圓錐曲線解答題精選百題

1.已知橢圓C:/+《=l(Q>b>0)的離心率為白，短軸一個(gè)端點(diǎn)

到右焦點(diǎn)的距離為舊.

(1)求橢圓C的方程：

(2)設(shè)直線，與橢圓C交于4B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線/的距

離為日，求△408面積的最大值.

22一

2.雙曲線c與橢圓2+一二1有相同的焦點(diǎn)，直線y二百%為c的

84

一條漸近線.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點(diǎn)P(0,4)的直線】交雙曲線。于48兩點(diǎn)，交》軸于Q點(diǎn)

(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)，當(dāng)同=入19=白而，且％+

月二一g時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

3,已知橢圓C:9x2+y2=m2(m>0),直線I不過原點(diǎn)0且不平行于

坐標(biāo)軸，I與C有兩個(gè)交點(diǎn)4B,線段的中點(diǎn)為M.

(1)證明：直線0M的斜率與，的斜率的乘積為定值；

(2)若I過點(diǎn)(pm),延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形

04PB能否為平行四邊形?若能，求此時(shí)/的斜率：若不能，說

明理由.

4.已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)尸(0,c)(c>0)到直線上父-

y-2=0的距離為竽，設(shè)P為直線，上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C

的兩條切線P4PB,其中4B為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程：

(2)當(dāng)點(diǎn)PG。,%)為直線/上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線I上移動(dòng)時(shí)，求I4尸|?|BF|的最小值.

5.如圖，橢圓、+，=l(Q>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F2,

過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，且PQIPFi.

(1)若|PFil=2+a,|PF2|=2-V2,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:

(2)若|PFil=|PQ|,求橢圓的離心率e.

6,已知橢圓.+'=l(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,遮),離心率為，，左、

右焦點(diǎn)分別為Fi(—*0)、F2(G。)，

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線=-1+m與橢圓交于A,B兩點(diǎn),與以F#2為

直徑的圓交于C,。兩點(diǎn)，且滿足瞿=乎，求直線，的方程.

\CD\4

7.已知4B,。是橢圓加:1+必=1上的三個(gè)點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn).

4

(1)當(dāng)點(diǎn)B是"的右頂點(diǎn)，且四邊形0ABe為菱形時(shí)，求此菱形

的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形。4BC是否可能為菱形,

并說明理由.

2

8.已知拋物線C:x=4y,過點(diǎn)P(0fm)(m>0)的動(dòng)直線I與C相交

于4B兩點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)A和點(diǎn)8處的切線相交于點(diǎn)Q,直線

AQ,BQ與％軸分別相交于點(diǎn)E,F.

(1)寫出拋物線。的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)求證：點(diǎn)Q在直線y=上：

(3)判斷是否存在點(diǎn)P,使得四邊形PEQF為矩形?若存在，求出

點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

9.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)尸(1,0)的距離減去它

到y(tǒng)軸距離的差都是1.

(1)求曲線C的方程；

(2)是否存在正數(shù)對(duì)于過點(diǎn)M(ni,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)

4B的任一直線，都有目?而<0?若存在，求出m的取值

范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10.如圖，已知拋物線C:y2=2px(p〉0)的焦點(diǎn)為尸，若過點(diǎn)F且

斜率為1的直線與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)，且|MN=8|.

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)直線，為拋物線。的切線，且/〃MN,P為L上一點(diǎn),求

麗?麗的最小值.

11.如圖，點(diǎn)P(0,—1)是橢圓Ci：5+《=l(Q>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),

Ci的長軸是圓。2：/+必=4的直徑.小。是過點(diǎn)P且互相垂

直的兩條直線，其中k交圓Q于4B兩點(diǎn)，％交橢圓C1于另

一點(diǎn)D.

（1）求橢圓Cl的方程；

（2）求AABD面積取最大值時(shí)直線k的方程.

12.已知橢圓E：9+《=l（Q>b>0）過點(diǎn)（0,&）,且離心率e=9.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)直線/：%=my—I（THCR）交橢圓E于4B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)

G（-三0）與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

13.圓％2+y2=4的切線與X軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,

22

當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線。1:彳一￡二

a2b2

1過點(diǎn)P且離心率為百.

y

(1)求Cl的方程；

(2)橢圓C2過點(diǎn)P且與Ci有相同的焦點(diǎn)，直線，過的右焦點(diǎn)

且與C?交于48兩點(diǎn)，若以線段48為直徑的圓過點(diǎn)P,求/

的方程.

