2024-2025學(xué)年上海市金山中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題

每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分。

1.（4分）經(jīng)過兩點(diǎn)/（2,1-石）和2（0,6+1）的直線/的傾斜角是.

2.（4分）已知圓柱底面圓的周長為2萬，母線長為4,則該圓柱的體積為一.

3.（4分）若拋物線C:/=2px（p>0）的焦點(diǎn)在直線x+2y-2=0上，則p等于.

4.（4分）已知全集[/=尺，集合/={x|x+a..O},5={x||x-l|?3}.若彳「|8=[-2,4],則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是?

2

5.（4分）雙曲線無2一匕=1的左焦點(diǎn)尸到其中一條漸近線的距離為

2

6.（4分）如圖，是用斜二測畫法畫出的△/5C的直觀圖，其中0H=09=00=1,則△/BC

的面積為.

7.（5分）已知空間四邊形兩對角線的長分別為8和10,所成的角為60。，依次連接各邊中點(diǎn)所得四邊形

的面積是.

8.（5分）已知橢圓C的焦點(diǎn)片、區(qū)都在x軸上，尸為橢圓C上一點(diǎn)，8的周長為6,且IWI，

\FtF2\,\PF2\成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

9.（5分）已知點(diǎn)/到平面a的距離是2,動點(diǎn)3、C在平面々內(nèi)，且48=4,則N4BC的最小值

為—.

10.（5分）已知定義在尺上的函數(shù)y=/（x）滿足/（x+3）=—'―,當(dāng)0<x<3時，f（x）=ax+2b（a>0,

/（無）

6>0）,若"2024）=2,則工+^1■的最小值為____.

ab

11.（5分）某同學(xué)畫“切面圓柱體”（用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切

面圓柱體），發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓（如圖所示）.若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為工，則

2

“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為―.

-1-

12.（5分）平面上到兩個定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的動點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心在兩定點(diǎn)所確定的

直線上，結(jié)合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知原Bp滿足舊|=|司=I,則

刈+g屬-Bi的取值范圍為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只

有一個正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。

13.（4分）若a,b,ceR,a>b,則下列不等式成立的是（）

11

A.—<—B.a2<b2

ab

ab

C.a\c\>b\c\D.————

c+1c+1

14.（4分）設(shè)。，0,7是三個不同的平面,。，b是兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（

A.若a_L4，aua,bu0,則。_16B.若a//分，aui,buf3,貝!JQ//6

C.若a//a,bu[3,則a與b異面D.若cr±/,/Ly,則。_17

4o

15.（5分）設(shè)曲線E的方程F+F=1,動點(diǎn)/（加,〃），,￡）（加,-〃）在￡上，對于結(jié)

xy

論：

①四邊形ABCD的面積的最小值為48；

②四邊形ABCD外接圓的面積的最小值為25萬.

下面說法正確的是（）

A.①②都對B.①②都錯C.①錯②對D.①對②錯

16.（5分）如圖，正方體透明容器/BCD-44GA的棱長為8，E,F,G,〃分別為441，AD,CC1,

-2-

4月的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱G2上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是()

B.向量由在向量的上的投影向量為,的

3

C.將容器的一個頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等，

再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為48百

D.向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫

出必要的步驟

17.(14分)在△/8C中，4(2,2),邊NC上的高2E所在的直線方程為x+3y-2=0,邊AB上中線CM

所在的直線方程為6x+y+4=0.

(1)求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)求直線2c的方程.

18.(14分)設(shè)向量r=(cos2元,力),n=(2,sin2x),f{x}=mn.

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；

(2)在△48。中，角/、B、C的對邊分別為a、b、c.若f(A)=2,a=2,且6+c=3,求△/2C

的面積.

19.(14分)箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形.如圖，四邊形22CD為箏形，其對角線

交點(diǎn)為。，/8=8c=2,將A45Z)沿8。折到△48Z)的位置，形成三棱錐

(1)求2到平面4OC的距離；

(2)當(dāng)4c=1時，在棱4D上是否存在點(diǎn)尸，使得直線24與平面POC所成角的正弦值為工？若存在,

-3-

求完的值；若不存在，請說明理由.

20.(18分)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，耳是C的兩個焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)為(-2右,0),離心

率為6.

(1)求C的方程；

(2)雙曲線C上存在一點(diǎn)尸，使得/斗羋=120。，求三角形尸耳月的面積；

(3)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，4，過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限,

直線"4與拓4?交于點(diǎn)尸，證明：點(diǎn)尸在定直線上.

