高級微觀經濟理論AdvancedMicroeconomicTheoryGeoffreyA.JehlePhilipJ.Reny課案簡介底本編寫者：夏紀軍Email：網頁：財大主頁公共信息教師主頁修訂者：許文彬Email：hsuwenbin@1632課程簡介教材：G.A.Jehle&P.Reny

AdvancedMicroeconomicTheory參考書：H.R.Varian

MicroeconomicAnalysisA.Mas-Colell,M.D.Whinston&J.R.GreenMicroeconomicTheory

3Ch0.導論主流經濟學的分析框架四個分析層次經濟環(huán)境個體行為分析最優(yōu)化原那么個體互動結果均衡分析福利分析5微觀經濟學的演變古典經濟學邊際革命〔1870年代，門格爾，瓦爾拉斯，杰文斯〕6微觀經濟學的演變古典經濟學的核心是初創(chuàng)于李嘉圖，綜合于穆勒的生產本錢價值論。在很大的意義上，馬克思的勞動價值論和剩余價值論同樣歸屬于這一體系。邊際革命的意義在于力圖把經濟理論建立在主觀意義之上，納入主觀心理的范疇。邊際主義者認為，經濟學應該是研究享樂并使其最大化的科學；消費是實現(xiàn)和追求享樂的直接領域，因此消費才是經濟學研究的根底和出發(fā)點。而消費又是通過個人的行為得以實現(xiàn)的，個人是消費的主體，于是，個人的消費行為被視為研究的重點。分析個人消費心理成為經濟分析的根本出發(fā)點和理論支點。7微觀經濟學的演變邊際主義者宣稱，效用是人對物品滿足自己欲望的一種估價，它純粹是一種主觀現(xiàn)象，決不存在于人的意識之外。物品的一大特性是其稀缺性，任何物品的供給存在確定上限。效用和稀缺性結合，就產生了價值現(xiàn)象。所謂價值，就是人對物品主觀效用的評價，它顯然也是純粹的主觀現(xiàn)象。8微觀經濟學的演變門格爾在經濟學的研究方法上，強調以抽象演繹法為主，輔以經驗歸納法。這一主張是以成認經濟規(guī)律的存在和能夠被認識為前提的。杰文斯和瓦爾拉斯主張并實際進行了將數(shù)學方法引入經濟學的嘗試，成為數(shù)理經濟學的先驅。二者對此后經濟學方法論的開展起到了極其深遠的影響。9微觀經濟學的演變邊際革命的擴展：〔1〕對邊際效用價值論的深化和通俗化〔2〕從基數(shù)效用論轉向序數(shù)效用論〔3〕邊際生產力論的完成〔4〕對包括邊際效用論和邊際生產力論在內的整個邊際主義的不同形式的綜合闡述。對邊際革命不同方向的擴展形成了不同的學派，瑞典洛桑學派、奧地利學派，以及所謂新古典經濟學派，都是對邊際革命的不同方向的擴展結果。10微觀經濟學的演變邊際主義學說與原本它要反對的英國古典學派傳統(tǒng)的融合，最終形成了新古典經濟學。這使邊際主義從異端走向正宗，新古典經濟學也成為近現(xiàn)代西方經濟學的主流學派。這一學派的創(chuàng)始者是馬歇爾〔1890，?經濟學原理?〕。馬歇爾的理論將價值論和供求論統(tǒng)一起來，提出“供求均衡價值論〞，從而使原本針鋒相對的古典經濟學和邊際主義理論相互融合，并以此為軸線建立起自己的學說體系。馬歇爾的理論體系直到1930年代受到來自于凱恩斯的挑戰(zhàn)，二戰(zhàn)后，凱恩斯主義局部取代了馬歇爾理論中關于宏觀的方面，從而使得新古典經濟學在當代條件下采取了微觀經濟學的形式。11微觀經濟學的演變薩繆爾森根本上全盤繼承了馬歇爾的理論體系，并吸收了凱恩斯關于有效需求的論述，從而建立起現(xiàn)代微觀經濟學的理論體系。如果說邊際主義革命是現(xiàn)代主流經濟學的肇始的話，那么，博弈論的興起和迅猛開展，就是微觀經濟學“二次革命〞的契機。博弈論的興起，“正在改寫著微觀經濟學〞。12微觀經濟學的演變門格爾龐巴維克維塞爾杰文斯維斯蒂德瓦爾拉斯帕累托奧地利學派洛桑學派古典經濟學馬歇爾薩繆爾森新古典經濟學邊際革命13數(shù)學與經濟學提高經濟學爭論的效率，加速理論的創(chuàng)新。形成統(tǒng)一的知識體系，便于交流、傳承，以及知識的積累。14數(shù)學根底〔一〕集合

實數(shù)集n維歐氏空間iffxi>yi,i=1,2,…,n15數(shù)學根底〔一〕ConvexsetsinRn

isaconvexsetifforallwehave

如果一個集合包含了該集合中每對點的所有凸組合，它才是凸的。當且僅當我們可把集合內的兩點用一條直線連接，該連接線又完全處在集合內的情況下，這一集合才是凸的。16數(shù)學根底〔一〕:binaryrelationbetweenSandTAnycollectionoforderedpairss與t存在特定關系或17數(shù)學根底〔一〕Completeness〔完備性〕ArelationonSiscompleteif,forallelementsx,yinS,Transitivity（傳遞性）ArelationonSistransitiveif,foranythreeelementsx,y,zinS,implies。18數(shù)學根底〔一〕度量與度量空間歐氏空間歐氏度量：19數(shù)學根底〔一〕開鄰域閉鄰域20數(shù)學根底〔一〕例1：在R1上的鄰域

21數(shù)學根底〔一〕上的鄰域：22數(shù)學根底〔一〕開集如果，都使，那么是上的開集。23數(shù)學根底〔一〕閉集S如果S的補集Sc是開集，那么S是閉集。24數(shù)學根底〔一〕定理：一個集合是一個閉集，當且僅當，對所有的序列，如果對任意的m有，那么，就有。25數(shù)學根底〔一〕BoundedSets〔有界集〕AsetSinRniscalledboundedifitisentirelycontainedwithinsomeThatis,26數(shù)學根底〔一〕upperandlowerboundofSinRupperbound:u最小上界：上確界〔l.u.b.〕lowerbound:l最大下界：下確界〔g.l.b.〕27數(shù)學根底〔一〕定理1.5：實數(shù)子集的上界與下界1、有界開集不包含上、下確界；2、有界閉集包含上、下確界。28數(shù)學根底〔一〕Compactset〔緊集〕有界閉集29Ch1消費者理論1.消費者理論消費集偏好關系與效用函數(shù)消費者問題間接效用函數(shù)與支出函數(shù)需求函數(shù)性質311.1消費集商品i及其數(shù)量種類有限性數(shù)量無限可分消費組合（束）321.1消費集商品定義時點:

今天的面包VS昨天的面包地點:

