青島第二中學(xué)2025年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題4月開學(xué)考試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的定義域為，且，當時，.若，則函數(shù)在上的最大值為（）A．4 B．6 C．3 D．82．地球上的風(fēng)能取之不盡，用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源，也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電，近10年來，全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機容量連年攀升，中國更是發(fā)展迅猛，2014年累計裝機容量就突破了，達到，中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟，在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔當與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機容量與中國新增裝機容量圖.根據(jù)所給信息，正確的統(tǒng)計結(jié)論是（）A．截止到2015年中國累計裝機容量達到峰值B．10年來全球新增裝機容量連年攀升C．10年來中國新增裝機容量平均超過D．截止到2015年中國累計裝機容量在全球累計裝機容量中占比超過3．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線4．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（）A．2，0 B．2， C．2， D．2，7．已知函數(shù)，若恒成立，則滿足條件的的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知函數(shù)的最小正周期為的圖象向左平移個單位長度后關(guān)于軸對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為()A． B．C． D．9．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，（）A． B． C． D．10．下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（）A．正方體 B．球體C．圓錐 D．長寬高互不相等的長方體11．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．12．已知函數(shù)，其中表示不超過的最大正整數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的值域是 B．是奇函數(shù)C．是周期函數(shù) D．是增函數(shù)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正方體中，分別為棱的中點，則直線與直線所成角的正切值為_________.14．（5分）已知函數(shù)，則不等式的解集為____________．15．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．16．已知實數(shù)，滿足，則的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，其中．（Ⅰ）當為偶函數(shù)時，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求的取值范圍．18．（12分）已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.（Ⅰ）若，求曲線的方程；（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.19．（12分）如圖：在中，，，.（1）求角；（2）設(shè)為的中點，求中線的長.20．（12分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系；曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1，曲線C2的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）.（Ⅰ）求曲線C1和C2的極坐標方程：（Ⅱ）設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A，B兩點，求|AB|的值．21．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項和.若對恒成立，求實數(shù)，的值.22．（10分）已知數(shù)列的前n項和，是等差數(shù)列，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算，可得；利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性，由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，則；任取，且，則，故，令，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，令，，故，故函數(shù)在上的最大值為4.故選：A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.2、D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機容量，再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比，即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計裝機容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計裝機裝機容量逐年遞增，A錯誤；全球新增裝機容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢，B錯誤；經(jīng)計算，10年來中國新增裝機容量平均每年為，選項C錯誤；截止到2015年中國累計裝機容量，全球累計裝機容量，占比為，選項D正確.故選：D【點睛】本題考查條形圖，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因為，所以平面，故A正確.因為，所以，所以平面故B正確.因為，所以平面，故D正確.因為與相交，所以與平面相交，故C錯誤.故選：C【點睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.4、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2，所以，故選：【點睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計算，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.5、B【解析】

化簡復(fù)數(shù)為的形式，然后判斷復(fù)數(shù)的對應(yīng)點所在象限，即可求得答案.【詳解】對應(yīng)的點的坐標為在第二象限故選：B.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期，根據(jù)周期公式求出，求出，根據(jù)函數(shù)的圖象過點，求出，即可求得答案【詳解】由函數(shù)圖象可知：，函數(shù)的圖象過點，，則故選【點睛】本題主要考查的是的圖像的運用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數(shù)的周期、最值，代入已知點坐標求出結(jié)果7、C【解析】

由不等式恒成立問題分類討論：①當，②當，③當，考查方程的解的個數(shù)，綜合①②③得解．【詳解】①當時，，滿足題意，②當時，，，，，故不恒成立，③當時，設(shè)，，令，得，，得，下面考查方程的解的個數(shù)，設(shè)（a），則（a）由導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用可得：（a）在為減函數(shù)，在，為增函數(shù)，則（a），即有一解，又，均為增函數(shù)，所以存在1個使得成立，綜合①②③得：滿足條件的的個數(shù)是2個，故選：．【點睛】本題考查了不等式恒成立問題及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的解得個數(shù)，重點考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬難度較大的題型.8、D【解析】