14.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K(-1,0)的直線I

與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)4關(guān)于無軸的對(duì)稱點(diǎn)為D.

(1)證明：點(diǎn)F在直線BD上；

(2)設(shè)質(zhì)?麗=3,求△BDK的內(nèi)切圓M的方程.

22

15.設(shè)橢圓a+6=1(。＞匕〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為月,F2,右頂

點(diǎn)為4,上頂點(diǎn)為B,已知I4BI=flF/zl.

(1)求橢圓的離心率；

(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)

過點(diǎn)F］，經(jīng)過原點(diǎn)0的直線L與該圓相切.求直線，的斜率.

16.已知橢圓C：《+'=1(。＞匕〉°)的離心率為爭點(diǎn)「(°，1)和

點(diǎn)A(m,n)(m*0)都在橢圓C上,直線PA交x軸于點(diǎn)M.

(1)求橢圓。的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)(用m,八表示).

(2)設(shè)0為原點(diǎn)，點(diǎn)8與點(diǎn)4關(guān)于叉軸對(duì)稱，直線P8交無軸于

點(diǎn)N.問；y軸上是否存在點(diǎn)明使得/OQM=4ONQ?若存在,

求點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

22

17.已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線I與圓C1:x+y-6x+5=0相交于不同

的兩點(diǎn)4B.

(1)求圓Ci的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段4B的中點(diǎn)M的軌跡C的方程；

(3)是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線匕y=k(x-4)與曲線C只有一

個(gè)交點(diǎn)?若存在，求出k的取值范圍：若不存在，說明理由.

18,平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓C與圓Q—l)2+y2=：外切，且與直

線％二一，相切，記圓心C的軌跡為曲線兀

(1)求曲線T的方程：

(2)設(shè)過定點(diǎn)Q(犯0)(m為非零常數(shù))的動(dòng)直線，與曲線T交于

4,B兩點(diǎn)，問：在曲線T上是否存在點(diǎn)P(與4,B兩點(diǎn)相

異)，當(dāng)直線P4PB的斜率存在時(shí)，直線P4PB的斜率之

和為定值，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.如圖，曲線q是以原點(diǎn)。為中心，6，尸2為焦點(diǎn)的橢圓的一部

分.曲線C2是以原點(diǎn)。為頂點(diǎn)，尸2為焦點(diǎn)的拋物線的一部分，4

B是曲線6和C2的交點(diǎn)且乙4尸2月為鈍角，若|^|=|,

\AF2\=1，

(1)求曲線Ci和C2的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)C,D是曲線金所在拋物線上的兩點(diǎn)(如圖).設(shè)直線

0C的斜率為右，直線。。的斜率為且自+心=遮，證

明：直線CD過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

20.如圖，設(shè)橢圓3+必=I(Q>1).

(1)求直線y=/a+1被橢圓截得的線段長(用a,k表示)；

(2)若任意以點(diǎn)｛(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求

橢圓離心率的取值范圍.

22

21.給定橢圓+3=1(a>/?>0),稱圓C1：%2+y2=@2+匕2

a2bzx

為橢圓C的“伴隨圓已知橢圓C的離心率為亨，且經(jīng)過點(diǎn)(0」).

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)若過點(diǎn)P(0jM)(m>0)的直線/與橢圓C有且只有一個(gè)公共

點(diǎn)，且I被橢圓c的伴隨圓q所截得的弦長為2VL求實(shí)數(shù)譏

的值.

丫2

22.已知橢圓G：?+y2=I,橢圓c2以G的長軸為短軸，且與C1

有相同的離心率.

(1)求橢圓c2的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A.B分別在橢圓品和C2±,OB=

2OA.求直線4S的方程.

22

23.如圖：A,B,C是橢圓彳+巳=l(a>b>0)的頂點(diǎn)，點(diǎn)F(c,O)

Q4b"

為橢圓的右焦點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線C尸的距離為^c，且橢圓過點(diǎn)

(2V3,1).

(1)求橢圓的方程;

(2)若P是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線CP交匯軸于點(diǎn)E,

直線BC與AP相交于點(diǎn)D,連接DE.設(shè)直線AP的斜率為k,

直線DE的斜率為口，問是否存在實(shí)數(shù)九使得/Lki=k+：成

立，若存在求出4的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

24.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在無軸上，離心率為:，橢圓

。上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若過點(diǎn)P(O,rn)的直線1與橢圓。交于不同的兩點(diǎn)4、B,且

AP=3PB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

25.設(shè)橢圓?+，=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為過點(diǎn)

產(chǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為竽.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)4B分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，過點(diǎn)/且斜率為k的直線

與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若羽?麗+而?麗=8,求k的值.

