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文檔簡(jiǎn)介

矩陣分解高斯消去法的矩陣表示LU分解法(LUDecomposition)平方根法

(CholeskyDecomposition)3.1

直接三角分解法矩陣三角分解

將一個(gè)矩陣分解成結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的三角形矩陣的乘積稱為矩陣的三角分解。

順序高斯消去法其實(shí)就是一個(gè)矩陣的三角分解過(guò)程。

LU分解先求解y再求解x則A(k)

與A(k+1)之間的關(guān)系式可以表示為：其中：(i=k+1,…,n),將Gauss消去過(guò)程中第k-1步消元后的系數(shù)矩陣記為：(k=1,…,n-1)LU分解記：，則其中：L---單位下三角矩陣，U---上三角矩陣LU分解于是有：容易驗(yàn)證：(k=1,…,n-1)(杜利脫爾Doolittle分解)LU

分解的存在唯一性LU分解存在順序高斯消去法不被中斷?定理

順序高斯消去法求解方程組Ax=b時(shí)，所有主元

的充要條件是：A的所有順序主子式不為零。定理若A的所有順序主子式不等于0，則A存在唯一的LU分解。(LU分解的唯一性

)LU分解緊湊方式直接利用矩陣乘法來(lái)計(jì)算LU分解(待定系數(shù)法)

比較等式兩邊的第一行得：u1j=a1j比較等式兩邊的第一列得：

比較等式兩邊的第二行得：比較等式兩邊的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U的第一行L的第一列U的第二行L的第二列待定系數(shù)法LU分解計(jì)算順序

LU分解緊湊算法（續(xù)）第k

步：此時(shí)U的前k-1行和

L

的前k-1列已經(jīng)求出比較等式兩邊的第k行得：比較等式兩邊的第k列得：直到第n

步，便可求出矩陣L和U的所有元素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)LU分解緊湊算法（續(xù)）LU分解的算法：Fork=1,2,...,nEndForj=k,…,ni=k+1,…,n為了節(jié)省存儲(chǔ)空間，通常用A

的絕對(duì)下三角部分來(lái)存放L(對(duì)角線元素?zé)o需存儲(chǔ))，用

A

的上三角部分來(lái)存放U。矩陣分解3.2矩陣的QR分解

定理

任何實(shí)的非奇異n階矩陣A可以分解成正交矩陣Q和上三角矩陣R的乘積，且除去相差一個(gè)對(duì)角線元素之絕對(duì)值全等于1的對(duì)角矩陣因子D外，分解式是唯一的。

矩陣分解3.3矩陣的滿秩分解

矩陣分解3.4矩陣的奇異值分解

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