先由函數(shù)的周期和圖象的平移后的函數(shù)的圖象性質(zhì)得出函數(shù)的解析式，從而得出的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可得選項.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，即，所以，的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為，由于其圖象關(guān)于軸對稱，所以，又，所以，所以，所以，因為的遞增區(qū)間是：，，由，，得：，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性，圖象的平移，在進行圖象的平移時，注意自變量的系數(shù)，屬于中檔題.9、B【解析】

利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得出，進而可得出結(jié)果.【詳解】，所以，.故選：B.【點睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求概率，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

根據(jù)基本幾何體的三視圖確定．【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形．故選：C．【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵．11、B【解析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.12、C【解析】

根據(jù)表示不超過的最大正整數(shù)，可構(gòu)建函數(shù)圖象，即可分別判斷值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性，進而下結(jié)論.【詳解】由表示不超過的最大正整數(shù)，其函數(shù)圖象為選項A，函數(shù)，故錯誤；選項B，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項C，函數(shù)是以1為周期的周期函數(shù)，故正確；選項D，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，但在整個定義域范圍上不具備單調(diào)性，故錯誤.故選：C【點睛】本題考查對題干的理解，屬于函數(shù)新定義問題，可作出圖象分析性質(zhì)，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由中位線定理和正方體性質(zhì)得，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得．【詳解】如圖，連接，，，∵分別為棱的中點，∴，又正方體中，即是平行四邊形，∴，∴，（或其補角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，∴＝60°，其正切值為．故答案為：．【點睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角．14、【解析】

易知函數(shù)的定義域為，且，則是上的偶函數(shù)．由于在上單調(diào)遞增，而在上也單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，故知在上單調(diào)遞增．令，知，則不等式可化為，即，可得，又，是偶函數(shù)，可得，由在上單調(diào)遞增，可得，則，解得，故不等式的解集為．15、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當t＞1時，S′＞0，當0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)理解為點與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求得.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下所示：因為可以理解為點與構(gòu)成直線的斜率，數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當目標函數(shù)過點時，斜率取得最大值，故的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查目標函數(shù)為斜率型的規(guī)劃問題，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）極小值，極大值；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）根據(jù)偶函數(shù)定義列方程，解得.再求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變化規(guī)律，即得極值，（Ⅱ）先分離變量，轉(zhuǎn)化研究函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性與圖象，最后根據(jù)圖象確定滿足條件的的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由函數(shù)是偶函數(shù)，得，即對于任意實數(shù)都成立，所以.此時，則.由，解得.當x變化時，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以有極小值，有極大值.（Ⅱ）由，得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線，有且只有兩個公共點”.對函數(shù)求導(dǎo)，得.由，解得，.當x變化時，與的變化情況如下表所示：00↘極小值↗極大值↘所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.又因為，，，，所以當或時，直線與曲線，有且只有兩個公共點.即當或時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.18、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)設(shè)點，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用，根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式，證明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，且，設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面釈計算公式、基本不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(Ⅰ)由題意：，，解得，則曲線的方程為：和.(Ⅱ)證明：由題意曲線的漸近線為：，設(shè)直線，則聯(lián)立，得，，解得：，又由數(shù)形結(jié)合知.設(shè)點，則，，，，，即點在直線上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲線，點，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，得：，，設(shè)，，，，面積，令，，當且僅當，即時等號成立，所以面積的最大值為.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓的相交問題、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理論證能力與運算求解能力，屬于難題.19、（1）；（2）【解析】

（1）通過求出的值，利用正弦定理求出即可得角；（2）根據(jù)求出的值，由正弦定理求出邊，最后在中由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴.由正弦定理，即.得，∵，∴為鈍角，為銳角，故.（2）∵，∴.由正弦定理得，即得.在中由余弦定理得：，∴.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角函數(shù)知識的運用，屬于中檔題.20、（Ⅰ），;（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)，可得曲線C1的極坐標方程，然后先計算曲線C2的普通方程，最后根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式，可得結(jié)果.（Ⅱ）將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標方程聯(lián)立，可得A，B的極坐標，然后簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由所以曲線的極坐標方程為，曲線的普通方程為則曲線