專題24相交線與平行線

閱讀與思考

在同一平面內(nèi)，兩條不同直線有兩種位置關(guān)系：相交或平行.

當(dāng)兩條直線相交或兩條直線分別與第三條直線相交，就產(chǎn)生對頂角、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角等

位置關(guān)系角，善于從相交線中識別出以上不同名稱的角是解相關(guān)問題的基礎(chǔ)，把握對頂角有公共頂點，

而同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角沒有公共頂點且有一條邊在截線上，這是識圖的關(guān)鍵．

兩直線平行的判定方法和重要性質(zhì)是我們研究平行線問題的主要依據(jù)．

1．平行線的判定

(1)同位角相等、內(nèi)錯角相等，或同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

(2)平行于同一直線的兩條直線平行；

(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行．

2．平行線的性質(zhì)

(1)過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行；

(2)兩直線平行，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補；

(3)如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，那么它和另一條也垂直.

熟悉以下基本圖形：

例題與求解

【例1】(1)如圖①，AB∥DE，∠ABC＝800，∠CDE＝1400，則∠BCD＝__________.

（安徽省中考試題）

(2)如圖②，已知直線AB∥CD，∠C＝1150，∠A＝250，則∠E＝___________.

（浙江省杭州市中考試題）

B

A

DE

C圖1

解題思路：作平行線，運用內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征進行求解.

【例2】如圖，平行直線AB，CD與相交直線EF，GH相交，圖中的同旁內(nèi)角共有()．

A．4對B．8對

C．12對D．16對

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：每一個“三線八角”基本圖形都有兩對同旁內(nèi)角，從對原圖進行分解入手．

例2題圖例3題圖

【例3】如圖，在△ABC中，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，AC//ED，CE是∠ACB的平分線，求

證：∠EDF＝∠BDF.

（天津市競賽試題）

解題思路：綜合運用垂直定義、角平分線、平行線的判定與性質(zhì)，由于圖形復(fù)雜，因此，證明前注意

分解圖形．

113

【例4】如圖，已知AB∥CD，∠EAF＝∠EAB，∠FCF＝∠ECD.求證：∠AFC＝∠AEC.

444

（湖北省武漢市競賽試題）

解題思路：分別過點E，F(xiàn)作平行線，利用平行線的性質(zhì)找角之間的關(guān)系.

E

DF

2

1

ABC

例4題圖例5題圖

【例5】如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求證：∠A＝∠F.

解題思路：從角出發(fā)，導(dǎo)出兩直線的位置關(guān)系，再推出新的角的關(guān)系，新的兩直線的位置關(guān)系，是

解這類問題的基本思路.

【例6】(1)已知平面內(nèi)有4條直線a，b，c和d，直線a，b和c相交于一點，直線b，c和d也相交

于一點，試確定這4條直線共有多少個交點？并說明你的理由．

(2)作第5條直線e與(1)中的直線d平行.說明：以這5條直線的交點為端點的線段有多少條？

（“希望杯”邀請賽試題）

解題思路：(1)先設(shè)直線a，b，c的交點為P，直線b，c，d的交點為Q，證得P與Q實為同一點，

得出結(jié)論．

(2)繪出圖形，幫助解答，注意平行線的性質(zhì).

能力訓(xùn)練

A級

．在同一平面內(nèi)有，，…，十條直線，如果，⊥，，⊥，，

1a1a2a3a10a1//a2a2a3a3//a4a4a5a5//a6

⊥，…，那么與的位置關(guān)系是

a6a7a1a10____________.

2．如圖，已知AE∥BD，∠1＝1300，∠2＝300，則∠C＝__________．

（湖南省常德市中考試題）

3．如圖，直線a，b都與直線c相交，下列命題中，能判斷a∥b的條件是_____________（把你認(rèn)為正

確的序號填在橫線上）

①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠1＝∠8；④∠5＋∠8＝1800．

（陜西省中考試題）

4.將兩張矩形紙片如圖所示擺放，使其中一張矩形紙片的一個頂點恰好落在另一張矩形紙片的一邊上，

則∠1＋∠2__________.

