正多邊形圓的教學方案

教學設計示例1

教學目標：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與的關(guān)系的第一個定理．

教學難點：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?

2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè)教材P172習題A組2、3．

教學設計示例2

教學目標：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學難點：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)

（2）根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓．

定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學生的探究問題的能力、培養(yǎng)學生的研究意識，也培養(yǎng)學生的協(xié)作學習精神．

（五）總結(jié)

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業(yè)P159中練習1、2、3．

教學設計示例3

教學目標：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯(lián)想和化歸．

教學難點：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)

4．正n邊形的每個中心角都等于．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，

∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C∠1=∠2=．

同理===，

即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形,形，==，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形．

(1)請你說明乙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]

（2）[證明]

（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對．因為=，而∠DAF對的=+=+=．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因為∠A對，∠B對，又因為∠A=∠B，所以=．所以=．

同理======．所以七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時(或當邊數(shù)是3，5，7，9，……時)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

延伸閱讀正多邊形圓教案模板

教學設計示例1

教學目標：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與的關(guān)系的第一個定理．

教學難點：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?

2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè)教材P172習題A組2、3．

教學設計示例2

教學目標：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學難點：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)

（2）根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓．

定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學生的探究問題的能力、培養(yǎng)學生的研究意識，也培養(yǎng)學生的協(xié)作學習精神．

（五）總結(jié)

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業(yè)P159中練習1、2、3．

教學設計示例3

教學目標：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯(lián)想和化歸．

教學難點：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)

4．正n邊形的每個中心角都等于．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，

∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C∠1=∠2=．

同理===，

即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形,形，==，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形．

(1)請你說明乙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]

（2）[證明]

（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對．因為=，而∠DAF對的=+=+=．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因為∠A對，∠B對，又因為∠A=∠B，所以=．所以=．

同理======．所以七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時(或當邊數(shù)是3，5，7，9，……時)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

正多邊形圓初中教案精選

教學設計示例1

教學目標：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與的關(guān)系的第一個定理．

教學難點：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?

2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè)教材P172習題A組2、3．

教學設計示例2

教學目標：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學難點：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)

（2）根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓．

定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學生的探究問題的能力、培養(yǎng)學生的研究意識，也培養(yǎng)學生的協(xié)作學習精神．

（五）總結(jié)

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業(yè)P159中練習1、2、3．

教學設計示例3

教學目標：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯(lián)想和化歸．

教學難點：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)

4．正n邊形的每個中心角都等于．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，

∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C∠1=∠2=．

同理===，

即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個頂點，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問題：

（安徽省2002）某學習小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時，進行如下討論：

甲同學：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形,形，==，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學：我能證明，邊數(shù)是5時，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時，它可能也是正多邊形．

(1)請你說明乙同學構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說明]

（2）[證明]

（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對．因為=，而∠DAF對的=+=+=．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因為∠A對，∠B對，又因為∠A=∠B，所以=．所以=．

同理======．所以七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當邊數(shù)是奇數(shù)時(或當邊數(shù)是3，5，7，9，……時)，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

正多邊形的計算相關(guān)教學方案

教學設計示例1

教學目標：

（1）會將正多邊形的邊長、半徑、邊心距和中心角、周長、面積等有關(guān)的計算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；

（2）鞏固學生解直角三角形的能力，培養(yǎng)學生正確迅速的運算能力；

（3）通過正多邊形有關(guān)計算公式的推導，激發(fā)學生探索和創(chuàng)新．

教學重點:

把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．

教學難點:

正確地將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解決、綜合運用幾何知識準確計算．

教學活動設計:

（一）創(chuàng)設情境、觀察、分析、歸納結(jié)論

1、情境一：給出圖形．

問題1：正n邊形內(nèi)角的規(guī)律．

觀察：在圖形中，應用以有的知識（多邊形內(nèi)角和定理，多邊形的每個內(nèi)角都相等）得出新結(jié)論．

教師組織學生自主觀察，學生回答．（正n邊形的每個內(nèi)角都等于．）

2、情境二：給出圖形．

問題2：每個圖形的半徑，分別將它們分割成什么樣的三角形？它們有什么規(guī)律？

教師引導學生觀察，學生回答．

觀察：三角形的形狀，三角形的個數(shù)．

歸納：正n邊形的n條半徑分正n邊形為n個全等的等腰三角形．

3、情境三：給出圖形．

問題3：作每個正多邊形的邊心距，又有什么規(guī)律？

觀察、歸納：這些邊心距又把這n個等腰三角形分成了個直角三角形，這些直角三角形也是全等的．

（二）定理、理解、應用：

1、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形．

2、理解：定理的實質(zhì)是把正多邊形的問題向直角三角形轉(zhuǎn)化．

由于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R，一條直角邊是正n邊形的邊心距rn，另一條直角邊是正n邊形邊長an的一半，一個銳角是正n邊形中心角的一半，即，所以，根據(jù)上面定理就可以把正n邊形的有關(guān)計算歸結(jié)為解直角三角形問題．

