專(zhuān)題16相似三角形的性質(zhì)

閱讀與思考

相似三角形的性質(zhì)有：

1.對(duì)應(yīng)角相等；

2.對(duì)應(yīng)邊成比例；

3.對(duì)應(yīng)線段（中線、高、角平分線）之比等于相似比；

4.周長(zhǎng)之比等于相似比；

5.面積之比等于相似比的平方.

性質(zhì)3主要應(yīng)用于三角形內(nèi)接特殊平行四邊形的問(wèn)題，性質(zhì)5進(jìn)一步豐富了面積的有關(guān)知識(shí)，拓展

了我們研究面積問(wèn)題的視角.

如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC，設(shè)BCa，ADh，試用a、h的代數(shù)式表示正方

形的邊長(zhǎng).

例題與求解

【例1】如圖，已知□ABCD中，過(guò)點(diǎn)B的直線順次與AC，AD及CD的延長(zhǎng)線相交于E，F(xiàn)，G，

若BE5，EF2，則FG的長(zhǎng)是.（“弘晟杯”上海市競(jìng)賽試題）

解題思路：由相似三角形建立含F(xiàn)G的關(guān)系式，注意中間比的代換.

【例2】如圖，已知△ABC中，DE∥GF∥BC，且AD:DF:FB1:2:3，

則（）（黑龍江省中考試題）

S△ADE:S四邊形DFGE:S四邊形FBCG

A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36

解題思路：△ADE，△AFG都與△ABC相似，用△ABC面積的代數(shù)式分別表示△ADE、四邊形DFGE、

四邊形FBCG的面積.

【例3】如圖，在△ABC的內(nèi)部選取一點(diǎn)P，過(guò)P點(diǎn)作三條分別與△ABC的三邊平行的直線，這樣所得

的三個(gè)三角形t1，t2，t3的面積分別為4，9和49，求△ABC的面積.（第二屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

解題思路：由于問(wèn)題條件中沒(méi)有具體的線段長(zhǎng)，所以不能用面積公式求出有關(guān)圖形的面積，可考慮

應(yīng)用相似三角形的性質(zhì).

如圖所示，經(jīng)過(guò)三角形內(nèi)一點(diǎn)向各邊作平行線（也稱(chēng)剖分三角形），我們可以得到：

1△FDP∽△IPE∽△PHG∽△ABC；

HGIEDF

21；

BCACAB

DEFGHI

32；

BCACAB

42

S△ABC(t1t2t3).

上述性質(zhì)，敘述簡(jiǎn)捷，形式優(yōu)美，巧妙運(yùn)用它們解某些平面幾何競(jìng)賽題，簡(jiǎn)明而迅速，奇特而匠心

獨(dú)運(yùn)，請(qǐng)讀者給出證明.

【例4】如圖，△ABC中，O是三角形內(nèi)一點(diǎn)，滿足BAOCAOCBOACO.

求證：BC2ACAB.（北京大學(xué)自主招生考試試題）

解題思路：這實(shí)際上是一個(gè)著名的問(wèn)題：布洛卡點(diǎn)問(wèn)題.設(shè)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足

PABPBCPCA，稱(chēng)點(diǎn)P是△ABC的布洛卡點(diǎn)，則有

cotBACcotABCcotACBcot.

【例5】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，B45.動(dòng)點(diǎn)M從

B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CD以每

秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）求BC的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)MN∥AB時(shí)，求t的值；

（3）試探究：t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形.（濟(jì)南市中考試題）

解題思路：對(duì)于（2），由，構(gòu)造相似三角形，由三角形相似得對(duì)應(yīng)邊成比例，進(jìn)而解決問(wèn)題；對(duì)

于（3），需要分情況討論.

在證明含線段平行關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，常常聯(lián)想到以下知識(shí)：①勾股定理；②相似三角形面積比等于相

似比的平方.

【例】設(shè)△的面積為，△的面積為，當(dāng)△∽△，且

6A1B1C1S1A2B2C2S2(S1S2)A1B1C1A2B2C2

S1

0.30.4時(shí)，則稱(chēng)△A1B1C1與△A2B2C2有一定的“全等度”.如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，

S2

B30，BCD60，連接AC.（廈門(mén)市中考試題）

（1）若AD=DC，求證：△DAC與△ABC有一定的“全等度”；

（2）你認(rèn)為：△DAC與△ABC有一定的“全等度”正確嗎？若正確，說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)舉

出一個(gè)反例說(shuō)明.

解題思路：本題設(shè)置了“全等度”這一新概念，要求在對(duì)其理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行辨析和判斷，并舉例

說(shuō)明符合或不符合概念特征的正例或反例，這是試題對(duì)概念理解考查的有力保障..

能力訓(xùn)練

A級(jí)

ABBCAC5

1.如圖，在△ABC與△BED中，若，且△ABC與△BED的周長(zhǎng)之差為10cm，

BDBEDE3

則△ABC的周長(zhǎng)為cm.

（第1題）（第2題）（第3題）

2.如圖，△ABC中，CE:EB1:2，DE∥AC.若△ABC的面積為S，則△ADE的面積為.

