專題08還原與對消

——方程的解與解方程

閱讀與思考

解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、得

方程的解．我們在解一元一次方程時，既要學(xué)會按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨

機應(yīng)變(靈活打亂步驟)地解方程．

方程的解是方程理論中的一個重要概念，對于方程解的概念，要學(xué)會從兩個方面去運用：

1．求解：通過解方程，求出方程的解，進而解決問題．

2．代解：將方程的解代入原方程進行解題．

當(dāng)方程中的未知數(shù)是用字母表示時，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一

元一次方程總可以化為ax＝b的形式，其方程的解由a，b的取值范圍確定．字母a，b的取

值范圍確定或?qū)夥匠痰倪^程并未產(chǎn)生實質(zhì)性的影響，其解法同數(shù)字系數(shù)的一次方程解法一

樣；當(dāng)字母a，b的取值范圍未給出時，則需討論解的情況，其方法是：

(1)當(dāng)a≠0時，原方程有唯一解x＝b；

a

(2)當(dāng)a＝0且b＝0時，原方程有無數(shù)個解；

(3)當(dāng)a＝0，b≠0時，原方程無解；

例題與求解

[例1]已知關(guān)于x的方程3[x－2(x－a)]＝4x和3xa－15x＝1有相同的解，那么

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這個解是______．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：建立關(guān)于a的方程，解方程．

[例2]已知a是任意有理數(shù)，在下面各說法中

(1)方程ax＝0的解是x＝1(2)方程ax＝a的解是x＝1

(3)方程ax＝1的解是x＝1(4)方程|a|x＝a的解是x＝±1

a

結(jié)論正確的個數(shù)是()．

A．0B．1C．2D．3

(江蘇省競賽試題)

解題思路：給出的方程都是含字母系數(shù)的方程，注意a的任意性．

[例3]a為何值時，方程x＋a＝x－1(x－12)有無數(shù)多個解？無解？

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解題思路：化簡原方程，運用方程ax＝b各種解的情況所應(yīng)滿足的條件建立a的關(guān)系式．

[例4]如果a，b為定值時，關(guān)于x的方程2kxa＝2＋xbk，無論k為何值時，它

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的根總是1，求a，b的值．

(2013年全國初中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題)

解題思路：利用一元一次方程方程的解與系數(shù)之間的關(guān)系求解．

[例5]已知p，q都是質(zhì)數(shù)，并且以x為未知數(shù)的一元一次方程px＋5q＝97的解是1，

求代數(shù)式p2－q的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)

解題思路：用代解法可得到p，q的關(guān)系式，進而綜合運用整數(shù)相關(guān)知識分析．

[例6](1)在日歷中(如圖①)，任意圈出一豎列上相鄰的三個數(shù)，設(shè)中間的一個為a，則

用含a的代數(shù)式表示這三個數(shù)(從小到大排列)分別是______．

(2)現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2004按圖中的方式排成一個長方形陣列，用一個正方形框出16

個數(shù)(如圖②)．

①圖中框出的這16個數(shù)的和是______；

②在右圖中，要使一個正方形框出的16個數(shù)之和等于2000，2004，是否可能？若不可

能，試說明理由；若有可能，請求出該正方形框出的16個數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)．

1234567

891011121314

日一二三四五六15161718192021

22232425262728

12345

29303132333435

678910111236373839404142

13141516171819……

……

20212223242526199619971999200020012002

27282930

20032004

圖①圖②

(湖北省黃岡市中考試題)

解題思路：(1)等差數(shù)列，相鄰兩數(shù)相差7．(2)①經(jīng)觀察不難發(fā)現(xiàn)，在這個方框里的每

兩個關(guān)于中心對稱的數(shù)之和都等于44．如31與13，11與33，17與27都成中心對稱的．于

是易算出這16個數(shù)之和．②設(shè)框出的16個數(shù)中最小的一個數(shù)為a，用a表示出16個數(shù)之

和，若算出的a為自然數(shù)，則成立；不為自然數(shù)，則不可能．

能力訓(xùn)練

A級

1．若關(guān)于x的方程(k－2)x|k－1|＋5k＝0是一元一次方程，則k＝______；若關(guān)于x的方

程(k＋2)x2＋4kx－5k＝0是一元一次方程，則方程的解x＝______．

2．方程x－3[x－1(x－3)]＝3(x－3)的解是______．

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(廣西賽區(qū)選拔賽試題)