（山東省煙臺市中考試題）

5．下面四個命題中正確的是()．

A．相等的兩個角是對頂角B．和等于1800的兩個角互為鄰補角

C．連結(jié)兩點的最短線是過這兩點的直線

D．兩條直線相交所成的四個角都相等，則這兩條直線互相垂直

（“希望杯”邀請賽試題）

6．下列命題

①兩條相交直線組成的四個角相等，則這兩直線垂直．

②兩條相交直線組成的四個角中，若有一個直角，則四角都相等．

③兩條直線相交，一角的兩鄰補角相等，則這兩直線垂直．

④兩條直線相交，一角與其鄰補角相等，則這兩直線垂直．

其中正確的有()．

A．4個B．3個C．2個D．1個

7．如圖，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么圖中與∠BFE相等的角(不包括∠BFE)的個數(shù)是()．

A.2B．4C．5D．6

（山東省菏澤地區(qū)中考試題）

8．如圖，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，點C在AE上，點F在DG上，設(shè)與∠ɑ相等的角的個數(shù)

為m（不包括∠a本身），與∠互補的角的個數(shù)為n．若a≠，則m＋n的值是()．

A.8B.9C.10D.11

9．如圖，已知AB∥ED，∠NCB＝300，CM平分∠BCE，CN⊥CM，求∠B的度數(shù)．

10.如圖，已知E是AB，CD外一點，∠D＝∠B＋∠E，求證：AB∥CD.

11.平面上有10條直線，無任何3條交于一點，要使它們出現(xiàn)31個交點，怎樣安排才能辦到？

（吉林省競賽試題）

12.如圖，已知CD∥EF，∠1＋∠2＝∠ABC，求證：AB//GF.

（重慶市競賽試題）

B級

1.如圖，∠A＝600，∠1＝∠2，則∠ADC的度數(shù)是___________.

2．如圖，直線a∥b，那么x的度數(shù)是____________.

（五城市聯(lián)賽試題）

3．如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D，C分別落在D'，C'的位置，若∠EFB＝650，則∠AED'

＝__________.

（山東省中考試題）

4．如圖，已知DE∥BC，∠2＝700，∠1＝400，那∠EBA的度數(shù)是_____________.

第4題圖第5題圖

5.如圖，直線k∥l，∠4－∠3＝∠3－∠2＝∠2一∠3＝d＞0．其中∠3＜900，∠1＝500，則∠4

最大可能的整數(shù)值是()．

A.1070B．1080

C．1090D．1100

6.如圖，AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，則∠BAC＋∠ACE＋∠CEH等于()．

A．1800B．2700

C．3600D．4500

(北京市競賽試題）

7．如圖，兩直線AB，CD平行，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝()．

A．6300B.7200

C．8000D.9000

（“希望杯”邀請賽試題）

第6題圖第7題圖

8．兩條直線a，b互相平行，直線a上順次有10個點A1，A2…，A10，直線b上順次有9個點B1，

B2，…，B3，將a上每一個點與b上每一個點相連可得線段．若沒有三條線段相交于同一點，則這些線

段的交點個數(shù)是()

A.90B.1620C.6480D.2006

9．如圖，已知兩條平行線AB，CD被直線EF所截，交點分別為G，H，P為HD上任意一點，過

P點的直線交HF于O點，求證：∠HOP＝∠AGF－∠HPO.

10．如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，點M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，MF∥AD.求

FC的長．

(2013年“《數(shù)學(xué)周報》”杯競賽試題)

11．平面上有七條兩兩不平行的直線，試證：其中必有直線的交角小于260．

（莫斯科八年級競賽試題）

12．⑴如圖①，MA1∥NA2，則∠A1＋∠A2＝_________.

如圖②，MA1∥NA3，則∠A1＋∠A2＋∠A3＝_________.

如圖③，MA1∥NA4，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝_________.

如圖④，MA1∥NA5，則∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝_________.

從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請在圖②，圖③，圖④中選一個證明你的結(jié)論.

MMM

A1A1A1

A2

A2

A3

A4

N圖①A2NA3N

圖②圖③

M

MA1

A1

A2

A2

A3

A3