三角恒等變換

一、兩角和與差的正弦，余弦，正切公式及其二倍角公式，輔助角公式。

1、公式的回憶

2、公式的應(yīng)用

例1、tan(cz+-)=-,(1)求tana的值；(2)求'⑺2a-cosa的值。

421+cos2a

答案；4-1

例2、(I)cos43°cos770+sin43°cos167°=

(2)cot20°cos100+6sin10°tan70°-2cos400=

答案：」,2

2

例3、tancz+cota=—G(―,—),求cos2a和sim2a+工)的值。

2424

答案：弓今切化弦，或者直接正切求解。

例4、化簡(jiǎn)：(1)3ji5sinx+36cosx；(2)sin(x+—)4-2sin(x--)-cos(--x)

333

答案：(2)0,直接展開(kāi)，或者誘導(dǎo)公式變化。(結(jié)束)

可補(bǔ)充：點(diǎn)P(3cosx,4sinx),直線3x+4y+5=0,求點(diǎn)P到該直線的最小距離及P點(diǎn)

左邊。

注意范圍的一些三角恒等變換題

4a

1、sina=—,a在第二象限，求cos—的值。

52

答案:

2、sina=gsi出平,且。,尸為銳角，求a+尸

答案：-

4

3、口/WC中，3sinA+4cosB=l,4cosB+3cosA=1,則。二。

答案：30°

23

4、□ABC中，sin(y4+B)=—,cosB=——，求cosA的值。

34

7&+3石

答案:

12

5、0<a<（,（）<〃<:,且3sinp=sin（2a+私,4tan=1-tan2y,求a+尸的

值。

答案：一

4

二、綜合應(yīng)用（結(jié)合三角函數(shù)，其它的一些公式）

化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法：“切化弦”，“弦化切”來(lái)減少函數(shù)的種類，采用“配方法”，“降

鬲公式”來(lái)逐步降低各項(xiàng)的次數(shù)。

三角函數(shù)最值問(wèn)題歸類：

1、三角方法，利用正弦，余弦的有界性；

2、代數(shù)方法，先變?yōu)榇鷶?shù)問(wèn)題，再選用配方法、不等式法，判別式法，單調(diào)性法等求解；

3、解析法，利用點(diǎn)線距離公式，斜率公式，直線方程

類型：

（1）y=asinx+〃，一次函數(shù)；

(2)y-asin.v+/?cosA+c,輔助角；

(3)y=asin2x+bs\nx+c,給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問(wèn)題;

(4)y=asin.￥cosx+b(sinx±cosx)+c.化為二次函數(shù)；

(5)y=4tanx+bcotx,化為y="”,判別式;

(6)y=---------,,二角函數(shù)的有界性，分離吊數(shù)求最值，不等式法求取值，也可以數(shù)

csinx+d

形結(jié)合。

（7）y=aSmX+h三角函數(shù)的有界性，或者萬(wàn)能公式，判別式求解

ccosx+d

、“七八.a,/1-cosaa1-cosa_sina

半角公式sin,=±4——-——,cosy=,...tan

sina1+cosa

2cos4x-2COS2X+—

1、化簡(jiǎn)--------------------2_

2tan(g-x)sin2(.r+巧

44

答案：一cos2.x

2

[sin—。

2、已知函數(shù)/(。)=-,+―'(0<0<乃)。

22sin^

2

（1）將/（。）表示成關(guān)于COS。的多項(xiàng)式:

(2)asR,試求使曲線y=acos+a與曲線y=f(0)至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍。

答案：(1)/(6>)=2COS26>+COS6>-1；(2)一3<。<1(約分)

3、設(shè)函數(shù)/'(X)=cos(2x+巴)+sin?x

3

(1)求函數(shù)/(X)的最大值和最小正周期；

(2)設(shè)ARC為EMBC的三個(gè)內(nèi)角，若cosB=1,/(C)=-,，且c不為鈍角，求sin4.