上海的面包與北京的面包狀態(tài):生產期為1天的面包與生產期為2天的面包331.1消費集例：跨期消費決策兩種商品：第一期消費第二期消費341.1消費集消費集：消費者可以想象自己可能消費的各種消費組合的集合?！从匙匀坏募s束以及消費者關于商品的信息351.1消費集休閑時間24面包·自然約束(physicalconstraint)：總量約束(i)361.1消費集132汽車汽油(ii)·自然約束(physicalconstraint)：單位約束371.1消費集更具一般性的消費集381.1消費集消費集根本假設Nonempty：isclosed凸性(convex)

391.1消費集可行集B在給定環(huán)境約束下，所有消費者實際上可以選擇的消費束。401.2偏好與效用如何描述消費者的偏好？Betham：效用可度量、可比較Jevons等：邊際效用遞減法那么需求規(guī)律——基數(shù)效用論411.2偏好與效用序數(shù)效用論Pareto(1896)、Slutsky〔1915〕Hicks〔1939〕:ValueandCapitalDebru〔1959〕:TheoryofValue——公理化方法421.2偏好與效用理性假設theconsumercanchoose能夠判斷自己喜歡什么andchoicesareconsistent自己的偏好具有一致性431.2.1偏好關系二元關系(binaryrelation):如果，有,那么至少與一樣好。讀作：偏好于。441.2.1偏好關系偏好公理1：完備性

偏好公理2：傳遞性

451.2.1偏好關系定義1.1：如果在消費集上的二元關系滿足公理1和2，那么我們稱它為偏好關系。461.2.1偏好關系定義1.2：strictpreferencerelation而且讀作：嚴格偏好于

定義1.3：indifferencerelation而且讀作：與無差異471.2.1偏好關系消費集的分劃弱偏好集：嚴格偏好集：無差異集：481.2.1偏好關系消費集的分劃491.2.1偏好關系公理3：連續(xù)性,如果都有而且有和，那么就有和是閉集。連續(xù)定理：501.2.1偏好關系511.2.1偏好關系例1：字典序偏好設，如果

或，并且如：奧運會金牌榜521.2.1偏好關系證明：字典序偏好不連續(xù)(反證法)連續(xù)性假設：該偏好關系具有連續(xù)性假設不成立（1）——與結論(1)矛盾531.2.1偏好關系公理:局部非飽和性,,使得?！偞嬖诟倪M福利的可能性541.2.1偏好關系X1不滿足公理55局部非飽和性

無差異集合是一條曲線，

不存在無差異區(qū)域。1.2.1偏好關系56X3〔好的〕商品越多越好??！X2571.2.1偏好關系公理4：嚴格單調性，如果有那么有，如果有，那么有嚴格單調性局部非飽和性58X2X3X11.2.1偏好關系無差異曲線斜率為負嚴格單調性591.2.1偏好關系公理：凸性如果，那么60X2X1Xt1.2.1偏好關系611.2.1偏好關系公理5：嚴格凸性如果和，那么621.2.1偏好關系X1Xt嚴格單調、凸性偏好凸向原點的無差異曲線63

X1Xt嚴格單調、嚴格凸性偏好嚴格凸向原點的無差異曲線1.2.1偏好關系641.2.1偏好關系邊際替代率無差異曲線的斜率凸偏好邊際替代率非遞增嚴格凸偏好邊際替代率遞減65Ch1.2.2效用函數(shù)數(shù)學根底：函數(shù)連續(xù)性如果定義域的一個“微小運動〞并不導致值域的“大跳躍〞，那么，函數(shù)根本上可以判斷是連續(xù)的。嚴格定義：PP427R到R的函數(shù)的連續(xù)性概念可以推廣到兩個度量空間之間的函數(shù)中。函數(shù)67數(shù)學根底：函數(shù)連續(xù)性〔Cauchy〕在此定義中，函數(shù)的定義域不再在R中取值，而只是在R的一個子集中取值。68數(shù)學根底：函數(shù)象與原象〔inverseimage〕

連續(xù)性與原象〔定理A1-6〕69數(shù)學根底：函數(shù)定理A1.7：連續(xù)函數(shù)在緊集上的象〔image)是緊集70數(shù)學根底：函數(shù)極值存在性定理〔Weierstrass〕證明：根據(jù)定理A1-7，f〔x〕在R上是一個緊集，所以f〔x〕是閉且有界的，令a為其上確界，那么a是f〔x〕的極限點；又因為f〔x〕是閉的，所以a屬于f〔x〕，即在S中存在某點xd，使得f〔xd〕=a。71數(shù)學根底：多變量函數(shù)的微分梯度(gradient)：一階微分：二階微分：〔海賽矩陣〕72數(shù)學根底：矩陣定義：

N×N矩陣M，如果都有半負定矩陣的特點是其每個特征值都是0或負數(shù)；負定矩陣的特點是其每個特征值都是負數(shù)。那么，稱M是半負定矩陣；如果不等號嚴格成立，那么稱M為負定矩陣。73數(shù)學根底：擬凹函數(shù)定義域是凸集的函數(shù)，若其任一上等值集（Superiorset,定義域中使函數(shù)值不小于某值的子集）是凸集，則該函數(shù)是擬凹的。74數(shù)學根底：擬凹函數(shù)證明：充分性定理

f(x)是擬凹函數(shù)75數(shù)學根底：擬凹函數(shù)必要性：

S(y)是凸集76數(shù)學根底：擬凹函數(shù)77數(shù)學根底：擬凹函數(shù)定理：連續(xù)可微函數(shù)f,以下三個命題等價：1、f是凹的，2、對于D中所有x，H〔x〕是負半定的，3、對于一切x0屬于D，781.2.2效用函數(shù)定義1.5：實值函數(shù)u:R??

R是表示偏好關系的效用函數(shù)，如果存在性唯一性791.2.2.1效用函數(shù)存在性定理1.1(P14)：代表偏好關系的實值函數(shù)的存在性定義在的偏好關系滿足連續(xù)性和嚴格單調性，那么就存在一個連續(xù)的實值函數(shù)表示.。801.2.2.1效用函數(shù)存在性定理1.1證明思路先構造一個實值函數(shù)然后證明它滿足效用函數(shù)的條件81I、效用函數(shù)的構造0連續(xù)性

