）題解答題6分銳角三角函數(shù)的定義貴州省貴陽市第8題選擇題3分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用第14題填空題4分銳角三角函數(shù)的定義第21題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用四川省成都市第15（1）題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值第17題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用2017云南省第11題選擇題4分特殊角的三角函數(shù)值第23（2）題解答題12分銳角三角函數(shù)的定義貴州省貴陽市第13題填空題4分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用第20題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用四川省成都市第15（1）題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值第18題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用2018云南省第12題選擇題4分銳角三角函數(shù)的定義第15題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值貴州省貴陽市第7題選擇題3分銳角三角函數(shù)的定義第18題簡答題8分銳角三角函數(shù)的定義四川省成都市第15（1）題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值第18題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用2019云南省第23（2）題解答題12分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用貴州省貴陽市第6題選擇題3分銳角三角函數(shù)的定義第20題簡答題10分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用四川省成都市第15（1）題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值2020云南省第20題簡答題12分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用貴州省貴陽市第13題填空題4分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用第20題簡答題8分銳角三角函數(shù)的應(yīng)用四川省成都市第16（1）題計算題6分特殊角的三角函數(shù)值第17題簡答題8分銳角三角函數(shù)的定義3.2西南片區(qū)中考試題變化特點(diǎn)分析由圖表可得，云南省2015年考查三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用占6分，2016年考題由原來和生活聯(lián)系轉(zhuǎn)變到課本研究中，聯(lián)合常規(guī)幾何題型直接考查三角函數(shù)值，分值不變，2017年選擇題考查特殊角三角函數(shù)值直接提問，提問簡潔明了，2018年選擇題在直角三角形中給出邊和角考查的正切值的定義，計算題考查開根號、次方和特殊角三角函數(shù)值多個考點(diǎn)綜合性考查，2019年沒有關(guān)于夾角的正弦、余弦和正切的提問，相對來說將銳角三角函數(shù)工具化，給出三角函數(shù)值求邊，表面銳角函數(shù)削弱，可對學(xué)生的要求更高，2020年考題形式和2019年的類似，由求三角函數(shù)值到求邊長，難度提升.預(yù)計在2021年的中考中將延續(xù)2019、2020年的出題方式，考查對銳角三角函數(shù)使用而不是考查求出銳角三角函數(shù)值.四川省成都市每一年都有特殊角的銳角三角函數(shù)值考于計算題中，分值為6分，這意味著掌握住特殊角的銳角三角函數(shù)值，就能得到6分，計算題中考查了開根號、正零負(fù)次方、絕對值與特殊角三角函數(shù)值的混合考查；小綜合題中，2015-2018年分別提問纜車上升距離、測量旗桿高度、手機(jī)導(dǎo)航兩地距離、航海需要航行距離，這些綜合題與生活相聯(lián)系起來，考查學(xué)生對銳角三角函數(shù)的使用，2019年變化是沒有考查小綜合題，2020年重新出現(xiàn)小綜合題考查圓形與三角形結(jié)合考查三角函數(shù)值.主考構(gòu)造解直角三角形再解直角三角形外加多段求和.