34

答案：/(x)=---sin2x,C=—,sinA=cosB=-o

2223

解二角形復(fù)習(xí)

1、正弦定理

」一=?-=q=2R

sinAsinBsinC

變式：a=2/?sin=2/?sinB,c=2/?sinC

siniA=—,sinB=—sinC=-

2R2R2R

67:/?:c=sinA:sinB:sinC

2、余弦定理

cr=b~+C1-2bccosA

Ab~+c--a~

cosA=--------------

2bc

三角形背景下的一些常用公式和基本結(jié)論

A+B+C==—a〃sinC,

2

sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin---=cos—,cos---=sin—

2222

兩邊之和大于第三邊

兩邊之差小于第三邊

大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊

解三角形基本解題方法：

都化為邊，都化為角，邊角互化

結(jié)合三角恒等變換

通過(guò)三角函數(shù)值的符合判斷以及正余弦函數(shù)的有界性討論。

常見(jiàn)題型：

一、簡(jiǎn)單應(yīng)用

1、若。，仇c,成等比數(shù)列，且c=2。，則cos8=

3

答案：-

4

2、A<B<C(C^-)則以下結(jié)論正確的是()

2f

(A)sin4vsinC(B)cosA<cosC

(C)tanA<tanC(D)cotA<cotC

3、判斷：a2=〃s+c)nA=2B對(duì)

A=2B=>〃2=〃s+c)錯(cuò)

4、在EMBC中，AC=2,BC=hcosC=-.

4

(1)求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值。

答案：V2,1V7

8

二、三角形的多解判斷

A>90度A=90度A<90度

a>b一解一解一解

a=b無(wú)解無(wú)解一解

a<b無(wú)解無(wú)解a>bsinA兩解

a=bsinA一解

a<bsinA無(wú)解

直接利用余弦定理判斷三角形角的情況：銳角，鈍角和直角

三、判斷三角形的形狀

已知(a2+b2)sin(A-B)=(f/2-/j2)-sin(>4+B)，則該三角形的形狀是

答案：等腰或直角三角形

67sinA=bsinB.acosA=bcosB、acosB=hcosA,^sinB=Z;sinA

四、綜合應(yīng)用

1、已知在DABC中，8=45。，AC=W，cosC==-。

(1)求BC邊的長(zhǎng)；(2)記AB的中點(diǎn)為D,求中線CD的長(zhǎng)。

答案：372,713

2、a=4,b+c=5,tan/I+tanB+\/3=\/3tanAtanB

(1)求角C；(2)求三角形的面積。

答案:同G

3、D是直角。斜邊BC上一點(diǎn)，AB=

乙CAD=a、4AB?。,

(1)證明：sina+cos2/7=0；(2)若/C=/

求夕的值。

答案：(I)略(2)B=J

3

五、應(yīng)用題

一些術(shù)語(yǔ)：仰角和俯角，方位角，坡角，坡比(斜率)

1、某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40米后，望見(jiàn)塔在東北方向，若沿途測(cè)得

塔的最大仰角為3()°,求塔高。

答案：4、在口44。中，AC=2,5C=1,COSC=3.

4

⑴求AB的值；(2)求sin(2A+C)的值。

答案：心(3-百)〃？

3

2、為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架。三角形支架如圖所示，

要求NACB=60°,BC的長(zhǎng)度大于1m,且AC比AB長(zhǎng)0.5m。為

了使廣告牌穩(wěn)固，要求AC的長(zhǎng)度越短越好，求AC最短為多少米？

當(dāng)AC最短時(shí)，BC長(zhǎng)度為多少米？

答案：2+\/3,(1+

3、已知匚A8C是邊長(zhǎng)為1的正三角形，M、N分別是邊AB、

AC上的點(diǎn)，線段MN經(jīng)過(guò)DAAC的中心G,設(shè)NAO=a

,乃,-2萬(wàn)、

(—<a<——)

33

(1)試將口AGM,口AGN的面積(分別記為5與S?)表示

為a的函數(shù)；

(2)求)，=-1+」的最大值和最小值。

s：s-

把它小csinasina

香案：(1)5.=------------,5,=------------;

7171

12sin(cr+—)12sin(a---)

144717L

(2)y=——--fsin2(tz+—)4-5//?2(?——)1=72(3+cot2a),

siira66

儀=工，或。=二，最大值240；a=~,最小值216

332

8.己知a,6為4ABe的三個(gè)內(nèi)角A,8C的對(duì)邊，向量

m=(x/3,-l),n=(cosA,sinA).若機(jī)_L〃，且acos3+〃cosA=csinC,則角AB

的大小分別為()

n7i2兀兀n7in7i

A.一,—B.—,—C.一,—D.一,一

63363633

答案：c

平面向量復(fù)習(xí)

一、平面向量的基本概念及線性運(yùn)算

知識(shí)框架

平

運(yùn)算律平

面

面

向

向

丁W

址

向

的

基

出

坐

的

本

標(biāo)

線

向心的數(shù)乘］定

表

性

理

示

運(yùn)

算

實(shí)

平

際

面

背

向

鳧

浙

說(shuō)明，零向量的方向是不確定的,規(guī)定，零向量與任一

向量一平行.