21.(18分)已知y=/(x)是定義在［0,+8)上的函數(shù)，滿足f(x)>0恒成立.數(shù)列｛q｝滿足：%=0,

1“，

a”+i=4+,，、，neN,n...1.

/(?J

(1)若函數(shù)/(x)=a-2,-l(x..O),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/(無)是［0,+8)上的減函數(shù)，求證對任意正實(shí)數(shù)M,均存在%eN,%.」，使得

時，均有a“>V；

(3)求證：“函數(shù)>=/(無)是［0,+◎上的增函數(shù)”是“存在,使得/(%)<2/(a“)”的充

分非必要條件.

-4-

參考答案

選擇題（共4小題）

題號13141516

答案DDAC

一、填空題（本大題共有12小題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，1-6題

每個空格填對得4分，7-12題每個空格填對得5分，否則一律得0分。

1.（4分）經(jīng)過兩點(diǎn)/（2,1-6）和8（0,6+1）的直線/的傾斜角是_^_.

解：記直線/的傾斜角為0,

直線/過/（2,1-6）和3（0,6+1），

所以直線/的斜率k=1-二一.-1=一C，

2

所以tan夕=一百，

又0”6<71,

則隨

2%

故答案為:

T.

2.（4分）已知圓柱底面圓的周長為2?,母線長為4,則該圓柱的體積為_4萬

解：根據(jù)題意，設(shè)圓柱的底面半徑為尸，圓柱底面圓的周長為24，

所以2"=2兀,得到r=1,

又圓柱的母線長為/=4,所以圓柱的體積為/=?//=4〃.

故答案為：44.

3.（4分）若拋物線C:歹之=2夕x（p〉0）的焦點(diǎn)在直線％+2>-2=0上，則〃等于4.

解：由題可得：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（彳,0）,

又由拋物線的焦點(diǎn)在直線x+2y-2=0上，則有^-2=0,解可得p=4.

故答案為：4.

4.（4分）已知全集。=r，集合/={x|x+a..O},B={x\\x-\\?3}.若B=[-2,4],則實(shí)數(shù)a的取值

-5-

范圍是—{a\a<-4}

解：A={x\x+a...0}=[-a,+oo),

,/全集U=R,A=(-oo,-a),

B={x\\x-1\?3}=[-2,4],

-/1Pp=[—2,4]=51彳，

—a>4,a<—4.

故答案為：{〃|a<-4}.

2

5.（4分）雙曲線Y—匕=1的左焦點(diǎn)尸到其中一條漸近線的距離為V2

2—

解：根據(jù)曲線——匕=1,得a=l,b=6,c=y/^,

2

因此左焦點(diǎn)廠為（-行,0）,漸近線為y=±2%=±也n，

a

所以岳±y=0,因此左焦點(diǎn)尸到其中一條漸近線的距離為~^==V2.

V2+1

故答案為：V2.

6.（4分）如圖，△4?。是用斜二測畫法畫出的的直觀圖，其中04=0夕=。。=1,貝

解：如圖，根據(jù)原圖和直觀圖的對應(yīng)關(guān)系將直觀圖還原,

-6-

△/2C的面積為工x2x2=2.

2

故答案為：2.

7.（5分）已知空間四邊形兩對角線的長分別為8和10,所成的角為60。，依次連接各邊中點(diǎn)所得四邊形

的面積是

解:

如圖，空間四邊形中，兩對角線的長/C、2。的長分別為8和10,所成的角為60。,

分別取/8、BC、CD、D4的中點(diǎn)E、F、G、H,連接￡F、FG、GH、HA,

則EF//GH//AC,S.EF=GH=-AC=4,

2

EH/IGF/!BD,S.EH=GF=-BD=5,ZHEF=60°,

2

連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積

%邊隧~=2'於=2X1X4X5Xs沅6。。1=10百，

故答案為：ioG.

8.（5分）已知橢圓C的焦點(diǎn)片、B都在％軸上，尸為橢圓。上一點(diǎn)，△尸大鳥的周長為6,且|尸片|,

氏與|/岑|成等差數(shù)列，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+：=

解：?.?橢圓C的焦點(diǎn)耳、&都在X軸上，尸為橢圓C上一點(diǎn)，耳匕的周長為6,

22

二.設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+2=1（。>6>0）,且|+|%|+|片冏1=6,

ab

又|0月I，|片巴I，|尸旦|成等差數(shù)列，

:.\PFi\+\PF2\=2\FlF2\f

-7-

貝/片乙|=2，|W|+|P￡|=4,

/.2c=2，2。=4，

..a=2,c—\y

b—\la2—c2—V3,

22

則橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為L+匕=1.