3、應用：

例1、已知正六邊形ABCDEF的半徑為R，求這個正六邊形的邊長、周長P6和面積S6．

教師引導學生分析解題思路：

n=6=30°，又半徑為Ra6、r6．P6、S6．

學生完成解題過程，并關(guān)注學生解直角三角形的能力．

解：作半徑OA、OB；作OG⊥AB，垂足為G，得Rt△OGB．

∵∠GOB=，

∴a6=2·Rsin30°=R，

∴P6=6·a6=6R，

∵r6=Rcos30°=，

∴．

歸納：如果用Pn表示正n邊形的周長，由例1可知，正n邊形的面積S6=Pnrn．

4、研究：（應用例1的方法進一步研究）

問題：已知圓的半徑為R，求它的內(nèi)接正三角形、正方形的邊長、邊心距及面積．

學生以小組進行研究，并初步歸納：

；；；；

；．

上述公式是運用解直角三角形的方法得到的．

通過上式六公式看出，只要給定兩個條件，則正多邊形就完全確定了．例如：(1)圓的半徑或邊數(shù)；(2)圓的半徑和邊心距；(3)邊長及邊心距，就可以確定正多邊形的其它元素．

（三）小節(jié)

知識：定理、正三角形、正方形、正六邊形的元素的計算問題．

思想：轉(zhuǎn)化思想．

能力：解直角三角形的能力、計算能力；觀察、分析、研究、歸納能力．

（四）作業(yè)

歸納正三角形、正方形、正六邊形以及正n邊形的有關(guān)計算公式．

教學設計示例2

教學目標：

（1）進一步研究正多邊形的計算問題，解決實際應用問題；

（2）通過正十邊形的邊長a10與半徑R的關(guān)系的證明，學習邊計算邊推理的數(shù)學方法；

（3）通過解決實際問題，培養(yǎng)學生簡單的數(shù)學建模能力；

（4）培養(yǎng)學生用數(shù)學意識，滲透理論聯(lián)系實際、實踐論的觀點．

教學重點:

應用正多邊形的基本計算圖解決實際應用問題及代數(shù)計算的證明方法．

教學難點:

例3的證明方法．

教學活動設計：

（一）知識回顧

（1）方法：運用將正多邊形分割成三角形的方法，把正多邊形有關(guān)計算轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題．

（2）知識：正三角形、正方形、正六邊形的有關(guān)計算問題，．

；；；；

；．

組織學生填寫教材P165練習中第2題的表格．

（二）正多邊形的應用

正多邊形的有關(guān)計算方法是基本的幾何計算知識之一，掌握這些知識，一方面可以為學生進一步學習打好基礎，另一方面，這些知識在生產(chǎn)和生活中常常會用到，掌握后對學生參加實踐活動具有實用意義．

例2、在一種聯(lián)合收割機上，撥禾輪的側(cè)面是正五邊形，測得這個正五邊形的邊長是48cm，求它的半徑R5和邊心距r5(精確到0.1cm)．

解：設正五邊形為ABCDE，它的中心為點O，連接OA，作OF⊥AB，垂足為F，則OA=R5，OF=r5，∠AOF=．

∵AF=（cm），∴R5=（cm）．

r5=（cm）．

答：這個正多邊形的半徑約為40.8cm，邊心距約為33.0cm

建議：①組織學生，使學生主動參與教學；②滲透簡單的數(shù)學建模思想和實際應用意識；③對與本題除解直角三角形知識外，還要主要學生的近似計算能力的培養(yǎng)．

以小組的學習形式，每個小組自己舉一個實際生活中的例子加以研究，班內(nèi)交流．

例3、已知：正十邊形的半徑為R，求證：它的邊長．

教師引導學生：

（1）∠AOB=？

（2）在△OAB中，∠A與∠B的度數(shù)？

（3）如果BM平分∠OBA交OA于M，你發(fā)現(xiàn)圖形中相等的線段有哪些？你發(fā)現(xiàn)圖中三角形有什么關(guān)系？

（4）已知半徑為R，你能不通過解三角形的方法求出AB嗎？怎么計算？

解：如圖，設AB=a10．作∠OBA的平分線BM，交OA于點M，則

∠AOB=∠1=∠2=36°，∠OAB=∠3=72°．

∴OM=MB=AB=a10．

△OAB∽△BAMOA:AB=BA:AM，即R:a10=a10:（R-a10），整理，得

，（取正根）．

由例3的結(jié)論可得．

回顧：黃金分割線段．AD2=DC·AC，也就是說點D將線段AC分為兩部分，其中較長的線段AD是較小線段CD與全線段AC的比例中項．頂角36°角的等腰三角形的底邊長是它腰長的黃金分割線段．