向量線性運(yùn)算及其幾何意義：力口，減，數(shù)乘

變式題設(shè)如為單位向量，①若。為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則

a=\a\aoi②若a與公平行，則a=\a\a?；③若a與斯平行且

|3=1,則。=。（）.上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案：D

變式題[2010?福州質(zhì)現(xiàn)如圖32—1,g,冬為互相垂直的單位

向量，向量可表示為（I?）??I

圖32—1

A.3e2~etB.-2et—4e2

C,e\—3^2D.3cl—

答案；C

例3[2010?合肥調(diào)研1若a,b是兩個(gè)不共線的非零向量，

。與力起點(diǎn)相同，則當(dāng)，為何值時(shí)，。，山，；（〃+加三向量的終

點(diǎn)在同一條直線上？

答案：1=0.5

例3在△A3C所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足網(wǎng)+聞+河’

=瓦瓦則△PBC與△ABC的面積之比是（）

答案：C

向量表示的幾個(gè)例子：

1、（江西理15）如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)。的直線分別交直線AC于不同的兩點(diǎn)W,N,若

麗=mAM,^4C=nAN,則〃?+〃的值為

蕊：2,可以共線和為I來(lái)理解或者特殊位置

2、已知等差數(shù)列｛七｝的前n項(xiàng)和為S”，若

（TB=1力942有，且A,B,C三點(diǎn)共線（該直線不過(guò)原點(diǎn)

O),則§200=

答案：100

又如：在口/WC中，OC=-OA,而二!而，AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)殖OB=b.

（1）用萬(wàn)表示OM；

（2）在線段AC上取點(diǎn)E,在線段BD上取點(diǎn)F,使EF過(guò)M

—___11

點(diǎn)，設(shè)。OF=qb,求證：——+—=1

7P3q

7.（2009湖南卷文）如圖2,兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼

在一起，若AQ=xA8+yAC,則x=14-——,y=

解：作。尸_1_鉆,設(shè)48=4。=1=4。=。E=及，???/。?二60°,，3。=

由NDBF=45°解得DF=BF=見(jiàn)義立=立，故x=T+叵，y=?

2222,2

變式題［2010?江南十校聯(lián)考］如圖32—2所示，在△Q4B

中，點(diǎn)尸是線段OK及的延長(zhǎng)線所圉成的陰影區(qū)域內(nèi)（含

邊界）的任意一點(diǎn)，且5>=x次+）為，則在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，

實(shí)數(shù)對(duì)（x,刃所表示的區(qū)域在直線>=4的下側(cè)部分的面積是

圖32-2

1［解析］連接BP,則仍=帥+即=仍+機(jī)而+

nAbf其中/n>0,n>0,

即辦=（而+1）劭+〃（勵(lì)一函）=-〃溫+Q〃+〃+I）劭，

x=-n,

則

v=/w4-n-t-l,

因此，有，

爛0,

即

x+j-1>0,

x<0,

???實(shí)數(shù)對(duì)（X,刃滿足的約束條件為104

1>0,

畫出約束條件表示的平面區(qū)域，得所求平面區(qū)域的面積是

|x3x3=~.

10.（06湖南卷）如圖1：。加〃A8,點(diǎn)P由射線OM、線段08及A8的延長(zhǎng)線圍成的陰影

區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且OP=M74+yO8,則實(shí)數(shù)對(duì)（乂），）可以是

A』3、92

A?（丁了）

解析：如圖，OM〃/W,點(diǎn)P由射線OM、線段（明及人B的延

長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且加=x演+），麗,

圖1

由圖知，xvO,當(dāng)x二一L時(shí)，即反二一1況，P點(diǎn)在線段DE

44

上，CD=-OB,CE=-OB,而???選C.

44444

幾個(gè)向量中常見(jiàn)結(jié)論：

1.一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意

運(yùn)用.

2.兩個(gè)幾何結(jié)論的向量表示.

(1)若D為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則①)=；(次

+■)(如圖32-3).

圖32—3

(2)園=:闋+或+肥)=6為AABC的重心，

特別地，中+用+同=00〃為4人8。的重心.

