第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的切線(xiàn)的證明》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，在中，，以邊為直徑作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若，且，求的半徑與線(xiàn)段的長(zhǎng)．2．如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接，若，(1)求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)；(2)若，求的半徑．3．如圖，正方形內(nèi)接于，連接，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作且與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：是的切線(xiàn)．(2)求的值．4．如圖，為是直徑，弦交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，連結(jié)，．(1)求證：是的切線(xiàn)．(2)求證：為等腰三角形．(3)若，，求的長(zhǎng)．5．如圖，是的直徑，點(diǎn)D在射線(xiàn)上，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，平分．(1)求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)；(2)若，，求的長(zhǎng)．6．如圖，內(nèi)接于，是的直徑，過(guò)O作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E、F是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若，，求的長(zhǎng)．7．如圖，在菱形中，是邊上的高，以為直徑的分別交，于點(diǎn)，，連接．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)求證：．8．如圖，以線(xiàn)段為直徑作，交射線(xiàn)于點(diǎn)C，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn)M．(1)求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)；(2)若，，求的半徑．9．如圖，在中，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若的半徑為5，求的長(zhǎng)．10．如圖1，將的頂點(diǎn)C放在上，邊與相切于點(diǎn)C，邊與交于點(diǎn)D．已知，，，的半徑為4．從圖1的位置開(kāi)始，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖2，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，求證：是的切線(xiàn)；(2)如圖3，若時(shí)，邊與的另一交點(diǎn)為E，求的長(zhǎng)．11．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，連接，，D為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，且．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若的半徑為，的面積為，求的長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，E為上一點(diǎn)，連接交線(xiàn)段于點(diǎn)F，若，求的長(zhǎng)．12．如圖①，獨(dú)輪車(chē)俗稱(chēng)“手推車(chē)”，又名輦、鹿車(chē)等，是交通運(yùn)輸工具史上的一項(xiàng)重要發(fā)明，至今在我國(guó)農(nóng)村和一些邊遠(yuǎn)地區(qū)仍然廣泛使用．如圖②所示為從獨(dú)輪車(chē)中抽象出來(lái)的幾何模型．在中，以的邊為直徑作，交于點(diǎn)P，，且，垂足為點(diǎn)D．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若，，求弧的長(zhǎng)．13．如圖，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)，分別與交于，過(guò)作于．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若與相切于點(diǎn)，求的半徑．14．如圖，是的直徑，，是弦，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)如果，，求的長(zhǎng)．15．如圖，為的外接圓，C是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得平分．(1)求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)．(2)若的半徑為5，，求的長(zhǎng)．(3)在（2）的前提下，點(diǎn)F在上，的內(nèi)心G在邊上，求的長(zhǎng)．參考答案1．(1)見(jiàn)解析(2)的半徑為6，【分析】（1）連接，利用等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)和圓的切線(xiàn)的判定定理解答即可；（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系定理列出比例式即可求得圓的半徑，利用相似三角形的判定和性質(zhì)列出比例式即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，．，．．∴,，．是的半徑，是的切線(xiàn)；（2）解：在中，，，，．即的半徑為6．，，．，，∴，∴，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線(xiàn)的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線(xiàn)．2．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了圓周角定理、圓的切線(xiàn)的判定、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的切線(xiàn)的判定是解題關(guān)鍵．（1）連接，先根據(jù)圓周角定理可得，從而可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，則，然后根據(jù)圓的切線(xiàn)的判定即可得證；（2）先證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線(xiàn)段的和差可得的長(zhǎng)，由此即可得．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，又∵是的半徑，∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)．（2）解：在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴的半徑為．3．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用圓周角定理，平行線(xiàn)的性質(zhì)，圓的切線(xiàn)的判定定理解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)P作，先由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，再證明是等腰直角三角形，再求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

四邊形是正方形，，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，是的半徑，是的切線(xiàn)；（2）解：過(guò)點(diǎn)P作，

