專題12.3一次函數(shù)的性質(zhì)【十大題型】

【滬科版】

>題型梳理

【題型1確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】...............................................................1

【題型2確定一次函數(shù)的增減性】................................................................4

【題型3由一次函數(shù)經(jīng)過的象限求字母的取值范圍】................................................6

【題型4由一次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】..................................................8

【題型5比較一次函數(shù)值的大小】................................................................10

【題型6一次函數(shù)中的對(duì)稱性問題】.............................................................11

【題型7由兩直線的位置關(guān)系求解析式】..........................................................15

【題型8兩直線的相交問題】....................................................................19

【題型9由一次函數(shù)解決最值問題】.............................................................23

【題型10一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用】......................................................29

院舉一反三

知識(shí)點(diǎn)1：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，kNO）

k>0時(shí)，y隨x的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；

性質(zhì)

k<0時(shí)，yWx的增大（或減?。┒鴾p小（或博大）.

（1）k>0,b>0圖像經(jīng)過一、二、三象限；

（2）k>0,bVO圖像經(jīng)過一、三、四象限；

直線y=kx+b（kWO）

（3）k>0,b=0圖像經(jīng)過一、三象限；

的位置與k、b符號(hào)

（4）k<0,b>（）圖像經(jīng)過一、二、四象限；

之間的關(guān)系.

（5）kVO,bVO圖像經(jīng)過二、三、四象限；

（6）kVO,b=0圖像經(jīng)過二、四象限。

【題型1確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】

【例1】（2324九年級(jí).上海寶山.期中）如果ahV0,ac<0,貝！直線y=一：不經(jīng)過（）

DU

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)QbvO,QC<O,可以—￡>0,且4C同號(hào)，從而可以判斷一次函數(shù)y=—￡無一（的圖象經(jīng)過哪

幾個(gè)象限，不經(jīng)過哪個(gè)象限，本題得以解決.

【詳解】解：???也<0,ac<0,

異號(hào)，Q,C異號(hào),

且瓦同號(hào)，

-b7>0?c

?Yv0,

b

一次函數(shù)y=—（的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，不經(jīng)過第二象限.

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用?次函數(shù)的性質(zhì)解答.

【變式11］（2324九年級(jí)?浙江杭州?期中）一次函數(shù)y=（m+l）x-2m+3的圖象一定經(jīng)過第象

限.

【答案】一

【分析】由一次函數(shù)的定義可知m+1H0,故可分類討論：當(dāng)m+1>0和m+1<0時(shí)，分別求出-2m+3

的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：???該函數(shù)為一次函數(shù)，

工加+1工0,即m工一1

分類討論：①當(dāng)TH+1>0,即.時(shí)，

/.-2m+3V5,

???此時(shí)該函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、三象限.

當(dāng)0〈一2771+3<5時(shí)，經(jīng)過第二象限，當(dāng)一2m+3Vo時(shí)，經(jīng)過第四象限；

②當(dāng)m+1<0,即m<一1時(shí)，

-2TTI+3>7,

???此時(shí)該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

綜上可知，該函數(shù)圖象必經(jīng)過第一象限.

故答案為：一.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì).掌握一次函數(shù)y=kx+〃kHO）,當(dāng)k>0,b>OHJ,其圖象經(jīng)

過第一、二、三象限；當(dāng)k>0,b<0時(shí)，其圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)〃<0,b>0時(shí)，其圖象經(jīng)過

第一、二、四象限；當(dāng)k<0,b<0時(shí)，其圖象經(jīng)過第二、二、四象限是解題關(guān)鍵.

【變式12](2324九年級(jí).河北唐山?期中)一次函數(shù)丫=(4+1)、+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)巴且上>-1,則點(diǎn)。

的坐標(biāo)不可能為()

A.(5,4)B.(-1,2)C.(-2,-2)D.(5,-1)

【答案】D

【分析】由k>-1,即k+1>0,則)，的值隨x值的增大而增大.又因?yàn)?>0,所以一次函數(shù)y=(k+1)%+3

的圖像經(jīng)過第一、二、三象限.然后根據(jù)選項(xiàng)的點(diǎn)所在的象限即可解答.

【詳解】解：??次>一1,

；?k+l>0,

???丁的值隨x值的增大而增大，

又>0,

，一次函數(shù)丁=(4+1)%+3的圖像經(jīng)過第一、二、三象限.

???(5,-1)在第四象限，

，點(diǎn)尸的坐標(biāo)不可能為(5,—1).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，由一次函數(shù)解析式系數(shù)確

定一次函數(shù)圖像的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式13](2324九年級(jí)?四川達(dá)州?期中)如果ab>0,\<0則直線y=(不經(jīng)過第象限;

【答案】一

【分析】先根據(jù)ab>0,2<0討論出a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而可得出g:的符號(hào)，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象與系

cbb

數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答即可.

