2025年中考數(shù)學(xué)模擬試題（數(shù)學(xué)開放性試題）：數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練與拓展技巧考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，下列說法正確的是（）A.函數(shù)的對稱軸為$x=\frac{3}{4}$B.函數(shù)的圖像開口向上C.函數(shù)的最小值為$f\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}$D.函數(shù)的圖像與x軸有兩個交點2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_9=90$，則公差$d$的值為（）A.2B.3C.4D.53.在三角形ABC中，$AB=5$，$AC=7$，$BC=8$，則角A的余弦值$\cosA$的取值范圍是（）A.$(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$B.$(\frac{\sqrt{2}}{2},1)$C.$(0,1)$D.$(\frac{\sqrt{2}}{2},\sqrt{2})$4.若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列說法正確的是（）A.$a>0$B.$b>0$C.$c>0$D.$ab>0$5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q>1$，且$a_1+a_2+a_3=27$，$a_3+a_4+a_5=81$，則$a_1$的值為（）A.3B.6C.9D.126.在$\triangleABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，則$\cosB$的值是（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$7.若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像與x軸有兩個交點，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列說法正確的是（）A.$a>0$B.$b>0$C.$c>0$D.$ab>0$8.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，則$\sinA$的值是（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$9.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_9=90$，則公差$d$的值為（）A.2B.3C.4D.510.若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列說法正確的是（）A.$a>0$B.$b>0$C.$c>0$D.$ab>0$二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，則函數(shù)的對稱軸為__________。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_9=90$，則公差$d$的值為__________。3.在三角形ABC中，$AB=5$，$AC=7$，$BC=8$，則角A的余弦值$\cosA$的取值范圍是__________。4.若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列說法正確的是__________。5.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q>1$，且$a_1+a_2+a_3=27$，$a_3+a_4+a_5=81$，則$a_1$的值為__________。6.在$\triangleABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，則$\cosB$的值是__________。7.若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像與x軸有兩個交點，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列說法正確的是__________。8.在$\triangleABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，則$\sinA$的值是__________。9.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n$，且$S_5=50$，$S_9=90$，則公差$d$的值為__________。10.若函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點坐標為$(1,2)$，則下列說法正確的是__________。三、解答題（本大題共2小題，共40分）1.已知函數(shù)$f(x)=2x^2-3x+1$，求：（1）函數(shù)的對稱軸；（2）函數(shù)的最小值；（3）函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標。2.在$\triangleABC$中，$AB=6$，$AC=8$，$BC=10$，求：（1）$\sinA$的值；（2）$\cosB$的值；（3）$\tanC$的值。四、應(yīng)用題（本大題共2小題，共20分）4.一輛汽車從甲地出發(fā)，以每小時80公里的速度行駛，行駛了2小時后，在乙地休息。之后，汽車以每小時60公里的速度繼續(xù)行駛，行駛了3小時后到達丙地。求甲、乙、丙三地之間的距離。五、證明題（本大題共2小題，共20分）5.證明：在任意三角形ABC中，有$\sinA+\sinB+\sinC>\frac{3}{2}$。六、解答題（本大題共2小題，共20分）6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=2$，求：（1）數(shù)列的前10項和$S_{10}$；（2）數(shù)列的第15項$a_{15}$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D。函數(shù)的對稱軸為$x=-\frac{2a}=\frac{3}{4}$，圖像開口向上，頂點坐標為$\left(\frac{3}{4},-\frac{1}{8}\right)$，與x軸有兩個交點。2.A。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$S_9-S_5=4d$，即$90-50=4d$，解得$d=2$。3.C。根據(jù)余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，代入數(shù)值計算得$\cosA$的取值范圍為$(0,1)$。4.A。函數(shù)的圖像開口向上，頂點坐標為$(1,2)$，則$a>0$。5.B。由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_1q^2+a_1q+a_1=27$，$a_1q^3+a_1q^2+a_1q=81$，解得$q=3$，代入得$a_1=3$。6.A。根據(jù)勾股定理，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$，代入數(shù)值計算得$\cosB=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\times3\times5}=\frac{3}{5}$。7.A。函數(shù)的圖像開口向上，頂點坐標為$(1,2)$，則$a>0$。8.A。根據(jù)勾股定理，$\sinA=\frac{a}{c}$，代入數(shù)值計算得$\sinA=\frac{3}{5}$。9.A。由等差數(shù)列的性質(zhì)，$S_9-S_5=4d$，即$90-50=4d$，解得$d=2$。10.A。函數(shù)的圖像開口向上，頂點坐標為$(1,2)$，則$a>0$。二、填空題1.$x=\frac{3}{4}$。2.2。3.$(0,1)$。4.$a>0$。5.3。6.$\frac{3}{5}$。7.$a>0$。8.$\frac{3}{5}$。9.2。10.$a>0$。三、解答題1.（1）函數(shù)的對稱軸為$x=\frac{3}{4}$。（2）函數(shù)的最小值為$f\left(\frac{3}{4}\right)=-\frac{1}{8}$。（3）令$f(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$或$x=1$，所以函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標為$\left(\frac{1}{2},0\right)$和$(1,0)$。2.（1）$\sinA=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$。（2）$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\times3\times5}=\frac{3}{5}$。（3）$\tanC=\frac{\sinC}{\cosC}=\frac{\sqrt{1-\sin^2C}}{\cosC}=\frac{\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}}{\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{16}}{4}=\frac{4}{5}$。四、應(yīng)用題4.解析：汽車從甲地到乙地行駛了2小時，距離為$80\times2=160$公里。從乙地到丙地行駛了3小時，距離為$60\times3=180$公里。所以甲、乙、丙三地之間的距離為$160+180=340$公里。五、證明題5.解析：由正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$，即$\sinA=\frac{a}{c}\sinC$，$\sinB=\frac{c}\sinC$。則$\sinA+\sinB+\sinC=\frac{a}{c}\sinC+\frac{c}\sinC+\sinC=\frac{a+b+c}{c}\sinC$。由三角形的性質(zhì)，$a