貴州省貴陽市銳角三角函數(shù)的分值大約每年都是15分，2015年有兩道簡答題，第一題是菱形性質(zhì)和直角三角形綜合考查，第二題是測量高度是生活中銳角三角函數(shù)的一種體現(xiàn)，2016年有選擇題、填空題、簡答題三種題型，選擇題和填空題是三角形和圓形的綜合使用，簡答題求高度同樣體現(xiàn)分段求和的思想，2017年考查根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值求長度和利用三角函數(shù)值倒推度數(shù)，是一個新考法，2018年考選擇題和簡答題，選擇題聯(lián)合網(wǎng)格求出邊長進(jìn)一步求特殊角的三角函數(shù)值，簡答題是對銳角三角函數(shù)定義的考查，2019和2020兩年考試出題方式和考法一致，都是使用銳角三角函數(shù)解答問題，由求出三角函數(shù)值向使用銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)變，據(jù)此預(yù)計2021年的中考考題方式也將這樣.4.西南片區(qū)銳角三角函數(shù)考題的解題分析4.1特殊角三角函數(shù)值的計算問題特殊角的銳角三角函數(shù)值計算問題是每一年的必考點(diǎn)，提問方式包括直接提問函數(shù)值、根據(jù)隱含的邊角關(guān)系求函數(shù)值、給出角度去求邊等，為了中考獲得更高分?jǐn)?shù)必須解決這類問題，接下來在解題過程中找到解決問題的方法.(2017.云南?。?1.（4分）sin60°的值為（）.B.C.D.解：B.(2018.云南省）15.（6分）-2cos45°--（π-1）.解：原式=.分析：2017年特殊角的三角函數(shù)值在選擇題里單獨(dú)考查，能記住sin60°的值就可以得分；2018年特殊角的三角函數(shù)值在計算題考查，綜合開根號、特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)數(shù)次方及零次方多點(diǎn)考查.由單一的考查變?yōu)槎嗫键c(diǎn)考查.（2015.成都市）15（1）.（6分）計算：解：原式==8（2016.成都市）15（1）.（6分）計算：解：原式=-8+4-1+1=-4.（2017.成都市）15（1）.（6分）計算：解：原式==3.（2018.成都市）15（1）.（6分）.解：原式=4+2-=2.（2019.成都市）15（1）.（6分）計算：解：原式=4+=4（2020.成都市）16（1）.（6分）計算：6tan30°+（3.6-.解：原式==3.分析：成都市近6年都在計算題對特殊角的三角函數(shù)值考查方式較為統(tǒng)一，甚至除了2020年是在第16題，其他都在第15題，規(guī)律性極強(qiáng).掌握住特殊角銳角三角函數(shù)值的重要性得到彰顯.做這類題的關(guān)鍵在于是否記住30°,45°,60°角的三角函數(shù)值REF_Ref19616\r\h[6].記憶過程中時,可以借助三角板上的直角三角形理解記憶REF_Ref19887\r\h[9].與特殊角的三角函數(shù)值有關(guān)的計算在中考中必考，正確理解、準(zhǔn)確記憶特殊角（30°、45°、60°）的三角函數(shù)值是進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算的基礎(chǔ)REF_Ref20017\r\h[11].下面是針對這類考題的解決方法，可分為三步：①三角函數(shù)的定義：sinA=；cosA=；tanA=；②畫出直角三角形：等腰直角三角形三角形和30°角的直角三角形REF_Ref18055\r\h[1]；③聯(lián)系前面所學(xué)的知識點(diǎn)：勾股定理和30°角所對的直角邊是斜邊的一半REF_Ref18055\r\h[1].利用①②③畫出等腰直角三角形和含有30°的直角三角形.要記住45°的三角函數(shù)值，直接令兩直角邊為1，根據(jù)勾股定理算出斜邊為，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可得出三角函數(shù)值；要記住30°、60°的三角函數(shù)值，需要知道30°角所對的直角邊是斜邊的一半REF_Ref18055\r\h[1]，令30°角所對的直角邊為1，得出斜邊為2，根據(jù)勾股定理得出鄰邊為，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，即可得出三角函數(shù)值.45°60°1121將特殊角的銳角三角函數(shù)值總結(jié)如下表：特殊角度數(shù)正弦值余弦值正切值30°45°160°4.2銳角三角函數(shù)的綜合應(yīng)用問題近幾年來，銳角三角函數(shù)的考點(diǎn)向綜合的方向發(fā)展，通過結(jié)合多個考點(diǎn)進(jìn)行綜合考查，接下來對各年地區(qū)的銳角三角三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題進(jìn)行分析.（2015.云南?。?9.（6分）為解決江北學(xué)校學(xué)生上學(xué)過河難的問題，鄉(xiāng)政府決定修建一座橋，建橋過程中需測量河的寬度(即兩平行河岸AB與MN之間的距離).