3.向量共線的充要條件常用來(lái)解決三點(diǎn)共線和兩直線平行

問(wèn)題.記住常用結(jié)論*A、B、C、三點(diǎn)共線。存在實(shí)數(shù)人"，

對(duì)任意一點(diǎn)0,況=2加+〃次?(2+〃=1).

二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

基本定理.，夾角，正交分解，坐標(biāo)表示，坐標(biāo)下的線性運(yùn)算，平行，垂直

例、在口48。中，A3=3,5C=4,BD為CA邊上的中線，則4皮?而二

答案：7

例1如圖33—3所示，以向量以=〃，加=b為邊作

口0ADB,的=［阮，C7V=1cfo,用a、b表示M、而、疝V.

?J

圖33—3

答案：

15

：.O^I=Ob+B^=-a+^b.

00

又01)=a+b,

11i222

^.0\!=0t'+^Cl)=^01)+^01)=^01)=^a+^b,

oZO<5oo

11

=孑一/

變式題已知4(1,-2),3(2,1),C(3,2)和。(一2⑶,以油、

At為一組基底來(lái)表示通+砌+cb.

Ab+Bb+Cb=32Ai—22At.

變式題已知向量4=(2,1),力=(1,2),貝！IH+MIGWR)的最小值

為()

A亞R氈n、仁

A.5H?5G5

答案：C

例4設(shè)向量Q=(4COSIZ,sina),h=(sinfl94cqs0),c=(cos0,

—4sin0.

(1)求向量方+c的模的最大值；

(2)若tanatan/?=16,求證ta//b.

:.當(dāng)且僅當(dāng)sin24=—1時(shí)，族+c|有最大值，最大值是

答案：4飛5.

4、(天津理10)設(shè)兩個(gè)向量Z=(/l+2,/l2-cos?。)和3=(見(jiàn)'+sina),其中4,機(jī)a為實(shí)

2

數(shù).若￡=涕,則4的取值范圍是()

m

A.[-6,1]B.[4,8]C.(-ooJlD.[-1,6]

【答案】A

【分析】由u=(2+2,A2-cos2a),b=(m,—+sina\a=2反可得

2

2+2=2rn5A,,[km+2=Ini,,

,,，設(shè)2=火代入方程組可得(，2，消去，〃化

4--cos-a=m+2sinamk'm~-cos-a="?+2sina

簡(jiǎn)得(盤-1-cos2a=^-+2sina,再化簡(jiǎn)得

\2-k)1-k

(4A21

2+--------cos2a+---------2sina=0再令-----=/代入上式得

<k-2)k-2k—2

(sin2a-1)?+(16/+⑻+2)=0可得-(\6t2+18f+2)w[0,4]解不等式得/e[-1,」]因而

8

^4」解得-6WE.故選A

k-28

(15)(09天津理科)在四邊形ABCD中，AB=DC=(1,1),

|=|8A+=居1°，則四邊形ABCD的面積是

答案：上

(09湖南)已如向量a=(sinacos6-2sin8),石=(1,2)。

(I)若a//b,求tan。的值;

(2)若|a|二|B|,0＜。＜萬(wàn)，求6的值。

-?1/、、/171T3n

答案：(l)tan6=—,(2)。=—，或,—

424

4、(天津理10)設(shè)兩個(gè)向量Z=(4+2,/l2-cos?。)和5=(〃z,'+sina),其中4,/幾a為實(shí)

2

數(shù).若3=汨則2的取值范圍是

)

m

A.[-6,1]B.[4,81C.(-oo,l]D.[-1,6]

【答案】A

【分析】由a=(4+2,/V-cos2a),〃=(〃?,一+sina),a=24可得

2

)+2=功，設(shè)4b?代入方程組可得*：2=2〃：消去，〃化

A~-cos-a=ni+2sinamk'nr-cos-a=rn+2sina

2

簡(jiǎn)得(二L1_COsa=—+2sin?,再化簡(jiǎn)得

\2-k)1-k

(4r?1

2+-----cos2a+----2sina=0再令-----=f代入上式得

Vk-2)k-2k-2

(sin2-1)2+(16/+⑻+2)=0可得-(⑹2+]8f+2)w[0,4]解不等式得/因而

8

T4—^4」解得-6VE.故選A

k-28

1.平面向量的基本定律

⑴平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了

向量與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，即

a=(x,」)向量發(fā)=^＜點(diǎn)A(X,『).

