2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第三單元：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用“拓展型”1．學(xué)校有一個三角形的花圃，三條邊的長度分別是48米，36米，28米?，F(xiàn)在要在這三條邊是等距離擺花盆，要求每個角上都有一盆，并且相鄰兩盆距離盡量大，問一共要擺多少盆花？2．圖書室長88分米，寬72分米，高3米。學(xué)校計(jì)劃先給圖書室鋪地磚，然后粉刷圖書室的四壁和天花板。（1）若選用正方形地磚鋪滿整個圖書室（正好鋪滿且無切割），你建議學(xué)校采購的正方形地磚最大邊長是多少分米？（2）圖書室門窗面積為21.8平方米，請你計(jì)算出圖書室要粉刷的面積是多少？3．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同樣的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？4．張老師帶五（3）班部分學(xué)生去植樹，如果這些學(xué)生2人一組則多1人，如果3人一組則差2人，如果4人一組則差3人，請問。張老師最少帶了多少名學(xué)生？5．一個長方形的長和寬分別是18厘米和12厘米，用這樣的長方形拼一個正方形。正方形的邊長最少是多少？至少幾個這樣的長方形才能拼成正方形？6．一次聚餐共用了66個碗，每人一碗飯，兩人一碗菜，三人一碗湯，參加聚餐的有多少人？7．在跑道兩側(cè)每隔4米種一棵樹，結(jié)果第一棵與最后一棵相距48米?，F(xiàn)在將移栽成每隔6米種一棵，其中有幾棵不需要移栽？8．爸爸和媽媽都不是按雙休日休息，爸爸每工作3天輪休1天，媽媽每工作4天輪休1天，3月5日爸爸媽媽同時休息。按此計(jì)算，3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有幾天？分別是哪幾天？9．工人師傅裝修房子，要用一種長方形的地磚鋪地，地磚長48cm，寬32cm，用這種地磚鋪一個正方形，至少需要多少塊？10．一張長18厘米，寬12厘米的長方形紙，要分成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以分成多少個？如果用這張長方形紙擺一個最小的正方形，至少需要多少張？11．今年的3月10日正好是星期日，這是小明最高興的一天，因?yàn)樗桶职謰寢屢黄鹑ス珗@玩了一天。小明想：下次什么時候才能再和爸爸媽媽一起來玩呢？小明知道爸爸媽媽工作很忙，只有在三人同時休息的時候才能一起來玩。爸爸工作4天，休息1天；媽媽工作3天，休息1天；小明學(xué)習(xí)5天，休息2天（星期一～星期五學(xué)習(xí)，星期六、星期日休息），你能幫他算出來嗎？（要說出是幾月幾號？星期幾？）12．一段馬路長3600米，從起點(diǎn)到終點(diǎn)有一排電線桿，原來每兩根之間相距45米，現(xiàn)在要改為每兩根之間相距60米。一共有多少根電線桿不必移動？13．寫有1到100編號的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號是3的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，第二次把編號是5的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，那么亮著的燈還有多少盞？14．亮亮在一條長凳上做擺卡片游戲（如下圖），他用三種擺法，都正好從長凳的一端擺到另一端，而且沒有剩余，已知每張卡片長12厘米，寬8厘米，這條長凳最短是多少厘米？15．兩根一樣長的木材，把其中一根都鋸成10厘米長的小段，另一根都鋸成18厘米長的小段，兩根木材都正好用完。鋸得的兩種不同規(guī)格的小段至少共有多少段？16．曲妍有一袋果凍，無論是平均分給7個人、10個人還是4個人，都剩下1個。這袋果凍至少有多少個？2024-2025學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列第三單元：最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用“拓展型”1．學(xué)校有一個三角形的花圃，三條邊的長度分別是48米，36米，28米?，F(xiàn)在要在這三條邊是等距離擺花盆，要求每個角上都有一盆，并且相鄰兩盆距離盡量大，問一共要擺多少盆花？