第85講計數(shù)原理

知識梳理

知識點1、分類加法計數(shù)原理

完成一件事，有類辦法，在第類辦法中有種不同的辦法，在第類辦法中有種

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不同的方法，，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：

…nmn

種不同的方法．

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知識點2、分步乘法計數(shù)原理

完成一件事，需要分成個步驟，做第步有種不同的方法，做第步有種不同

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的方法，，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：種不同

…nmnNm1m2mn

的方法．

注意：兩個原理及其區(qū)別

分類加法計數(shù)原理和“分類”有關(guān)，如果完成某件事情有n類辦法，這n類辦法之間是互

斥的，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分類加法計數(shù)原理．

分步乘法計數(shù)原理和“分步”有關(guān)，是針對“分步完成”的問題．如果完成某件事情有n個

步驟，而且這幾個步驟缺一不可，且互不影響（獨立），當且僅當依次完成這n個步驟后，

這件事情才算完成，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時，就用分步乘法計數(shù)原理．

當然，在解決實際問題時，并不一定是單一應用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理，有時可

能同時用到兩個計數(shù)原理．即分類時，每類的方法可能運用分步完成；而分步后，每步的方

法數(shù)可能會采取分類的思想求方法數(shù)．對于同一問題，我們可以從不同的角度去處理，從而

得到不同的解法（但方法數(shù)相同），這也是檢驗排列組合問題的很好方法．

知識點3、兩個計數(shù)原理的綜合應用

如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分類

計數(shù)原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告

完成，那么計算完成這件事的方法數(shù)時，使用分步計數(shù)原理．

必考題型全歸納

題型一：分類加法計數(shù)原理的應用

例1．（2024·全國·高三專題練習）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成

一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的

“正交線面對”的個數(shù)是（）

A．48B．18C．24D．36

例2．（2024·四川成都·雙流中學?？寄M預測）如圖，小黑圓表示網(wǎng)絡的結(jié)點，結(jié)點之間的

連線表示它們有網(wǎng)線相連．連線上標注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息

量．現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息（）

A．26B．24C．20D．19

例3．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·高三揚中市第二高級中學?？茧A段練習）定義：“各位數(shù)字之和為7

的四位數(shù)叫好運數(shù)”，比如1006，2203，則所有好運數(shù)的個數(shù)為（）

A．82B．83C．84D．85

變式1．（2024·全國·高三專題練習）從1，2，3，4，5，6中選取4個數(shù)字，組成各個數(shù)位

上的數(shù)字既不全相同，也不兩兩互異的四位數(shù)，記四位數(shù)中各個數(shù)位上的數(shù)字從左往右依次

為a，b，c，d，且要求abcd，則滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為.

變式2．（2024·全國·高三專題練習）已知直線方程AxBy0，若從0、1、2、3、5、7這

六個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)分別作為A、B的值，則AxBy0可表示條不同的

直線．

變式3．（2024·遼寧·高三校聯(lián)考開學考試）某迷宮隧道貓爬架如圖所示，B，C為一個長方

體的兩個頂點，A，B是邊長為3米的大正方形的兩個頂點，且大正方形由完全相同的9

小正方形拼成.若小貓從A點沿著圖中的線段爬到B點，再從B點沿著長方體的棱爬到C點，

則小貓從A點爬到C點可以選擇的最短路徑共有條.

【解題方法總結(jié)】

分類標準的選擇

（1）應抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素、關(guān)鍵位置．根據(jù)題目特點恰當選擇一個分類

標準．

（2）分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同

種類的兩種方法是不同的方法，不能重復，但也不能有遺漏．

題型二：分步乘法計數(shù)原理的應用

例4．（2024·廣東深圳·高三?？茧A段練習）甲、乙、丙3個公司承包6項不同的工程，甲承

包1項，乙承包2項，丙承包3項，則共有種承包方式（用數(shù)字作答）.

例5．（2024·全國·高三專題練習）若一個三位數(shù)同時滿足：①各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任

意兩個數(shù)位的數(shù)字之和不等于9，則這樣的三位數(shù)共有個．(結(jié)果用數(shù)字作答)

例6．（2024·安徽亳州·高三蒙城第一中學校考階段練習）將3名男生，2名女生排成一排，

要求男生甲必須站在中間，2名女生必須相鄰的排法種數(shù)有（）

A．4種B．8種C．12種D．48種

變式4．（2024·四川成都·高三統(tǒng)考開學考試）“數(shù)獨九宮格”原創(chuàng)者是18世紀的瑞士數(shù)學家

歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個空格里，

每個空格填一個數(shù)，且9個空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和

第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同

的填法種數(shù)為（）

A．72B．108

C．144D．196

變式5．（2024·全國·高三專題練習）三棱柱各面所在平面將空間分成不同部分的個數(shù)為（）

A．18B．21C．24D．27

變式6．（2024·河北石家莊·高三校聯(lián)考期中）臨近春節(jié)，某校書法愛好小組書寫了若干副春

聯(lián)，準備贈送給四戶孤寡老人．春聯(lián)分為長聯(lián)和短聯(lián)兩種，無論是長聯(lián)或短聯(lián)，內(nèi)容均不相

