中國數(shù)學(xué)奧林匹克預(yù)賽北京賽區(qū)預(yù)賽2023一試2023年5月21日8:00-9:20前8題每題8分，第9題16分，第10,11題每題20分錯(cuò)誤難免，不吝指正.題1.1(2023北京預(yù)賽一試，第11-1題)如圖1,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分別是D,E.已知AD=8,BE=3,則圖1答案從而DE=CE-CD=5.題1.2(2023北京預(yù)賽一試，第11-2題) (這里|S|表示S的元素個(gè)數(shù)).答案解析解：整數(shù)x及其平方x2模9的余數(shù)情況如下表：x(mod9)0x2(mod9)01407由此可知，個(gè)3的倍數(shù)只能任選1個(gè)，其它所有數(shù)均可選入.第5-1頁公眾號：學(xué)霸之路試卷公眾號：清北之路試卷公眾號：好未來分享題1.3(2023北京預(yù)賽一試，第11-3題)答案解析只須w(4k+1)≠2(mod8)w≠2(mod8).而在1,2,….,2023中模8余2的數(shù)有253個(gè)，故所求數(shù)目為2023-253=1770.口題1.4(2023北京預(yù)賽一試，第11-4題)答案答案解：列樹狀圖分析：情形一：這樣的f一共有13個(gè).題1.5(2023北京預(yù)賽一試，第11-5題)=2,且a,B夾角為120°.若a+tB與ta+B的夾角為銳角，則t的取值范答案解析解：由題意，得(a+tb)(ta+6)>0.即t-1-t2+4t>0.解得公眾號：學(xué)霸之路試卷公眾號：清北之路試卷公眾號：好未來分享題1.6(2023北京預(yù)賽一試，第11-6題)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足答案解：原方程組變形為由于函數(shù)f(t)=t3+2023t在R上單調(diào)，故y+2=1-x.即x+y=-1.題1.7(2023北京預(yù)賽一試，第11-7題)已知在△ABC中，a=2b,,則答案解析解：我們記由則有m2+n2=1,x2+y2=1.所以由由正弦定理，得題1.8(2023北京預(yù)賽一試，第11-8題)使得n2+2023n為平方數(shù)的正整數(shù)n的最小值是__.答案解析解：設(shè)n2+2023n=m2,其中m∈Z>0,則公眾號：學(xué)霸之路試卷公眾號：清北之路試卷公眾號：好未來分享公眾號：學(xué)霸之路試卷公眾號：清北之路試卷公眾號：好未來分享注意到72×17?的正約數(shù)從小到大依次為1,7,17,72,7×17,172,72×17,7×172,173,72×172,7×173,17?,72×173,7×17?,72×17?.當(dāng)n取到最小時(shí)，(1)式左邊兩因式之和4n+2023×2取到最小，又2n+2m+2023>2023=7×172,故4n+2023×2=173+72×17.解得n=425.題1.9(2023北京預(yù)賽一試，第11-9題)已知a,b為正整數(shù)，a<b,且a,b互質(zhì).若關(guān)于x,y的不等式ax+by≤ab有且僅有2023組正整數(shù)解，則(a,b)=(求出滿足題意的所有可能數(shù)組).答案(a,b)=(2,4047),(3,2024),(8,579),或(18,239).解析127b-14046a,b是否互質(zhì)是是是否是否綜上，所求(a,b)=(2,4047),(3,2024),(8,579),或(18,239).題1.10(2023北京預(yù)賽一試，第11-10題)答案解析解法1:由柯西不等式，得等號成立.故所求最小值為5√5.解法2:設(shè)由權(quán)方和不等式，得故m+n≥5√5.后略.題1.11(2023北京預(yù)賽一試，第11-11題)現(xiàn)有11位同學(xué)報(bào)名博物館的志愿講解活動，活動從上午9點(diǎn)開始到下午5點(diǎn)結(jié)束，每小時(shí)安排一場公益講解2場，并且第一場與最后一場需要兩位不同的同學(xué)負(fù)責(zé).則館方共有_種排班方式.答案解析解：設(shè)講解n小時(shí)，館方有an(n=1,2,.,8)種排班方式.則a?=11,a?=11×10=110,a?=11×10×9=990.當(dāng)n≥4時(shí)，an=9an-1+10an-2·記b?=1