【答案】28盆【分析】求相鄰兩盆的最大距離，即是求48、36、28三個數(shù)的最大公因數(shù)，然后利用三角形的周長公式，把三條邊的長度加起來，求出三角形的周長，可以把三角形看作植樹問題中的封閉路線，間隔數(shù)＝周長÷間隔的距離，求出間隔數(shù)，即是求出一共要擺的花盆數(shù)?！驹斀狻?8＝2×2×2×2×336＝2×2×3×328＝2×2×748、36、28三個數(shù)的最大公因數(shù)是：2×2＝4。即相鄰兩盆的最大距離是4米。（48＋36＋28）÷4＝112÷4＝28（盆）答：一共要擺28盆花?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是利用求三個數(shù)的最大公因數(shù)的方法，根據(jù)三角形的周長公式，通過植樹問題中的實(shí)際情況，解決實(shí)際的問題。2．圖書室長88分米，寬72分米，高3米。學(xué)校計(jì)劃先給圖書室鋪地磚，然后粉刷圖書室的四壁和天花板。（1）若選用正方形地磚鋪滿整個圖書室（正好鋪滿且無切割），你建議學(xué)校采購的正方形地磚最大邊長是多少分米？（2）圖書室門窗面積為21.8平方米，請你計(jì)算出圖書室要粉刷的面積是多少？【答案】（1）8分米；（2）137.56平方米【分析】（1）要計(jì)算正方形地磚最大邊長是多少分米，就是求長88分米和寬72分米的最大公因數(shù)；（2）圖書室需要粉刷的面積＝長方體圖書室的表面積－底面積－門窗的面積；據(jù)此解答。【詳解】（1）2×2×2＝8（分米）因?yàn)?8和72的最大公因數(shù)是8，所以正方形地磚最大邊長是8分米。答：學(xué)校采購的正方形地磚最大邊長是8分米。（2）88分米＝8.8米，72分米＝7.2米（8.8×7.2＋8.8×3＋7.2×3）×2－8.8×7.2－21.8＝（63.36＋26.4＋21.6）×2－8.8×7.2－21.8＝111.36×2－8.8×7.2－21.8＝222.72－63.36－21.8＝159.36－21.8＝137.56（平方米）答：圖書室要粉刷的面積是137.56平方米?！军c(diǎn)睛】掌握短除法求最大公因數(shù)的方法并根據(jù)生活實(shí)際計(jì)算需要粉刷部分的面積是解答題目的關(guān)鍵。3．花店把72枝康乃馨和54枝百合花扎成花束出售。如果要使每束花中的康乃馨、百合花同樣的，最多可以分成多少束？每束花有多少枝？【答案】18束，7枝【解析】要使每束花中的康乃馨、百合花同樣的花束數(shù)量必須是72和54的公因數(shù)，求最多可以分成多少束，也就是求72和54的最大公因數(shù)，求出花束數(shù)量后，可以分別計(jì)算每束花中的康乃馨和百合花的數(shù)量，相加得到每束花有多少枝?！驹斀狻浚ㄊㄖΓㄖΓㄖΓ┐穑鹤疃嗫梢苑殖?8束，每束花有7枝?！军c(diǎn)睛】本題考查的是最大公因數(shù)的問題，一般遇到最大、最多、至多的詞眼，大多考查的是最大公因數(shù)。4．張老師帶五（3）班部分學(xué)生去植樹，如果這些學(xué)生2人一組則多1人，如果3人一組則差2人，如果4人一組則差3人，請問。張老師最少帶了多少名學(xué)生？【答案】13名【分析】根據(jù)題意，“3人一組則差2人”可以理解為“3人一組則多1人”；“4人一組則差3人”可以理解為“4人一組多1人”，則原題中最少帶學(xué)生數(shù)量，就轉(zhuǎn)化為求2、3、4的最小公倍數(shù)，再加一人即可?！驹斀狻?＝2×2，2、3、4的最小公倍數(shù)，2×3×2＝1212＋1＝13（人）答：張老師最少帶了13名學(xué)生。【點(diǎn)睛】能將條件理解并有效轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵。注意掌握最小公倍數(shù)的求法。5．一個長方形的長和寬分別是18厘米和12厘米，用這樣的長方形拼一個正方形。正方形的邊長最少是多少？至少幾個這樣的長方形才能拼成正方形？【答案】畫圖見詳解；36厘米；6個【分析】根據(jù)題意，正方形的邊長長度最少等于18和12的最小公倍數(shù)，也就是求18和12的公有質(zhì)因數(shù)與每個獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積；求出正方形的邊長再分別除以18和12，看能放幾排，幾列，然后相乘即可；據(jù)此解答?！驹斀狻?8＝2×3×312＝2×2×3正方形的邊長是：2×2×3×3＝4×3×3＝12×3＝36（厘米）（36÷18）×（36÷12）＝2×3＝6（個）畫圖如下：答：正方形的邊長最少是36厘米，至少6個這樣的長方形才能拼成正方形.