(2)用向量證明幾何問(wèn)題的一般思路：先選擇一組基底，并

運(yùn)用平面向量基本定理格條件和結(jié)論表示成向■:的形式,再通

過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)證明.

2.向量共線的充要條件有兩種形式

(l)all/X=＞/＞=；.a(#0)j

(2)allbox——卬】=。(其中a=(xl9yt)?b=(x2,力))?

向量共線定理常用于解決交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題和三點(diǎn)共線問(wèn)題.

3.向量的坐標(biāo)表示，把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系起來(lái)，實(shí)際上是向加

的代數(shù)表示，即引入平面向量的坐標(biāo)可以使向量運(yùn)算完全代數(shù)

化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化

為我們熟知的數(shù)聯(lián)算.

三、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例

數(shù)量積定義，幾何意義，注意投影有正負(fù)，運(yùn)算律(無(wú)結(jié)合律)

（2）向量數(shù)置積的性質(zhì)

設(shè)或力為兩個(gè)非零向量，e是與方同向的單位向量，。是

”與e的夾角，則

①-?〃="=Slcos，[

②a_Lg“?〃=（），

③當(dāng)a與b同向時(shí)，a，b=1〃1網(wǎng)弓當(dāng)a與力反向時(shí)，a-b

特別地，a-a="或kzl=a，i:

1ata*b

④COS〃=一1"如t

⑤?一W二團(tuán).

3.向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

已知兩個(gè)非零向量歷l=a=（xi，Ji）>Ob=b=（x2,y2）?以、

曲間的夾角為夕.

①|(zhì)1,+用工”?\a|=xf+vit

③油產(chǎn):LV,+--k（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式〃

a，b*1*2+―

④COS〃=卬?協(xié)I=.=+^Y+?。?/p>

⑤aJLb=.rz+vi，=（）.

40.（浙江卷）設(shè)向量a,b,c滿足a+b+c=0,（a-b）_Lc,a_Lb,若IaI=1,則IaI?+|+IcI?的

值是______

【考點(diǎn)分析】本題考查向量的代數(shù)運(yùn)算，基礎(chǔ)題。

，（——>————r————

\（：l-bjc=a^c-h^c=0a?c=b?c

解析：卜一制1。,。1右=><cfb=0=<〃??二0

（1赤+正0fl=FI=1

同2=1[_各,=2,所以口『++苗2

=4

aa

22、（遼寧理3文4）若向量。與〃不共線，。力。0,。，則向量〃與c的

ab

夾角為（）

71兀兀

A.0B.—C.—D?一

632

2，

TTT（7TT

解析：因?yàn)閍c=4-（7=0。=0，所以向量。與c垂直，選D

a-b

（08廣東）己知向量a與力不共線，teR,

(1)求Ifa-b|的最小值及相應(yīng)的t值；

(2)求存在兩個(gè)正數(shù)44,且，尸，2,使|而一向=|，22一向的充要條件。

―?

答案：(1)，=”,最小值|B|sin。,。為兩個(gè)向量的夾角：

1?！?/p>

|B|cos。⑻cos62|B|COS6

r?U=/LJ*二?二/

|。|⑷⑷

變式題⑴[2010?湖南卷]在RtZUBC中，ZC=90°,AC

=4,則e?Q等于()

A.-16B.-8C.8D.16

(2)若A48c的外接圓的圓心為0,半徑為1,且耐+而

+猶=0,則8?仍=()

A.1B.0C.1D.

答案：D,D

例2⑴[2010?湖南卷]若非零向量”，。滿足團(tuán)=也|,(2a

+b)?b=0,則。與力的夾角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

⑵設(shè)不共線的兩個(gè)非零向量a=(x,2x),/>=(—3x,2),且a,

力的夾角為鈍角，求”的取值范圍.

答案：a*(2(f/UH，0)U&+q

變式題⑴[2010?浙江卷]已知平面向量a,B，kz|=b網(wǎng)

=2,a±(?-2#),則|2a+川的值是.

(2)已知aN,尸在A48C所在平面內(nèi)，且|況1=1防產(chǎn)

\Ot\9隔+而+能=0,且聞?聞=防屁=卮再，則點(diǎn)。，

N,P依次是△45。的()

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心

C.外心，重心，垂心D.外心，重心，內(nèi)心

較dhJo(2)C

含茶：

例4[2010?全國(guó)卷I]已知圓。的半徑為1,m、尸8為該

圓的兩條切線，從、5為兩切點(diǎn)，那么布?麗的最小值為()

A.-4+\'2B.-34-\；'2

C.-4+2啦D.-34-2^/2

1)I解析)方法一：如圖所示，設(shè)始=〃6=x(x>0),ZAPO=at則ZAPS

P0=J1+x2?sin?=,'1^2?

x4—x2x2+r-Sr2+l+2

2

P4P?=|E4HPBkos2a=?(l-2sina)=-^pYP+T=7+i-

=(x?+l)+p^Y-322\%：+1p^Y-3=2\,2-3?