【詳解】Vab>0,-<0,

C

,??a、b同號(hào)，a、c異號(hào)，

當(dāng)a>0,b>0時(shí)，cVO,

??令67<0?

bb

???直線y多也過二、三、四象限;

Db

當(dāng)aVO,bVO時(shí)，c>0,

.*.->0,20,

bb

???丁隨X的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意;

B、V/c=2>0,

，『隨”的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意：

C、??*=1>0,

???），隨》的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；

D、?:k=-1<0,

???），隨工的增大而減小，該選項(xiàng)不合題意；

故選：D.

【變式22】（2324九年級(jí)?安徽蚌埠?期末）在一次函數(shù)y=-9+：的圖像上任取不同兩點(diǎn)&（9,%）,

P2（x2,y2）,則漢的正負(fù)情況是（)

A.漢VOB.漢>0c?—。D?小。

刀2一刀1X2-Xi

【答案】A

【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì).根據(jù)一次函數(shù)的圖

像與性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：???~1<0,

???y隨”的增大而減小，

當(dāng)&>%1時(shí)，jz<yi?

漢vo,

故選：A.

【變式23】（2024?浙江杭州?一模）若4（%i，yi）,B（>2，y2）分別是一次函數(shù)'=一4工+5圖象上兩個(gè)不相同的

點(diǎn)，記皿=（占一%2）（%-%），則卬0.（請(qǐng)用“=”或“V”填寫）

【答案】<

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=-4x+5,y隨%增大而減小，

：?當(dāng)%1<%?時(shí)，—>如

與一&V°，力-丫2>0，

w=（/-X2）（7I-y2）<

當(dāng)小>%2時(shí)，yiv%，

**?^1-X2>0/1-丫2V°，

:.W==1-%2）（%一、2）<0，

故答案為：V.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖形性質(zhì).

【題型3由一次函數(shù)經(jīng)過的象限求字母的取值范圍】

【例31（2324九年級(jí)?寧夏銀川?期中）如果直線y=（2-k）x+k不經(jīng)過第二象限，那么k的取值范圍是（）.

A.k<0B.k<2C.0<k<2D.k<0

【答案】A

【分析】本題考查了?次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)圖象不經(jīng)過第二象限可得2-k>0且k&0,結(jié)合不等式的

取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解”的方法即可求解，掌握一次函數(shù)圖象的性

質(zhì)，不等式的取值方法是解題的美鍵.

【詳解】解：???不經(jīng)過第二象限，

A2-/O0,且"0,

：.k<0,

故選：A

【變式31】（2324九年級(jí)?河南駐馬店?期中）已知點(diǎn)力（一1,2）、8（3,2）,若一次函數(shù)y=-％+b的圖象與線段

AB有交點(diǎn),則b的取值范圍為.

【答案】1WbW5

【分析】把A、8分別代入），=?廠〃，分別求得力的值，即可求得b的取值范圍.

【詳解】解：（-1,2）,B（3,2）,

,若過A點(diǎn)，則2=1+0,解得b=L

若過B點(diǎn)，則2=-3+4解得〃=5,

Al<b<5.

故答案：1W店5.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)符合解析式是解題的關(guān)鍵.

【變式32】（2024九年級(jí)?全國?專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)（-2,3）的直線/經(jīng)過一、二、三象限，

若點(diǎn)（0,。），（一1涉），（c,-l）都在直線/上，則下列判斷正確的是（）

A.a<bB.a<3C,b<3D.c<-2

【答案】D

【分析】本題考杳了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)直線/經(jīng)過第一、二、三象限且過點(diǎn)(-2,3),得出)，隨x

的增大而增大，則3VbVa,再根據(jù)點(diǎn)(c,-l)在直線/上，得出CV-2,即可解答.

【詳解】解：???直線/經(jīng)過第一、二、三象限且過點(diǎn)(-2,3),

隨x的增大而增大.

V-2<-1<0,

<b<a,

:.A、B、C均錯(cuò)；

???點(diǎn)(C,-1)在直線/上,

cV—2.

故選D.

【變式33](2324九年級(jí)?江蘇南通?期中)己如過點(diǎn)(1,3)的直線y二ax十/。*0)不經(jīng)過第四象限，設(shè)S二

Q+28,則S的取值范圍為()

A.3<S<6B.3<S<6C.3<S<6D.3<S<6

【答案】B

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解一元一次不等式組，以及不等式

的性質(zhì).掌握一次函數(shù)、=心:+田攵工0)中，當(dāng)k>0,8之0時(shí)函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得a>0,b>0,將點(diǎn)(1,3)代入y=ax+b(a工0),得到Q+b=3,即8=

3-a.由a>0,bZ0得出不等式組｛3°,解不等式組求出。的范圍，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出

S的取值范圍.

【詳解】???過點(diǎn)(1,3)的直線y=ax+b(aH0)不經(jīng)過第四象限，

a>0,b>0,a+b=3,

二b=3—a,

???I3-^n°*解得：0<。與3,

(a>0

:.S=a+2b=a+2(3—a)=6—a,

v-3<-a<0,

???3<6-a<6,

即S的取值范圍為：3WSV6,

故選B.