22

26.如圖，橢圓E：/十左=l（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)4（0,-1）,且離心

（1）求橢圓E的方程：

（2）經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)P,

Q（均異于點(diǎn)力），證明：直線4P與4Q的斜率之和為2.

27.已知AABC的兩個(gè)頂點(diǎn)48的坐標(biāo)分別是（0,-皆）,（0,百），且

AC,BC所在直線的斜率之積等于根（加工0）.

（1）求頂點(diǎn)。的軌跡入的方程，并判斷軌跡a為何種曲線；

（2）當(dāng)巾二一三時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（04），過點(diǎn)P作直線?與曲線a交于

4

E,F兩點(diǎn)，且而二g而，求直線/的方程.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓5+毯=

l（Q>b>0）過點(diǎn)4（2,1）,離心率為

（1）求橢圓的方程;

(2)若直線八y=/a+m(kH0)與橢圓相交于8,。兩點(diǎn)(異

于點(diǎn)4),線段BC被y軸平分，且AB1AC,求直線[的方程.

29.已知橢圓C《+2=l(a>b>0)的離心率為*點(diǎn)在

橢圓。上，0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)動(dòng)直線I與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且，與圓/+

y2=5相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)P1，P2,記直線OP1，OP2

的斜率分別為自，心，求證：心,心為定值.

22

30.如圖，已知兩條拋物線E^.y=2p1x(p1>0)和E2:y=

2p2x(p2>0),過原點(diǎn)。的兩條直線2i和，2,與瓦，的分別交

于4兩點(diǎn)，k與E1，分別交于當(dāng)，B2兩點(diǎn).

(1)證明：A1B1//A2B2；

(2)過原點(diǎn)。作直線I(異于lv12)與E],&分別交于6，C2

兩點(diǎn).記MiBiG與△4zBzCz的面積分別為Si與52，求引

S2

的值.

丫2

31.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C:y=—與直線l\y=kx+a(a>0)

交于兩點(diǎn).

(1)當(dāng)k=0時(shí)，分別求。在點(diǎn)M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有40PM二

乙0PN?說明理由.

32.如圖所示，橢圓C:\+，=l(a>b>0)與直線=g尤+1

相切于點(diǎn)4

(1)求Q,匕滿足的關(guān)系式，并用Q,匕表示點(diǎn)4的坐標(biāo);

(2)設(shè)廠是橢圓的右焦點(diǎn)，若△4F8是以F為直角頂點(diǎn)的等腰直

角三角形，求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程.

33.已知橢圓C；《=l(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(L0),設(shè)左頂

Q/b'

點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為B,且而?麗二麗?麗.

(1)求橢圓。的方程；

(2)已知M,N為橢圓C上兩動(dòng)點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)，在圓/+

y2=1±,求原點(diǎn)0到直線MN距離的最小值.

34.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓，:a+左=1(Q>b>0)與

直線上x=m(mWR).四點(diǎn)(3,1),(3,-1),(-272,0),(V3,V3)

中有三個(gè)點(diǎn)在橢圓。上，剩余一個(gè)點(diǎn)在直線，上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若動(dòng)點(diǎn)P在直線，上，過點(diǎn)P作直線交橢圓。于M,N兩點(diǎn),

使得PM=PN,再過P作直線0_LMN.求證；直線「恒過定

點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

35.在圓％2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作％軸的垂線段，。為垂

足，點(diǎn)M在線段PD上，且|DP|二&|DM|,點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng).

(1)求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)過定點(diǎn)C(-l,0)的直線與點(diǎn)M的軌跡交于4B兩點(diǎn)，在工

軸上是否存在點(diǎn)N,使福?福為常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)N的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

36.如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓6：彳+9=1(a>b>0)的左、右

aLb￡

焦點(diǎn)分別為Fi、F2,離心率為馬；雙曲線-的左、

右焦點(diǎn)分別為小F4,離心率為牝.己知之牝=*且電川二

V3—1.

(1)求C1，C2的方程；

(2)過Fl作G的不垂直于y軸的弦AB,M為弦AB的中點(diǎn).當(dāng)

直線0M與交于P,Q兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形/PBQ面積的最小

值.