反思：解決方法．在推導a10與R關(guān)系時，輔助線角平分線是怎么想出來的．解決方法是復習等腰三角形的性質(zhì)、判定及相似三角形的有關(guān)知識．

練習P.165中練習1

(三)總結(jié)

（1）應用解決實際問題；

（2）綜合代數(shù)列方程的方法證明了．

（四）作業(yè)

教材P173中8、9、10、11、12．

探究活動

已知下列圖形分別為正方形、正五邊形、正六邊形，試計算角、的大?。?/p>

探究它們存在什么規(guī)律？你能證明嗎？

（提示：．）

數(shù)學教案－正多邊形圓初中教案精選

教學設計示例1

教學目標：

（1）使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個定理；

（2）通過正多邊形定義教學，培養(yǎng)學生歸納能力；通過正多邊形與圓關(guān)系定理的教學培養(yǎng)學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學重點：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個定理．

教學難點：

對定理的理解以及定理的證明方法．

教學活動設計：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點．

教師組織學生進行，并可以提問學生問題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等．菱形不是正多邊形，因為角不一定相等．

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分．要將圓五等分，把等分點順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進行證明．

已知：⊙O中，====，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過點A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弧相等

說明：(1)要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來判定外，還可以根據(jù)這個定理來判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過圓的n(n≥3)等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應用

P157練習

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么?

2．求證：正五邊形的對角線相等．

3．如圖，已知點A、B、C、D、E是⊙O的5等分點，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè)教材P172習題A組2、3．

教學設計示例2

教學目標：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過正多邊形性質(zhì)的教學培養(yǎng)學生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學重點：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學難點：

對“正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，并且這兩個圓是同心圓”的理解．

教學活動設計：

（一）提出問題：

問題：上節(jié)課我們學習了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過來，是否每一個正多邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實踐與探究：

組織學生自己完成以下活動．

實踐：1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點？半徑是什么？

探究1：當三角形為正三角形時，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對角線的交點．)

（2）根據(jù)正方形的哪個性質(zhì)證明對角線的交點是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過正五邊形ABCDE的頂點A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個外接圓⊙O．

因為正五邊形ABCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見正五邊形ABCDE還有一個以O為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個頂點都不在同一條直線上

它的任意三個頂點確定一個圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個頂點到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個外接圓和內(nèi)切圓．

定理：任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個中心角都等于．

（3）鞏固練習：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對稱圖形？如果是，它們又各應有幾條對稱軸？

3、正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導學生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學生的探究問題的能力、培養(yǎng)學生的研究意識，也培養(yǎng)學生的協(xié)作學習精神．

（五）總結(jié)

知識：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點共圓的方法．

（六）作業(yè)P159中練習1、2、3．

教學設計示例3

教學目標：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過證明和畫圖提高學生綜合運用分析問題和解決問題的能力；

（3）通過例題的研究，培養(yǎng)學生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識及選優(yōu)意識．

教學重點：

綜合運用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來解決問題，要理解通過對具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學知識的聯(lián)想和化歸．

教學難點：綜合運用知識證題．

教學活動設計：

（一）知識回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對稱性、相似性、有兩圓且同心)

4．正n邊形的每個中心角都等于．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導學生分析，學生動手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，

∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，

又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C∠1=∠2=．

同理===，

即切點A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來判定，證明關(guān)鍵是證出各切點為圓的等分點．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點是圓的等分點。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進行證明競賽，并歸納學生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學生獨立完成證明過程，對B、C層學生教師給予及時指導，最后可以應用實物投影展示學生的證明成果，特別是對證明方法好，步驟推理嚴密的學生給予表揚．

例2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過A、B、C三點作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O為圓心，以O到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識：復習了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點復習了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習題4、5；另A層學生：P174B組3、4．

探究活動

折疊問題：（1）想一想：怎樣把一個正三角形紙片折疊一個最大的正六邊形．

（提示：①對折；②再折使A、B、C分別與O點重合即可）

（2）想一想：能否把一個邊長為8正方形紙片折疊一個邊長為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應用把一個直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對折成小正方形ABCD；

②對折小正方形ABCD的中線；

③對折使點B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正