（蘇州市中考試題）

如圖，在△中，∥，，交于，且，則

3.ABCDEBCDECDFS△EFC3S△FEDS△ADE:S△ABC.

4.若正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直角三角形的三條邊上，直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為3cm和

4cm，則此正方形的邊長(zhǎng)為cm.（武漢市中考試題）

5.如圖，□ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)O，F(xiàn)E的延長(zhǎng)線交CB的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么（）

GS△AOF:S△COG

A.1:4B.1:9C.2:5D.1:2

（第5題）（第6題）（第7題）

6.如圖，直角梯形ABCD中，BCD90，AD∥BC，BC=CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且BEC90.

將△BEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到△DCF，連接EF交CD于點(diǎn)M.已知BC5，CF3，

則DM:MC的值為（）

A.5:3B.3:5C.4:3D.3:4

（荊州市中考試題）

7.如圖，△ABC中，DE∥BC，BE與CD交于點(diǎn)O，AO與DE，BC分別交于點(diǎn)N，M，則下列結(jié)

論錯(cuò)誤的是（）

ANONSAN2ANOEON2S

△ONE△ADE

A.B.2C.D.2

AMOMS△OMBAMAMOCOMS△ABC

CN

8.如圖，在正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，N點(diǎn)在CD上.若BMNMBC，則的值

ND

為（）

1122

A.B.C.D.

2335

（第8題）（第9題）

AB2BC

9.如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，ACDB.求證：.

CD2AD

10.如圖1，在Rt△ABC中，BAC90，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連接BO交

AD于F，OE⊥OB交BC于點(diǎn)E.

圖1圖2

（1）求證：△ABF∽△COE；

ACOF

（2）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，2時(shí)，如圖2，求的值；

ABOE

ACOF

（3）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，n時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值.

ABOE

（武漢市中考試題）

11.如圖，△ABC中，AB4，D在AB邊上移動(dòng)（不與A，B重合），DE∥BC交AC于E，連接

設(shè)，

CD.S△ABCSS△DECS1.

（）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的值；

1DABS1:S

S

（2）當(dāng)ADx，1y，用x的代數(shù)式表示y，并求x的取值范圍；

S

1

（3）是否存在點(diǎn)D，使得SS？若存在，求出D點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14

（福州市中考試題）

12.在等腰△ABC中，ABAC5，BC6.動(dòng)點(diǎn)M，N分別在兩腰AB，AC上（M不與A，B

重合，N不與A，C重合），且MN∥BC.將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P.

（1）當(dāng)MN為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好落在BC上；

（2）設(shè)MNx，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式.當(dāng)x為何值

時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（寧夏省中考試題）

B級(jí)

1.如圖，在△ABC中，DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB.若△ADE，△EFG，△GIC的面積分別為20cm2，

45cm2，80cm2，則△ABC的面積為.

（第1題）（第2題）

2.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，ABC90，對(duì)角線AC⊥BD于P點(diǎn)，已知AD:BC3:4，

則BD:AC的值是.（紹興市中考試題）

如圖，正方形內(nèi)接于△，已知△，△和△的面積分別是，和，

3.OPQRABCAORBOPCRQS11S23S31

那么正方形OPQR的邊長(zhǎng)是（）（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

A.2B.3C.2D.3

（第3題）（第4題）（第5題）

4.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且CD3AB，EF∥CD，EF將梯形ABCD分成面積相等的兩部分，

則AE:ED（）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）

35151

A.2B.C.D.

222

5.如圖，△ABC中，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，且123.如果△ABC，△EBD，△

m1m25

ADC的周長(zhǎng)依次是m，m1，m2，證明：.

m4

（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

6.如圖，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，等長(zhǎng)的三條線段DE，F(xiàn)G和HI分別平行于邊AB，BC和CA，并

且AB12，BC8，CA6.求證：AI:IF:FB1:5:3.（江蘇省競(jìng)賽試題）

（第6題）（第7題）

如圖，銳角△中，是△的內(nèi)接矩形，且，其中為不小于的

7.ABCPQRSABCS△ABCnS矩形PQRSn3

BS

自然數(shù).求證：為無(wú)理數(shù).（上海市競(jìng)賽試題）

AB

8.如圖，已知直線l1的解析式為y3x6，直線l1與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2

經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(8,0).又已知點(diǎn)P在x軸上從點(diǎn)A向點(diǎn)C移動(dòng)，點(diǎn)Q在直線l2上從點(diǎn)

C向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，且移動(dòng)的速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.

（1）求直線l2的解析式；

（2）設(shè)△PCQ的面積為S，請(qǐng)求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（3）試探究：當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？

（山西省中考試題）

9.如圖，設(shè)△ABC三邊上的內(nèi)接正方形（兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角

形的另兩邊上）的面積相等.求證：△ABC為正三角形.（江蘇省競(jìng)賽試題）

ADCG

10.在矩形ABCD和矩形CEFG中，已知k，連接DE與AF交于點(diǎn)P，連接CP.