37.已知橢圓C-.x2+3y2=3,過點(diǎn)0(1,0)且不過點(diǎn)E(2,l)的直線與

橢圓。交于4B兩點(diǎn),直線AE與直線％=3交于點(diǎn)M.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)若直線4B垂直于無軸，求直線BM的斜率；

(3)試判斷直線8M與直線DE的位置關(guān)系，并說明理由.

22

38.平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：3+￡=1(Q＞力＞0)的離

心率為日，左、右焦點(diǎn)分別是F2.以此為圓心、以3為半徑

的圓與以尸2為圓心、以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.

(1)求橢圓。的方程；

22

(2)設(shè)橢圓E:￡+為=LP為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的

4Q24bz

直線y=依+m交橢圓E于48兩點(diǎn)，射線P0交橢圓E于

點(diǎn)Q?

①求耨的值；

②求△ABQ面積的最大值.

39,已知橢圓?+\=l(a>b>0)的離心率為且經(jīng)過點(diǎn)

過它的兩個(gè)焦點(diǎn)用，F(xiàn)2分別作直線。與％，乙交橢圓于

4B兩點(diǎn),%交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且!il，2.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形ACBD的面積S的取值范闈.

40.設(shè)橢圓各\=1(。>匕>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4B,點(diǎn)P

在橢圓上且異于A,B兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若直線AP與BP的斜率之積為-右求橢圓的離心率；

(2)若\AP|=|OA|,證明直線OP的斜率k滿足|/c|>V3.

22

41.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C：1的一個(gè)焦點(diǎn)為6(0,3),

M(x,4)(x>0)為橢圓C上一點(diǎn),△MOFi的面積為去

(1)求橢圓。的方程；

(2)是否存在平行于0M的直線/,使得直線/與橢圓C相交于4

B兩點(diǎn)，且以線段4B為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)?若存在，求出

直線I的方程；若不存在，說明理由.

42.如圖,橢圓C5+.=l(a＞匕＞0)經(jīng)過點(diǎn)離心率e=

直線！的方程為t=4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P),設(shè)直線AB與

直線［相交于點(diǎn)M，記P4PB/M的斜率分別為初心水3.問:

是否存在常數(shù)九使得k1+心=北3?若存在，求2的值；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

43.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(l,0)的距離比它到y(tǒng)軸

的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求軌跡C的方程；

(2)設(shè)斜率為k的直線I過定點(diǎn)P(-2,1).求直線I與軌跡C恰好

有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍.

44.已知拋物線E:y2=2Px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K

作圓。:(n-2)2+產(chǎn)=1的兩條切線，切點(diǎn)為M,N,\MN\=

4V2

3

(1)求拋物線E的方程：

(2)設(shè)48是拋物線E上分別位于工軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

OA-OB=-(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)).

4

①求證；直線4B必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G,D兩點(diǎn)，求四邊形

AGBD面積的最小值.

22

45.已知橢圓氏3+2=1(。>匕>。)的半焦距為c,原點(diǎn)。到經(jīng)

過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為，c.

(1)求橢圓￡的離心率；

(2)如圖，A8是圓M：(%+2)2+(y-1)2=申的一條直徑，若

橢圓E經(jīng)過48兩點(diǎn)，求橢圓￡的方程.

46.已知橢圓+\=1(Q>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)

是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P(遮在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)。且斜率為1的直線I與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)

4B,線段48的中點(diǎn)為M,直線0M與橢圓E交于C,D,

證明,\MA\-\MB\=\MC\?\MD\.

47.已知橢圓C：《+,=1過4(2,0),B(0,l)兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程及離心率；

(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線P4與y軸交于

點(diǎn)M,直線PB與工軸交于點(diǎn)N.求證：四邊形48NM的面積

為定值.

48.已知橢圓C；《+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為居，F(xiàn)2,

離心率為泉M為橢圓上任意一點(diǎn)，且^MFiF2的周長等于6.

(1)求橢圓。的方程；

(2)以M為圓心，IMFil為半徑作圓M,當(dāng)圓M與直線/：%=

4有公共點(diǎn)時(shí)，求AMF/2面積的最大值.

49.已知離心率為理的橢圓C：m+《=l(Q>b>0)與直線％=2

2a1bz

相交于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在％軸上方)，且|PQI=2,點(diǎn)4B

是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且乙4PQ=乙BPQ.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形APBQ面積的取值范圍.