【題型4由一次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】

【例4】（2324九年級(jí)?湖南長沙?期中）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù)M>0,對(duì)于任意的函數(shù)值y,

都滿足-MWyWM,則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界

值.例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.若函數(shù)y=-x+l（QWxWb,b>a）的邊界值是2,

且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2,則加勺取值范圍是.

【答案】一l<bW3

【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定a=l；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍.

【詳解】解：???k=l,y隨x的增大而減小，

:.當(dāng)x=a時(shí),a+1=2,解得a=1>

而x=b時(shí)，y=b+1,

A2<b+1<2,

且b>a,

Al<b<3.

故答案為1<區(qū)3.

【點(diǎn)晴】本題考查了一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)：k>0,y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；kVO,y隨

x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降.由于產(chǎn)kx+b與y軸交于（0,b）,當(dāng)b>0時(shí)，（0,b；在y軸的正

半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)bVO時(shí)，（0,b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸.

【變式41】（2024.山東臨沂.模擬預(yù)測）若一次函數(shù)y=（k—2）x—l的函數(shù)值1y隨x的增大而增大，則女值

可能是（）

A.1B.|C.|D.

【答案】B

【分析】本題主要考查了一次函數(shù).熟練掌握一次函數(shù)的增減性，是解決問題的關(guān)鍵.根據(jù)一次函數(shù)的增減

性質(zhì)，逐一判斷可得答案.

【詳解】解：???一次函數(shù)、=（4一2比一1的函數(shù)值），隨著人的增大而增大,

:?k-2>0,解得k>2.

所以北的值可以是

【變式42】（2024.浙江寧波?三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)aWxWa+3（其中a為常數(shù)）時(shí).函數(shù)y=x-l

的最小值為2a+4,則滿足條件的a的值為（）

A.-5B.-2C.-；D.-1

【答案】A

【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)y=%-l的函數(shù)值隨著x的增大而增

大,根據(jù)自變量取值范圍即可得到當(dāng)aWxWQ+3時(shí)，則當(dāng)X=Q時(shí)取得最小值2a+4,列方程并解方程即

可.

【詳解】解：???k=i>o

工函數(shù)y=x-1的函數(shù)值隨著x的增大而增大，

當(dāng)aWxWa+3時(shí),，則當(dāng)％=Q時(shí)取得最小值2a+4,

即a—1=2a+4,

解得Q=-5,

故選:A

【變式43］（2324九年級(jí).福建福州.期末）我是一條直線，很有名氣的直線，數(shù)學(xué)家們給我命名為y=+

b（k*0）.在我的圖象上有兩點(diǎn)象%1，%）,B（%2，y2）且％1工％2,m=（x2一勺）仇一力），當(dāng)k>0時(shí)，機(jī)的

取信范圍是（）

A.m>0B.m>0C.m=0D.m<0

【答案】A

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將4B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，再將兩式相

減即可解決問題.

【詳解】解：將48兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式得，

Xi=卜力+b,y2=kx2+b,

兩式相減得，yi-y2=kQi-x2），

所以k=江學(xué)，

X1-X2

因?yàn)閗>0,

所以皿>0,

Xl-%2

則（乃一，2）（小一刀2）>0，

所以（%21）。2-％）>。，

則機(jī)>0.

故選：A.

【題型5比較一次函數(shù)值的大小】

【例5】（2324九年級(jí)?山東聊城?期末）一次函數(shù)y=—x+6的圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（一，力），（一1,%），

（2/3），則、1，,2，、3的大小關(guān)系是（）

A.yx<y2<y3B.y2<yx<y3

c.y3<yi<yzD.y3<y2<%

【答案】C

【分析】本題主要考查了根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷函數(shù)值的大小.根據(jù)一次函數(shù)y=-x+b中的k=-1<

0可得出），隨x的增大而減小，根據(jù)一1<一：v2可得出力>%>乃?

【詳解】解：???一次函數(shù)y=—x+b中的k=—l<0,

，）：隨x的增大而減小，

V-1<--3<2,

?**>'2>%>，3'

故選：C.

【變式51]（2324九年級(jí)?廣西崇左?階段練習(xí)）已知點(diǎn)力（l,a）和點(diǎn)8（-2k）是一次函數(shù)y=一+c圖象上的

兩點(diǎn)，則。b.（填“>”、"V”或“=”）

【答案】<

【分析】把4（l,a）,B（—2/）代入一次函數(shù)丫=一9％+。得兩個(gè)二元一次方程，把兩個(gè)方程相減，求出Q—b的

值，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：把4（1,。）,8（-2"）代入一次函數(shù)y=+c得：

1廠、

--+c=a?

1+c=b②

①）?②）得：Q—b=-1<0,

???a<b,

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握比較兩數(shù)大小的幾種常用方法.