3．若有理數(shù)x，y滿足(x＋y－2)2＋|x＋2y|＝0，則x2＋y3＝______．

(“希望杯”邀請賽試題)

4．若關(guān)于x的方程a(2x＋b)＝12x＋5有無數(shù)個解，則a＝______，b＝______．

(“希望杯”邀請賽試題)

5．已知關(guān)于x的方程9x－3＝kx＝14有整數(shù)解，那么滿足條件的所有整數(shù)k＝______．

(“五羊杯”競賽試題)

6．下列判斷中正確的是()．

A．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x同解

B．方程2x－3＝1與方程x(2x－3)＝x沒有相同的解

C．方程x(2x－3)＝x的解都是方程2x－3＝1的解

D．方程2x－3＝1的解都是方程x(2x－3)＝x的解

7．方程x＋x＋…＋x＝1995的解是()．

122319951996

A．1995B．1996C．1997D．1998

8．若關(guān)于x的方程2xb＝0的解是非負(fù)數(shù)，則b的取值范圍是()．

x1

A．b＞0B．b≥0C．b≠2D．b≥0且b≠2

(黑龍江省競賽試題)

9．關(guān)于x的方程a(x－a)＋b(x＋b)＝0有無窮多個解，則()．

A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)－b＝0C．a(chǎn)b＝0D．a(chǎn)＝0

b

10．已知關(guān)于x的一次方程(3a＋8b)x＋7＝0無解，則ab是()．

A．正數(shù)B．非正數(shù)C．負(fù)數(shù)D．非負(fù)數(shù)

(“希望杯”邀請賽試題)

11．若關(guān)于x的方程kx－12＝3x＋3k有整數(shù)解，且k為整數(shù)，求符合條件的k值．

(北京市“迎春杯”訓(xùn)練題)

|a|

12．已知關(guān)于x的方程x＋a＝x－1(x－6)，當(dāng)a取何值時，(1)方程無解？(2)方程

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有無窮多解？

(重慶市競賽試題)

B級

1．已知方程2(x＋1)＝3(x－1)的解為a＋2，則方程2[2(x＋3)－3(x－a)]＝3a的解為

______．

2．已知關(guān)于x的方程ax＝bx3的解是x＝2，其中a≠0且b≠0，則代數(shù)式b－a

23ab

的值是______．

3．若k為整數(shù)，則使得方程(k－1999)x＝2001－2000x的解也是整數(shù)的k值有______個．

(“希望杯”邀請賽試題)

4．如果1＋1＋1＋…＋1＝2003，那么n＝______．

2612n(n1)2004

(江蘇省競賽試題)

5．用※表示一種運算，它的含義是A※B＝1＋x，如果2※1＝5，

AB(A1)(B1)3

那么3※4＝______．

(“希望杯”競賽試題)

6．如圖所示的兩架天平保持平衡，且每塊巧克力的質(zhì)量相等，每個果凍的質(zhì)量也相等，

則一塊巧克力的質(zhì)量是______克．

巧克力果凍50g砝碼

第6題圖

(河北省中考試題)

7．有四個關(guān)于x的方程

①x－2＝－1②(x－2)＋(x－1)＝－1＋(x－1)

③x＝0④x－2＋1＝－1＋1

x1x1

其中同解的兩個方程是()．

A．①與②B．①與③C．①與④D．②與④

8．已知a是不為0的整數(shù)，并且關(guān)于x的方程ax＝2a3－3a2－5a＋4有整數(shù)解，則a

的值共有()．

A．1個B．3個C．6個D．9個

(“希望杯”邀請賽試題)

9．(1)當(dāng)a取符合na＋3≠0的任意數(shù)時，式子ma2的值都是一個定值，其中m－n

na3

＝6，求m，n的值．

(北京市“迎春杯”競賽試題)