丫2

50.已知A,B為橢圓C:]+y2=i上兩個(gè)不同的點(diǎn)，0為坐標(biāo)原

點(diǎn).設(shè)直線04OB,AB的斜率分別為包，幻，匕

（1）當(dāng)/q=2時(shí)，求104；

（2）當(dāng)憶水2—1=刈+&時(shí)，求人的取值范圍.

51.已知橢圓C：\+2=l（a＞匕＞0）過點(diǎn)（0,加），且滿足a+

b=3,\/2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）斜率為：的直線交橢圓C于兩個(gè)不同點(diǎn)4B,點(diǎn)M的坐標(biāo)

為（2,1）,設(shè)直線AM與MB的斜率分別為自，k2.

①若直線過橢圓C的左頂點(diǎn)，求此時(shí)自，的的值；

②試探究七+七是否為定值，并說明理由.

52.設(shè)圓產(chǎn)+,2+2、-15=0的圓心為4,直線I過點(diǎn)8Q0）且與

x軸不重合，，交圓力于C,D兩點(diǎn)，過8作AC的平行線交AD

于點(diǎn)E,

（1）證明1及4|+|￡8|為定值，并寫出點(diǎn)￡的軌跡方程：

（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Ci，直線1交q于M,N兩點(diǎn)，過B

且與/垂直的直線與圓4交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面

積的取值范圍.

22

53.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，設(shè)橢圓今+看=l（Q〉b〉0）的離心

率是e,定義直線、=±2為橢圓的“類準(zhǔn)線L已知橢圓。的“類

e

準(zhǔn)線”方程為,=±24樂長軸長為4.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)P在橢圓C的“類準(zhǔn)線”上（但不在y軸上），過點(diǎn)P作

圓O：x2+y2=3的切線I,過點(diǎn)。且垂直于0P的直線與I交

于點(diǎn)4問：點(diǎn)4是否在橢圓C上?證明你的結(jié)論.

22

54.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，橢圓E：3+/=l（Q>b>。）的右準(zhǔn)

線為直線/,動(dòng)直線y=k%+m（k<0,m>0）交橢圓于4,B兩

點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M,射線0M分別交橢圓及直線，于P,Q

兩點(diǎn)，如圖.若兒B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為：（其中。為橢圓的離心率），且OQ=\^OM.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如果OP是OM,OQ的等比中項(xiàng)，那么?是否為常數(shù)?若是，

求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

22

55.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M,N分別是橢圓9+5=1

的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,4兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第

一象限，過P作t軸的垂線，垂足為C,連接AC,并延長交橢圓

于點(diǎn)兒設(shè)直線P｛的斜率為k.

(1)當(dāng)直線P4平分線段MN時(shí)，求k的值；

(2)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(3)對(duì)任意k〉0,求證；PALPB.

22

56.如圖，在平面直角坐標(biāo)系％0y中，橢圓C：3+力=l(Q>b>。)

的離心率為?，以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與

直線％—y+2=0相切.

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知點(diǎn)P(O,1),Q(0,2).設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱

的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)7.求證：點(diǎn)T在橢圓C

上.

57.已知拋物線E\y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K,過點(diǎn)K

作圓C:Q—5)2+y2=9的兩條切線，切點(diǎn)為M,N,IMN|=

3V3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)設(shè)4,B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且

OA-OB=-(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

4

①求證：直線AB必過定點(diǎn)Q,并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

②過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G,D兩點(diǎn)，求四邊形

AGBD面積的最小值.

58.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)(，0)且與直線%=-：

相切，設(shè)該動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線￡

(1)求曲線E的方程；

(2)設(shè)P是曲線E上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C在y軸上，APBC的內(nèi)切

圓的方程為(％—l)2+y2=i,求APBC面積的最小值.

59.已知橢圓C:，+、=l(a〉b>0)的離心率為彳，以原點(diǎn)。為圓

心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2%-y/2y+6=0相切.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)4B為動(dòng)直線y=k(x—2)(k盧0)與橢圓C的兩個(gè)

交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E,使得市？+瓦小荏為定

值?若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22

60.已知橢圓M：a+孑=l(a>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(—1,0),左右頂

點(diǎn)分別為人工經(jīng)過點(diǎn)F的直線L與橢圓M交于C,。兩點(diǎn).

(1)求橢圓方程；

(2)當(dāng)直線2的傾斜角為45。時(shí),求線段CD的長；

(3)記△4BD與AABC的面積分別為Si和52，求IS1-S2I的最

大值.