是非空閉集(上一講公理3)82I、效用函數(shù)的構造嚴格單調性那么都有

如果

那么都有

如果

完備性

〔A是有下界閉集〕〔B是有界閉集〕83I、效用函數(shù)的構造而且是唯一的。因為：假設〔嚴格單調性〕〔傳遞性〕

存在唯一的使得84I、效用函數(shù)的構造0u(x)e~x85至此我們證明出，對于每個x屬于R，正好存在一個函數(shù)u〔x〕，使得u(x)e~x。到此為止,我們構造了一個效用函數(shù),它給X中的每一消費束分配一個數(shù)字。以下我們將說明這一效用函數(shù)代表偏好關系。86II、是效用函數(shù)由式得到〔傳遞性〕〔嚴格單調性〕——u(x)是表示偏好關系效用函數(shù)87III、是連續(xù)函數(shù)效用函數(shù)u(x)在開區(qū)間(a,b)上的逆映射(原象)〔定義〕〔單調性〕〔傳遞性〕是開集（因為的補集是閉集）88III、是連續(xù)函數(shù)定理A1.6：〔P429〕連續(xù)是開集，在任意開集的逆映射在是開集連續(xù)891.2.2.2效用函數(shù)的唯一性正單調變化其中在的取值范圍上是嚴格遞增函數(shù)。901.2.2.2效用函數(shù)的唯一性定理1.2：效用函數(shù)對正單調變化的不變性實值函數(shù)u(x)能夠表示偏好關系，那么，當且僅當v(x)是u(x)的正單調變換,v(x)也能夠表示該偏好關系。911.2.2.2效用函數(shù)的唯一性設表示的是偏好關系的結構。

92效用函數(shù)與無差異曲線無差異集：1.2.2.3效用函數(shù)的性質93上等值集(SuperiorSet)【嚴格上等值集】1.2.2.3效用函數(shù)的性質941.2.2.3效用函數(shù)的性質

嚴格遞增嚴格單調951.2.2.3效用函數(shù)的性質

擬凹具有凸性嚴格擬凹具有嚴格凸性

961.2.2.3效用函數(shù)的性質處處具有可導性無差異曲線光滑〔smooth〕無差異關系是XⅹX上的光滑流形。邊際效用〔偏好單調性〕〔偏好嚴格單調性〕【幾乎處處成立】971.2.2.3效用函數(shù)的性質是凹函數(shù)擬凹邊際效用遞減981.2.2.3效用函數(shù)性質海塞矩陣滿足本章PPT，P13凹991.2.2.4效用函數(shù)實例2X1X12X0X0位似偏好(homotheticpreference)1001.2.2.4效用函數(shù)實例位似偏好效用函數(shù)如果是位似偏好，那么就可以用一個一次齊次效用函數(shù)來表示。位似偏好：證明：1011.2.2.4效用函數(shù)實例位似偏好效用函數(shù)如果是位似偏好，那么就可以用一個一次齊次函數(shù)的正單調變換來表示。1021.2.2.4效用函數(shù)實例擬線性偏好(quasilinearpreference)偏好關系是相對于商品1的擬線性偏好，如果~~其中1031.2.2效用函數(shù)實例擬線性偏好效用函數(shù)1041.2.2效用函數(shù)實例CES〔constantelasticityofsubstitution〕效用函數(shù)105作業(yè)2：1.12、1.13、1.14、1.15106Ch1.3消費者問題Ch1.3消費者選擇問題最優(yōu)解的性質最優(yōu)解的充分必要條件108數(shù)學根底約束最優(yōu)化求解：拉格朗日方法受約束于可構造拉格朗日函數(shù)，用無拘束三變量函數(shù)替代兩變量函數(shù)：

109拉格朗日定理〔定理A2-16〕設f〔x〕與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實值函數(shù)。設x*是D的一個內點并且x*是f的一個最優(yōu)值點〔最大值或最小值〕；f受到的約束，如果梯度向量是線性獨立的，那么總會存在m個不同的數(shù)使得110定理A2-19受非負性條件約束的實值函數(shù)最優(yōu)化的必要條件：設f(x)是連續(xù)可微的1.如果在的約束下,x*最大化了f(x),那么x*滿足:

111定理A2-19,續(xù)2.如果在的約束下,x*最小化了f(x),那么x*滿足:112Kuhn-Tucker條件〔定理A2-20〕受不等式條件約束的實值函數(shù)最優(yōu)化的〔Kuhn-Tucker〕必要條件設f〔x〕與是一些定義域在上的連續(xù)可微的實值函數(shù)。設x*是D的一個內點并且x*受到條件約束的f的最優(yōu)解〔最大值或最小值解〕。如果與所有束緊約束相關的梯度向量是線性獨立的，那么必存在唯一的向量使得〔x*，〕滿足Kuhn-Tucker條件：113Ch1.3消費者選擇問題分析框架偏好關系：消費集：可行集：最優(yōu)化選擇：114Ch1.3消費者選擇問題假設1.2消費者偏好具有完備性、可傳遞性、連續(xù)性和嚴格單調性。消費者的效用可以由一連續(xù)、嚴格遞增的擬凹實值函數(shù)表示。形式理性115Ch1.3消費者選擇問題可行集預算行動規(guī)那么制度、政府規(guī)制等交易規(guī)那么：完全競爭性市場可行集：116Ch1.3消費者選擇問題例：跨期消費選擇117Ch1.3消費者選擇問題收入：利率：例：跨期消費選擇預算約束：〔未來值形式〕118Ch1.3消費者選擇問題借不到錢貸款利率rc存款利率rs<119Ch1.3消費者選擇問題消費者問題120Ch1.3.1解的性質：存在性如果定義域D是一個緊集，那么連續(xù)實值函數(shù)u(x)那么存在最大值。是上的連續(xù)函數(shù)非空是有界、閉集是緊集存在最大值滿足假設1.2

121Ch1.3.1解的性質：唯一性如果偏好關系滿足嚴格凸性，可行集B是凸集，那么最優(yōu)解唯一證明：是凸集

是嚴格擬凹函數(shù)

——與假設矛盾假設不成立解是唯一的122Ch1.3.1解的性質：唯一性非凸偏好x1x2123Ch1.3.1解的性質：唯一性非嚴格凸偏好x1x2124Ch1.3.1解的性質：瓦爾拉斯法那么瓦爾拉斯法那么偏好的遞增性當且僅當滿足以下條件時效用函數(shù)取到最大值：125Ch1.3.1解的性質偏好的理性、連續(xù)性偏好的嚴格凸性偏好的遞增性效用最大化問題的解就是馬歇爾需求函數(shù)。存在性唯一性瓦爾拉斯法那么——馬歇爾需求函數(shù)126Ch1.3.2解的充要條件偏好具有良好性質，可導127解的充要條件I、II、III、根據(jù)Kuhn-Tucker條件128Ch1.3.2解的充要條件偏好的嚴格單調性（幾乎處處成立）內點解必要條件129Ch1.3.2解的充要條件定理1.4：內點解必要條件的充分性如果效用函數(shù)連續(xù)擬凹，在可導，而且，。那么滿足以下必要條件的解一定是消費者的效用最大化解。130Ch1.3.2解的充要條件擬凹設有：證明131Ch1.3.2解的充要條件假設不是消費者的效用最大化選擇,即連續(xù)性——與u(x)擬凹性矛盾132Ch1.3.2解的充要條件定理1.5：需求函數(shù)的可微性設為在下消費者的最優(yōu)選擇。如果有