平分，，，四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓的切線(xiàn)的判定，角平分線(xiàn)的性質(zhì)及正方形性質(zhì)，連接經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解決此類(lèi)問(wèn)題常添加的輔助線(xiàn)．4．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】此題重點(diǎn)考查等膘三角形的判定與性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的判定、垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．（1）因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，所以，由，得，推導(dǎo)出，而，所以，則，求得，即可證明是的切線(xiàn)；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由是的直徑，得，可證明，則，所以垂直平分，則，所以為等腰三角形；（3）作于點(diǎn)，可證明四邊形和四邊形都是矩形，則，所以，而，由勾股定理得，則，，求得，，所以．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，，，，，，，，，是的半徑，且，是的切線(xiàn)．（2）證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，是的直徑，，，，，，，垂直平分，，為等腰三角形．（3）解：作于點(diǎn)，則，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，，，，，，的長(zhǎng)為．5．(1)見(jiàn)解析(2)12【分析】本題考查的是切線(xiàn)的判定、勾股定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)得出，證明，得出，即可證明．（2）在中根據(jù)勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)E，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵是的半徑，且，∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)．（2）解：∵，且，，，∴，解得：，∴，∴的長(zhǎng)為12．6．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）證明，則，由是的半徑即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求出，證明，求出，再證明，求出，由，代入即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵為的直徑∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，∴．∵是的半徑，∴是的切線(xiàn)；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握切線(xiàn)的判定定理是解題的關(guān)鍵．7．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，求出，然后由直徑得到是的切線(xiàn)；（2）連接，首先得到，然后由得到，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，．，．又為的直徑，是的切線(xiàn)．（2）證明：如圖1，連接，，是的直徑，，，，即．又，．四邊形是菱形，，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與四邊形綜合題，切線(xiàn)的判定，圓周角定理，菱形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，證明，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，根據(jù)切線(xiàn)的判定定理證明即可；（2）根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，掌握經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．9．(1)見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，則可證明，然后根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出，最后根據(jù)切線(xiàn)的判定即可得證；（2）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出，在中，根據(jù)勾股定理可求出，然后根據(jù)等面積法求出，最后在中根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，則，，，，．于點(diǎn)F，，，即．是的半徑，是的切線(xiàn)．（2）解：如圖，連接．是的直徑，，即．，的半徑為5，．在中，由勾股定理，得．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與等腰三角形．正確引出輔助線(xiàn)，熟練掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角，等腰三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的判定，勾股定理，面積法求三角形的高是解題的關(guān)鍵．10．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了切的判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求弧長(zhǎng)，對(duì)于（1），作，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，即可知，再直角三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)是的半徑可得答案；對(duì)于（2），先求出，再根據(jù)，可得，進(jìn)而求出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式得出答案.【詳解】（1）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)F，，，，，，，是的半徑，是的切線(xiàn)；（2）解：如圖3，連接，，時(shí)，，又，，，的長(zhǎng)為．11．(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）連接，由為的直徑，可得，再證明，結(jié)合已知，可得，從而得出結(jié)論；（2）過(guò)C作于M，連接，利用的面積為求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，證明，得到，即可得出的長(zhǎng)；（3）過(guò)C作于M，過(guò)E作于H，連接，根據(jù)垂直得到，從而得到，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，設(shè)，則，由可得：，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：連接，如圖：為的直徑，，，，又，，即，，是的切線(xiàn)；（2）過(guò)C作于M，連接，如圖：的半徑，，的面積為，，即，，在中，，，，即，；（3）過(guò)C作于M，過(guò)E作于H，連接，如圖：，由（2）知，中，設(shè)，則，由可得：解得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合知識(shí)，涉及切線(xiàn)的判定、三角形面積、三角形全等及相似的判定和性質(zhì)、勾股定理等，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似或全等三角形．12．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角并結(jié)合已知可得出，則可證明，再關(guān)鍵平行線(xiàn)的性質(zhì)得出，最后根據(jù)切線(xiàn)的判定即可得證；（2）根據(jù)圓周角定理求出，證明是等邊三角形，得出，在中，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，，，，，，，，又∵為半徑，∴是的切線(xiàn)；（2）解：連接，如圖，，，，為等邊三角形，，由（1）得，，，，∴弧的長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確添加輔助線(xiàn)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接連接，由，，得，則，所以，即可證明是的切線(xiàn)；（2）連接連接，可證明四邊形是正方形，則，設(shè)，則，由勾股定理得，求得半徑r即可．【詳解】（1）證明：連接，則．．，．．．，．．是的半徑，且，是的切線(xiàn)．（2）解：連接，與相切于點(diǎn)，．．四邊形是矩形，．四邊形是正方形．．設(shè)，，．．．解得（不符合題意，舍去）．故的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)，正確地作出所需要的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．14．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，可證明是的垂直平分線(xiàn)，從而得出，進(jìn)而證明，可得到，進(jìn)一步得出結(jié)果；（2）可證明，進(jìn)而得出，在中求出，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵是的切線(xiàn)，∴．∵是的直徑，∴．∵，∴．∵，∴，∴是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，∴．∵，∴，∴，∵點(diǎn)C在⊙O上，∴是的切線(xiàn)．（2）解：由（1）得：，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，，∴，，∴，∴∴．【點(diǎn)晴】本題考查了圓周角定理及其推論，切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．15．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（）連接，由是的中點(diǎn)，可推導(dǎo)出垂直平分，進(jìn)而得到，由得到，又根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得，結(jié)合平分即可得到，即可求證；（）由垂直平分得到，