【點(diǎn)睛】此題考查了兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的應(yīng)用，可以用分解質(zhì)因數(shù)的方法解答，也可以用短除法解答。6．一次聚餐共用了66個碗，每人一碗飯，兩人一碗菜，三人一碗湯，參加聚餐的有多少人？【答案】圈一圈見詳解；36人【分析】1、2和3的最小公倍數(shù)為6，把6個人分成一組，每組里面吃飯需要6÷1＝6個碗，吃菜需要6÷2＝3個碗，喝湯需要6÷3＝2個碗，用加法求出每組一共需要多少個碗，一共分成的組數(shù)＝碗的總個數(shù)÷每組需要碗的個數(shù)，最后用總組數(shù)乘每組人數(shù)求出聚餐的總?cè)藬?shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?、2和3的最小公倍數(shù)：1×2×3＝66÷1＋6÷2＋6÷3＝6＋3＋2＝11（個）66÷11×6＝6×6＝36（人）答：參加聚餐的有36人?！军c(diǎn)睛】本題主要考查最小公倍數(shù)的應(yīng)用，分析題意求出每組人數(shù)和一共分的組數(shù)是解答題目的關(guān)鍵。7．在跑道兩側(cè)每隔4米種一棵樹，結(jié)果第一棵與最后一棵相距48米?，F(xiàn)在將移栽成每隔6米種一棵，其中有幾棵不需要移栽？【答案】10棵【分析】求出兩次間隔距離的最小公倍數(shù)是不需要移栽的距離，總長度÷不需要移栽的距離＝不需要移栽的段數(shù)，根據(jù)兩端都植，棵數(shù)＝段數(shù)－1，求出一側(cè)不需要移栽的棵數(shù)，乘2即可?！驹斀狻?＝2×26＝2×32×2×3＝12（米）48÷12＝4（段）4＋1＝5（棵）5×2＝10（棵）答：其中有10棵不需要移栽?！军c(diǎn)睛】全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。8．爸爸和媽媽都不是按雙休日休息，爸爸每工作3天輪休1天，媽媽每工作4天輪休1天，3月5日爸爸媽媽同時休息。按此計(jì)算，3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有幾天？分別是哪幾天？【答案】3天；3月5日；3月25日；4月14日【分析】爸爸每工作3天輪休1天，4天一個循環(huán)，最后一天休息；媽媽每工作4天輪休1天，5天一個循環(huán)，最后一天休息；要讓爸爸媽媽同時休息，找到4和5的最小公倍數(shù)20，即從3月5日算起第20天，爸爸、媽媽下一次同時休息，共有3天，分別是3月5日；3月25日；4月14日?！驹斀狻?＋1＝4（天）4＋1＝5（天）因?yàn)?和5是互質(zhì)數(shù)，所以4和5的最小公倍數(shù)是；4×5＝20。即20天后，爸爸和媽媽同時休息。5＋20＝25（日）即3月25日爸爸和媽媽會再次同時休息。3月有31天，31－25＝6（天）20－6＝14（日）即4月14日爸爸和媽媽會再次同時休息。答：3，4兩個月爸爸和媽媽同時休息的有3天，分別是3月5日，3月25日，4月14日。【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是通過最小公倍數(shù)的求法以及時間的推算解決實(shí)際的問題。9．工人師傅裝修房子，要用一種長方形的地磚鋪地，地磚長48cm，寬32cm，用這種地磚鋪一個正方形，至少需要多少塊？【答案】6塊【分析】求出地板磚長和寬的最小公倍數(shù)是正方形圖案的最小邊長，根據(jù)正方形和長方形的公式，用正方形的面積÷地磚面積即可?！驹斀狻?8＝2×2×2×2×332＝2×2×2×2×248和32的最小公倍數(shù)是2×2×2×2×3×2＝96。這個正方形的最小邊長是96cm。96×96÷（48×32）＝9216÷1536＝6（塊）答：至少需要6塊?！军c(diǎn)睛】此題考查了有關(guān)最小公倍數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一般用分解質(zhì)因數(shù)法求最小公倍數(shù)。10．一張長18厘米，寬12厘米的長方形紙，要分成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以分成多少個？如果用這張長方形紙擺一個最小的正方形，至少需要多少張？【答案】6個；6張【分析】（1）把長方形紙分成大小相等的正方形，且沒有剩余，那么正方形的邊長是長和寬的公因數(shù)，它們的最大公因數(shù)，就是正方形的最長邊長，此時分得正方形個數(shù)最少；求正方形的個數(shù)，先分別用長方形的長、寬除以正方形的最大邊長，求出長、寬各可以分幾個，再相乘就是最少可以分成的正方形的個數(shù)。