第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省無錫一中2024-2025學年高二（下）3月月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.某物體沿直線運動，位移y(單位：m)與時間t(單位：s)的關系為y(t)=1?t+t2，則該物體在t=3s時的瞬時速度是(

)A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s2.中國燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，主要有宮燈、紗燈、吊燈、花燈等種類.現(xiàn)有3名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈、花燈中選購1種，則不同的選購方式有(

)A.34種 B.43種 C.3×2×1種 D.3.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且f(x)=2xf′(π6)+sinx，則f′(A.32 B.12 C.?4.用數(shù)字0，1，2，3，4可以組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)共有(

)A.36個 B.48個 C.60個 D.72個5.已知點P是曲線y=x2?3lnx上任一點，則P到直線x+y+3A.74 B.724 C.6.函數(shù)f(x)=x2+xeA. B.

C. D.7.若函數(shù)f(x)=13x3+x2在區(qū)間A.[?5,1) B.(?5,1) C.[?2,1) D.(?2,1)8.已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為y=f′(x)，當x≠0時，f′(x)+f(x)x<0，若a=f(1)，b=?3f(?3)，c=2f(2)，則a，b，A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列等式正確的是(

)A.Amm=Anmn! B.10.若a，b為正實數(shù)，且a>b，則下列不等式中一定成立的是(

)A.lna>lnb B.a?b<ea?eb 11.已知函數(shù)f(x)=x3?3xA.x=2是函數(shù)f(x)的一個極大值點

B.函數(shù)f(x)的對稱中心為(1,?2)

C.過點(1,?2)能作兩條不同直線與y=f(x)相切

D.函數(shù)y=f[f(x)]+2有5個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=cos(2x+1)+3x，則f′(0)=13.某校高二年級學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.某學生準備做一個體積為54π的圓柱形模型，當模型的表面積最小時，其底面半徑為______．14.若函數(shù)f(x)=m(x?4)ex?13四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知f(x)=13x3+2ax2+3x(a∈R)在x=?1處取得極值．

(1)求實數(shù)a的值；16.(本小題12分)

2023年國外某智庫發(fā)布《尖端技術研究國家競爭力排名》的報告，涵蓋了超音速、水下無人潛航器、量子技術、人工智能、無人機等二十多個領域.報告顯示，中國在其中19個領域處于領先.某學生是科技愛好者，打算從這19個領域中選取A，B，C，D，E這5個領域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹．

(1)A，B在最后2天介紹的方法有多少種？

(2)A，B相隔一天介紹的方法有多少種？

(3)B，C必須相鄰且均不與A相鄰的介紹方法有多少種？17.(本小題12分)

已知f(x)=ax?lnx，a∈R．

(1)若g(x)=f(x)+x2在[1,3]上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在區(qū)間(0,e]的最小值是5，若存在，求出a18.(本小題12分)

已知f(x)=lnx+ax，g(x)=ex+2x?1．

(1)若a=1，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)當x>0時，若19.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=e2x?2x?1．

(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程；

(2)設g(x)=mx?lnx+1，?x1∈R，?x2∈(0,+∞)，x2f(x1答案解析1.【答案】D

【解析】解：因為Δt→0limy(t+Δt)?y(t)Δt=Δt→0lim1?(t+Δt)+(t+Δt)2?1+t?t2Δt=Δt→02.【答案】B

【解析】解：已知有3名學生，每人從宮燈、紗燈、吊燈、花燈中選購1種，均有4種方法，

由分步乘法計數(shù)原理可得不同的選選購方式有4×4×4=43種．

故選：B．

每人均有4種不同的選法，由分步計數(shù)原理可求不同的選購方法數(shù)．3.【答案】D

【解析】解：因為f(x)=2xf′(π6)+sinx，

所以f′(x)=2f′(π6)+cosx，

令x=π6可得f′(π6)=2f′(π6)+cos4.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①，0在五位數(shù)的個位，其他四個數(shù)字全排列，安排在前4個數(shù)位即可，有A44=24個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)；

