第09講圓的方程【題型歸納目錄】題型一：圓的標(biāo)準方程題型二：圓的一般方程題型三：點與圓的位置關(guān)系題型四：軌跡問題題型五：二元二次曲線與圓的關(guān)系題型六：圓過定點題型七：與圓有關(guān)的對稱問題【知識點梳理】知識點一：圓的標(biāo)準方程，其中為圓心，為半徑．知識點詮釋：（1）如果圓心在坐標(biāo)原點，這時，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時：；圓與x軸相切時：；與坐標(biāo)軸相切時：；過原點：（2）圓的標(biāo)準方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點．（3）標(biāo)準方程的優(yōu)點在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準方程可知，確定一個圓的方程，只需要a、b、r這三個獨立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準方程常用定義法和待定系數(shù)法．知識點二：點和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點在圓上（2）若點在圓外（3）若點在圓內(nèi)知識點三：圓的一般方程當(dāng)時，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點詮釋：由方程得（1）當(dāng)時，方程只有實數(shù)解．它表示一個點．（2）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點五：軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動點滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時，常采用直接法；當(dāng)動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時，常采用定義法；當(dāng)動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法（或稱相關(guān)點法）．2、求軌跡方程時，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗，去掉不合題設(shè)條件的點或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點（即不符合題意的點）；（5）作答．【典例例題】題型一：圓的標(biāo)準方程【例1】（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，則圓的標(biāo)準方程是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為圓C的一條直徑的兩個端點是分別是和，所以圓心為，直徑為，所以圓的標(biāo)準方程是.故選：C.【對點訓(xùn)練1】（2023·福建漳州·高二校聯(lián)考期中）已知圓C的圓心在直線上，且過點和，則圓C的標(biāo)準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓C的方程為，由點和點在圓C上，可得①，②，由①②可得，故圓C的標(biāo)準方程為.故選：A.【對點訓(xùn)練2】（2023·高二課時練習(xí)）已知圓的圓心在軸上，半徑長為，且過點的圓的標(biāo)準方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓心，則半徑，解得：，所以圓的標(biāo)準方程為，故選：D.【對點訓(xùn)練3】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）已知一個圓的方程滿足：圓心在點，且過原點，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，因為圓心是，且過點，所以，所以半圓的方程為，故選：D.題型二：圓的一般方程【例2】（2023·高二課時練習(xí)）過三點的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．【對點訓(xùn)練4】（2023·高二課時練習(xí)）求以為圓心，且經(jīng)過點的圓的一般方程（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得，圓的半徑，所以圓的方程為，所以圓的一般方程為.故選：C.【對點訓(xùn)練5】（2023·高二課時練習(xí)）當(dāng)為任意實數(shù)時，直線恒過定點，則以為圓心，為半徑的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】直線，當(dāng)時，，故直線恒過點，所以以為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準方程為，化簡得圓的一般方程為：.故選：C.題型三：點與圓的位置關(guān)系【例3】（2023·高二課時練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（

）A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不確定【答案】C【解析】因為，所以點在圓外，故選：C【對點訓(xùn)練6】（2023·全國·高二專題練習(xí)）點與圓的位置關(guān)系是（

）．A．點在圓上 B．點在圓內(nèi) C．點在圓外 D．不能確定【答案】C【解析】因為，所以點在圓外．故選：C題型四：軌跡問題【例4】（2023·高二課時練習(xí)）已知線段AB的端點B的坐標(biāo)為，端點A在圓C：上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么．【解析】設(shè)點P的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，又，且P為線段AB的中點，所以，則.因為點A在圓C：上運動，即有，代入可得，，整理可得，化為標(biāo)準方程可得.所以，中點P的軌跡方程為，該軌跡為以為圓心，1為半徑的圓.【對點訓(xùn)練7】（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)校考期末）已知圓的圓心在軸上，并且過，兩點.(1)求圓的方程；(2)若為圓上任意一點，定點，點滿足，求點的軌跡方程.【解析】（1）由題意可知，的中點為，，所以的中垂線方程為，它與軸的交點為圓心，又半徑，所以圓的方程為；（2）設(shè)，，由，得，所以，又點在圓上，故，所以，化簡得的軌跡方程為【對點訓(xùn)練8】（2023·高二課時練習(xí)）如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【解析】設(shè)動點P(x，y)，由題意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，令動點C(x0，y0)，則D(2x0-1，2y0)，由重心坐標(biāo)公式得，則代入，整理得故所求軌跡方程為.【對點訓(xùn)練9】（2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）已知點，，動點滿足，點的軌跡為曲線C.(1)求此曲線的方程.(2)若點Q在直線：上，點為曲線C上的動點，求的最小值.【解析】（1）設(shè)點，因為點，，，則，化簡整理得，即，所以曲線C的方程是.（2）由（1）知，曲線C是以點為圓心，4為半徑的圓，點到直線：的距離，顯然直線與圓相離，而點為圓上任意一點，點Q在直線上，因此，當(dāng)且僅當(dāng)且點是線段與圓的交點時取等號，所以的最小值是.題型五：二元二次曲線與圓的關(guān)系【例5】（2023·河南許昌·高二禹州市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程表示圓，則實數(shù)a的可能取值為（

