陜西省西安一中2025年高三下學(xué)期段考（第二次月考）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．2．如圖，平面四邊形中，，，，為等邊三角形，現(xiàn)將沿翻折，使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)在定義城內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為（）A． B．C． D．4．在“一帶一路”知識(shí)測驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對成績進(jìn)行預(yù)測．甲：我的成績比乙高．乙：丙的成績比我和甲的都高．丙：我的成績比乙高．成績公布后，三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙5．一個(gè)超級(jí)斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面所有項(xiàng)之和(例如:1，3，4，8，16…).則首項(xiàng)為2，某一項(xiàng)為2020的超級(jí)斐波那契數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．66．設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A．7 B．5 C．3 D．27．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．3208．《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用，《易經(jīng)》的博大精深，對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響．下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田，圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽太極圖，八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為，陰陽太極圖的半徑為，則每塊八卦田的面積約為（）A． B．C． D．9．記等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為.若，，則（）A． B． C． D．10．過拋物線的焦點(diǎn)且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．811．已知為等腰直角三角形，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．12．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．60 C．70 D．80二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對邊分別是，，，若，，則的面積的最大值為______.14．甲，乙兩隊(duì)參加關(guān)于“一帶一路”知識(shí)競賽，甲隊(duì)有編號(hào)為1，2，3的三名運(yùn)動(dòng)員，乙隊(duì)有編號(hào)為1，2，3，4的四名運(yùn)動(dòng)員，若兩隊(duì)各出一名隊(duì)員進(jìn)行比賽，則出場的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為______.15．請列舉用0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比210大的所有三位奇數(shù)：___________．16．已知“在中，”，類比以上正弦定理，“在三棱錐中，側(cè)棱與平面所成的角為、與平面所成的角為，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正四棱錐中，，點(diǎn)、分別在線段、上，．（1）若，求證：⊥；（2）若二面角的大小為，求線段的長．18．（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學(xué)開展了一系列的讀書教育活動(dòng)．學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書小組（每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書小組）學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問卷調(diào)查．各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下：小組甲乙丙丁人數(shù)12969（1）從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人來自同一個(gè)小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（12分）已知曲線：和：（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和的方程化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)與，軸交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為.若射線與，交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)間的距離.20．（12分）已知多面體中，、均垂直于平面，，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）已知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時(shí)，求的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．22．（10分）已知集合，集合.（1）求集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.2、A【解析】

將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同，由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，在中，計(jì)算半徑即可.【詳解】由，，可知平面．將三棱錐補(bǔ)形為如圖所示的三棱柱，則它們的外接球相同．由此易知外接球球心應(yīng)在棱柱上下底面三角形的外心連線上，記的外心為，由為等邊三角形，可得．又，故在中，，此即為外接球半徑，從而外接球表面積為．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.3、D【解析】

根據(jù)的圖象可得的單調(diào)性，從而得到在相應(yīng)范圍上的符號(hào)和極值點(diǎn)，據(jù)此可判斷的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為增函數(shù)，且在上存在正數(shù)，使得在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且在這兩個(gè)零點(diǎn)的附近，有變化，故排除A，B.由在上為增函數(shù)可得在上恒成立，故排除C.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象的識(shí)別，此類問題應(yīng)根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性來考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與零點(diǎn)情況，本題屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測正確，則乙、丙預(yù)測錯(cuò)誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測正確，則丙預(yù)測也正確，不符合題意；若丙預(yù)測正確，則甲必預(yù)測錯(cuò)誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預(yù)測正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查．5、A【解析】

根據(jù)定義，表示出數(shù)列的通項(xiàng)并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知首項(xiàng)為2，設(shè)第二項(xiàng)為，則第三項(xiàng)為，第四項(xiàng)為，第五項(xiàng)為第n項(xiàng)為且，則，因?yàn)?，?dāng)?shù)闹悼梢詾?；即?個(gè)這種超級(jí)斐波那契數(shù)列，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用，注意自變量的取值范圍，對題意理解要準(zhǔn)確，屬于中檔題.6、B【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出約束條件，表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.7、C【解析】

首先把看作為一個(gè)整體，進(jìn)而利用二項(xiàng)展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式可得的第項(xiàng)為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù)，掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積，再計(jì)算出圓面積的，兩面積作差即可求解.【詳解】由圖，正八邊形分割成個(gè)等腰三角形，頂角為，設(shè)三角形的腰為，由正弦定理可得，解得，所以三角形的面積為：，所以每塊八卦田的面積約為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗(yàn)證選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式，還考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.10、C【解析】