②，2或4在五位數(shù)的個位，則五位數(shù)的萬位數(shù)字不能為0，有3種選法，其他三個數(shù)字全排列，安排在中間3個數(shù)位即可，

有2×3×A33=36個沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù)；

則有24+36=60個符合題意的五位數(shù)，

故選：C．

根據(jù)題意，按組成五位數(shù)的個位數(shù)字為05.【答案】B

【解析】解：因為y=x2?3lnx，所以y′=2x?3x，

設P(x0,y0)，

則根據(jù)題意可得2x0?3x0=?1，

解得x0=1或x0=?32(舍)6.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，f(x)=x2+xex，

當x>0時，f(x)>0，排除C，

f(0)=0，排除B，

當x<?1時，x2+x=x(x+1)>0，則f(x)>0，排除D，

故選：A7.【答案】C

【解析】解：由f′(x)=x2+2x，令f′(x)=0，可得x=?2或x=0，

由f′(x)>0得：x<?2或x>0，由f′(x)<0得：?2<x<0，

所以函數(shù)f(x)在(?∞,?2)，(0,+∞)上單調(diào)遞增，在(?2,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值f(0)=0，

令f(x)=13x3+x2=0，解得x=0或x=?3，

若函數(shù)f(x)在(a?1,a+5)內(nèi)存在最小值，則?3≤a?1<0<a+5，解得?2≤a<1，

即實數(shù)a的取值范圍是[?2,1)8.【答案】D

【解析】解：令函數(shù)g(x)=xf(x)，因為定義域為R的y=f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)為偶函數(shù)；

當x>0時，因為xf′(x)+f(x)x<0，所以xf′(x)+f(x)<0，即g′(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，

a=f(1)=g(1)，b=?3f(?3)=g(?3)=g(3)，c=2f(2)=g(2)，

根據(jù)g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)，所以g(1)>g(2)>g(3).即b<c<a．

故選：D．

根據(jù)f′(x)+f(x)x<09.【答案】BCD

【解析】解：對于選項A，Amm=m!,Anmn!=1(n?m)!，顯然Amm≠Anmn!，故選項A錯誤；

對于選項B，n!n(n?1)=(n?1)(n?2)×?×3×2×1n?1=(n?2)!，故選項B正確；

對于選項10.【答案】ABD

【解析】解：對于選項A，由于a>b>0，因此lna>lnb一定成立，故A正確；

對于選項B，將不等式變形為ea?a>eb?b，設f(x)=ex?x，則f′(x)=ex?1，

當x>0時，因此f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)．

由于a>b>0，有f(a)>f(b)，即ea?a>eb?b，從而a?b<ea?eb一定成立，故B正確；

對于選項C，設g(x)=xlnx，則g′(x)=lnx+1.當x>1e時，g′(x)>0.當0<x<1e時，g′(x)>0，

因此，g(x)在(1e,+∞)上是增函數(shù)，(0,1e)上是減函數(shù)，

因為a和b可能位于g(x)的不同的單調(diào)區(qū)間，故a>b>0，alna>blnb不一定成立，故C錯誤；

對于選項D，設?(x)=ex?(12x2+x+1)，則?′(x)=ex?(x+1)．

設k(x)=?′(x)=ex?(x+1)，則k′(x)=ex?1．11.【答案】BD

【解析】解：由題可知，f′(x)=3x2?6x．

對于A，令f′(x)=3x2?6x=0，解得x1=0，x2=2．

當x<0或x>2時，f′(x)>0，當0<x<2時，f′(x)<0，

所以f(x)在(?∞,0)，(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，

所以x=2是函數(shù)f(x)的一個極小值點，故A錯誤；

對于B，f(x)+f(2?x)=x3?3x2+(2?x)3?3(2?x)2=x3?3x2?(2?x)2(x+1)