22

61,已知雙曲線邑靠—左=l(a>0,b>0)的兩條漸近線方程分別為

l^,y=2%,l2\y=-2%.

(1)求雙曲線E的離心率；

(2)如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線1分別交直線小。于4B兩

點(diǎn)(4,8分別在第一、四象限)，且△048的面積恒為8,

試探究：是否存在總與直線，有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在,

求出雙曲線E的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

62.如圖，橢圓、+3=l（Q>b>0）的焦點(diǎn)為6,F2,過F2作垂

直于％軸的直線交橢圓于P點(diǎn)（點(diǎn)P在％軸上方），連接PF1并

延長交橢圓于另一點(diǎn)Q.設(shè)兩二/1及

（1）若PF1=［遙，P/2=：遙，求橢圓的方程；

（2）求橢圓的離心率的范圍；

（3）當(dāng)離心率最大時(shí)，過點(diǎn)P作直線I交橢圓于點(diǎn)R,設(shè)直線PQ

的斜率為刈，直線RF］的斜率為22,若刈=|攵2,求直線1的

斜率匕

63.在平面直角坐標(biāo)系％0y中，已知橢圓C：m+S=l（Q>b>0）的

Q/公

離心率e=彳，且橢圓c上的點(diǎn)到點(diǎn)Q（0,2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)使得直線L/n%+ny=l

與圓0：%2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A,B,且△048的面

積最大?若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

22

64.已知橢圓。:a+￡=1（。>8>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（花,0）,離心率

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若動(dòng)點(diǎn)P（xo,yo）為橢圓c外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓c的兩條切

線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程.

22

65.已知雙曲線E：3-g=l（Q>0,b>0）的兩條漸近線分別為

a2b2x'

lr:y=2%,l2:y=-2%.

（1）求雙曲線E的離心率；

（2）如圖，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線I分別交直線5％于48兩

點(diǎn)（4B分別在第一，四象限），且△OHB的面積恒為8,

試探究：是否存在總與直線I有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?

若存在，求出雙曲線E的方程：若不存在，說明理由.

66.如圖，在正方形04BC中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)｛的坐標(biāo)為（10,0）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,10）,分別將線段0A和4B十等分，分點(diǎn)分別記

為4,出,???，/和%B?,…,/,連接。Bj,過％作工軸

的垂線與0Bt交于點(diǎn)PgGN*,l<i<9）.

（1）求證：點(diǎn)打?€2,142<9）都在同一條拋物線上，并求該

拋物線E的方程；

（2）過點(diǎn)C作直線I與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M,N,若△

OCM與aOCN的面積之比為4:1,求直線［的方程.

22

67.已知橢圓會(huì)+a=1（。>8>0）的左右焦點(diǎn)尸1，瑪，其離心率為

。二a點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PF1F2內(nèi)切圓面積的最大值

為了

（1）求a,b的值，

（2）若4B,C,D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn)，且滿足瓦了〃及乙

質(zhì)〃及了，羽，麗=0,求I前1+1而I的取值范圍.

68.已知橢圓C：［+1=1（。>匕>0）的離心率為遮，過點(diǎn)M（l,0）

Q，DL2

的直線/交橢圓C于,4,B兩點(diǎn),|MA|二4|MB|,且當(dāng)直線/垂

直于％軸時(shí)，I4B|=y/2.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若4€&2卜求弦長I4B|的取值范圍，

69.如圖，設(shè)橢圓C：m+^=l（Q>b〉O）,動(dòng)直線1與橢圓C只有

一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限.

(1)已知直線/的斜率為限用Q,匕，k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若過原點(diǎn)0的直線I］與I垂直，證明：點(diǎn)P到直線h的距離

的最大值為a—b.

Y2

70.已知橢圓G\—+y2=1.過點(diǎn)(m,0)作圓/+必=1的切線/交

橢圓G于4B兩點(diǎn).

(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

(2)將\AB\表示為m的函數(shù)，并求\AB\的最大值.

71.圓/+必=4的切線與無軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形,

當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P(如圖),

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)焦點(diǎn)在工軸上的橢圓C過點(diǎn)P,且與直線Z:y=x+V3交于

A,B兩點(diǎn)，若△PAB的面積為2,求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

72.已知橢圓C5+\=l（Q>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為%F2,

上頂點(diǎn)為8,Q為拋物線必=12%的焦點(diǎn)，且用,麗=0,

2^+M=0.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過定點(diǎn)P（0,2）的直線I與橢圓。交于M,N兩點(diǎn)（M在P,

N之間），設(shè)直線I的斜率為攵（憶>0）,在無軸上是否存在點(diǎn)

4（m,0），使得以AM,4N為鄰邊的平行四邊形為菱形?若存在,

求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說明理由.