【變式52］（2324九年級(jí)?江西撫州?期中）已知一次函數(shù)y=一2%+1的圖象經(jīng)過R（7n,a）,七（機(jī)+1"）兩點(diǎn)，

則ab.（填〈”或,、="）

【答案】>

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.根據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性進(jìn)行判斷.判斷出一次函數(shù)

的增減性是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???一次函數(shù)、=-2無+1中的一2<0,

???該函數(shù)圖象是直線，且），的值隨工的增大而減小，

+1>m,

,\a>b.

故答案為：>.

【變式53］（2324九年級(jí)?福建廈門.期末）點(diǎn)M（a,2）、N（b,3）是一次函數(shù)y=2%—3圖像上兩點(diǎn)，則ab

（填或,.

【答案】<

【分析】由仁2>0結(jié)合?次函數(shù)的性質(zhì)即可得出該函數(shù)為增函數(shù)，再結(jié)合2V3即可得出結(jié)論.

【詳解】解：???仁2>0,

???一次函數(shù)），隨x增大而增大，

同理當(dāng)），越大時(shí)『也越大，

V2<3,

.\a<b.

故答案為<.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵確定一次函數(shù)的增減性.

【題型6一次函數(shù)中的對(duì)稱性問題】

【例6】（2324九年級(jí)?陜西西安.開學(xué)考試）若直線y=kx+2與直線y=-3工+b關(guān)于直線m=-1對(duì)稱，

則Kb值分別為（）

A.k=-3、b=-2B.k=3、b=—2

C.k=3、b=-4D.k=3、b=4

【答案】C

【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，先根據(jù)題意得出直線與坐標(biāo)軸

的交點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.

先求出一次函數(shù)V=-+2與.v軸交點(diǎn)關(guān)于直線為=-1的對(duì)稱點(diǎn)，代入y=-3x+b得到b的值，再求出一

次函數(shù)y=-3%+力與y軸交點(diǎn)關(guān)于直線無=一1的對(duì)稱點(diǎn)，代入一次函數(shù)y=kx+2,求出k的值即可.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=kx+2與)，軸交點(diǎn)為(0,2),

.??點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱點(diǎn)為(-2,2),

把(一2,2)代入直線y=-3x+b,可得2=-3x(-2)+b,

解得b=-4,

貝=-3x+b=—3x—4,

一次函數(shù)y=-3%-4與y軸交點(diǎn)為(0,-4),

(0,—4)關(guān)于直線x=一1的對(duì)稱點(diǎn)為(一2,-4),

代入直線y=kx+2,可得一4=-2k+2,

解得k=3.

故選:C.

【變式61】(2324九年級(jí)?福建寧德?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(2,m)在第一象限，若點(diǎn)A關(guān)

于/軸的對(duì)稱點(diǎn)B在直線y=—%+1上，則m的值為()

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得B(2,-〃?),然后再把8點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x+l可得〃，的值.

【詳解】點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8的坐標(biāo)為：(2,-m),

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線)，=7+1

得：-m=-2+1,

解得：wi=l,

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)

圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能使解析式左右相等.

【變式621(2324九年級(jí)?四川成都期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，｛-3,0),8(1,4),直線BC交x軸于(4,0),

過點(diǎn)4作力DII8C交y軸于點(diǎn)D.

(1)求直線8c和直線AD的關(guān)系式；

(2)點(diǎn)M在直線上，目.△48M與△AB。的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)直線AD的解析式為：y=-^X-4；直線BC的解析式為：y=-^x+^

⑵(房產(chǎn))或(-揩)

【分析】本題考查了?次函數(shù)的解析式求解?、平行線間的距離處處相等等知識(shí)點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)

鍵.

(1)設(shè)直線8c的解析式為：y=kx+b,將B,C兩點(diǎn)代入即可求解；設(shè)直線力。的解析式為：y=-^x+b,,

將<點(diǎn)代入即可求解；

(2)求出直線4B的解析式，過點(diǎn)。作的平行線I,則點(diǎn)M是直線力。與直線［的交點(diǎn)，據(jù)此即可求解；

【詳解】(1)解：設(shè)直線8C的解析式為：y=kx+b,

則篇比,

,16

b=—

解得：3

k=--

3

，直線BC的解析式為：y=-；x+^,

?5O

*：AD\\BC

???設(shè)直線川9的解析式為：y=-；x+^,

則0=_gx（-3）+",

解得：y=-4

工直線AD的解析式為：y=—^x-4,

（2）解：如圖所示：過點(diǎn)。作4B的平行線I,

設(shè)直線48的解析式為：y=mx+n,

則「3、+nw。，

lm+n=4

解得：｛:二：，

工直線48的解析式為：y=x+3,

則直線Z的解析式為：y=xf

???點(diǎn)M在直線40上，且445時(shí)與44B0的面枳相等,

???點(diǎn)M是直線AD與直線，的交點(diǎn)

"（一藁，一勺

點(diǎn)M（-三，一日關(guān)于點(diǎn)力（一3,0）的對(duì)稱點(diǎn)為：（-蕓季）

綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（一￡,-月或（一冬3）

【變式63】（2024?江西南昌?一模）定義：若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函

數(shù).請(qǐng)寫出函數(shù)y=2x+l的反函數(shù)的解析式—.