在測量時，選定河對岸MN上的點(diǎn)C處為橋的一端，在河岸點(diǎn)A處，測得∠CAB=30°，沿河岸AB前行30米后到達(dá)B處，在B處測得∠CBA=60°，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)求出河的寬度.(參考數(shù)據(jù):=1.41,=1.73,結(jié)果保留整數(shù)）解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)CD=.∵在直角三角形△ACD中，∠CAD=30°，∴AD==.同理可知，在直角三角形△BCD中，BD==.又∵AB=30米，即.解得=13.答：河的寬度為13米.分析：將銳角三角函數(shù)應(yīng)用到測量河的寬度中，即求MN與AB的垂直距離，體現(xiàn)一種數(shù)學(xué)建模思想，故作一輔助線CD垂直AB，進(jìn)而求出CD的長度即為所求，CD同時為兩直角三角形的直角邊，為關(guān)系型REF_Ref20530\r\h[4]，意在考查三角函數(shù)之間的互相轉(zhuǎn)化，已知∠CAB=30°，∠CBA=60°和AB的長度，可以得到AD和BD的關(guān)系，聯(lián)立2個式子即可求出河的寬度CD.（2016.云南省）18.（6分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交與點(diǎn)O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE//AC，CE//BD.求tan∠DBC的值；求證：四邊形OBEC是矩形.解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD//BC,∠DBC=∠ABC,∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠DBC=∠ABC=30°，則.分析：本題綜合考點(diǎn)菱形的性質(zhì)對角線平分夾角和平行線同旁內(nèi)角和為180°，求出∠DBC=30°，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，得出答案.本題求tan∠DBC的值是通過求出∠DBC的角度，再加入特殊角的三角函數(shù)值得出答案.（2015.成都市）17.（8分）如圖，登山纜車從點(diǎn)A出發(fā)，途徑點(diǎn)B后達(dá)到終點(diǎn)C.其中AB段與BC段的運(yùn)行路程均為200m且AB段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為30°，BC段的運(yùn)行路線與水平面的夾角為42°，求纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升的距離.（參考數(shù)據(jù)：解：如圖所示，纜車從點(diǎn)A運(yùn)行到點(diǎn)C的垂直上升距離為BD+CE，又∵△ABD和△BCE均為直角三角形，∴BD+CE=ABm.分析：利用銳角三角函數(shù)求豎直高度，涉及了一個分段求和的問題，這種題表面復(fù)雜，但抓住核心就是兩段銳角函數(shù)求出直角邊再相加.求A到C的垂直上升距離即求CE+BD，知道兩段的斜線長度及水平面夾角，根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦即可得出答案，在此題中還考查到了特殊角的銳角三角函數(shù)值，即sin30°=.（2016.成都市）17.（8分）在學(xué)習(xí)完“利用三角函數(shù)測高”這節(jié)內(nèi)容之后，某興趣小組開展了測量學(xué)校旗桿高度的實(shí)踐活動，如圖，在測點(diǎn)A處安置測傾器，量出高度AB=1.5m，測得旗桿頂端D的仰角∠DBE=32°，量出測點(diǎn)A到旗桿底部C的水平距離AC=20m.根據(jù)測量數(shù)據(jù)，求旗桿CD的高度.(參考數(shù)據(jù)：解：∵∠A=∠C=∠BEC=90°，∴四邊形ABEC為矩形,∴BE=AC=20,CE=AB=1.5.在Rt△BED中，tan∠DBE=即tan32°=.∴DE=20答：旗桿CD的高度約為13.9m.分析：這題考查銳角三角函數(shù)的測高問題REF_Ref19887\r\h[9]在實(shí)際生活當(dāng)中用銳角三角函數(shù)解直角三角形在的綜合運(yùn)用，測旗桿是一個常見的問題.解直角三角形的應(yīng)用題時,利用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題時應(yīng)注意:①仰角和俯角的概念,坡角與坡度的概念;②在解決實(shí)際問題中,有些圖形不是直角三角形,可先構(gòu)造出直角三角形,然后再求解.在解題過程中,應(yīng)按照題目中要求的精確度解答,并注明單位.（2017.成都市）18.