在點上的加邊海塞矩陣的秩不等于0。是上的二階連續(xù)可微函數(shù)在可微。那么133例134角點解如果那么最優(yōu)解位于可行集的角上135角點解擬線性偏好136角點解線性偏好2442x1137角點解138角點解1、2、139角點解3、140作業(yè)31.20、1.22、1.23、1.24、1.25、1.26、1.27141Ch1.4間接效用與支出數(shù)學根底值函數(shù)〔Valuefunction〕MP：143最大化定理如果目標函數(shù)與約束條件關于參數(shù)是連續(xù)的,并且如果定義域是一個緊集,那么,M(a)與x(a)是參數(shù)a的連續(xù)函數(shù).進一步,如果目標函數(shù),約束條件與解均對參數(shù)可微,那么有包絡定理.144包絡定理〔定理A2.21〕〔MP〕中，如果f(·),g(·)對a連續(xù)可微，并且對任意a,x(a)>>0是MP的唯一解，而且對a可微。為該問題的拉格朗日函數(shù)，是滿足kuhn-Tucker條件的解。那么有

〔等式右邊表示拉格朗日函數(shù)關于參數(shù)aj的偏導數(shù)，它在點〔x(a)，(a)〕處取值〕145包絡定理的含義定理說明了如下情況：當參數(shù)發(fā)生變化時〔并且假設因此變化而使整個最優(yōu)化問題被重新賦值〕，它對目標函數(shù)最優(yōu)化值產生的總效應可用如下方式來推導：給拉格朗日函數(shù)求參數(shù)的偏導數(shù)，并接著可在原問題的一階庫恩-塔克條件的解處給該導數(shù)取值。證明：略1461.4.1間接效用函數(shù)1471.4.1間接效用函數(shù)定義在消費集上的效用函數(shù)直接效用函數(shù)u(x)定義在(p,y)上的函數(shù)間接效用函數(shù)v(p,y)——當價格、收入變化時，消費者福利會發(fā)生怎樣的變化？1481.4.1間接效用函數(shù)性質1：在上連續(xù)最大化定理約束函數(shù)是p,y的連續(xù)函數(shù)性質2：是(p,y)的0次齊次函數(shù)1491.4.1間接效用函數(shù)性質3、4：是y的嚴格遞增函數(shù)，p的遞減函數(shù)。證明：構建拉格朗日函數(shù)令為最大化問題的解，那么根據(jù)拉格朗日定理得出存在一個使得下式成立：

易得>0150性質3、4根據(jù)包絡定理,因此v(p,y)關于y是遞增的.同樣根據(jù)包絡定理有:因此v(p,y)關于p是遞減的.1511.4.1間接效用函數(shù)性質5：是(p,y)的擬凸函數(shù)擬凸令1521.4.1間接效用函數(shù)假設不成立，那么即—與矛盾153性質6:Roy恒等式：消費者對物品i的馬歇爾需求只是間接效用函數(shù)關于pi的偏導數(shù)與其關于y的偏導數(shù)的比率的負數(shù)。根據(jù)包絡定理，根據(jù)性質3，有1541.4.1間接效用函數(shù)例1551.4.2支出函數(shù)在給定價格(p1,p2)下，實現(xiàn)效用水平u，至少需要多少預算〔支出〕？ux1x2u(x1,x2)=u等支出線1561.4.2支出函數(shù)支出最小化問題(EMP)——?？怂剐枨蠛瘮?shù)1571.4.2支出函數(shù)希克斯需求函數(shù)xh(p,u)在價格p下，實現(xiàn)效用水平u，支出最小的消費束。158x1x2xh補償需求曲線159Hicksiandemandfunction對于不同的無差異曲線，——對于不同的效用水平，有不同的?？怂剐枨笄€，它們中的每一個的形狀與位置將總是由潛在的偏好所決定。在同一條?？怂剐枨笄€上的每一點，其給消費者帶來的效用都相等。顯然，在給定價格體系p和效用水平U(x)之后，相應的希克斯需求不見得存在，即使存在，也不見得唯一，要使其具有存在性和唯一性，還須運用相應的假設。1601.4.2支出函數(shù)支出最小化問題解的存在性、唯一性支出函數(shù)的性質161存在性定理設消費集合X是向下有界的非空閉集，?是連續(xù)的偏好，那么對任何價格向量及任何，都有〔即?？怂剐枨蠹戏强铡?。因此理性消費者的?？怂剐枨笫谴嬖诘摹?62唯一性定理設消費集X是凸集,?是連續(xù)的嚴格凸偏好,那么對于符合條件e(p,x)>e*(p)的任何價格體系p和消費向量,?？怂剐枨蠹现凶疃嘀挥幸环N消費方案.因此,理性消費者的希克斯需求是唯一的.163存在性定理的證明是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)是閉集164續(xù)

E有下界是閉集2.1.

存在最小值，即165唯一性定理的證明u(x)是嚴格擬凹函數(shù)假設x1,x2都是EMP的最優(yōu)解

u(xt)>up·xt=p·x2=e

存在k<1使得

u(kxt)>u

p·kxt<e如果偏好滿足假設1.2，那么EMP最優(yōu)解唯一證明：u(x)是連續(xù)函數(shù)—與假設矛盾166支出函數(shù)e(p,u)的性質如果u(.)是連續(xù)且嚴格遞增的,那么由最小值函數(shù)定義的e(p,u)那么是:性質1：當效用水平取最低值時，支出函數(shù)值為0。偏好〔嚴格〕遞增性質2：在是連續(xù)函數(shù)(最大化定理)1671.4.2.2支出函數(shù)性質性質3:對,是u的嚴格遞增函數(shù)，而且無上界。證明:假設非嚴格遞增，令u1<u2記x1＝xh(p,u1),x2＝xh(p,u2)——與x1＝xh(p,u1)矛盾1681.4.2.2支出函數(shù)性質性質3：證明〔微分方法：包絡定理〕假設1.而且可微u(·)可微u(·)連續(xù)，嚴格遞增性2.I.1691.4.2.2支出函數(shù)性質根據(jù)拉格朗日定理，必然存在一個λ*，使得：由于u(x)是遞增的,,所以λ*>0根據(jù)包絡定理：性質4：支出函數(shù)是價格的遞增函數(shù)。1701.4.2.2支出函數(shù)性質性質5：價格的一次齊次函數(shù)1711.4.2.2支出函數(shù)性質性質6：是價格的凹函數(shù)證明：1721.4.2.2支出函數(shù)性質性質7:Shephardlemma證明見性質4.1731.4.2.2支出函數(shù)性質例:求與對應的支出函數(shù)解:求拉格朗日函數(shù)的一階條件并消去,得到,于是可得支出函數(shù)1741.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系定義