【答案】y=H

【分析】求出函數(shù)y=2x+l與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出其對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法1求得函

數(shù)解析式即可.

【詳解】y=2x+l,

當(dāng)K=0時(shí)，y=1,

當(dāng)y=0時(shí)，x=-

即函數(shù)和x軸的交點(diǎn)為（-；,0）,和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

所以兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（（），-小和（1,0）,

設(shè)反函數(shù)的解析式是y=kx+b,

代入得：=W，

.k+b—0

解得：k=1?b=-I，

即y=1x-1，

故答案為y=1x-

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)2：兩直線的位置關(guān)系

同一平面直角坐標(biāo)系中兩直線"y=4x+4gwO）,￡y=&r+優(yōu)化工0）的位置關(guān)系：

加網(wǎng)嶼也的關(guān)系，國的關(guān)系

k尸h4與《相交

k1*k2bt=h24與《相交于y軸上的一點(diǎn)

%=內(nèi),b、*b24與4平行

【題型7由兩直線的位置關(guān)系求解析式】

【例7】（2324九年級(jí).福建南平.期末）探究活動(dòng)一:

如圖I,某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)在直線48上的三點(diǎn)力(1,3),8(2,5),C(4,9),

有心8=分=2,須。=三=2,kAB=kAC,興趣小組提出猜想：若直線、=心:+匕(女工0)上任意兩點(diǎn)

P&i，y)，Q(x2,y2)(%i*x2),則/:叫=舞是定值.通過多次驗(yàn)證和查閱資料得知，猜想成立，kpQ足定

值，并且是直線、=心:+力(4裝0)中的匕叫做這條直線的斜率.

(1)請(qǐng)你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過S(-2,-2),7(4,2)兩點(diǎn)的直線ST的斜率k"=.

探究活動(dòng)二：

數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率問題，得到正確結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直

時(shí)，這兩條直線的斜率之積是定值.

(2)如圖2,直線0E與直線OF垂直于點(diǎn)D,且。(2,2),E(l,4),F(4,3).請(qǐng)求出直線DE與直線DF的斜率之

積.并寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

綜合應(yīng)用：

(3)如圖3,M(l,2),N(4,5),請(qǐng)結(jié)合探究活動(dòng)二的結(jié)論，求出過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線的解析式.

【答案】(1)條(2)1,當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之枳等于1；

(3)y=-x+9

【分析】(1)直接利用公式計(jì)算⑷可；

(2)運(yùn)用公式分別求出SF和5尸的值，再計(jì)算SExk"產(chǎn)二|；

(3)先求直線的斜率AMN,根據(jù)探究活動(dòng)二的結(jié)論可得直線PQ的斜率〃PQ,待定系數(shù)法即可求得直

線PQ解析式.

【詳解】解?：(1)根據(jù)題意得：kST=I

(2)VD(2,2),E(l,4),F(4,3),

**?fiDEXkDF=_2X-=-1,

結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積等于1.

(3)設(shè)過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線為PQ,解析式為、=kpQ%+b,

???M(1,2),N(4,5),

?*,%N=f=1，

*：PQ1MN,

??kpQxI^MN=-1，

??kpQ——1,

???直線PQ經(jīng)過點(diǎn)N(4,5),

???S=-lx4+b,解得力=9.

???過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線的解析式為y=-x+9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，新定義：直線斜率；是一道創(chuàng)新題，引入新定義：

直線斜率，理解和掌握直線斜率的概念是解題的關(guān)鍵.

【變式71】(2324九年級(jí)?遼寧鞍山?階段練習(xí))函數(shù)y=kx+b(kHO)的圖象平行于直線y=3x+2,且交

y軸于點(diǎn)則其函數(shù)表達(dá)式是.

【答案】y=3x-1

【分析】本題考杳了求一次函數(shù)解析式，涉及了兩直線平行的問題，熟知兩直線平行時(shí)，歸值相等是解題的

關(guān)鍵.根據(jù)平行直線的解析式求出出值，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出力值即可.

【詳解】解：???函數(shù)y=心:+力(4￡0)的圖象平行于直線丫=3%+2,

:?k=3,

??y=3x+b交y軸于點(diǎn)(0,-1),

:?b=-1,

???函數(shù)的表達(dá)式是y=3x-i,

故答案為：y=3x-1.

【變式72】(2024.河北石家莊「模)某個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線y="+3平行，與x軸，1y軸的交點(diǎn)分別

為A,B,并且過點(diǎn)(―2,-4),則在線段4B上(包括點(diǎn)A,8),橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】B

【分析】本題考查了平行線的解析式之間的關(guān)系.平行線的解析式一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線48為y=3》+b,

將點(diǎn)(-2,-4)代入可求直線48的解析式，可得點(diǎn)力(6,0),5(0,-3),再根據(jù)小y的取值范圍求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=：%+b,

由點(diǎn)(一2,-4)在該函數(shù)圖象上，得一4=[x(-2)+b,解得力=一3.