43

22

故答案為：—+^=1.

43

9.(5分)已知點(diǎn)/到平面。的距離是2,動點(diǎn)5、。在平面。內(nèi)，且45=4,則/45C的最小值為—工—

6

解：設(shè)點(diǎn)/在平面a上的投影為點(diǎn)O,連接08,過點(diǎn)。作O。，8c于點(diǎn)。，連接/D,則4DL8C,

，且3次。=%26V3

4342

在Rf△OBD中，cosZOBC=—

OB

HJBDOBBD

因?yàn)椤?------

ABABOB

h

所以cos/ZBC=cosAABO-cosZ.OBC=——cosZOBC,

2

要求48c的最小值，需求cos/A8C的最大值，即求cos/。8c的最大值,

當(dāng)NO5C=0時，cosNO5C取得最大值1,

所以cosN4BC的最大值為且，即N43C的最小值為工.

26

故答案為：

6

10.(5分)已知定義在R上的函數(shù)y=/(x)滿足/(x+3)=」一，當(dāng)0<x<3時，f(x)=ax+2b(a>0,

/(x)

-8-

6>0),若"2024)=2,則工+工的最小值為4.

ab

解：因?yàn)槎x在尺上的函數(shù)y=/(x)滿足/(x+3)=」一，

所以〃x+6)=---=/(%),即函數(shù)的周期為6,

“無+3)

當(dāng)0cx<3時，f(x)=ax+2b(a>0,6>0),

若/(2024)=/(2)=2a+2b=2,貝!|a+6=l,

11a+ba+b?baab,、“口e,1口

-+-=------+-------=2+-+->2+2——=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-時取等號.

ababab\ba2

故答案為:4.

11.(5分)某同學(xué)畫“切面圓柱體”(用與圓柱底面不平行的平面切圓柱，底面與切面之間的部分叫做切

面圓柱體)，發(fā)現(xiàn)切面與圓柱側(cè)面的交線是一個橢圓(如圖所示).若該同學(xué)所畫的橢圓的離心率為工，則

2

“切面”所在平面與底面所成銳二面角的大小為_30。_.

解：設(shè)橢圓與圓柱的軸截面如圖所示，DEA.BC,則NCOE為“切面”所在平面與底面所成的角，設(shè)為

9.

設(shè)圓柱的直徑為2r,則CD為橢圓的長軸2a,短軸為DE=2r

則橢圓的長軸長2a=|CD|=2'，cos，=2,短軸長26=2r,

cos。a

貝！Jc=-b2，

所以6=30。.

故答案為：30°.

-9-

12.(5分)平面上到兩個定點(diǎn)距離之比為常數(shù)2(X>0"w1)的動點(diǎn)的軌跡為圓，且圓心在兩定點(diǎn)所確定的

直線上，結(jié)合以上知識，請嘗試解決如下問題：已知原方兄滿足151=|c|=1,|6|=2,a-b=l,則

m+的取值范圍為_[V3,V7]_.

解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

則8(1,6),D(-1,0),C在單位圓上，

,11一一>1一一>1—.

貝1|曰+5肉+5|己_6|=|己_00|+5修_6|=|。。|+5|50|,

設(shè)C(xj),E(m,n),滿足[詼|=2|而

2

故(x—m)+(j-a)?=4(x+J2+4y2,

整理得到4+4x=-2mx-2my+m2+w2,

故EE)，目6同j函+甌)，

當(dāng)B、C、￡三點(diǎn)共線時，

即c在G(-；,弓)時，有最小值為靛|=G,

當(dāng)c在。2弓)時，有最大值為:(1西|+1西|)=4

因?yàn)?(1就『+1就『)=(2CCJ2+(EB?<(4)2+(26)2=28,

BP|￡C|2+|BC|2<14,

當(dāng)1反1=1麗1時等號成立,

綜上所述：用+；叫+；花-小的取值范:圍為[8,77].

故答案為：

-10-

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分）每題有且只

有一個正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。

13.（4分）若a,b,ceR,a>b,則下列不等式成立的是（）

11

A.-<-B.a19<b29

ab

C.a|c|>6|c|D.

c-+1c+1

解：由a>6,

A.取。=1,6=-2時不成立；

B.取a=2,6=1時不成立；

C.取c=0時不成立；

D.v^+^O,可得：>二也恒成立.

c2+1c2+1

故選：D.