定義

〔1.17〕〔1.16〕1、2、1751.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系支出最小化→要到達效用u，最小的支出是e(p,u)效用最大化→支出為y時效用最大取值為u→支出為y時總能實現(xiàn)效用u→y最小支出e(p,u)效用最大化→在支出為y的條件下能到達的最大效用是u支出最小化→實現(xiàn)效用u的最小開支取值為e(p,u)→當開支取值為e時總能實現(xiàn)u→開支取值為e(p,u)時帶來的效用v(p,y)u1761.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系定理1.8：假設連續(xù)且嚴格遞增，如果和分別是消費者的間接效用函數(shù)和支出函數(shù)，那么，對有：

1771.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系

假設e(·)連續(xù)性(1.17)

這是不可能的證明：v(·)是y的嚴格遞增函數(shù)1781.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系

〔1.17〕:假設證明：v(·)連續(xù)

這是不可能的1791.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系定理1.9：馬歇爾需求與希克斯需求的對偶性在假設1.2下，對于所有有:

1801.4.3間接效用與支出函數(shù)的關系

證明：定理1.8

181對偶性的內涵從外表上看,效用最大化的馬歇爾需求沒有考慮支出最小化的問題,支出最小化的?？怂剐枨鬀]有考慮效用最大化的問題,但事實并非如此.馬歇爾需求與?？怂剐枨笫腔ハ嘁恢碌?或者說,效用最大化蘊涵著支出最小化,支出最小化也蘊涵著效用最大化.因此,消費最優(yōu)選擇不僅可以看做一個選擇與預算線相切的最高無差異曲線的問題,也可以看做是一個選擇與既定的無差異曲線相切的最低預算線的問題.1821.5需求函數(shù)性質Relativepricesandrealincome.relativepricepricesthegoodbysomeothergood,notmoney.realincomeisthemaximumnumberofunitstheconsumercanconsumeifhespendsallhismoneyincome.1841.5需求函數(shù)的性質定理1.10:0次齊次和預算平衡在假設1.2下x(p,y)是(p,y)的0次齊次函數(shù)x(tp,ty)＝x(p,y)forallt>0滿足預算平衡：p·x(p,y)=y1851.5需求函數(shù)的性質相對價格形式令x(p,y)=x(tp,ty)相對價格：實際收入：對n種商品中每一種商品的需求只依存于n-1個相對價格與消費者的實際收入。1861.5.2收入效應與替代效應?？怂狗纸馓娲?SE)：在保持消費者最大化效用不變前提下，相對價格變化所引起的需求量的變化。收入效應(IE)：總效應(TE)與替代效應的差。TE=SE+IE187x1x2xhTEIESE1.5.2收入效應與替代效應1881.5.2收入效應與替代效應

Slutsky

方程收入效應替代效應189Slutsky方程對偶性

記：對偶性

Shepard引理

190Slutsky方程1911.5.2收入效應與替代效應是p的凹函數(shù)(支出函數(shù)性質6)定理1-12：負的自替代效應Shepard引理

1921.5.2收入效應與替代效應NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoods1931.5.2收入效應與替代效應NormalgoodsinferiorgoodsGiffenGoods194需求規(guī)律定理1-13:正常商品自身價格的下降將導致需求的增加。如果自身價格下降導致需求減少，那么該商品必定是劣質商品。195IncomeandSubstitutioneffects:NormalGoodFood(unitspermonth)OClothing(unitspermonth)RF1SC1AU1Theincomeeffect,EF2,(fromDtoB)keepsrelativepricesconstantbutincreasespurchasingpower.IncomeEffectC2F2TU2BWhenthepriceoffoodfalls,consumptionincreasesbyF1F2

astheconsumermovesfromAtoB.ETotalEffectSubstitutionEffectDThesubstitutioneffect,F1E,(frompointAtoD),changestherelativepricesbutkeepsrealincome(satisfaction)constant.196Food(unitspermonth)ORClothing(unitspermonth)F1SF2TAU1ESubstitutionEffectDTotalEffectSincefoodisaninferiorgood,theincomeeffectisnegative.However,thesubstitutioneffectislargerthantheincomeeffect.BIncomeEffectU2IncomeandSubstitutioneffects:InferiorGood1971.5.2收入效應與替代效應定理1-14:對稱性替代項e(p,u)二次連續(xù)可微

Shepard引理

1981.5.2收入效應與替代效應定理1.15：負半定替代矩陣1991.5.2收入效應與替代效應是p的凹函數(shù)

負半定2001.5.2收入效應與替代效應定理1.16：負半定對稱斯勒茨基矩陣201Application定理1-10和1-16可用于對理論或實證模型進行檢驗.消費者需求滿足齊次性和預算平衡性的要求,以及斯勒茨基矩陣必須是對稱的和負半定的要求,為實際估算馬歇爾需求方程組中參數(shù)的設定規(guī)定了一系列嚴格的限制(當然,在這種情況下,消費者必須是理性的價格接受者).2021.5.3彈性分析收入彈性價格彈性收入份額203消費者需求的加總定理1-17:設x(p,y)是消費者的馬歇爾需求,那么如下關系必須在收入份額,需求的價格彈性與收入彈性間成立:1.Engelaggregation:它說明收入份額加權的收入彈性之和為1.2.Cournotaggregation:它說明加權的自身需求價格彈性與交叉需求價格彈性總可以某種特殊方式加總.204恩格爾加總205古諾加總206Tosumup定理共同給出了一個有關效用最大化行為的邏輯含義的說明:齊次性告訴我們需求必將對等比例的價格與收入的同時變動做出反響,預算平衡性那么要求需求耗盡消費者的收入.斯勒茨基方程告訴我們,針對一般性的價格變化,需求的變化數(shù)量和方向將怎樣(它還考察了那些不可觀測到的需求變化是如何具體影響需求總量,從而使需求量表現(xiàn)為我們最終觀測到的實際變化).最后,加總關系提供了有關需求量如何在整個需求函數(shù)方程組中被“放到一起〞的技巧.207作業(yè)29、38、45、46、50、54、60、62、63208Ch2消費者理論專題數(shù)學根底超平面〔hyperplane〕ahyperplaneisanycodimension-1vectorsubspaceofavectorspace.Equivalently,ahyperplaneVinavectorspaceWisanysubspacesuchthatW/Visone-dimensional.210歐拉定理當且僅當如下式子成立時，f(x)是k次齊次性的:211Ch2對偶性可積性顯示偏好不確定性2122.1對偶性－深入分析偏好EMPUMP2132.1.1支出與偏好

它可能是、也可能不是一個支出函數(shù)。滿足什么條件時是支出函數(shù)？從消費者的支出行為能否復原其偏好關系？在前面一章，我們的支出函數(shù)構造思路是：效用函數(shù)→EMP→支出函數(shù)而在本章我們的思路正相反：支出函數(shù)→效用函數(shù)214定理1.7：支出函數(shù)的性質1.在連續(xù)2.對,是u的嚴格遞增函數(shù)，而且無上界。3.是價格的遞增函數(shù)。4.是價格的凹函數(shù)5.是價格的一次齊次函數(shù)215命題1：〔本節(jié)所要說明的問題〕如果E(p,u)滿足定理1.7：1-5性質，那么它就是某一偏好的支出函數(shù)。換言之，與此支出函數(shù)相對應的效用函數(shù)必然存在。等價提法：能夠構造一個效用函數(shù)u(·)，使得E(p,u)正好是該效用函數(shù)下的支出函數(shù)。思路：構造一個函數(shù)證明它是效用函數(shù)2162.1.1支出與偏好偏好EMPUMP根據(jù)支出行為，能夠恢復其偏好關系217

XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)

表示的是這樣的消費組合集合，它在任何價格水平下都能滿足px>E(p,u0)218XE(p,u0)u0Xu(x)A(u0)A(u1)u1A(u2)u2u*219先構造：A(u):E(p,u)的上等值集然后在A(u)根底上構造u(·)220效用函數(shù)的構造給定令超平面：221效用函數(shù)的構造—p0·x是x的連續(xù)函數(shù)

A(p0,u0)是閉集—p0·x是x的線性函數(shù)所有在價格p0下能夠到達u0的消費束都在A(p0,u0)內，據(jù)此我們有：

A(p0,u0)是凸集A(u0)A(p0,u0)222效用函數(shù)的構造存在一條未知的無差異曲線～(u0)，在價格p0下，剛好與該預算線相切.問題：如何通過A(p0,u0)找出無差異曲線u0？223效用函數(shù)的構造我們可以把在不同價格水平下的所有與該無差異曲線相切的預算線劃出來當p=p1時A(u0)A(p1,u0)224效用函數(shù)的構造無差異集既在A(p0,u0)又在A(p1,u0)，即在它們的交集中。－－所有能夠至少產生效用水平u0的消費組合記為式2-1A(p,u0)是閉集

A(u0)是閉集225效用函數(shù)的構造E(p,u)是u的遞增函數(shù)A(u)的遞增性226效用函數(shù)的構造給定消費組合x，其效用水平？如果那么x至少能夠到達那么x不可能到達記：227定理2.1如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質，A(u)是根據(jù)2.1式定義，那么函數(shù)是與E(p,u)相對應的效用函數(shù),它是一個遞增、無上界的擬凹函數(shù)。228證明：第二步最大值存在

B(x)是有上界非空閉集遞增、無上界、擬凹

——具有效用函數(shù)的性質229是u的連續(xù)函數(shù)最大值存在性是閉集1.1、B(x)是閉集證明：230E(p,u)無上界，是u的遞增函數(shù)

B(x)有上界最大值存在性使得B(x)非空存在上確界1.2、B(x)是存在上界證明231最大值存在性存在上確界閉集具有良好定義232

遞增性233無上界假設存在上界，則一定有上確界都有即我們需要證明證明234給定是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理

是P的凹函數(shù),根據(jù)定理A2.4

無上界證明235設即無上界236擬凹給定記證明237定理2.2如果E(p,u)具有定理1.7的支出函數(shù)的性質，u(x)是根據(jù)定理2.1構造的效用函數(shù)，那么238定理2.2：證明給定設滿足定義

給定239定理2.2：證明是P的一次齊次可微函數(shù)歐拉定理

是P的凹函數(shù)(根據(jù)定理A2-4)

240定理2.2：證明設241結論定理2-1和2-2告訴我們,在任何時刻,我們可寫出滿足定理1-7性質的關于價格與效用的函數(shù),對于滿足一般公理的偏好而言,該函數(shù)將是一個合理的支出函數(shù).我們可由一個直接效用函數(shù)出發(fā),通過求解適宜的最優(yōu)化問題以求出?？怂剐枨蠡蝰R歇爾需求函數(shù);也可由一個支出函數(shù)出發(fā),經由相反的路線及簡單積分的方法來獲得消費者需求方程.而后者在真實世界里實用性更強.2422.1.2凸性與單調性凸性、單調性假設是對個人偏好很強的假設，如果需求理論需要依賴很強的假設，那么無疑會限制該理論的應用。——是經濟學的一塊心病2432.1.2凸性與單調性244構造的凸化和單調化偏好連續(xù)具有良好定義,而且連續(xù)

——遞增、擬凹〔定理2.1的證明〕根據(jù)構造函數(shù):245與關系

246〔擬凹〕:凸集

與關系

247I、如果是遞增的擬凹函數(shù)是閉凸集——無差異曲線上的任意消費束，都存在一個正的價格向量，使其成為本錢最小化選擇248I、如果是遞增的擬凹函數(shù)支撐超平面定理

（分離超平面定理）是閉凸集使得都有：249I、如果遞增的擬凹函數(shù)是u的遞增函數(shù)任何大于u的值都不屬于B(x0)250I、如果遞增的擬凹函數(shù)251II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)無差異曲線上，x0~x1,以及x2~x3,上的消費束都存在嚴格為正的價格，使其成為本錢最小化的最優(yōu)選擇。x3x0x2x1而且對于x1,x2252II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)不是擬凹函數(shù)即有(e(p,u)遞增性)因為253x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0x3254x2x1II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)xtx0非遞增性

x3255II、如果不是遞增、也不是擬凹函數(shù)2.1.2凸性與單調性2562.1.3間接效用與偏好偏好EMPUMP從間接效用函數(shù)能夠恢復其偏好關系257直接效用函數(shù)的構造如果有258定理2.3在上擬凹而且可微，一階偏導嚴格為正，那么間接效用函數(shù)在上取得最小值，并且有：〔T1〕259定理2.3:證明令給定

2602.1.3間接效用與偏好如果函數(shù)滿足定理1.6中的性質，那么該函數(shù)就是一個間接效用函數(shù)，而且根據(jù)〔T1〕所構造的函數(shù)就是產生該間接效用函數(shù)的直接效用函數(shù)。2612.1.3間接效用與偏好0次齊次

其中262例263反需求函數(shù)定理2.4設u(x)是消費者的效用函數(shù)，那么商品i的反需求函數(shù)為264證明包絡定理：265例：求反需求函數(shù)266Ch2消費者理論專題Lecture2可積性與顯示偏好2.2可積性如何從可觀察的需求行為恢復產生該需求的效用函數(shù)？