當(dāng)且僅當(dāng)x2+l=?^p即1=加-1時(shí)，取“=”號(hào),

故麗麗的最小值為-3+班，此時(shí)x="2-1.

0(.

方法二：以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，。尸為X軸建立直角坐標(biāo)系，

則圓。的方程為f+y2=l,設(shè)A(X[,Ji),B{Xi，—Ji),P(xo,O)>

則中?協(xié)=(X1-Xo，Xo?-2MXo+x：-y；?

,/AO-LPAt即溫_L耳，(xpjiHxi—x0>yi)=O,

即X；-X1X()+)彳=0=工點(diǎn)()=1.

PA*Ph=x\-2+/一(1—x])=2xf+—3>2VlxfXo_3=

2也一3,故中?聞的最小值為一3+23，此時(shí)x="2—1.

方法三：設(shè)NAPB=0,0V〃V7T,則I或1=1瓦|=一^,

tan]

邊

ICOS2°

邦?兩=|南||兩|cos〃=-才cosO=-^1—2sin弓

tan]sin2^

1-sin2^l_2sin：2

=,

AM

令工=§環(huán))，0<x<1,

-

EI—?—±(1X)(l-2JC),1r-

則AMPBn1----------------i=2^+--3>2^2-3.

例：如圖所示，在[ABC中，A8=3,8C=7,AC=2,若0為□ABC的外心，則

AOAC=；AOBC=

答案：2,--

2

一個(gè)綜合題

己知拋物線y=V上兩點(diǎn)AB滿足而=2而，4>0.其中點(diǎn)尸(0,1),OM=OA+OB,

O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求：

(1)N4OB的大小：

(2)四邊形OAMB的面積S的最小值。

答案：(1)90°；(2)2=1,最小值為2.

小結(jié)：

1.兩個(gè)平面向量。，力的數(shù)量積。?力是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是

向盤，它的值為這兩個(gè)向愛(ài)的模與其夾角e的余弦的乘積，

即。6=HIW|cos〃，其中計(jì)算數(shù)量積的關(guān)鍵是正確確定6,。的

取值范圍是[0,n].

2.求向量的夾角時(shí)注意向量的方向，要把兩向量平移使

其起點(diǎn)重合，尤其在三角形中，如計(jì)算池"W向量的夾角為

ZBAC,計(jì)算會(huì)，8時(shí)向量的夾角為n-ZBAC.

3.向量。在方方向上的投影為|Q|COS/也可以記為喘.

4.幾個(gè)考查熱點(diǎn)的向量形式與坐標(biāo)形式的比較

已知兩個(gè)非零向量。=(勺，yi),b=(x2,%)，〃是向量

b的夾角.

向量表示坐標(biāo)表示

向母。的模1a1=>/a,ala1=/r；+

".6的數(shù)加積a?b=|a11b|cosOa?b=xijr24-jij2

a與力共線

b^=>b=Xaa〃b㈡.一不加=0

(a#0)

。與垂I'laJ_￡K=>a?h=0

a?bAnz+y”

a.b的夾角cost/I.I.Icosa=-，—~廠

?l\b

數(shù)列復(fù)習(xí)

一、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示

二、等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1.等…卷數(shù)列定義

①4〃+|?4〃一”（吊數(shù)）,（〃eN*）,這是證明一

個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的依據(jù)，要防止僅由

前若干項(xiàng)，如。3?。2=。2?〃1=4（常數(shù)），就說(shuō)

｛冊(cè)｝是等差數(shù)列這樣的錯(cuò)誤，判斷一個(gè)

數(shù)列是否是等差數(shù)列，還可由

%+。〃+2=2%+1，即冊(cè)+2■冊(cè)+尸%+廣明來(lái)判斷?

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)為②士妃竺必.可整

理成〃〃=〃[+（〃]-d）,當(dāng)dWO時(shí)，。〃是關(guān)于〃的一

次式，它的圖象是一條直線上〃為自然數(shù)的點(diǎn)

的集合.