14.（4分）設(shè)a,（3,7是三個不同的平面，a,b是兩條不同的直線，則下列命題中為真命題的是（

）

A.若al■方，aua,bu/3,則々_16B.若a//分，aua,bu0,貝!JQ//6

C.若a//a,bu/3,則a與b異面D.若二「|'=4，01y,則。_17

解：a,。/是三個不同的平面，a,b是兩條不同的直線,

對于若a_L夕，a^a,bu0,則a與b相交、平行或異面，故/錯誤;

對于5,若a//4，a（^a,bu（3,則a與b平行或異面，故5錯誤；

對于C,若a//a,buB,則。與6有可能相交或平行，故。錯誤；

-11-

對于D,若aLy,PLy,則由面面垂直的性質(zhì)及線面垂直的判定得a_L7,故。正確.

故選：D.

49

15.(5分)設(shè)曲線E的方程f+f=l,動點(diǎn)/(加,〃)，B(-m,n),C(-m,-n),在￡上，對于結(jié)

xy

論：

①四邊形ABCD的面積的最小值為48；

②四邊形48CD外接圓的面積的最小值為25萬.

下面說法正確的是()

A.①②都對B.①②都錯C.①錯②對D.①對②錯

解：因?yàn)閯狱c(diǎn)，(加,“)，B(-m,n),C(-m,-n),D(m,-n),所以四邊形48cZ＞是矩形,

不妨設(shè)加＞0,n＞0,則矩形48c￡＞的面積為4%〃，

4Q

因?yàn)橐籢十=二1,

mn

所以1=乂+2..2當(dāng)斗=工,即加

mn\mnmn

當(dāng)且僅當(dāng)/=18,/=8時等號成立;

所以矩形4BCD的面積最小值為48.

四邊形ABCD外接圓的直徑為，(加+〃7)2+("+")2=2J機(jī)2+"2,

所以四邊形23cA外接圓的面積為%(/+"2),

AQ4Q4n2On?2

因?yàn)槎?==1,所以人4（加之+/）=萬（加2+/）（+）=萬。3+—-+——）...2571,

mnmnmn

當(dāng)且僅當(dāng)/=18,/=8時等號成立.

故選：A.

16.(5分)如圖，正方體透明容器/BCD-44GA的棱長為8,E,F,G,〃分別為441，AD,CC1,

4月的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱GA上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是()

-12-

A.BXG±BN

B.向量前在向量濟(jì)上的投影向量為工旃

3

C.將容器的一個頂點(diǎn)放置于水平桌面上，使得正方體的12條棱所在的直線與桌面所成的角都相等,

再向容器中注水，則注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為48G

D.向容器中裝入直徑為1的小球，最多可裝入512個

解：正方體透明容器22co-431G2的棱長為8，

E,F,G,〃分別為AD，CC,,4月的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱G2上任意一點(diǎn)，

對于工,由正方體性質(zhì)知：

上BCi,gc_LDG，BC\Q2G=G，

且8G、AQu面A8CQ,

4C_L面/BCQ,又8Nu面則4C_L8N,

由qC「|4G=4，故用G與BN不垂直，故/錯誤;

對于2,由題意EW//4B］且=，。是80，BQ交點(diǎn),連接OG,

OG/IBCI/AF,OG=-BC=AF,

2

二./尸G。為平行四邊形，則NO/AFG,AO=FG,

：.EM,尸G所成角，即為N耳，/O所成角，

由題設(shè)知/4=872,AO=4瓜0B、=472,

在△4?！髦衸cosZOABt|=|NO][優(yōu)產(chǎn)1=￥，

2AO'ABX2

-13-

即/月，40夾角為三，；.EM,尸G夾角為工,

66

.??向量麗在向量的上的投影向量為：

\EM\cos--=4^2x-x-^=-FG=~FG,故3錯誤;