（8分）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖小明一家啊自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西60°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東45°方向行駛一段距離后到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B,C兩地的距離.解：過B點(diǎn)作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△ABD中，AD=AB（千米）.BD=AB(千米）,∵△BCD中，∠CBD=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴CD=BD=2（千米）.∴BC=BD=（千米）.答：B,C兩地的距離是千米.分析：將銳角三角函數(shù)應(yīng)用到導(dǎo)航問題中，以方向來代替夾角，行駛距離提供長度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦應(yīng)用，求出相應(yīng)邊，再綜合加上等腰直角三角形的條件得出所求問題BC的長度等于BD，與2016年考題相比同樣涉及長度分段求和.（2018.成都市）18.（8分）由我國完全自主設(shè)計，自主建造的首艦國際航母于2018年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達(dá)A處時，測得小島C位于它的北偏東70°方向，且與航母相距80海里，在航行一段時間后到達(dá)B處，測得小島C位于它的北偏東37°方向.如果航母繼續(xù)航行至小島C的正南方向的D處，求還需航行距離BD的長.（參考數(shù)據(jù)）解：由題意，∠ACD=70°，∠BCD=37°，AC=80.在Rt△ACD中，cos∠ACD=.在Rt△BCD中，tan∠BCD=.答：還需航行距離BD的長為20.4海里.分析：考查利用銳角三角函數(shù)解決航海問題REF_Ref21049\r\h[8]解決這類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形幫助解題，這題和2016、2017年同樣涉及多個三角形求邊長，主要的一步是求出單個邊長再相加.總體來說，成都市考查了求纜車垂直上升距離、測量旗桿高度、在導(dǎo)航中求兩地距離、在航海問題中求距離.對于這些考題，關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，在做題中最易出現(xiàn)的就是出現(xiàn)多個直角三角形，這個時候同學(xué)們可能會產(chǎn)生反感心理，而此我們要把它認(rèn)清楚，能解一個就能解兩個，消除心理負(fù)擔(dān)很重要.（2015.貴陽市）18（2）.（10分）如圖在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，且AE//CD，CE//AB.證明;ADCE是菱形；若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高.(結(jié)果保留根號）分析：在多邊形中構(gòu)造直角三角形.過點(diǎn)D作DF⊥CE，垂足于點(diǎn)F；首先證明△BCD是等邊三角形，得出∠BCD=∠BDC=60°，CD=BC=6,再由平行線的性質(zhì)得出∠DCE=∠BDC=60°，即知道直角，60°和一個邊長，在Rt△CDF中，由三角函數(shù)的正弦值求DF即可.（2015.貴陽市）20.（10分）小華為了測量樓房AB的高度，他從樓底的B處沿著斜坡向上行走20m，到達(dá)坡頂D處.已知斜坡的坡角為15°.（以下計算結(jié)果精確到0.1m)求小華此時與地面的垂直距離CD的值；小華的身高ED是1.6m，他站在坡頂看樓頂A處的仰角為45°，求樓房AB的高度.解：（1）在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，∴CD=BD答：小華與地面的垂直距離CD的值是5.2m.（2）在Rt△AEF中，∵∠AEF=45°，∴AF=EF=BC，由（1)知，BC=BD，∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1(m).答：樓房AB的高度是26.1m.分析：這題第一小問求垂直距離CD的值15°的正弦值,有兩種求法，一種是用=，但是對于貴陽市的初中生而言是超綱的，所以第二種畫出30°直角三角形角度對應(yīng)的邊成比例，可以得出為0.5：，得出15°的正弦值進(jìn)一步可求出CD的值，第二小問求樓房的高度，包括多段要分段求解，再將各段加起來得出高度.（2016.貴陽市）8.（3分）小穎同學(xué)在手工制作中，把一個邊長為12cm的等邊三角形紙片貼到一個圓形的紙片上，若三角形的三個頂點(diǎn)都恰好在這個圓上，則圓的半徑為（）B.C.D.解：過點(diǎn)A作BC邊上的垂線交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作AC邊上的垂線交AD于點(diǎn)O，則O為圓心.