專訓(xùn)2三角形三種主要

線段應(yīng)用習(xí)題課階段方法技巧訓(xùn)練（一）1/26三角形高、中線和角平分線是三角形中三種重要線段，它們提供了主要線段或角關(guān)系，為我們以后深入研究三角形一些特征起到了很大幫助作用，所以我們需要從不一樣角度認(rèn)識(shí)這三種線段．2/261應(yīng)用三角形高應(yīng)用1.如圖，已知AB⊥BD于點(diǎn)B，AC⊥CD于點(diǎn)C，AC與BD交于點(diǎn)E.△ADE邊DE上高為________，邊AE上高為________．AB類型1找三角形高DC3/262.【動(dòng)手操作題】畫出圖中△ABC三條高．(要標(biāo)明字母，不寫畫法)類型2作三角形高解：如圖．4/263.如圖，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC邊上高AD＝4.求：(1)△ABC面積及AC邊上高BE長(zhǎng)；(2)AD∶BE值．類型3求與高相關(guān)線段問題5/26解：(1)S△ABC＝

BC·AD＝×4×4＝8.因?yàn)镾△ABC＝

AC·BE＝×5×BE＝8，所以BE＝.(2)AD∶BE＝4∶＝.6/264.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G.試說明：DE＋DF＝BG.類型4說明與高相關(guān)線段和問題(等面積法)7/26解：如圖，連接AD，因?yàn)镾△ABC＝S△ABD＋S△ADC，所以

AC·BG＝

AB·DE＋

AC·DF.又因?yàn)锳B＝AC，所以BG＝DE＋DF.“等面積法”是數(shù)學(xué)中很主要方法，而在包括垂直線段關(guān)系時(shí)，常將線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系來處理．8/262應(yīng)用三角形中線應(yīng)用5.如圖，已知AE是△ABC中線，EC＝4，DE＝2，則BD長(zhǎng)為(

)A．2B．3C．4D．6類型1求與中線相關(guān)線段問題A9/266.如圖，已知BE＝CE，ED為△EBC中線，BD＝8，△AEC周長(zhǎng)為24，則△ABC周長(zhǎng)為(

)A．40

B．46

C．50

D．56A同類變式10/26因?yàn)椤鰽EC周長(zhǎng)為24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因?yàn)锽E＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.又因?yàn)镋D為△EBC中線，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC周長(zhǎng)為AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.11/267.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上中線BD將這個(gè)三角形周長(zhǎng)分成15cm和6cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形三邊長(zhǎng)．同類變式12/26解：設(shè)AD＝CD＝xcm，則AB＝2xcm，BC＝(15＋6－4x)cm.依題意，有AB＋AD＝15cm或AB＋AD＝6cm，則有2x＋x＝15或2x＋x＝6，解得x＝5或x＝2.當(dāng)x＝5時(shí)，三邊長(zhǎng)為10cm，10cm，1cm；當(dāng)x＝2時(shí)，三邊長(zhǎng)為4cm，4cm，13cm，而4＋4＜13，故不能組成三角形．所以這個(gè)等腰三角形三邊長(zhǎng)為10cm，10cm，1cm.13/268.【中考·廣東】如圖，△ABC三邊中線AD，BE，CF公共點(diǎn)為G，且AG∶GD＝2∶1，若S△ABC＝12，則圖中陰影部分面積是________．類型2求與中線相關(guān)面積問題414/26因?yàn)锳G∶GD＝2∶1，所以AG∶AD＝2∶3.所以S△ABG＝

S△ABD.又因?yàn)镾△ABD＝

S△ABC，所以S△ABG＝×S△ABC＝

S△ABC.所以S△BGF＝

S△ABG＝

S△ABC＝×12＝2.同理S△CGE＝2，所以圖中陰影部分面積為4.15/269.操作與探索：在圖①～③中，△ABC面積為a.(1)如圖①，延長(zhǎng)△ABC邊BC到點(diǎn)D，使CD＝BC，連接DA，若△ACD面積為S1，則S1＝________(用含a代數(shù)式表示)；同類變式a16/26(2)如圖②，延長(zhǎng)△ABC邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD＝BC，AE＝CA，連接DE，若△DEC面積為S2，則S2＝________(用含a代數(shù)式表示)，請(qǐng)說明理由；2a理由：連接AD，易得S△ABC＝S△ACD＝S△AED＝a，所以S△DEC＝2a.(3)如圖③，在圖②基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF＝AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF，若陰影部分面積為S3，則S3＝________(用含a代數(shù)式表示)．6a17/263應(yīng)用三角形角平分線應(yīng)用10.

(1)如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)是邊BC上三點(diǎn)，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以AE為角平分線三角形有________________；(2)如圖，已知AE平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，計(jì)算∠3度數(shù)，并說明AE是△DAF角平分線．類型1三角形角平分線定義直接應(yīng)用△ABC和△ADF18/26解：(2)因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAE＝∠CAE.又因?yàn)椤?＝∠2＝15°，所以∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°.所以∠CAE＝∠BAE＝30°.所以∠CAE＝∠4＋∠3＝30°.又因?yàn)椤?＝15°，所以∠3＝15°.所以∠2＝∠3＝15°.所以AE是△DAF角平分線．19/2611.

如圖，在△ABC中，AD是高，AE是∠BAC平分線，∠B＝20°，∠C＝60°，求∠DAE度數(shù)．類型2三角形角平分線與高線相結(jié)合求角度數(shù)20/26解：在△ABC中，因?yàn)椤螧＝20°，∠C＝60°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－20°－60°＝100°.又因?yàn)锳E是∠BAC平分線，所以∠BAE＝∠BAC＝×100°＝50°.在△ABD中，因?yàn)锳D是高，所以∠BDA＝90°.又因?yàn)椤螧＋∠BAD＋∠BDA＝180°，所以∠BAD＝180°－∠B－∠BDA＝180°－20°－90°＝70°.所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝70°－50°＝20°.21/2612.

如圖，在△ABC中，BE，CD分別為其角平分線且交于點(diǎn)O.(1)當(dāng)∠A＝60°時(shí)，求∠BOC度數(shù)；(2)當(dāng)∠A＝100°時(shí)，求∠BOC度數(shù)；(3)當(dāng)∠A＝α?xí)r，求∠BOC度數(shù)．類型3求三角形兩內(nèi)角平分線相交所成角度數(shù)22/26解：(1)因?yàn)椤螦＝60°，所以∠ABC＋∠ACB＝120°.因?yàn)锽E，CD為△ABC角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝×120°＝60°.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－60°＝120°.23/26(2)因?yàn)椤螦＝100°，所以∠ABC＋∠ACB＝80°.因?yàn)锽E，CD為△ABC角平分線，所以∠EBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB.所以∠EBC＋∠DCB＝×80°＝40°.所以∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°.24/26(3)因?yàn)椤螦＝α，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－α.因?yàn)锽E，CD為△ABC角平分線，所以∠EB