2025屆浙江省杭二中第二學(xué)期高三數(shù)學(xué)試題考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．2．過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，若，則直線的斜率為()A． B．C．或 D．或3．已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則（）A．14 B．12 C．10 D．84．已知的面積是,,,則（）A．5 B．或1 C．5或1 D．5．某中學(xué)2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結(jié)論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加B．與2016年相比，2019年一本達(dá)線人數(shù)減少C．與2016年相比，2019年二本達(dá)線人數(shù)增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達(dá)線人數(shù)相同6．函數(shù)在上的圖象大致為（）A． B． C． D．7．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．9．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后計(jì)劃去三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少一人.其中甲必須去社區(qū)，乙不去社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．8 B．7 C．6 D．510．已知橢圓的短軸長為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．11．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．4012．設(shè)，則復(fù)數(shù)的模等于()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的焦距為2c，過C外一點(diǎn)P(c,2c)作線段PF1，PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A、B，若|PA|＝|AF1|，則_____.14．已知數(shù)列滿足，且恒成立，則的值為____________.15．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則_______.16．的展開式中的系數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l的極坐標(biāo)方程為，圓C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．（1）請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）求直線l被圓截得的弦長．18．（12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．19．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點(diǎn)在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，若，求的值．20．（12分）隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務(wù)產(chǎn)品和活期資金管理服務(wù)產(chǎn)品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財(cái)富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財(cái)產(chǎn)品的選擇情況，隨機(jī)抽取1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民，按照使用理財(cái)產(chǎn)品的情況統(tǒng)計(jì)得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)（單位：名）使用“余額寶”使用“財(cái)富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財(cái)產(chǎn)品50合計(jì)1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財(cái)富通”的人多160名.（1）求頻數(shù)分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財(cái)富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財(cái)產(chǎn)品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財(cái)富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機(jī)選取2人，假設(shè)這2人中每個(gè)人理財(cái)?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財(cái)?shù)睦⒖偤蜑?，求的分布列及?shù)學(xué)期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財(cái)產(chǎn)品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財(cái)產(chǎn)品，一年可以獲得3元利息.21．（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，N.（1）求；（2）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其前項(xiàng)和.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若以線段為直徑的圓與軸相切.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若上存在兩動(dòng)點(diǎn)（A，B在軸異側(cè)）滿足，且的周長為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計(jì)算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn)，，且平面，，的中點(diǎn)為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．2、A【解析】

利用切割線定理求得，利用勾股定理求得圓心到弦的距離，從而求得，結(jié)合，求得直線的傾斜角為，進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分，圓心為，半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，則所以到弦的距離為，，所以，由于，所以直線的傾斜角為，斜率為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.3、A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，而，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.4、B【解析】∵，,∴①若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；②若為銳角，則，同理得.故選B.5、A【解析】

設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，通過簡單的計(jì)算逐一驗(yàn)證選項(xiàng)A、B、C、D.【詳解】設(shè)2016年高考總?cè)藬?shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，2016年高考不上線人數(shù)為，2019年不上線人數(shù)為，故A正確；2016年高考一本人數(shù)，2019年高考一本人數(shù)，故B錯(cuò)誤；2019年二本達(dá)線人數(shù)，2016年二本達(dá)線人數(shù)，增加了倍，故C錯(cuò)誤；2016年藝體達(dá)線人數(shù)，2019年藝體達(dá)線人數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查柱狀圖的應(yīng)用，考查學(xué)生識(shí)圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計(jì)類的題目.6、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及函數(shù)在時(shí)的符號(hào)，即可求解.【詳解】由可知函數(shù)為奇函數(shù).所以函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)時(shí)，，，排除選項(xiàng)D，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定及奇偶函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.7、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】根據(jù)題意滿足條件的安排為：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（?。〤（丙）；A（甲，丙）B（?。〤（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，?。〤（乙）；A（甲）B（?。〤（乙，丙）；A（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7種，選B.10、D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓，因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，故.又，因?yàn)?，故，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則有，我們常用這個(gè)性質(zhì)來考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題，本題屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.12、C【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,再由復(fù)數(shù)模的定義求解即可.【詳解】因?yàn)?所以,由復(fù)數(shù)模的定義知,.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的模;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，從而得到點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)，則有b＝c，解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因?yàn)閨PA|＝|AF1|，所以點(diǎn)A是線段PF1的中點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因?yàn)辄c(diǎn)P（c，2c），所以PF2⊥x軸，則|PF2|＝2c，所以O(shè)A⊥x軸，則點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn)，所以|OA|＝b，則2b＝2c，所以b＝c，ac，設(shè)B（c，m）（m＞0），則，解得mc，所以|BF2|c，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，考查直線位置關(guān)系的判斷，方程思想，屬于中檔題.14、【解析】

易得，所以是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，因，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項(xiàng)，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.15、【解析】

設(shè)等比數(shù)列的公比為，將已知條件等式轉(zhuǎn)化為關(guān)系式，求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】

分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取1時(shí)，第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng)，則對應(yīng)系數(shù)為：；當(dāng)?shù)谝粋€(gè)因式取時(shí)，第二個(gè)因式應(yīng)取含的項(xiàng)，則對應(yīng)系數(shù)為：；故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．x2+y2＝1．（2）16【解析】

（1）直接利用極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程公式化簡得到答案.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為得到答案.【詳解】（1），即，即，即.，故.（2）圓心到直線的距離為，故弦長為.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程，圓的弦長，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）依題意，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，又有，聯(lián)立可求離心率；（2）由（1）設(shè)橢圓方程，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，令，可得，即得橢圓方程.試題解析：（Ⅰ）過點(diǎn)的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直.設(shè)其直線方程為，代入（1）得.設(shè)，則，.由，得，解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.19、（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證；（2）以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),由點(diǎn)在棱上,可設(shè),即可得到,再求得平面的法向量,進(jìn)而利用數(shù)量積求解；（3）設(shè),,則,求得,,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由與平面的法向量垂直,進(jìn)而求解.【詳解】（1）證明:取中點(diǎn)為,連接,因?yàn)槭堑冗吶切?所以,因?yàn)榍蚁嘟挥?所以平面,所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?在平面內(nèi),所以,所以.（2）以為原點(diǎn),過作的平行線,分別以,,分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,因?yàn)樵诶馍?可設(shè),所以,設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?所以,即,令,可得,即,設(shè)直線與平面所成角為,所以,可知當(dāng)時(shí),取最大值.（3）設(shè),則有,得,設(shè),那么,所以,所以.因?yàn)?,所以.又因?yàn)?所以,,設(shè)平面的法向量為,則,即,,可得,即因?yàn)樵谄矫鎯?nèi),所以,所以,所以,即,所以或者（舍）,即.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明,考查空間向量法求線面成角,考查運(yùn)算能力與空間想象能力.20、（1）；（2）680元.【解析】

（1）根據(jù)題意，列方程，然后求解即可（2）根據(jù)題意，計(jì)算出10000元使用“余額寶”的利息為（元）和10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元），得到所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），然后根據(jù)所有可能的取值，計(jì)算出相應(yīng)的概率，并列出的分布列表，然后求解數(shù)學(xué)期望即可【詳解】（1）據(jù)題意，得，所以.（2）據(jù)，得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財(cái)富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為（元）.10000元使用“財(cái)富通”的利息為（元）.所有可能的取值為560（元