73.已知橢圓W2+\=l（a>b>0）的離心率為*其左頂點(diǎn)4

在圓O\x2+y2=16上.

（1）求橢圓W的方程：

（2）若點(diǎn)P為橢圓W上不同于點(diǎn)A的點(diǎn)，直線AP與圓0的另一

個(gè)交點(diǎn)為Q,是否存在點(diǎn)P,使得黑=3?若存在，求出點(diǎn)P

\Ar\

的坐標(biāo)：若不存在，說明理由.

74.已知4B,C是橢圓W:=+y2=1上的三個(gè)點(diǎn)，0是坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形。力BC為菱形時(shí)，求此菱形

的面積；

(2)當(dāng)點(diǎn)B不是"的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形,

并說明理由.

75.已知點(diǎn)”1,0),點(diǎn)4是直線=上的動(dòng)點(diǎn)，過4作直線"，

線段4F的垂直平分線與。交于點(diǎn)P?

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)若點(diǎn)M,N是直線4上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且APMN的內(nèi)切圓

方程為/+y2=i,直線P尸的斜率為匕求就的取值范圍.

22

76.如圖，曲線C由上半橢圓C1:^+^=l(a>b>0,y>0)和部分

拋物線C2：y=-/+l(yW0)連接而成，G，C2的公共點(diǎn)為4

B,其中Ci的離心率為

(1)求跖(的值;

(2)過點(diǎn)B的直線I與q,C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)4

B),若AP1AQ,求直線，的方程.

77.已知橢圓馬+[=1(@〉力>0)的離心率為:且經(jīng)過點(diǎn)P(l[)

a4b乙2\2/

過它的兩個(gè)焦點(diǎn)凡，殳分別作直線匕與LL交橢圓于4B兩

點(diǎn),。交橢圓于C,。兩點(diǎn)，且kl/

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求四邊形力8co的面積S的取值范圍.

22

78.己知橢圓k=l(Q〉b〉0)的離心率為爭過右焦點(diǎn)尸的

直線！與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)，的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)0

至M的距離為f.

(1)求Q,b的值；

(2)C上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)[繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有而二

褊+礪成立?若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與/的方程；若不

存在，說明理由.

79.如圖所示，過拋物線狀=2PMp>0)上一定點(diǎn)P(x0fy0)(y0>0),

作兩條直線分別交拋物線于4(/,%),8(%2，%)?

(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為:的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離;

（2）當(dāng)P4與P8的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求生叁的值，并

yo

證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

22

80,平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知橢圓C：*+2=l（a>b>0）的

離心率為且點(diǎn)（日，）在橢圓C上.

（1）求橢圓。的方程；

22

（2）設(shè)橢圓E：34az+4為bz=1，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P的

直線y=k%+巾交橢圓E于A,B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于

點(diǎn)Q-

①求黑的值；

②求AABQ面積的最大值.

22

81.設(shè)橢圓y=1的焦點(diǎn)在%軸上，

azl-az

（1）若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程；

（2）設(shè)片，尸2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象

限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且尸1PLF1Q，證明：

當(dāng)Q變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上.

82.已知橢圓GA+\=1（Q>匕>0）的離心率為*短半軸長為L

（1）求橢圓G的方程；

（2）設(shè)橢圓G的短軸端點(diǎn)分別為48,點(diǎn)P是橢圓G上異于點(diǎn)

A,B的一動(dòng)點(diǎn)，直線P4PB分別與直線％=4于M,N兩點(diǎn),

以線段MN為直徑作圓C.

①當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，求圓。半徑的最小值：

②問：是否存在一個(gè)圓心在x軸上的定圓與圓。相切?若存在，

指出該定圓的圓心和半徑，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明

理由.

83.設(shè)圓/+/+2%-15=0的圓心為4直線I過點(diǎn)BQO)且與

叉軸不重合，1交圓/于C,D兩點(diǎn),過8作4C的平行線交4。

于點(diǎn)E.

(1)證明IE4I+IEBI為定值，并寫出點(diǎn)￡的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線G，直線/交G于M,N兩點(diǎn)，過B

且與1垂直的直線與圓4交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面

積的取值范圍.

