2024-2025學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題本試卷共4頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)補(bǔ)集的概念及交集的運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∵，∴.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足＝i，則z的虛部為（）A.4i B.4 C.1 D.﹣1【正確答案】B【分析】對(duì)＝i去分母化簡(jiǎn)求出復(fù)數(shù)z，從而可得其虛部【詳解】解：由復(fù)數(shù)＝i，得，所以復(fù)數(shù)z的虛部為4故選：B此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量若，則（）A. B.1 C. D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)即可得出，解出即可.【詳解】，∴∴.故選：C.4.已知且滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（）.A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的性質(zhì)、正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)求解.【詳解】對(duì)A，取，則，A錯(cuò)誤；對(duì)B，取，則，即，B錯(cuò)誤；對(duì)C，取，滿足，但，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)閮绾瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞增，且，所以，D正確；故選：D.5.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.1 C.2 D.6【正確答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合前n項(xiàng)和可得，再結(jié)合等比中項(xiàng)可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，即，可得首項(xiàng)，公比，若，即，可得，則，即，且，即，可得，即，所以.故選：A.6.已知角是的內(nèi)角，則“”是“”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】在三角形內(nèi)，先利用“大角對(duì)大邊”由得到，進(jìn)而利用正弦定理即可進(jìn)行證明.【詳解】在三角形中，成立等價(jià)于，由正弦定理：，充分性：若成立，大角對(duì)大邊，則成立，由上面正弦定理形式得出，滿足充分性；必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大邊對(duì)大角，則成立，滿足必要性；所以“”是“”的充要條件．故選：C7.已知的半徑為1，直線與相切于點(diǎn)，直線與交于兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】A【分析】利用數(shù)形結(jié)合方法與轉(zhuǎn)換法，從而可求解.【詳解】因?yàn)?，所以設(shè)，的方程為：，具體如下圖所示：連接，因?yàn)?，直線與相切，所以，，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，，則；當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在軸同側(cè)時(shí)可得：，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)有最大值，所以：的最大值為：；當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)在軸異側(cè)時(shí)可得：，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)有最大值，所以：的最大值為.綜上可知：則的最大值為.故選：A.8.如圖，已知圓柱的斜截面是一個(gè)橢圓，該橢圓的長(zhǎng)軸AC為圓柱的軸截面對(duì)角線，短軸長(zhǎng)等于圓柱的底面直徑．將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個(gè)周期的正弦曲線．若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對(duì)應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）A. B.1 C.3 D.2【正確答案】B【分析】根據(jù)推出，設(shè)圓柱底面半徑為r，再根據(jù)圓柱的側(cè)面展開圖推出，利用圓柱的斜截面橢圓及離心率求出r即可.【詳解】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖象的一部分，可得．設(shè)圓柱底面半徑為r，則，所以，設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，因?yàn)殡x心率為，得，則，即，所以，得，又由勾股定理得，解得，故．故選：B.9.已知函數(shù)設(shè)，若函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【正確答案】C【分析】轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，求出函數(shù)切線得到極端情況，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，，同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)圖象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象已經(jīng)有一個(gè)交點(diǎn).時(shí)，，其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)直線與函數(shù)在處相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn).時(shí)，，其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)直線與函數(shù)在處相切時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，解得，則當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn).綜上，要使函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.10.設(shè)集合最大元素為，最小元素為，記的特征值為，若集合中只有一個(gè)元素，規(guī)定其特征值為0．已知是集合的元素個(gè)數(shù)均不相同的非空真子集，且，則的最大值為（）A.15 B.16 C.17 D.18【正確答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)描述只需保證各集合中（）盡量小，結(jié)合已知及集合的性質(zhì)有最大時(shí)，進(jìn)而分析的取值.【詳解】由題設(shè)，，，…，中都至少有一個(gè)元素，且元素個(gè)數(shù)互不相同，要使最大，則各集合中（）盡量小，可知集合，，，…，的元素個(gè)數(shù)盡量少且數(shù)值盡可能連續(xù)，不妨設(shè)，可得，可得，解得：或（舍去），所以的最大值為16.故選：B.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.若二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為160，則______．