設(shè)⊙O的半徑為R，由等邊三角形的性質(zhì)知：∠OBC=30°，OB=R.∴BD=cos∠OBCOB=R,BC=2BD=R.∵BC=12，∴R=故選B.分析：本題在和圓形組合的綜合運(yùn)用，等邊三角形提供角度，等腰三角形的夾角相等，由一個三角形的邊角關(guān)系求得所學(xué)邊長，再把這個邊長代入下一個三角形求出BD和夾角，加上銳角三角函數(shù)的定義來求解圓的半徑.（2016.貴陽市）14.（4分）如圖，已知⊙O的半徑為6Cm，弦AB的長為8cm,P是AB延長線上的一點(diǎn)，BP=2cm,則tan∠OPA的值是.解：作OM⊥AB于點(diǎn)M,由垂徑定理得出AM=BM=AB=4cm.∴OM=(cm)，∵PM=PB+BM=6cm.∴tan∠OPA=；故答案為.分析：這綜合題在三角形和圓形中考查垂徑定理、勾股定理還有銳角三角函數(shù)的定義的運(yùn)用，求邊長再求比值得出答案.tan∠OPA的值是多少，做題過程有兩種，一是求出∠OPA的角度值然后加入特殊角的三角函數(shù)值，二是找出對應(yīng)邊的比值，本題是找出對應(yīng)邊的比值，要分別求出OM和PM，根據(jù)題意AB已知，垂徑定理得到AM的值，加入勾股定理得出OM，PM=BP+BM，得出比值即可.（2016.貴陽市）21.（8分）“蘑菇石”是我省自然保護(hù)區(qū)梵凈山的標(biāo)志，小明從山腳的B點(diǎn)先乘坐纜車到達(dá)觀景平臺DE觀景，然后再沿著坡腳為29°的斜坡由E點(diǎn)步行到達(dá)“蘑菇石”A點(diǎn)，A點(diǎn)到水平面BC的垂直距離為1790m，如圖，DE//BC,BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的長.(結(jié)果精確到0.1m)解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，延長DE交AC于點(diǎn)M，由題意得：EM⊥AC，DF=CM，∠AEM=29°，在Rt△DFB中，sin80°=，則DF=BD，AM=AC-CM=1790-1700，在Rt△AME中，sin29°=,故AE=答：斜坡AE的長度約為238.9m.分析：聯(lián)合了四邊形加上兩個三角形的考查，解決這類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形.構(gòu)造Rt△AME和Rt△DFB，知道AC=AM+MC，分別在兩個直角三角形里表示出AM和DF，BD已知得出DF的值，進(jìn)而得到CM、AM，在Rt△AME中即可求出AE.考查兩個三角形中兩條邊的關(guān)系，再加入兩個銳角三角函數(shù)定義的應(yīng)用求出答案.（2017.貴陽市）13.（4分）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為6，則這個六邊形的邊心距OM的長為.解：連接OB，∵六邊形ABCDEF是⊙O內(nèi)接六邊形，∴∠BOM=，∴OM=OB.分析：本題在結(jié)合了圓形和六邊形，屬于銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用REF_Ref20804\r\h[3].做題的第一步連接OB構(gòu)造直角三角形OMB，根據(jù)六邊形求出∠BOM的角度，得到∠BOM的角度為30°后，加上OB為6，在直角三角形中知道斜邊和角度，要求鄰邊OM的值，加入銳角三角函數(shù)中的余弦即可求出答案.（2017.貴陽市）20.（8分）貴陽市某消防支隊(duì)在一棟居民樓前進(jìn)行消防演習(xí)，如圖所示，消防官兵利用云梯成功救出在C處的求救者后，發(fā)現(xiàn)在C處正上方17米的B處又有一名求救者，消防官兵立即升高云將其救出，已知點(diǎn)A與居民樓的水平距離是15米，且在A測得第一次施救時云梯與水平線的夾角∠CAD=60°，求第二次施救時云梯與水平線的夾角∠BAD的度數(shù)（結(jié)果精確到1°）.解析：延長AD交BC所在直線于點(diǎn)E.由題意得，得BC=17米，AE=15米，∠CAE=60°，∠CAE=60°，∠AEB=90°，在Rt△ACE中，，∴CE=AE米.在Rt△ABE中，，∴∠BAE.答：第二次施救時云梯與水平線的夾角∠BAD約等于71°. 分析：本題考查構(gòu)造多個三角形的綜合應(yīng)用，聯(lián)系日常生活根據(jù)多段邊長求解角度，屬于銳角三角三角函數(shù)定義的應(yīng)用REF_Ref20938\r\h[7].本題思路是構(gòu)造直角三角形，找出邊角關(guān)系.第一步作AD的延長線AE，由一個三角形中的正切關(guān)系求出AE的長度，再根據(jù)第二個三角形的正切得到∠BAE的正切為BD與AE的比值，即可得出所求.（2018.貴陽市）18.（8分）如圖①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法：∵，，∴，，∴，根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識.