2682.2可積性偏好EMPUMP2692.2可積性需求函數(shù)應該滿足那些條件？-零次齊次性、預算平衡性、對稱性與負半定性，以及相伴隨的古諾加總和恩格爾加總。-根據(jù)定理1-17，加總結論直接來自預算平衡性。-零次齊次性可由預算平衡性與對稱性所蘊涵。270定理2-5定理2-5：如果x(p,y)滿足預算平衡性并且其斯勒斯基矩陣是對稱的,那么它對p與y就是零次齊次的。證明：略271總結如果x(p,y)是需求函數(shù)的一個效用最大化的方程組,那么,我們可以對已發(fā)現(xiàn)的可觀察行為含義做如下總結:預算平衡性:p?x(p,y)=y負半定性:相關的斯勒斯基矩陣s(p,y)是負半定的.對稱性:s(p,y)是對稱的.272定理2.6可積性定理定理2.6:一個連續(xù)可微的函數(shù)當其滿足預算平衡性、對稱性和負半定性時，它就是由一些遞增、擬凹的效用函數(shù)產生的需求函數(shù)。該結論并且只在效用是連續(xù)的、嚴格遞增的且嚴格擬凹的條件下成立。證明：略一個有用的引理:對偶性+Shepardlemma273例題2-3存在三種物品并設消費者的需求行為由如下函數(shù)表達，求其支出函數(shù)。274首先，檢查x(p,y)滿足預算平衡性、對稱性與負半定性,依據(jù)定理2-6，x(p,y)必是由效用函數(shù)生成的.根據(jù)定理2-6的引理〔P.1〕我們的任務在于尋找出,它求解出以下偏微分方程組:275注意到上式可被改寫為:于是有:276進一步,于是,由于必須確保e(p,y)關于u是嚴格遞增的,只要我們能保證c(u)嚴格遞增,所得函數(shù)就是我們要求的支出函數(shù),可以方便地設c(u)=u.我們的最終解就是2772.3顯示偏好分析的思路對偏好進行公理化假設最大化行為消費者行為觀察和預測(前面各章節(jié)的思路)可觀察的選擇出發(fā)分析消費行為Samuelson〔1947〕消費者選擇消費束A而非B,說明消費者更偏好于A,消費者的實際選擇行為傳遞著關于消費者偏好的信息.278直接顯示偏好設是消費者在收入為m的條件下根據(jù)價格所能購置的任意商品束,是其實際購置的商品束,如果該消費者滿足預算平衡性,顯然有:于是有如果與是不同的消費束,此時我們說是的直接顯示偏好.279顯示偏好原理設是價格在時被選擇的商品束,是使得成立的另一個商品束.在這種情況下,如消費者總是在他能夠購置的商品束中選擇他最偏好的商品束,那么我們有280間接顯示偏好與顯示偏好如需求束本身恰好又是另一商品束的顯示偏好,即根據(jù)傳遞性假設,我們有,在這種情況下,我們稱是的間接顯示偏好.如果一個商品束既是另一個商品束的直接顯示偏好,又是它的間接顯示偏好,那么我們就說第一個商品束是第二個商品束的顯示偏好.281AmountofExercise(hours)AnexampleOtherRecreationalActivities($)025507520406080100l1Cl2U2BTheratechangesto$1/hr+$30/wkNewbudgetlineI2&combinationBRevealpreferenceofBtoAU1AScenarioRoberta’srecreationbudget=$100/wkPriceofexercise=$4/hr/weekExercises10hrs/wkatAgivenU1&I1282恢復偏好通過觀察消費者所作的選擇,我們可以獲知他的偏好,當我們觀察的選擇越多時,我們就能對消費者的偏好作出越加準確的估計.充分利用顯示偏好的概念及關于偏好的假設干前提假設,那么我們能準確地畫出無差異曲線.283DRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl1l2BAI1:ChoseAoverBAisrevealedpreferredtoBl2:ChooseBoverDBisrevealedpreferredtoDFood(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)284AispreferredtoallmarketbasketsinthegreenareaRevealedPreferences--TwoBudgetLinesl2Bl1DAAllmarketbasketsinthepinkshadedareaarepreferredtoA.Food(unitspermonth)Clothing(unitspermonth)285AllmarketbasketsinthepinkareapreferredtoAFood(unitspermonth)RevealedPreferences--fourBudgetLinesClothing(unitspermonth)l1l2l3l4A:preferredtoallmarketbasketsinthegreenareaEBAGI3:ErevealedpreferredtoA

I4:GrevealedpreferredtoA286顯示偏好的弱公理〔WARP〕如果對于每一對不同的消費束與，消費者在價格為時選擇，在價格為時選擇，那么，這個消費者的選擇行為會滿足顯示偏好弱公理：換言之，當是的顯示偏好，且從來不是的顯示偏好，那么，WARP成立。287一種更容易理解的表述WARP：如果是的直接顯示偏好，且和不同，那么，就不可能是的直接顯示偏好。復原到現(xiàn)實世界就是：如果在購置商品束X時有能力購置商品束Y，那么在購置商品束Y時，商品束X就肯定是無力購置的商品束。288顯示偏好弱公理x1x1x0x0289選擇函數(shù)選擇函數(shù)〔choicefunction〕假設1：稱x1直接顯示偏好于x2，如果有記為：2900次齊次設〔預算平衡〕〔WARP〕if291斯勒茨基補償當價格變化后，調整收入，使其剛好買得起原來的消費束。〔WARP〕〔2-5〕292如果那么等式成立。如果，那么，在可被支付時被選擇，WARP意味著每當被選擇時都是支付不起的，因此上式不等號是嚴格的。根據(jù)預算平衡有：〔2-6〕〔2-6〕-〔2-5〕得〔2-7〕：