所以，y=lx-3.可得點(diǎn)/(6,0),5(0,-3).

由0工3工6,且工為整數(shù)，?。?0,2,4,6時(shí)，對(duì)應(yīng)的y是整數(shù).

因此，在線段48上(包括點(diǎn)力、B),橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有4個(gè).

故選：B.

【變式73](2324九年級(jí)?遼寧葫蘆島?期末)數(shù)學(xué)精英小組利用平面直角坐標(biāo)系在研究直線.上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律

時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線y=kx+b上的任意三點(diǎn)4(日,月),8(%2，力)，。(孫，乃)(%1。％2Hx3)，滿足紇"=上"=k,

X1-X2X1-X3

經(jīng)小組查閱資料，再經(jīng)請(qǐng)教老師驗(yàn)證，以上結(jié)論是成立的，即直線y=kx+b上任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)力(與,力),

8(%2，丫2)，，都有上&=k?例如：P(l,3),Q(2,4)為直線y=x+2上兩點(diǎn)，則k=三=1.

必一了21—2

(1)已知直線丫=依+匕經(jīng)過A(2,3),B(4,—2)兩點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出左=.

(2)如圖，直線yi±y2于點(diǎn)4，直線丫1，為分別交y軸于從C兩點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)如圖所示.請(qǐng)用上述方

法求出七七的值.

【答案】⑴*

(2)-1

【分析】⑴直接根據(jù)歌=k求解即可;

⑵根據(jù)歌空分別求出為的值，再代入計(jì)算即可

【詳解】⑴解：???A(2,3),5(4,2),

3-(-2)=二

2-42

故答案為：一*

(2)解：??？尸七x+歷經(jīng)過42.0),8(0.4),

,,0-4

?"FT

??j：2=〃2X+82經(jīng)過A(2,0),C(0,l),

:.必2=2x-=l.

【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，本題屬閱讀材料題，理解題目中介紹的解題方法并能靈活運(yùn)用是解題

的關(guān)鍵.

【題型8兩直線的相交問題】

【例8】(2324九年級(jí).四川自貢.階段練習(xí))已知一次函數(shù)y=kx+b(kH0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(9,0),且與正比

例函數(shù)y=-2%交于點(diǎn)B(3,m),求點(diǎn)、B的坐標(biāo)及一次函數(shù)的解析式.

【答案】血=一6,y=x-9

【分析】本題考查了求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法和步驟.

把B(3,m)代入y=-2%求出?的值，進(jìn)而得出點(diǎn)8的坐標(biāo)，把A(9,0),代入y=kx+b(k芋0),求

出攵和力的值，即可得出一次函數(shù)解析式.

【詳解】解：把8(3,m)代入y=一2%得：m=-2x3=-6,

???B(3,-6),

把4(9,0),8(3,-6)代入y=kx+b(k00)得:

(9k+b=0

(3A+b=-6'

解得:H,

，一次函數(shù)解析式為y=x-9.

【變式81](2324九年級(jí)?遼寧沈陽?期中)如圖，已知直線必=-2%+3和y2=mx-l分別交y軸于點(diǎn)4B,

兩直線交于點(diǎn)C(1E).

(I)求m,九的值；

(2)求的面積.

【答案】(l)m=2,九=1；(2)△ABC的面積為2.

【分析】(1)先利用直線力求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用直線力求出m的值.

(2)兩個(gè)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為A、B,即x=0時(shí)，可以求出A、B坐標(biāo)，即可得出三角形面積.

【詳解】解：⑴???兩直線交于點(diǎn)C(l,n)

???將C(l,n)代入為=—2x+3得:n=2+3=l

即：C點(diǎn)坐標(biāo)為：(1,1)

將C(1,1)代入y2=mx—1得：ml=l

即：m=2

故：m=2,n=l.

(2),當(dāng)x=0時(shí)，y[=3

AA(03)

當(dāng)x=0時(shí)，y2=-1

AB(0,1)

*',^AABC=1=]X4X1=2

故：△ABC的面積為2.

【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)的基礎(chǔ)題型，根據(jù)已知點(diǎn)求出函數(shù)解析式，然后利用解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，并求出

三角形面積.

【變式82】(2324九年級(jí)?四川達(dá)州.期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)八=^乂+2與x軸、y

軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,直線y2=kx+b(k翔)經(jīng)過點(diǎn)C(l,0)且與線段AB交于點(diǎn)P,并把△ABO分成兩部

分.