在圖②的銳角△ABC中，探究之間的關(guān)系，并寫出探究過程.解：理由為過A作AD⊥BC，BE⊥AC，在Rt△ABD中，,即,在Rt△ADC中，,即,∴,即，同理可得,則.分析：本題給出與之間關(guān)系及其推導(dǎo)，需要推廣關(guān)系.本題是對概念的考查下，讓考生推導(dǎo)出公理.本題首先要求學(xué)生知道正弦的定義為在直角三角形中對邊與斜邊的比值，其次考查學(xué)生在非直角三角形里構(gòu)造直角三角形.解題思路的第一步要求學(xué)生可以根據(jù)示例得出公理，構(gòu)造直角三角形后按照示例探究過程依次推導(dǎo)，往公理方向推理即可.（2019.貴陽市）20.（10分）如圖，為了知道空中一塊靜止的廣告氣球A的高度，小宇在B處測得氣球A的仰角為18°，他向前走了20m后到達(dá)C處，再次測得氣球A的仰角為45°，已知小宇的眼睛距地面1.6m，求此時氣球A距離地面的高度(結(jié)果精確到0.1m).解：作AD⊥BC于點(diǎn)D，交FG于點(diǎn)E.∵∠AGE=45°，∴AE=CE,在Rt△AFE中，,即,得AE=9.6，則ED=FB1.6.∴AD=9.6+1.6=11.2米答：此時地面A距離地面的高度為11.2米.分析：解決這類問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造相關(guān)的直角三角形.本題要求氣球A距離地面的高度，首先要做出一條過點(diǎn)A且與水平平面垂直的直線，在作圖完畢之后，便可以清楚的看到要求AD的值，已知DE，只需要求得AE即可，求AE利用了銳角三角函數(shù)中的正切，這個過程最重要的一步是化整為零，各個突破，再積零為整，求得結(jié)果.綜上所述，銳角三角函數(shù)值的綜合應(yīng)用問題可簡化為求邊長和求三角函數(shù)值兩類.過程中涉及解直角三角形和解非直角三角形，直角三角形可以直接代入銳角三角函數(shù)，再找出邊角關(guān)系即可，非直角三角形則要先構(gòu)造直角三角形.在實(shí)體圖和幾何圖中，大體過程均為構(gòu)造直角三角形，列出所求的問題，由問題出發(fā)多個三角形得出多邊，邊角關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找出解答問題所需條件即可.4.3銳角三角函數(shù)問題的拓展探究中考是選拔性考試，初高中銜接的內(nèi)容常作為中考的拓展探究題出現(xiàn)，既考查初中數(shù)學(xué)知識，也考查學(xué)生運(yùn)用知識的能力.進(jìn)行銳角三角函數(shù)拓展探究類問題分析探討，可開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.高中階段，銳角三角函數(shù)會擴(kuò)展到任意角的三角函數(shù)，學(xué)習(xí)三角函數(shù)的半角、倍角、和差公式等，并把三角函數(shù)作為一種函數(shù)，畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖像，研究這些函數(shù)的性質(zhì).中考是選拔性考試，初高中銜接的內(nèi)容常作為中考的拓展探究題出現(xiàn)，既考查初中數(shù)學(xué)知識，也考查學(xué)生運(yùn)用知識的能力.銳角三角函數(shù)部分就出現(xiàn)以下的拓展探究類問題.一、從銳角三角函數(shù)到任意角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)是放在直角三角形中進(jìn)行定義的，任意角的三角函數(shù)是把角放在平面直角坐標(biāo)系中，讓角的始邊與x軸的正半軸重合,頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，讓角的終邊繞頂點(diǎn)做逆時針旋轉(zhuǎn)，然后在角的終邊上任取一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為r，于是定義這個角的正弦為y：r,這個角的余弦為x，r，這個角的正切為y：x，這樣就使任意角都有了三角函數(shù)值，它是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)來求三角函數(shù)值的.從直角三角形邊與邊的比到等腰三角形邊與邊的比銳角三角函數(shù)反映的是直角三角形中邊與邊的比，這是因?yàn)樵谥苯侨切沃?，?dāng)一個銳角固定時，這個直角三角形的形狀也固定了，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，我們根據(jù)這個銳角度數(shù)畫出的所有直角三角形都相似，即這個直角三角的三邊的比也被確定.按同樣的道理，在等腰三角形中，當(dāng)一個頂角或底角固定時，這個等腰三角形的形狀也就固定了，我們根據(jù)這個頂角或底角畫出的所有等腰三角形都相似，即這個等腰三角形的三邊之比也被確定.