6\FG\24后2

對于C,令放在桌面上的頂點(diǎn)為工,

若/G，桌面時，正方體的各棱所在的直線與桌面所成的角都相等,

此時要使容器內(nèi)水的面積最大，

即垂直于AQ的平面截正方體的截面積最大，

根據(jù)正方體的對稱性，

僅當(dāng)截面過/百，BB\,BC,CD,DD、,4口中點(diǎn)時截面積最大,

此時，截面是邊長為4形的正六邊形，

/.最大面積為6xgx(4A歷了xsin60°=486,

注水過程中，容器內(nèi)水面的最大面積為486，故C正確；

對于。，由題意，第一層小球?yàn)?x8=64個，第二層小球?yàn)?x7=49,

且奇數(shù)層均為64個，偶數(shù)層均為49,

而第一層與第二層中任意四個相鄰球的球心構(gòu)成一個棱長為1的正四棱錐，故高為名，

2

假設(shè)共有"層小球，則總高度為號(〃-1)+1,且"為正整數(shù)，

令學(xué)(〃一1)+148,貝lj〃47后+1,而10<7g+1<11,故小球總共有10層，

由上，相鄰的兩層小球共有113個，

正方體一共可以放113x5=565個小球，故D錯誤.

故選：C.

-14-

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫

出必要的步驟

17.(14分)在△/8C中，A(2,2),邊NC上的高BE所在的直線方程為x+3y-2=0,邊48上中線CM

所在的直線方程為6x+y+4=0.

(1)求點(diǎn)C坐標(biāo)；

(2)求直線3c的方程.

解：(1)在△48C中，/(2,2),邊/C上的高AE■所在的直線方程為x+3y-2=0,

由直線BE:x+3y-2=0的斜率為,得直線AC的斜率kAC=3,

邊N2上中線CM所在的直線方程為6x+y+4=0

直線NC的方程為y-2=3(x-2),即y=3x-4,由解得，二「，

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4).

(2)依題意，設(shè)8(2-36,6),則邊N8的中點(diǎn)在直線CM上，

于是6、三亞+等＞+4=0,解得：6=2,即點(diǎn)8(-4,2),

所以直線BC的方程為y+4=上*(》-0),

-4-0

即3x+2y+8=0.

18.(14分)設(shè)向量r=(cos2元,力),n=(2,sin2x),f{x}=mn.

(1)求函數(shù)y=/(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；

(2)在△23C中，角/、B、C的對邊分別為a、b、c.若/(A)=2,0=2,且6+c=3,求△/2C

的面積.

解：(1)因?yàn)閼c=(cos',G)，ii=(2,sin2x),f(x)=m-n,

所以/(x)=2COS2X+V3sin2x=cos2x+V3sin2x+1=2sin(2x+—)+1,

6

0TT

故函數(shù)＞=/(X)的最小正周期T=言=?.

2k7i~—<2x+—<2k7i+—(kEZ),k;r-—<x<k;r+—(kEZ),

26236

-15-

所以函數(shù)y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間為［丘-旖+*(左eZ).

所以函數(shù)歹="X)的最小正周期為7=萬，單調(diào)增區(qū)間為［族-生，0+勺依eZ).

36

(2)由題意知，/(N)=2sin(2/+.+1=2,即sin(2/+1o=g.

因?yàn)镹e(O㈤，所以24+.嗎,譽(yù)),

解得24+工=%，即/=工.

663

由余弦定理得：/=62+c2-2/?ccosA=b2+c2-2bcx—,

2

所以be=/+°?一。2=(6+。/一2兒-a2,即3bc=(b+c)2-a2=32-22=5,故6c=g.

所以△ABC的面積S=—Z?csin^4=—x—xsin—=.

223312

19.(14分)箏形是指有一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形.如圖，四邊形/5CD為箏形，其對角線

交點(diǎn)、為O,AB=O,BD=BC=2,將A45。沿5。折到△45。的位置，形成三棱錐H-BCD.

(1)求8到平面4OC的距離；

(2)當(dāng)4c=1時，在棱4。上是否存在點(diǎn)尸，使得直線34與平面尸OC所成角的正弦值為‘?若存在,

求完的值；若不存在，請說明理由.

解：(1)因?yàn)锳B=?,BD=BC=2,

所以區(qū)D不可能為四邊形ABCD的對稱軸，則AC為四邊形ABCD的對稱軸,

所以NC垂直平分8。，所以HOJL3。，CO1BD,

4Ou平面4OC,COu平面HOC,AO^\CO=O,

所以平面4OC,

所以3到平面A'OC的距離d=-BD=1.

2

(2)存在點(diǎn)尸，使得直線24與平面POC所成角的正弦值為1.