3.等差數(shù)列廣義通項(xiàng)公式。=（+（〃-”）△

4.等駕（列的前〃項(xiàng)和公式SF@中〃二

⑤必土絲止何以整理成s〃=1/+（%.3）〃,當(dāng)

dNO時(shí),S〃$J一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的三次式.

5.若a,b,c三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則?叫―

。的等差中項(xiàng)，此時(shí)2人=⑤4+C”

L等差數(shù)列的判定方法.

①定義法：對(duì)于數(shù)列｛“〃｝,若叫+/a〃=d（常

數(shù)），則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

②等差中項(xiàng)法：對(duì)于數(shù)列｛%｝,若

2%+廣?！?%+2,則數(shù)列｛許｝是等差數(shù)列.

③通項(xiàng)公式法：%=p〃+q（p、q為常

數(shù)）=｛%｝是等差數(shù)列；

④前〃項(xiàng)和公式法：S”=A*+Bn（A、

B是常數(shù)）。｛%｝是等差數(shù)列.

2.方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)

列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為4和d等基本

量，通過(guò)建立方程（組）獲得解.

3.用函數(shù)的思想理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和

前〃項(xiàng)和公式，從而解決最值問(wèn)題.

幾個(gè)常用結(jié)論

（1）設(shè)｛6』，｛"｝都為等差數(shù)列，S",S'”分別為他們的前n項(xiàng)和，則產(chǎn)二5~；

"m32w-l

（2）等差數(shù)列｛?！ǎ校?=加,冊(cè)=n,則am+n=0；

（3）等差數(shù)列｛%｝中，若"二九Sm=n（mwn）,則Slfl+Ii=~（m+n）:

（4）等差數(shù)列｛%｝中，若Sn=S<m豐〃）,則S,i=0；

2.（2010.蘇州模擬）在數(shù)列｛許｝中,若4=1,

。2二，—=—+—N*）,則該數(shù)列的通項(xiàng)

為」^?

4.（2010京徽師大附中）觀察下表:

1

234

34567

45678910

則第1006行的各數(shù)之和等于201F

5.（2010蕭京一模）已知命題:“在等差數(shù)列

｛%｝中，若4%+《0+4）=24,則與為定值”

為真命題，由于印刷問(wèn)題，括號(hào)處的數(shù)據(jù)模

糊不清，可推得括號(hào)內(nèi)的數(shù)為18

素材1等差數(shù)列｛4｝中，悶=瓦3|=30,033=15,

求使4K0的最小自然數(shù)幾

答案：63

例2已知數(shù)列，首項(xiàng)4=3,且2%=SttxSr\(〃>2).

1_L:是等差數(shù)列,

⑴求證:并求其公差；

(2)求應(yīng)｝的通項(xiàng)公式.

/3(72=1)

許=18、「

](3〃-5)(3〃-8)N*)

答案:

素材2已知數(shù)列｛4｝滿足/=3,4m

(1)求°2，“4；

(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列

4一11

2n+1

所以見(jiàn)=

答案:2n-1

＞題型三等差數(shù)列的綜合應(yīng)用

例J3等差數(shù)列｛〃“｝的首項(xiàng)與公差均大于零，

S”是數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，對(duì)于任意〃wN*,者IS

有S〃+，=@〃+')2成立.

22

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的公差和，的值；

⑵設(shè)〃=〃2+加比-753bsN*\且數(shù)列也｝

的前〃項(xiàng)和7；的最小值為心求。、〃的值.

分析本題含有?！ㄅcS〃的關(guān)系式，一般先用4川=

s“+i-s〃，再利用恒成立問(wèn)題的解題方法?

2

G?1_Cafl+t）

解析⑴因?yàn)椤?2-2J-”

I1_（冊(cè)+1+，）2

6Q+1十三一Y

）2

兩式相減得為討=

又｛&｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為"，

則上式化為2%+]="（4+]+a〃+2，）.

26

又因?yàn)?a〃+d，所以2（l—d）q=2H—（2—d）d

對(duì)任意的?！ǘ汲闪?，

\—d—0.,J

則，所r以42.

2td-d(2-d)=0

d=\

（2）因?yàn)?=。乂2"+/”4一75（小beN”）,且等差數(shù)列

｛4｝的通項(xiàng)為〃“=〃+；,所以數(shù)列也｝為遞增數(shù)列.