同．經(jīng)過調(diào)查，四戶老人各戶需要1副長聯(lián)，其中乙戶老人需要1副短聯(lián)，其余三戶各要2

副短聯(lián)．書法愛好小組按要求選出11副春聯(lián)，則不同的贈送方法種數(shù)為（）

A．15120B．7560C．12520D．12160

變式7．（2024·北京東城·高三北京市廣渠門中學校考開學考試）魚缸里有8條熱帶魚和2條

冷水魚，為避免熱帶魚咬死冷水魚，現(xiàn)在把魚缸出孔打開，讓魚隨機游出，每次只能游出1

條，直至2條冷水魚全部游出就關(guān)閉出孔，若恰好第3條魚游出后就關(guān)閉了出孔，則不同游

出方案的種數(shù)為（）

A．16B．32C．36D．48

變式8．（2024·湖南·高三臨澧縣第一中學校聯(lián)考開學考試）在如圖所示的表格中填寫1，2，

3三個數(shù)字，要求每一行、每一列均有這3個數(shù)字，則不同的填法種數(shù)為（）．

A．6B．9C．12D．18

變式9．（2024·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學考試）甲、乙分別從4門不同課程中選修1門，

且2人選修的課程不同，則不同的選法有（）種．

A．6B．8C．12D．16

變式10．（2024·陜西西安·西安市第三十八中學校考模擬預測）從六人（含甲）中選四人完

成四項不同的工作（含翻譯），則甲被選且甲不參加翻譯工作的不同選法共有（）

A．120種B．150種C．180種D．210種

變式11．（2024·貴州黔東南·凱里一中?？寄M預測）某足球比賽有A，B，C，D，E，F(xiàn)，

G，H，J共9支球隊，其中A，B，C為第一檔球隊，D，E，F(xiàn)為第二檔球隊，G，H，

J為第三檔球隊，現(xiàn)將上述9支球隊分成3個小組，每個小組3支球隊，若同一檔位的球隊

不能出現(xiàn)在同一個小組中，則不同的分組方法有（）

A．27種B．36種C．72種D．144種

【解題方法總結(jié)】

利用分步乘法計數(shù)原理解題的策略

（1）明確題目中的“完成這件事”是什么，確定完成這件事需要幾個步驟，且每步都是

獨立的．

（2）將這件事劃分成幾個步驟來完成，各步驟之間有一定的連續(xù)性，只有當所有步驟

都完成了，整個事件才算完成．

題型三：兩個計數(shù)原理的綜合應用

例7．（2024·全國·高三專題練習）第31屆世界大學生夏季運動會于6月26日至7月7日在成

都舉辦，現(xiàn)在從6男4女共10名青年志愿者中，選出3男2女共5名志愿者，安排到編號為1、

2、3、4、5的5個賽場，每個賽場只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在編號為1、

2的賽場，編號為2的賽場必須安排女志愿者，那么不同安排方案有（）

A．1440種B．2352種C．2880種D．3960種

例8．（2024·江蘇南京·高三校聯(lián)考階段練習）從2位男生，3位女生中安排3人到三個場館

做志愿者，每個場館各1人，且至少有1位男生入選，則不同安排方法有（）種

A．16B．36C．54D．96

例9．（2024·上海黃浦·高三上海市敬業(yè)中學?？奸_學考試）三位同學參加跳高、跳遠、鉛球

項目的比賽，若每人只選擇一個項目，則同一個項目最多只有2人參賽的情況共有種．

變式12．（2024·廣東·高三河源市河源中學校聯(lián)考階段練習）現(xiàn)有5名同學從北京、上海、

深圳三個路線中選擇一個路線進行研學活動，每個路線至少1人，至多2人，其中甲同學不

選深圳路線，則不同的路線選擇方法共有種．（用數(shù)字作答）

變式13．（2024·浙江·高三舟山中學校聯(lián)考開學考試）杭州亞運會舉辦在即，主辦方開始對

志愿者進行分配．已知射箭場館共需要6名志愿者，其中3名會說韓語，3名會說日語．目

前可供選擇的志愿者中有4人只會韓語，5人只會日語，另外還有1人既會韓語又會日語，

則不同的選人方案共有種．（用數(shù)字作答）．

變式14．（2024·江蘇揚州·高三儀征中學?？茧A段練習）已知如圖所示的電路中，每個開關(guān)

都有閉合、不閉合兩種可能，因此5個開關(guān)共有25種可能，在這25種可能中，電路從P到

Q接通的情況有種．

變式15．（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學考試）從