）A． B．2 C．0 D．【答案】D【解析】由，可得，所以，解得或，選項中只有符合題意.故選：D.【對點訓(xùn)練10】（2023·陜西·高二校考階段練習(xí)）若方程表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程配方得，方程表示圓，則，解得或，故選：D．【對點訓(xùn)練11】（2023·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】方程表示圓，，即，解得：，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.題型六：圓過定點【例6】（2023·高二課時練習(xí)）點是直線上任意一點，是坐標(biāo)原點，則以為直徑的圓經(jīng)過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】D【解析】設(shè)點，則線段的中點為，圓的半徑為，所以，以為直徑為圓的方程為，即，即，由，解得或，因此，以為直徑的圓經(jīng)過定點坐標(biāo)為、.故選：D.【對點訓(xùn)練12】（2023·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）對任意實數(shù)，圓恒過定點，則定點坐標(biāo)為__．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點的坐標(biāo)是或．故答案為：或.【對點訓(xùn)練13】（2023·全國·高二專題練習(xí)）若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為_______【答案】【解析】設(shè)拋物線交軸于點，交軸于點、，由題意可知，由韋達定理可得，，所以，線段的中點為，設(shè)圓心為，由可得，解得，，則，則，所以，圓的方程為，整理可得，方程組的解為.因此，的外接圓恒過的定點坐標(biāo)為.故答案為：.題型七：與圓有關(guān)的對稱問題【例7】（2023·廣東廣州·高二?？计谀┮阎獔A關(guān)于直線對稱，則___________.【答案】/【解析】由圓方程知：圓心；圓關(guān)于直線對稱，直線過圓的圓心，，解得：.故答案為：.【對點訓(xùn)練14】（2023·湖北十堰·高二校聯(lián)考期中）點在圓上，且點關(guān)于直線對稱，則該圓的半徑是__________.【答案】【解析】由，該圓的圓心坐為，因為點在圓上，且點關(guān)于直線對稱，所以圓心在上，即，所以該圓的半徑為，故答案為：【對點訓(xùn)練15】（2023·四川宜賓·高二四川省宜賓市第四中學(xué)校?？计谥校┮阎獔A與圓關(guān)于直線對稱，則直線方程______．【答案】【解析】圓，圓心為，半徑圓，經(jīng)整理為，其圓心為，半徑；故中點為，，由對稱性知，，整理得直線l的方程為.故答案為：【對點訓(xùn)練16】（2023·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）圓關(guān)于直線對稱，則實數(shù)________．【答案】【解析】由題知圓的圓心為，因為圓關(guān)于直線對稱，所以在直線上，即，解得，當(dāng)時，，即為，滿足題意.故答案為：【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┓匠瘫硎疽粋€圓，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，得，解得.故選：B2．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓，圓與圓關(guān)于直線對稱，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知,圓的圓心與關(guān)于直線對稱，且兩圓半徑相等，因為圓，即，所以圓心，半徑為，設(shè)圓關(guān)于直線對稱點為，則，解得，即，所以圓的方程為，即.故選：A.3．（2023·高二課時練習(xí)）兩圓和的圓心連線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意即，即，故兩圓的圓心坐標(biāo)分別為，則連心線斜率為，則兩圓心的連線方程為即，故選：A．4．（2023·高二課時練習(xí)）若點是圓的弦的中點，則弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為圓心，，所以圓心，因為是圓的弦的中點，所以，所以，則直線的方程為，即，故選：C.5．（2023·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）已知點P在圓上，則點P到x軸的距離的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】圓,即圓