4

過。作。E_L平面BCD,所以O(shè)D,OE,0c兩兩垂直，

-16-

以O(shè)D,OE,。。所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系如圖,

由(1)得平面BCD_L平面4OC,因?yàn)椤?=1,。。=6/C=l,

_______、/31

設(shè)AP=XAD=(2,-^-2,--2)(2e[0,1]),

方=次+/=(收一&」⑷，

2222

OC=(0,V3,0),

設(shè)平面POC的法向量萬=(%/,z),

nOC=y=0

則-7YDQzV3A/3八,11八八取為=(4—1,0,24),

n-OP=Ax+(―-----—A)7+(2~2^=

設(shè)直線84與平面尸。C所成角為6,又瓦？=(l,?,g)

rjr-pj-nI~^~Af-||84,力||/i—1+4]

所以sme=cosBA',n=^=7——L==-----

\BAf\\n\收x&/-Ip+4力4

17

解得7或X」，

39

所以存在點(diǎn)尸，使得直線84與平面尸。C所成角的正弦值為!，且"=’或空=2.

4A'D3A'D9

20.(18分)已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，片，耳是C的兩個焦點(diǎn)，其中左焦點(diǎn)為(-2右,0),離心

率為石,

(1)求C的方程;

(2)雙曲線C上存在一點(diǎn)尸，使得/耳典=120。，求三角形尸￡區(qū)的面積;

(3)記C的左、右頂點(diǎn)分別為4，4，過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M,N兩點(diǎn)，M在第二象限,

直線"4與拓4?交于點(diǎn)尸，證明：點(diǎn)尸在定直線上.

-17-

解：(1)設(shè)雙曲線方程為：

ab

c=2V5

由題可得：<cL'

e，二后

、a

解得：a=2,貝！Jb=y/c2—a2=4,

22

所以雙曲線方程為：土-工=1;

416

(2)由(1)知，a=2,c=2V5,

所以||尸片H尸片||=2a=4,閨月|=2c=4石,

|尸尸J?+|時『一手耳『

]_

在^PFF中,由余弦定理得:COSZFPF=

X2{22|尸片II尸瑪I2

即(I郎HPKir+2|刊片GF=_1

2|尸耳||空|一2,

即-64+2|尸耳1

2|尸昂|兆|2,

64

即|尸用|小=彳，

所以三角形列笆的面積為；|牛|—sin4Pg=|xyx^=岑I；

(3)證明：由⑴可得4(-2,0),4(2,0),

設(shè)”(西，乂)，N(x『y2),顯然直線皿N的斜率不為0,

所以設(shè)直線MV的方程為x=%y-4,J!L<m<—,

22

x=my-4

聯(lián)立方程組<x2y2，可得(4/-1)_/_32my+48=0,

----------=1

I416

貝|4加2—1。0,A=64(4m2+3)>0,

32m48

所以必+%=

4加?_1

又直線MA的方程為y=(x+2),

t為+2

直線NA2的方程為V=/一0-2),

—2

-18-

」7（X+2）

y=

石+1

聯(lián)立方程組V消去y可得:

上a-2）

y=7

x2-2

x+

x+2y2（i2）

x-2y,（x2-2）

_%（加%-2）

yj（my2-6）

_叫％-2（必+%）+2%

孫%-6%

48232m

m

4m2-14m2-1

48

mx------一6%

4m2-1

-16m

4/_i+2%

48m

一6弘

4m2-1

_1

---，

3

+7i

即r士=一_L,解得：x=_i,即/=—1,

x-23尸

所以點(diǎn)P在定直線x=-l上運(yùn)動.

21.(18分)已知/=/(無)是定義在［0,+co)上的函數(shù)，滿足/(x)>0恒成立.數(shù)列缶“｝滿足：q=0,

1

??1=a?，neN,n...1.

+/（??）

(1)若函數(shù)/(x)=a-2-l(x..O),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)若函數(shù)y=〃尤)是［0,+8)上的減函數(shù)，求證對任意正實(shí)數(shù)M,均存在%eN,%」，使得〃

時,均有a“>Af；

(3)求證：“函數(shù)了=/(無)是［0,+oo)上的增函數(shù)”是“存在,使得了(%)<2/(a")”的充

分非必要條件.

解：(1)由/(x)=a,2"-1>0,即a>對一切xe［0,+oo)恒成立，

因?yàn)?；)“，，(f°=l，

所以”>1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,+8);

-19-

(2)證明:由函數(shù)/(x)在［0,+00)上單調(diào)遞減，即對一切xw［0,+oo),均有/(x),J(0),

11

所以對一切〃eN*,均有/(4),,〃0),可得:凡口=H------>6Z?H------

/(??)/(0)