設(shè)拋物線的解析式，得焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，這樣可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，∵直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，∴可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，解得，又∵點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)的的垂線與交于點(diǎn)，，∴.故應(yīng)選C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題時(shí)只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，就能得出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得參數(shù)的值．本題難度一般．11、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系，則，，，由，易得，則.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.12、B【解析】

展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，由二項(xiàng)式的通項(xiàng)，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項(xiàng)是由的展開式中含和的項(xiàng)分別與前面的常數(shù)項(xiàng)和項(xiàng)相乘得到，所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的求解，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化簡得到，，根據(jù)余弦定理和均值不等式得到，根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】，即，，故.根據(jù)余弦定理：，即.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，余弦定理，均值不等式，面積公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.14、【解析】

出場運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件顯然有3種，計(jì)算出總的基本事件數(shù)，由古典概型概率計(jì)算公式求得答案.【詳解】甲隊(duì)有編號(hào)為1，2，3的三名運(yùn)動(dòng)員，乙隊(duì)有編號(hào)為1，2，3，4的四名運(yùn)動(dòng)員，出場的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的事件數(shù)為3，出現(xiàn)的基本事件總數(shù)，則出場的兩名運(yùn)動(dòng)員編號(hào)相同的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查求古典概率的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.15、231,321,301,1【解析】

分個(gè)位數(shù)字是1、3兩種情況討論，即得解【詳解】0,1,2,3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字比210大的所有三位奇數(shù)有：（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí)，數(shù)字可以是231,321,301；（2）當(dāng)個(gè)位數(shù)字是3時(shí)數(shù)字可以是1．故答案為：231,321,301，1【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)法的應(yīng)用，考查了學(xué)生分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

類比，三角形邊長類比三棱錐各面的面積，三角形內(nèi)角類比三棱錐中側(cè)棱與面所成角．【詳解】，故，【點(diǎn)睛】本題考查類比推理．類比正弦定理可得，類比時(shí)有結(jié)構(gòu)類比，方法類比等．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：由于圖形是正四棱錐，因此設(shè)AC、BD交點(diǎn)為O，則以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，可用空間向量法解決問題．（1）只要證明＝0即可證明垂直；（2）設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD的法向量，而平面ABD的法向量為，利用法向量夾角與二面角相等或互補(bǔ)可求得．試題解析:(1)連結(jié)AC、BD交于點(diǎn)O，以O(shè)A為x軸正方向，以O(shè)B為y軸正方向，OP為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)镻A＝AB＝，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．由＝，得N，由＝，得M，所以，＝(－1，－1，0)．因?yàn)椋?，所以MN⊥AD(2)解：因?yàn)镸在PA上，可設(shè)＝λ，得M(λ，0，1－λ)．所以＝(λ，－1，1－λ)，＝(0，－2，0)．設(shè)平面MBD的法向量＝(x，y，z)，由，得其中一組解為x＝λ－1，y＝0，z＝λ，所以可?。?λ－1，0，λ)．因?yàn)槠矫鍭BD的法向量為＝(0，0，1)，所以cos＝，即＝，解得λ＝，從而M，N，所以MN＝＝．考點(diǎn)：用空間向量法證垂直、求二面角．18、（1）（2）見解析，【解析】

（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人，所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題設(shè)易得，問卷調(diào)查從四個(gè)小組中抽取的人數(shù)分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學(xué)生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學(xué)生來自同一個(gè)小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調(diào)查的12名學(xué)生中，來自甲、丙兩小組的學(xué)生人數(shù)分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0，1，2,因?yàn)樗噪S機(jī)變量的分布列為：012所求的期望為【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識(shí)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.19、（1），；（2）1.【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結(jié)合極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式，即可求得曲線的直角坐標(biāo)方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標(biāo)即可；（2）先求出的直角坐標(biāo)，據(jù)此求得中點(diǎn)的直角坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，聯(lián)立曲線的極坐標(biāo)方程，即可求得兩點(diǎn)的極坐標(biāo)，則距離可解.【詳解】（1）：可整理為，利用公式可得其直角坐標(biāo)方程為：，：的普通方程為，利用公式可得其極坐標(biāo)方程為（2）由（1）可得的直角坐標(biāo)方程為，故容易得，，∴，∴的極坐標(biāo)方程為，把代入得，.把代入得，.∴，即，兩點(diǎn)間的距離為1.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化，涉及參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及在極坐標(biāo)系中求兩點(diǎn)之間的距離，屬綜合基礎(chǔ)題.20、（1）見解析；（2）．【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，可得出，由此能證明平面；（2）由，得平面，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離