84.已知橢圓三+)/2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)4,8關(guān)于直線、=常工+2

對(duì)稱，

(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)求AAOB面積的最大值(。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

85.已知△4BP的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線C:x2=4y上，F(xiàn)為拋物線C

的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，PF=3FM.

y

（1）若|PF|=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo);

（2）求△48P面積的最大值.

86.已知橢圓C:\+\=l（Q>b>0）的左焦點(diǎn)為尸（一2,0）,離心率

為*

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，7為直線％=—3上一點(diǎn)，過尸作7T的垂

線交橢圓于P,Q,當(dāng)四邊形0P7Q是平行四邊形時(shí)，求四邊形

OPTQ的面積.

87.如圖，橢圓（a>b>0）的離心率是多過點(diǎn)

P（0,l）的動(dòng)直線I與橢圓相交于4B兩點(diǎn).當(dāng)直線1平行于無軸

時(shí)，直線I被橢圓E截得的線段長為2夜.

（1）求橢圓E的方程;

(2)在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,

使得察二黑恒成立？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在,

\PD\

請(qǐng)說明理由.

22

88.已知過橢圓三+3=1(。>b>0)右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交

aLbL

橢圓C于4B兩點(diǎn)，N為弦的中點(diǎn)；又函數(shù)y=a?sinx+3b?

cosx的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是x=l

(1)求橢圓C的離心率e與k°N；

(2)對(duì)于任意一點(diǎn)M€C,試證；總存在角9(。6R)使等式；

麗=cosOOA+sin0OS成立.

22

89.橢圓(7:a+力=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是%F2,離心

率為手，過6且垂直于無軸的直線被橢圓。截得的線段長為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF：PF?，設(shè)

4尸小尸2的角平分線PM交C的長軸于點(diǎn)M(mt0),求m的取值

范圍；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)P作斜率為k的直線/,使得/與橢

圓。有且只有一個(gè)公共點(diǎn).設(shè)直線PF1，P與的斜率分別為

用，若kHO,試證明J+2為定值，并求出這個(gè)定值.

90.已知常數(shù)譏>0,向量五二(oj),向量3=(犯0),經(jīng)過點(diǎn)

A(m,0),以Aa+b為方向向量的直線與經(jīng)過點(diǎn)B(-m,0),以

43―4d為方向向量的直線交于點(diǎn)P,其中/IGR.

(1)求點(diǎn)P的軌跡E;

(2)若m=2而，F(xiàn)(4,0),問是否存在實(shí)數(shù)k使得以Q(k,0)為圓

心，IQFI為半徑的圓與軌跡E交于M,N兩點(diǎn),并且IMFI

+|NF|=3V5.若存在求出k的值；若不存在，試說明理由.

22

91.如圖，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線。臉-$=1@>0也>0)和橢

圓出1+,=1"〉歷>0)均過點(diǎn)p件,1)，且以.的兩個(gè)

頂點(diǎn)和C2的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形.

(1)求a，C2的方程；

(2)是否存在直線I,使得I與G交于4B兩點(diǎn)，與C2只有一

個(gè)公共點(diǎn)，且|刀+而|二|荏］?證明你的結(jié)論.

92.如圖，曲線L由曲線G；?+\=1(a>b>0,y<0)和曲線

C2：《一3=1。>0)組成，其中凡，為為曲線G所在圓錐曲

線的焦點(diǎn)，呂，片為曲線所在圓錐曲線的焦點(diǎn).

(1)若尸2(2,0),尸3(-6,0),求曲線L的方程；

(2)如圖，作直線I平行于曲線C2漸近線，交曲線Ci于點(diǎn)4B,

求證：弦48的中點(diǎn)M必在曲線的另一條漸近線上；

(3)對(duì)于(1)中的曲線L,若直線。過點(diǎn)&交曲線G于點(diǎn)C,

D,求ACDFi的面積的最大值.

93.設(shè)4是單位圓％2+y2=i上的任意一點(diǎn)，1是過點(diǎn)4與X軸垂直

的直線，D是直線/與無軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線，上，且滿足|

DM|=m|DAI(m〉0且m#1).當(dāng)點(diǎn)4在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)

M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程，判斷曲線。為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)

坐標(biāo)；

(2)過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線。于P,Q兩點(diǎn)，其中P在

第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N,直線QN交曲線。于另

一點(diǎn)H.是否存在rn,使得對(duì)任意的k>0,都有PQ1P4?若