=x3?3x2?x3?x2+4x2+4x?4x?4=?4，

所以函數(shù)f(x)關于(1,?2)成中心對稱，故B正確；

對于C，設過點(1,?2)的切線與函數(shù)y=f(x)的切點為(x0,y0)，則切線方程為y=(3x02?6x0)(x?1)?2，

則有f(x0)=(3x02?6x0)(x012.【答案】?2sin1+ln3

【解析】解：因為f(x)=cos(2x+1)+3x，

所以f′(x)=?sin(2x+1)?(2x+1)′+3xln3=?2sin(2x+1)+3xln3，13.【答案】3

【解析】解：圓柱模型的體積為54π，

設圓柱模型的高為?(?>0)，底面半徑為r(r>0)，

則V=πr2?=54π，即?=54r2，

所以圓柱模型的表面積為S=2πr?+2πr2=2πr?54r2+2πr2=108πr+2πr2，

令f(r)=108πr+2πr2，r∈(0,+∞)，

則f′(r)=4πr?108πr2=4π(r3?27)r2，

令f′(r)=0，解得r=3，

當r>3時，f′(r)>0，f(r)單調(diào)遞增，

當14.【答案】(0,3【解析】解：由f(x)=m(x?4)ex?13x3+32x2可得，f′(x)=m(x?3)ex?x(x?3)=(x?3)(mex?x)，

因為函數(shù)f(x)有三個極值點，等價于f′(x)=0有三個實根，

即mex?x=0，即以m=xex有兩個實根且根不為3，令?(x)=xex，

所以?′(x)=1?xex，由?′(x)>0有x<1，?′(x)<0有x>1，

所以?(x)在(?∞,1)上為增函數(shù)，在(1,+∞)15.【答案】a=1；

最大值為503，最小值為?4【解析】解：(1)f′(x)=x2+4ax+3，

因為f(x)在x=?1處取得極值，

所以f′(?1)=1?4a+3=0，解得a=1，

此時f(x)=13x3+2x2+3x，

則f′(x)=x2+4x+3=(x+1)(x+3)，

令f′(x)<0，得?3<x<?1，令f′(x)>0，得x<?3或x>?1；

所以函數(shù)f(x)在(?∞,?3)和(?1,+∞)上單調(diào)遞增，在(?3,?1)上單調(diào)遞減，

則x=?1時，函數(shù)f(x)取得極小值，符合題意，則a=1．

(2)由(1)知，f(x)=13x3+2x2+3x，

且函數(shù)f(x)在[?2,?1]上單調(diào)遞減，在[?1,2]上單調(diào)遞增，

又f(?2)=?23，f(?1)=?43，f(2)=5016.【答案】12；

36；

24．

【解析】解：從19個領域中選取A，B，C，D，E這5個領域給班級同學進行介紹，每天隨機介紹其中一個領域，且每個領域只在其中一天介紹，

(1)由題意，A，B在最后2天介紹的方法有A33A22=12種；

(2)先安排A，B，有A32種，再安排C，D，E，有A33種，

所以A，B相隔一天介紹的方法有A32A33=36種；

(3)先排D，E，有A22種，

再將B，C看成一個整體，與A進行插空，有A22A33種，

所以B，C必須相鄰且均不與A相鄰的介紹方法有A22A22A33=2417.【答案】(?∞,?173]．

存在，【解析】解：(1)函數(shù)g(x)=f(x)+x2=ax?lnx+x2，

導函數(shù)g′(x)=a?1x+2x，

由于函數(shù)g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減，

因此導函數(shù)g′(x)=a?1x+2x≤0在[1,3]恒成立，

所以a≤1x?2x在[1,3]恒成立，

由于y=1x?2x在[1,3]單調(diào)遞減，

因此(1x?2x)min=13?6=?173，

因此a≤(1x?2x)min=?173，

因此a∈(?∞,?173]．

(2)導函數(shù)f′(x)=a?1x=ax?1x，

如果a≤0，那么不等式f′(x)=ax?1x<0在(0,e]恒成立，

那么f(x)在(0,e]單調(diào)遞減，

因此f(x)min=f(e)=ae?1=5，解得a=6e>0，不符合題意；

如果a>0，根據(jù)f′(x)=ax?1x<0，解得0<x<1a，18.【答案】極大值1，無極小值；

(?∞,3)．

【解析】解：(1)當a=1時，f(x)=lnx+1x，

則f′(x)=?lnxx2，

由f′(x)>0，可得0<x<1，由f′(x)<0，可得x>1，

所以f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減；

所以f(x)的極大值為f(1)=1，無極小值；

(2)由題意可得：ex+2x?1?lnx+ax>0，

即xex+2?x?lnx?a>0恒成立，

即a<xex+2?x?lnx恒成立，

構(gòu)造函數(shù)?(x)=xex+2?x?lnx，

?′(x)=(x+1)ex?1?1x，令?′