利用這一點(diǎn)，我們也可以在等腰三角形中建立角與邊的對應(yīng)關(guān)系，這也是三角函數(shù)關(guān)系.從任意三角形的銳角到直角三角形的銳角求任意三角形銳角的三角函數(shù)值，如銳角三角形或鈍角三角形，通常有兩種方法：（1）需要作高構(gòu)造兩個直角三角形，通過解兩個直角三角形求解；（2）將任意三角形中的銳角用等角代換，通過求與之相等的角的三角函數(shù)，得到所求角的三角函數(shù)值.但是在網(wǎng)格中，當(dāng)連接格點(diǎn)而成的兩條線段相交時，它們的夾角在網(wǎng)格中，夾角的頂角并不是格點(diǎn)，此時求夾角的三角函數(shù)值并不容易，需要通過平行線將夾角轉(zhuǎn)化為以格點(diǎn)為頂角的角.小題雖然通過平行線將所求角轉(zhuǎn)化為以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的角，但是它并不是直角三角形的銳角，這時需要通過作高進(jìn)行再次轉(zhuǎn)化，從這里我們看到，對于網(wǎng)格里兩條連接格點(diǎn)線段的夾角，都可以通過等角轉(zhuǎn)化求出它的三角函數(shù)值.對于銳角三角函數(shù)的拓展探究類問題，還包括倍角三角函數(shù)探究、半角三角函數(shù)探究、角差角三角函數(shù)探究、銳角三角形與正弦定理、銳角三角函數(shù)與余弦定理等，它們都是對銳角三角函數(shù)的有益拓展，既開闊了學(xué)生的視野，也培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，同時也實(shí)現(xiàn)了初高中數(shù)學(xué)的有效銜接，可謂一舉多得.5.教學(xué)建議與學(xué)生備考5.1教學(xué)建議一、抓住銳角三角函數(shù)的考點(diǎn)開展教學(xué).通過大學(xué)心理學(xué)的學(xué)習(xí)，知道帶著目的去做一件事效率會更高，所以要想學(xué)生在這里不丟分、能運(yùn)用知識點(diǎn)，首先就要讓學(xué)生知道銳角三角函數(shù)的重點(diǎn)難點(diǎn)，帶著目的去學(xué)習(xí)提升學(xué)習(xí)效果，可以使學(xué)生更容易掌握知識，也可以讓教學(xué)有目的性，此外，各地考查三角函數(shù)應(yīng)用的題目，都是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用題，難度不大，學(xué)生容易上手，體現(xiàn)了對學(xué)生的人文關(guān)懷，復(fù)習(xí)時要強(qiáng)化對實(shí)際應(yīng)用問題常規(guī)題目的學(xué)習(xí).總之，銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)，要突出銳角三角函數(shù)的工具性，注重學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).二、對銳角三角函數(shù)問題易錯點(diǎn)剖析.在求解銳角三角函數(shù)問題時，部分同學(xué)由于對銳角三角函數(shù)的定義理解不透徹，在邊角關(guān)系對應(yīng)出錯、忽視正弦和余弦的取值范圍、在非直角三角形中直接求解或者沒有分類討論等REF_Ref21186\r\h[2]銳角三角函數(shù)問題容易出錯，首先要對銳角三角函數(shù)的定義理解透徹，知道在直角三角形中正弦、余弦、正切的邊角對應(yīng)關(guān)系，對于非直角三角形應(yīng)注意轉(zhuǎn)化，不能直接利用三角函數(shù)等.對于這些問題，教師應(yīng)該先抓住學(xué)生的易錯點(diǎn)，在講課過程中進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，加深學(xué)生印象，防范于未然.5.2學(xué)生備考學(xué)生備考建議：一、追本溯源，確立目標(biāo).在進(jìn)行中考復(fù)習(xí)時，要認(rèn)真研究考試范圍，仔細(xì)思考，確定復(fù)習(xí)目標(biāo)和方向，切忌遺漏知識點(diǎn)，注意在知識的交匯處認(rèn)真思考；二、小題大做，注重本質(zhì).題目無論如何變化，都是圍繞銳角三角函數(shù)定義考查，解題的關(guān)鍵是尋找直角三角形、運(yùn)用勾股定理找出所需的邊和角.因此，研究近幾年中考題，進(jìn)行銳角三角函數(shù)的題目中有代表性的填空題、選擇題進(jìn)行歸納總結(jié)，復(fù)習(xí)時花時間在例題上，可以在題目中提煉出解題方法、總結(jié)出解題規(guī)律；三、因勢利導(dǎo)，夯實(shí)基礎(chǔ).通過分析近幾年考查銳角三角函數(shù)的題目，普遍注重基礎(chǔ)性，并且與教材中的習(xí)題聯(lián)系緊密，有很多考題是對教材中習(xí)題進(jìn)行了改編REF_Ref19616\r\