⑴求A、B的坐標(biāo)；

(2)求4ABO的面積;

⑶若^ABO被直線CP分成的兩部分的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線CP的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(1)A(3,0),B(0,2)；(2)3；(3)P(￡》y=6x+6

【分析】(1)已知直線yi的解析式，分別令x=0和y=0即可求出A和B的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)(1)中求出的A和B的坐標(biāo)，可知OA和OB的長，利用三角形的面積公式即可求出SAABO；

(3)由(2)中的SAABO,可推出SAAPC的面積，求出外，繼而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)C和點(diǎn)P的坐標(biāo)聯(lián)立

方程組求出k和b的值后即可求出函數(shù)解析式.

【詳解】解：(1)???一次函數(shù)的解析式為丫尸京+2,

令x=0?得yi=2?

2),

令yi=0,得x=3,

AA(3,0)；

(2)由(1)知：OA=3,OB=2,

.*.SAABO=1OA*OB=^X3X2=3；

(3),?李”口0斗＜34一《^在第一象限，

113

：,SAAPC=-AC*yp=-x(3l)xyp=-,

解得：ypg

又點(diǎn)P在直線yi上,

.32二

?--=-x+2,

23

解得：x=p

4

，p點(diǎn)坐標(biāo)為弓，

42

將點(diǎn)C(l,0)、嗎手代入y=kx+b中,得

(0=k+b

33,1,,

解得：匕?

Ib=6

故可得直線CP的函數(shù)表達(dá)式為y=6x+6.

【點(diǎn)睛】本題是一道一次函數(shù)綜合題，考杳了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式、待定系數(shù)法求解一次函

數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是根據(jù)SiPcWAC?yp求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，難度中等.

【變式83](2324九年級(jí)?安徽蕪湖?階段練習(xí))如圖，已知直線/8:力=-+3分別與y軸，刀相交于A,8兩

點(diǎn)，直線CD0？=ax十b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C(-6,0),點(diǎn)0,兩直線的交點(diǎn)M為(-4,-1).

(1)求鼠a,b的值.

⑵連接0M,試說明S.BCM+S-0B=SADOM.(表示幾何圖形的面積).

(3)若X軸上存在點(diǎn)P,使得S三角形4PM=：S三角形血M(S表示兒何圖形的面積)，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(_1

【答案】(l)k=l,a="i

b=-3

(2)證明見解析

(3)P(-6,0)或P(0,0)

【分析】(1)把M(-4,一1)代入yi=kx+3,求出k的值，待定系數(shù)法求出a,b的值:

(2)求出?1,的坐標(biāo),分別求；IISABCM，SM0B，SAO0M，即可得出結(jié)論;

(3)設(shè)P(m,0),利用SMPM=SMPB+,列式計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：???直線%=依+3和直線y?=ax+b的交點(diǎn)為M（-4,-1）,

-1=—4k+3,

.*./(=1：

又直線丫2=ax+b與坐標(biāo)軸交于。(一6,0),

1

a=—

2；

m”，解得:b=-3

(2)由(1)知：=x+3,丫2=一：%—3;

當(dāng)《=0時(shí)，丫1=3,乃=一3，當(dāng)月=0時(shí)，x=-3,

.*.71(0,3),F(-3,0),D(0,-3),

：,AO=3,00=3,OB=3,BC=3,

S&BCM=gx3x1=pS△/08=1x3x3=pShD0M=^x3x4=6?

?'?SABCM+S^AOB=6=S4DOM；

(3)設(shè)P(m,0),如圖，

:?BP=|m+3|

**^AADM='XM=]X6x4=12,

?'?SAAPM—S&APB+SABPM=-X|7n+3|x4=2|TH+3|=6?

/.|m+3|=3,

Am=-6或根=0；

???收一6,0）或夕（0,0）.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練的利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行

求解，是解題的關(guān)鍵.

【題型9由一次函數(shù)解決最值問題】

【例9】（2324九年級(jí)?四川內(nèi)江?期中）對(duì)于幾個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c,我們規(guī)定符號(hào)min{a,瓦c}表示“、b、。中較

小的數(shù)，如：min{2,-1,4}=一1.按照這個(gè)規(guī)定，已知函數(shù)：y=+1,-^x+5],則'的最大值

是________

【答案】沙杉

【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，求不等式組的解集，分3種情況列出不等式組求出x的取值

范圍，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：當(dāng)13時(shí)，即

卜工一"+52

則y=x,

??：隨x的增大而增大，

???當(dāng)％二,時(shí)，S取的最大值*

-x+l<x

當(dāng)｛14時(shí),即江飛',

+1<-7X+5

\35

則V=[x+1,

??4隨X的增大而增大,

??.當(dāng)"瑞時(shí)，），取的最大值條

：%+5W；%十160

當(dāng)1S3時(shí)，解得力工與

-；x+5<x17

5

則）,=一"+5,

??j隨X的增大而減小，

???當(dāng)”意時(shí)，），取的最大值條

綜上可知，,，的最大值是不

故答案為：言

【變式91】（2024.四川南充?二模）如圖，直線y=kx+3與直線y=-：x交于點(diǎn)力（一2,1）,與》，軸交于點(diǎn)8,

點(diǎn)M（77i,yi）在線段43上，點(diǎn)N（1-mJ?）在直線,=一上，則一%的最小值為?