圓心為，半徑，得點P到x軸的距離的最大值為.故選：B.6．（2023·高二單元測試）圓關(guān)于直線對稱的圓是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓圓心為，半徑為，設(shè)點關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，所以點關(guān)于直線對稱的點為，所以圓關(guān)于直線對稱的圓是.故選：D.7．（2023·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過圓的圓心，其中，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．12【答案】D【解析】因為直線經(jīng)過圓的圓心，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故選：D8．（2023·四川成都·高二校考階段練習(xí)）已知點，，，點P在圓上運動，則的最大值為（

）A．88 B．77 C．66 D．55【答案】A【解析】點，，，設(shè)，則，點P在圓上運動，∴，所以，﹒把代入∵，所以當(dāng)時，的最大值為88﹒故選∶A﹒二、多選題9．（2023·高二課時練習(xí)）下列方程不是圓的一般方程的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，對于A中，方程，可得，所以方程是圓的一般方程；對于B中，方程，可得，所以方程不是圓的一般方程；對于C中，方程中，和的系數(shù)不相等，所以方程不是圓的一般方程；對于D中，方程中，存在項，所以方程不是圓的一般方程.故選：BCD.10．（2023·廣東惠州·高二惠州一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)有一組圓，下列說法正確的是（

）A．這組圓的半徑均為1B．直線平分所有的圓C．存在直線被所有的圓，截得的弦長相等D．存在一個圓與x軸和y軸均相切【答案】ABC【解析】對A：圓的圓心，半徑，故這組圓的半徑均為1，A正確；對B：∵，即圓心在直線上，故直線平分所有的圓，B正確；對C：由選項B可得：圓心在直線上，此時直線與圓截得的弦長均為直徑，故弦長均為，故存在直線被所有的圓，截得的弦長相等，C正確；對D：圓與x軸和y軸均相切，則，該方程無解，故不存在一個圓與x軸和y軸均相切，D錯誤；故選：ABC.11．（2023·湖南郴州·高二校考期中）圓（）A．關(guān)于點對稱 B．半徑為C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】可化為，即該圓圓心為，半徑為.由圓的性質(zhì)可知該圓關(guān)于點對稱，故AB正確；因為圓心不在直線上，所以該圓不關(guān)于直線對稱，故C錯誤；因為圓心在直線上，所以該圓關(guān)于直線對稱，故D正確；故選：ABD12．（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓和點，，若C上存在點P，使得，則m的可能值是（

）A．4 B．7 C．2 D．8【答案】AB【解析】由圓，可知圓心，半徑為2，所以圓心C到原點O的距離為5，∴圓C上的點P到原點O的距離滿足，因為圓上存在點，使得，所以，即，選項A，B正確，故選：AB.三、填空題13．（2023·四川成都·高二校聯(lián)考期末）曲線所圍成平面區(qū)域的面積為______．【答案】【解析】由得，則曲線表示的是以為圓心，為半徑的圓，所以曲線所圍成平面區(qū)域的面積為：，故答案為：．14．（2023·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）若表示圓，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】因為表示圓，所以，解得或，當(dāng)時方程，即，不表示任何圖形，故舍去；當(dāng)時方程，即，表示以為圓心，為半徑的圓，符合題意；故答案為：15．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點在圓上運動，則線段AP的中點的軌跡方程是______．【答案】【解析】

如圖所示，取OA中點D，連接DQ，則DQ為的一條中位線，，即有DQ∥OP，且，故Q在以D為圓心，DQ長為半徑的圓上，所以Q的軌跡方程為.故答案為：.16．（2023·高二課時練習(xí)）過圓外一點作圓的兩條切線，切點A、B，則的外接圓的方程是________．【答案】【解析】由圓，得到圓心O坐標(biāo)為，,，∴的外接圓為四邊形的外接圓，如圖所示，又，∴外接圓的直徑為，半徑為，外接圓的圓心C為線段OP的中點，即，則的外接圓方程是．故答案為：四、解答題17．（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）寫出圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準方程,并判斷點是否在這個圓上．若該點不在圓上,說明該點在圓外還是在圓內(nèi)？【解析】圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準方程是．把點的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊相等,點的坐標(biāo)滿足圓的方程,所以點在這個圓上．把點的坐標(biāo)代入方程的左邊,得,左右兩邊不相等,點的坐標(biāo)不滿足圓的方程,所以點不在這個圓上．又因為點到圓心A的距離．故點在圓內(nèi)．18．（2023·高二課時練習(xí)）已知圓C的半徑為，圓心在直線上，且過點，求圓C的標(biāo)準方