293令294斯勒茨基補償需求295斯勒茨基補償需求296斯勒茨基補償需求都成立負半定297總結至此我們已證明，一旦選擇函數(shù)滿足WARP和預算平衡性，那么它必定滿足由效用最大化所蘊涵的兩個特性，即零次齊次性與斯勒斯基矩陣的負半定性。如果我們能進一步證明選擇函數(shù)的斯勒司基矩陣是對稱的，那么，依據(jù)可積分性結論，選擇函數(shù)實際上就是需求函數(shù)，由此即可構建產生該需求函數(shù)的效用函數(shù)。298兩物品情況我們已證，滿足WARP和預算平衡的選擇函數(shù)具有：0次齊次負半定替代矩陣兩物品的條件下，0次齊次和負半定性就意味著對稱性，因此，此時選擇函數(shù)必定是由效用最大化產生的。299兩物品情況反過來看，從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP。設效用最大化的消費者具備了嚴格單調且嚴格凸的偏好，那么，在每一個價格集上將存在唯一的需求束，該需求束正好用盡消費者的收入。在價格為時令最大化其效用，價格為時最大化其效用，并設。由于是可支付但沒被選擇的消費束，因此必定有。因此，當在價格為時被選擇，此時必定是不可獲得的：因此，，WARP于是得到滿足。300兩物品以上情況超過兩物品的情況，由于WARP與預算平衡性不意味著斯勒斯基矩陣的對稱性，因此，對于兩種物品以上的情形，WARP與預算平衡并不等價于效用最大化假說。301可見從效用最大化得到的需求函數(shù)一定滿足WARP但滿足WARP的選擇不一定是效用最大化的選擇這導致這樣一個問題：如何強化WARP，才能使它等價于效用最大化理論。由于斯勒斯基矩陣的對稱性與消費者偏好的可傳遞性之間存在密切關系〔定理1-14的證明〕，我們只要確定消費者偏好是可傳遞的，那么對稱性就能得到滿足，進而，效用最大化假說也就能夠實現(xiàn)。這就是我們要尋找的WARP的附加條件。302顯示偏好的強公理〔SARP〕SARP：如果對于每個不同消費束的序列，是的顯示偏好，是的顯示偏好，……，是的顯示偏好，同時不存在是的顯示偏好，那么我們說SARP被滿足。SARP〔一種更簡單的表達〕：如果是的顯示偏好〔直接或間接〕，且與不同，那么不可能是的直接或間接顯示偏好303SARP如果消費者選擇行為滿足SARP，那么其行為等價于效用最大化行為?；蚩梢詮臐M足SARP的選擇行為恢復消費者的偏好關系。簡單地說，建立在SARP上的需求理論，根本上等價于建立在效用最大化根底上的需求理論。SARP是使我們觀察到的選擇同消費者選擇的經濟模型相容的充分必要條件。但不能據(jù)此聲言構成的偏好實際上產生了觀察到的選擇。如一切科學判斷一樣，我們只能證明觀察到的行為同判斷并非不相容。只在我們窮極一切可能使觀察到的行為到達無限多的時候，上述觀點才能成立。因此，我們不能證明經濟模型是否正確，而只能決定模型的內涵，并判定觀察到的選擇是否同這些內涵相容。304顯示偏好的一般公理〔GARP〕如上所述，由于真實世界不存在無限多的可觀察行為，因此更切實的工作是當可觀察事物為有限時出現(xiàn)的問題。GARP——Afriat(1976)：當且僅當只存在一個局部非飽和的、連續(xù)的、遞增的與凹的效用函數(shù)，那么，可觀察的價格與數(shù)量資料的有限集合將滿足GARP。GARP為在有限數(shù)據(jù)根底上恢復偏好關系提供了方法。其缺陷是非唯一性。305Ch2消費者理論專題Lecture3不確定性prologue以上各章節(jié)的內容都是假設決策者在一個絕對確定的世界里行動的，他了解所有物品的價格，并知道任何可行的消費束可確定地獲得。然而，在真實世界里經濟個體并不總是會有這樣的好運氣，許多經濟決策包含著或多或少的不確定性因素。在這種情況下，即使決策者可以知道不同結果的概率，決策的最終結果直至其發(fā)生前仍是不能了解的。因此，不確定性因素的引入是經濟模型對真實世界的一大修正。307內容偏好期望效用函數(shù)風險厭惡3082.4.1偏好選擇集選擇對象：賭局〔gamble、lottery〕其結果不確定可描述性：結果集概率分布3092.4.1偏好選擇集簡單賭局：每一個狀態(tài)下都是確定的結果簡單賭局集3102.4.1偏好選擇集復合賭局假設干狀態(tài)下的結果仍然是一個賭局3112.4.1偏好賭局集偏好定義在賭局空間上的消費者偏好312不確定下的選擇公理公理1：完備性公理2：傳遞性313不確定下的選擇公理G1＋G2結果集內所有結果可以根據(jù)偏好序進行完整的排序：公理3：連續(xù)性314不確定下的選擇公理公理3：連續(xù)性——是閉集315不確定下的選擇公理公理4:單調性含義：以較高概率獲得最好結果的賭局將更受偏好。反例：死亡的刺激性微小的生命危險反而比絕對平安好，盡管百分之百死亡是絕對厭惡的。316不確定下的選擇公理公理5：替代性含義：如果斷策者對兩個賭局中任何給出的結果無差異，并且每個賭局的結果會以同樣的概率出現(xiàn)，那么這兩個賭局無差異。如果那么就有317復合賭局的有效概率例：設A={a1,a2}，復合賭局形式：〔1〕以概率α獲得結果a1；〔2〕以概率〔1-α〕獲得彩票券，彩票券以概率β獲得結果a1，以概率〔1-β〕獲得結果a2。實際上結果為a1的有效概率是多少？a1將以兩種互相排斥的方式形成：作為復合賭局的直接結果出現(xiàn)或作為一張彩票券出現(xiàn)。因此結果為a1的有效概率為α+(1-α)β；a2的有效概率為(1-α)(1-β)。人們在考慮所進行的賭局時只考慮有效概率，因此對復合賭局和由該復合賭局引致的簡單賭局無差異。318不確定下的選擇公理簡單賭局與復合賭局——復合賭局g的簡化賭局形式319不確定下的選擇公理公理6：如果是g的簡化賭局，那么一定有3202.4.2馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用效用函數(shù)如果偏好關系滿足G1、G2、G3，那么存在效用函數(shù)：表示該偏好關系。3212.4.2期望效用定理期望效用性質稱效用函數(shù)具有期望效用性質，如果都有其中是g的簡化賭局3222.4.2期望效用定理馮·紐依曼－摩根斯坦恩效用函數(shù)如果效用函數(shù)具有期望效用性質，那么稱其為VNM效用函數(shù)323定理2.7VNM效用函數(shù)存在性在上的偏好關系，如果滿足公理G1－G6，那么就存在具有期望效用性質的效用函數(shù)表示該偏好。324證明單調性假設不唯一，設存在都滿足〔1〕式，所以有連續(xù)性給定，使得唯一〔1〕任意，一定有，令單調性

(2)——與(2)式矛盾假設不成立325證明連續(xù)性

使得單調性唯一假設不唯一，設存在都滿足〔1〕式，所以有任意，一定有，令單調性

(2)——與(2)式矛盾假設不成立(1)326證明定義：需要證明是能夠表示偏好關系的效用函數(shù)具有期望效用性質其中滿足327證明：1、是表示偏好關系的效用函數(shù)因此，當且僅當，u代表G上的偏好關系時，有如果有那么傳遞性公理

單調性公理

328證明：2、具有期望效用性質我們要證的是：效用函數(shù)定義存在唯一的u(ai)使得替代性公理令329證明：簡化公理定義：330定理2-7的說明如果個人賭局偏好滿足公理1-6，那么可給賭局A中的每一個結果〔子賭局〕分配一個效用數(shù)值，使得當且僅當一個子賭局的預期效用大于另一個子賭局時個人才更偏好于前面那個子賭局。定理2-7的證明還給我們提供了一個實際上如何構建具有預期效用函數(shù)特性的效用函數(shù)的流程。要決定任何確定性結果的效用，我們只須求得個人最好結果〔使她在優(yōu)劣賭局〔〕和確定性結果之間無差異〕的概率。采取相同的步驟，我們于是可以計算由賭局A產生的任何結果的預期效用。并且，如果該個人的偏好滿足公理1-6，我們還能保證所獲得的效用函數(shù)代表了她的偏好。331Allais悖論反例：Allais悖論〔1953〕三種可能的結果：2,500,000元、500,000元、0元332Allais悖論在實際選擇中，有相當比例的決策者在情形1中選擇了L1，在情形II中選擇L4。333Allais悖論兩邊都加上〔0.89〕u0-(0.89)u5得到這一選擇情形不滿足期望效用定理〔不滿足