【正確答案】2【分析】求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)等于零，再根據(jù)題意建立等量關(guān)系，即可求出.【詳解】由題二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：，所以當(dāng)時(shí)的項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，解得.故2.12.設(shè)，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)．則雙曲線的漸近線為________，若點(diǎn)在雙曲線上，且，則________．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)方程可求，進(jìn)而可得漸近線方程，根據(jù)向量加法結(jié)合垂直關(guān)系分析求.【詳解】由雙曲線方程可知：，且焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的漸近線為；因?yàn)?，即，所?故；.13.在正四棱錐中，，側(cè)棱與底面所成角的余弦值為，則該正四棱錐的體積是_______．【正確答案】32【分析】根據(jù)正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合線面夾角可得，，進(jìn)而可求體積.【詳解】設(shè)，連接，可知平面，則側(cè)棱與底面所成角大小為，由題意可得：，即，解得，則，所以該正四棱錐的體積.故32.14.如圖，是邊長(zhǎng)為1的正三角形．曲線，，是分別以，，為圓心，，，為半徑畫的圓弧，稱曲線為螺旋線旋轉(zhuǎn)一圈，然后又以為圓心，為半徑畫弧，…，如此下去，可以得到一個(gè)優(yōu)美的螺旋線.那么曲線的長(zhǎng)度為________，畫到第八圈，得到的螺旋線的總長(zhǎng)度為________．【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)題意結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式求曲線的長(zhǎng)度，分析可知第n個(gè)的圓弧的半徑為，圓弧長(zhǎng)為，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，所以曲線的長(zhǎng)度為，又因?yàn)閳A弧的半徑依次為，圓心角均為，即第n個(gè)的圓弧的半徑為，圓弧長(zhǎng)為，所以第八圈得到的螺旋線的總長(zhǎng)度為.故；.15.已知曲線．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)；④曲線所圍成的區(qū)域的面積小于3．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【正確答案】①②③【分析】對(duì)于①：根據(jù)方程研究對(duì)稱性即可；對(duì)于②：由基本不等式可得，進(jìn)而可知，結(jié)合對(duì)稱性找出整點(diǎn)；對(duì)于③：根據(jù)分析判斷即可；對(duì)于④：根據(jù)整點(diǎn)分析可知：曲線位于x軸上方部分的面積大于梯形的面積，再結(jié)合對(duì)稱性分析判斷.【詳解】對(duì)于①：將方程中的y換成，可得，即，方程不變，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②：由于曲線，根據(jù)對(duì)稱性可令，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以曲線恰好經(jīng)過(guò)6個(gè)整點(diǎn)，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)?，即，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)，故③正確；對(duì)于④：由②可知：曲線過(guò)點(diǎn)，可知梯形的面積為，若，可得，即，當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則，不滿足方程，可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，即，可得，整理可得，?jù)此結(jié)合圖象可知：曲線位于x軸上方部分的面積大于梯形的面積，結(jié)合對(duì)稱性可知曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于3，故④錯(cuò)誤；故①②③.三、解答題共6小題，共85分.16.在△ABC中，已知（1）求角A；（2）若求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理將已知等式中的角化為邊，再根據(jù)余弦定理求出角；（2）已知、和角，先根據(jù)余弦定理求出的值，再利用三角形面積公式求出面積.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)正弦定理將邊角互化，得到.化簡(jiǎn)可得，即.再根據(jù)余弦定理，因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】已知，，，根據(jù)余弦定理，可得.即，整理得.解得或（邊長(zhǎng)不能為負(fù)舍去）.最后根據(jù)三角形面積公式，可得.17.無(wú)人駕駛技術(shù)是汽車研發(fā)領(lǐng)域的一個(gè)重要方向．某學(xué)校技術(shù)俱樂(lè)部研發(fā)了一個(gè)感知路況障礙的小汽車模型，該模型通過(guò)三個(gè)傳感器共同判斷路段是否有路障．在對(duì)該模型進(jìn)行測(cè)試中，該俱樂(lè)部同學(xué)尋找了個(gè)不同的路段作為測(cè)試樣本，數(shù)據(jù)如下表：測(cè)試結(jié)果真實(shí)路況傳感器1傳感器2傳感器3有障礙無(wú)障礙無(wú)法識(shí)別有障礙無(wú)障礙無(wú)法識(shí)別有障礙無(wú)障礙無(wú)法識(shí)別無(wú)障礙415111548120有障礙4010104551045105假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且三個(gè)傳感器對(duì)路況的判斷相互獨(dú)立．（1）從這80個(gè)路段中隨機(jī)抽取一個(gè)路段，求傳感器1對(duì)該路況判斷正確的概率；（2）從這80個(gè)路段中隨機(jī)抽取一個(gè)有障礙的路段進(jìn)行測(cè)試，設(shè)為傳感器1和傳感器2判斷正確的總路段數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)有一輛小汽車同時(shí)裝載了以上3種傳感器．在通過(guò)某路段時(shí)，只要3個(gè)傳感器中一個(gè)判斷有障礙或無(wú)法識(shí)別，則小汽車減速．那么是否可以通過(guò)提高傳感器3判斷正確率，使得小汽車在無(wú)障礙的道路上減速的概率小于？（結(jié)論不要求證明）【正確答案】（1）（2）分布列見解析，（3）答案見解析【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，隨機(jī)變量的取值集合為，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，進(jìn)而可求得的值；（3）計(jì)算出三個(gè)傳感器判斷無(wú)障礙的概率，比較大小后可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】80個(gè)路段中，傳感器1判斷正確的路段有個(gè)．設(shè)“傳感器1對(duì)該路況判斷正確”為事件，則.【小問(wèn)2詳解】80個(gè)路段中共有60個(gè)有障礙的路段．60個(gè)有障礙的路段中，傳感器1判斷正確的路段有40個(gè)，錯(cuò)誤的有個(gè)，傳感器2判斷正確的路段有45個(gè)，判斷錯(cuò)誤的路段有個(gè)的取值集合為．，，，故的分布列為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望【小問(wèn)3詳解】可以通過(guò)提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無(wú)障礙的道路上減速的概率小于．