又因?yàn)閿?shù)列也J的前〃項(xiàng)和7；的最小值為"，則有

b6<0,b-j>0,

a?2$+〃?（6+。）-75Vo

即<

a?2'+〃?（7+三）-75〉0

乙

而a,hGN\所以。=1,b=1.

素材3（2oi（m津和平模擬）已知等差數(shù)列｛/｝

的前三項(xiàng)為1,4,2%記前〃項(xiàng)和為S”.

（1）設(shè)&=2550,求〃和他勺值；

（2）設(shè)求4+&+4]+…+公_]的值.

n

答案:所以a=3,k=50.

所以4+2+4I+…+。4”-1=2〃2+2”.30

12010?湖北省試題改編)已知函數(shù)以)=「_

ax+b(a,b￡R)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且

f(1)=1，數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和S=j[n)(neN*).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛2｝滿足log31奇十10g3〃=10g32，r〃

為數(shù)列｛九｝的前〃項(xiàng)和，是否存在〃、

q￡N*,且pWq,使得7；+,/是72〃和心,/的等差

中項(xiàng)？并證明你的結(jié)論.

解析(1)因?yàn)?/U)的圖象過(guò)原點(diǎn)，所以

?x)三好-ar.

由(X)=2X-Q,得，(1)=2?。=1，解得〃=1.

所以兀￥)=/-%,即S〃字(〃)=/-4

當(dāng)〃三2時(shí)，

22

a=St-Sfl_｝=n-n-[(n-l)-(n-l)]=2n-2,

乂%=Si=0,也滿足上式.

所以數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為為=2/z.2(〃￡N*).

(2)由log3；*log3/叫3%

得么產(chǎn)一九(九￡N*),

北二d+%+???+》〃

2

=y(l+2+…+〃)

??(；?+1)

—一3一.

假設(shè)存在p、產(chǎn)N*(p#q),使分是％和％

的等差中項(xiàng)，

則%+%-27q

_2p(2p+l)2g(2q+l)2(p+9)(p+4+l)

--------------------十---------------------------------------------------

333

_4〃2+2〃+4/+2鄉(xiāng)-2(p2+/+2〃q+〃+q)

-3

2p'.4pq+2q-

一3

=g(P-q>

=0,

即p=9，與pH夕矛盾，所以不存在p、

qN*(p豐口使人是乙〃和耳的等差中項(xiàng).

三、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

等比數(shù)歹J

(1)等比數(shù)列定義

①甘~二。(非零常數(shù))?(〃金N*),這是證明一

個(gè)數(shù)’冽是等比數(shù)列的依據(jù)，也可由

%4+2=%+/來(lái)判斷.

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為②4尸田?/」.

(3)對(duì)于G是。、力的等比中項(xiàng)，則&=

ab.G=?

(4)特別要注意等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式應(yīng)

分為q=1與qW1兩類,當(dāng)夕=1時(shí),

當(dāng)戶1時(shí),S『⑤安干或S"甘產(chǎn).

1.方程思想的應(yīng)用.在等比數(shù)列的五個(gè)

基本量中，"知三求二，一般

是運(yùn)用通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式列方程，

通過(guò)解方程求解.

2.等比數(shù)列的判定常用定義法和等比

中項(xiàng)法；而證明不是等比數(shù)列時(shí)，只需舉

反例（常從前幾項(xiàng)入手）.

1.（2010HE臺(tái)模擬）已知2,&b,C,4成等比數(shù)列,

則實(shí)數(shù)b等于（A）

A.272B.-2V2

C.±V2D.8

進(jìn)一步：abc-?

4.（2010?江蘇漂水模擬）等比數(shù)列｛%｝

中，S〃是數(shù)列｛許｝的前〃項(xiàng)和，5產(chǎn)3%，

則公式方一；或1.

素材1（2010骯州模擬）已知等比數(shù)列｛q｝中，

q=2,%+2是％和4的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛為｝的通

項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和S..

2（1—2"）

S"下二=2+1-2.

例2（2010?都昌模擬）已知數(shù)列｛許｝滿

ya^n（〃為奇數(shù)）

足嗎j即+產(chǎn)［an-2n（艘為偶數(shù)）.

（1）求。2，。3，。4，〃5；

⑵設(shè)求證:數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列;

（3）在（2）的條件下,求數(shù)列｛%｝的前100項(xiàng)中

所有偶數(shù)項(xiàng)的和.

（1）因?yàn)椤?/p>