【答案】亨2,2.5

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，先利用力(-2,1)求出直線解析式為：y=+3,再求出8(0,3),

根據(jù)點(diǎn)M(m,%)在線段45上可得-2<TH<0,再表示出力一y?，問題得解.

【詳解】’??直線y=kx+3與直線y=-;匯交于點(diǎn)4(一2,1),

???將4(-2,1)代入y=kx+3,有：-2/c+3=l,

解得；k=l,

即直線解析式為：y=x+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3,即8(0,3),

???點(diǎn)在線段48上，點(diǎn)N(1-m,y2)在直線V=一上，

--m

=m+3,y2=)?且一24m40,

***>'1-y2=m+3-[-1(1-m)|=綱十]

V-2<m<0,

???當(dāng)m=-2時(shí),--力的值最小，且為=3m+：=；x(-2)+3=J,

故答案為:

【變式92】(2324九年級(jí)?北京海淀?期中)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)M(4,3),N(—3,2),P(-2,-2).

如

5-

4-

3-?M

N-2-

1-

IIiII11111、

-5-4-3-2-\O12345x

-1-

P?-2-

-3-

-4-

-5-

(1)若一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過己知三個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)，求b的最大值：

(2)當(dāng)時(shí)，在圖中用陰影表示直線y=kx+l運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，并判斷在點(diǎn)M,MP中直線y=kx+l不可

能經(jīng)過的點(diǎn)是—.

【答案】(1)8

(2)圖見解析，N

【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得應(yīng)用.用到的知識(shí)點(diǎn)為：一次函數(shù)的比例系數(shù)大于。，常數(shù)項(xiàng)大

于0,圖象過第一、二、三象限，一次函數(shù)的比例系數(shù)越大，y隨工的增大越明顯.

(1)根據(jù)一次函數(shù)的比例系數(shù)大于0,圖象過第一、三象限，求b的最大值，那么把第二象限內(nèi)的點(diǎn)代入即

可：

(2)求的當(dāng)k=；時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)和k>:可得直線掃過的區(qū)域，即可求得直線y=

依+1不可能經(jīng)過的點(diǎn).

【詳解】(1)

解：???一次函數(shù)的比例系數(shù)為2,2>0,

???一次函數(shù)一定經(jīng)過第一、三象限.

???求〃的最大值，

???圖象還應(yīng)該經(jīng)過第二象限的點(diǎn)N(-3,2).

???3x(-3)+b=2.

：,b=8

答：〃的最大值為8；

(2)

當(dāng)時(shí)，圖象經(jīng)過(一4,0)

???圖象必過點(diǎn)(0,1),k＞；,

???直線y=kx+1運(yùn)動(dòng)的區(qū)域?yàn)檫^點(diǎn)(-4,0)和點(diǎn)(0,1)的直線/與)，軸之間的區(qū)域(不包括直線/和)，軸).

，直線y=kx+1不可能經(jīng)過的點(diǎn)是N.

故答案為：N.

【變式93】(2324九年級(jí)?天津薊州?期末)如圖，直線/］：%=x+1與％軸交于點(diǎn)A,直線已：%=攵工+4與

x軸交于點(diǎn)8(4,0),直線，1與直線，2相交于點(diǎn)M.

(1)求直線，2的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸是直線11上的一點(diǎn).

①當(dāng)SM8P=5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

②點(diǎn)。是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在①的釜件下，當(dāng)QP十QM取最小值時(shí)，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為d)；

⑵①點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或點(diǎn)(—3,-2)；②點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一1,0)或(3,0).

【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)是解

題的關(guān)鍵.

(I)利用待定系數(shù)法求出直線。的解析式，然后聯(lián)立解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)即可;

(2)①先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)P(x,%+1),根據(jù)SM8P="人|引列方程解題即可;

②利用①的結(jié)論分兩種情況討論，利用兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解題即可.

【詳解】(1)解：將點(diǎn)B(4,0)代入丫2=入+4,得0=4k+4,解得k=一1,

???y2=—X+4,

L

解得X="

解方程組?Mi2

7，

J2

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為C，9；

(2)解：①令y=0,則x+1=0,解得％=—1,

???直線，1與％軸的交點(diǎn)力

設(shè)點(diǎn)P(x,X+1),

?0?S^ABP=385,l^yl(4+1)X|x+1|=1|x+1|=5,

/.|x4-1|=2,即％+1=2或x+1=-2,解得％=1或%=—3,

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(一3,-2)；

②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)時(shí)，如圖，作點(diǎn)M關(guān)于次軸的對(duì)稱點(diǎn)M，，連接尸M'交匯軸丁點(diǎn)Q,

此時(shí)QP+QM=PAT有最小值,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為停，9，

???點(diǎn)M'的坐標(biāo)為(|,一9，

設(shè)PW的解析式為y=ax+b,

S._7d：

?2a+b=