分析：共有20個(gè)無(wú)障礙地路段，傳感器1判斷無(wú)障礙的有15個(gè)，由頻率估計(jì)概率，故無(wú)障礙路段上，估計(jì)傳感器1判斷無(wú)障礙的概率為．傳感2判斷無(wú)障礙的有15個(gè)，由頻率估計(jì)概率，故無(wú)障礙路段上，估計(jì)傳感器2判斷無(wú)障礙的概率為．若傳感器3在無(wú)障礙路段上，判斷為無(wú)障礙的概率為1．小汽車在無(wú)障礙的道路上減速的概率：．故可以通過(guò)提高傳感器3的判斷正確率，使得小汽車在無(wú)障礙的道路上減速的概率小于．18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且滿足．（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）若已知點(diǎn)到平面的距離2．從條件①，條件②中選擇一個(gè)作為已知．求直線與平面所成角的正弦值.條件①：平面平面；條件②：；【正確答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）可證∥平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證明線線平行；（2）若選①：根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量求線面夾角；若選②：根據(jù)線面垂直的判定定理可證平面，建系標(biāo)點(diǎn)，利用空間向量求線面夾角.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則∥，且平面，平面，可知∥平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以?【小問(wèn)2詳解】設(shè)，連接，可知為的中點(diǎn)，由可得.若選①：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，可得平面，可知，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，則，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；若選②：因?yàn)椋傻?，且，平面，可得平面，可知，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，則，，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知橢圓，且過(guò)，兩點(diǎn)．（1）求的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與線段交于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．證明：直線恒過(guò)點(diǎn)．【正確答案】（1）（2）證明見詳解【分析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件求出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出的值，即可求出該橢圓的離心率；（2）分析可知，直線的斜率存在，先利用特殊位置猜想出直線過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，、，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線的方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，然后令，可求出直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意，代入點(diǎn)得，，解得，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)2詳解】若直線的斜率不存在，此時(shí)直線與橢圓相切，不合乎題意，所以，直線斜率存在.當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，的方程為，此時(shí)、，直線的斜率為，則直線的方程為，令得，由題意可得：，此時(shí)直線的方程為過(guò)點(diǎn)，當(dāng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)、，直線的方程為，令得，由題意可得，，此時(shí)直線的方程，故直線過(guò)軸上一個(gè)定點(diǎn).設(shè)直線的方程為，、，與橢圓方程聯(lián)立得：，，可得，由韋達(dá)定理可得，，在直線的方程為中，令得，由題意可得得，，，直線的方程為，令，可得，所以直線過(guò)定點(diǎn).20.設(shè)函數(shù)，其中．函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且；（3）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（直接寫出結(jié)論）．【正確答案】（1）.（2）證明見解析.（3）①當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.（2）令，令，研究的單調(diào)性及運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理即可證明.（3）分類討論與時(shí)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)研究原函數(shù)的單調(diào)性及圖象即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，所以，所以，即：，所以在點(diǎn)處的切線方程為.【小問(wèn)2詳解】證明：∵的定義域?yàn)?，，，則（），令（），則，又∵，，∴，∴在上單調(diào)遞減，又∵，，，∴，，即：，∴，，∴在上有唯一零點(diǎn)，且，即：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且.【小問(wèn)3詳解】①當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，則，∴由零點(diǎn)存在性定理知，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴在上有唯一零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，且有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，，∴，即：，∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，又∵，，令（），則，∴在上單調(diào)遞減，又∵，∴，即：，∴由零點(diǎn)存在性定理知，在上有2個(gè)零點(diǎn).綜述：①當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).21.已知數(shù)列，從中選取第項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第項(xiàng)，若，則稱新數(shù)列為的長(zhǎng)度為的遞增子列．規(guī)定：數(shù)列的任意一項(xiàng)都是的長(zhǎng)度為1的遞增子列．（Ⅰ）寫出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；（Ⅱ）已知數(shù)列的長(zhǎng)度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為，長(zhǎng)度為的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為.若，求證：；（Ⅲ）設(shè)無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若的長(zhǎng)度為的遞增子列末項(xiàng)的最小值為，且長(zhǎng)度為末項(xiàng)為的遞增子列恰