（2）用長方形紙擺成最小的正方形，正方形邊長是長和寬的最小公倍數(shù)，據(jù)此計(jì)算出拼成的正方形的最小邊長；求長方形紙需要的張數(shù)，先分別用正方形的邊長除以長方形的長、寬，求出各需要幾張，再相乘就是至少需要的張數(shù)?！驹斀狻浚?）18＝2×3×312＝2×2×318和12的最大公因數(shù)是：2×3＝6；即分成的正方形的最大邊長是6厘米；最少可以分成：（18÷6）×（12÷6）＝3×2＝6（個）（2）18和12的最小公倍數(shù)是：2×2×3×3＝36；即擺成的正方形的最小邊長是36厘米；至少需要：（36÷18）×（36÷12）＝2×3＝6（張）答：把這張長方形紙分成大小相等的正方形，且沒有剩余，最少可以分成6個；如果用這張長方形紙擺一個最小的正方形，至少需要6張?！军c(diǎn)睛】本題考查了用最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的知識解決實(shí)際問題的能力?？梢杂梅纸赓|(zhì)因數(shù)或短除法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。11．今年的3月10日正好是星期日，這是小明最高興的一天，因?yàn)樗桶职謰寢屢黄鹑ス珗@玩了一天。小明想：下次什么時候才能再和爸爸媽媽一起來玩呢？小明知道爸爸媽媽工作很忙，只有在三人同時休息的時候才能一起來玩。爸爸工作4天，休息1天；媽媽工作3天，休息1天；小明學(xué)習(xí)5天，休息2天（星期一～星期五學(xué)習(xí)，星期六、星期日休息），你能幫他算出來嗎？（要說出是幾月幾號？星期幾？）【答案】3月30日，星期六【分析】爸爸工作4天，休息1天，即5天一休息；媽媽工作3天，休息1天，即4天一休息；求出爸爸和媽媽可以休息天數(shù)的最小公倍數(shù)，推算出在星期六或星期日的日期即可。【詳解】4＋1＝5（天）3＋1＝4（天）5×4＝20（天）20÷7＝2（周）……6（天）20天后剛好是星期六。10＋20＝30（日）答：下次3月30日，星期六，小明能再和爸爸媽媽一起來玩?！军c(diǎn)睛】兩數(shù)互質(zhì)，最小公倍數(shù)是兩數(shù)的積。12．一段馬路長3600米，從起點(diǎn)到終點(diǎn)有一排電線桿，原來每兩根之間相距45米，現(xiàn)在要改為每兩根之間相距60米。一共有多少根電線桿不必移動？【答案】21根【分析】求出兩次間距的最小公倍數(shù)，距離處于最小公倍數(shù)的電線桿不用動，用馬路總長÷最小公倍數(shù)即可?！驹斀狻?5＝3×3×560＝2×2×3×52×2×3×3×5＝180（米）3600÷180＝20（根）20根＋1根＝21（根）答：一共有21根電線桿不必移動?！军c(diǎn)睛】全部公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)立的質(zhì)因數(shù)，它們連乘的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。13．寫有1到100編號的燈100盞，亮著排成一排，每一次把編號是3的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，第二次把編號是5的倍數(shù)的燈拉一次開關(guān)，那么亮著的燈還有多少盞？【答案】盞【分析】因?yàn)闊粼陂_始的時候是亮著的，所以拉了兩次或者沒拉的燈最后還是亮的，先分別求出3的倍數(shù)的個數(shù)，5的倍數(shù)的個數(shù)，以及3和5的公倍數(shù)的個數(shù)，然后求出沒有拉過的燈的個數(shù)，加上拉了兩次的燈的數(shù)量，得到最終亮著的個數(shù)。【詳解】第一次拉了33盞；（盞）第二次拉了20盞；兩次都拉的有6盞；（盞）被拉過的有47盞；（盞）沒有被拉過的有53盞；最后亮著的燈一共為（盞）答：亮著的燈還有59盞?！军c(diǎn)睛】本題考查的是二元容斥問題，并且與奇偶性的問題相結(jié)合，可以利用韋恩圖求解。14．亮亮在一條長凳上做擺卡片游戲（如下圖），他用三種擺法，都正好從長凳的一端擺到另一端，而且沒有剩余，已知每張卡片長12厘米，寬8厘米，這條長凳最短是多少厘米？【答案】120厘米【分析】根據(jù)題意可知本題就是求12，8，8＋12＝20的最小公倍數(shù)，由最小公倍數(shù)的意義可知：最小公倍數(shù)是幾個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和