專題14計數(shù)原理、隨機(jī)變量及分布列

目錄

01模擬基礎(chǔ)練.......................................................2

題型一：排列組合問題................................................2

題型二：二項式定理問題..............................................5

題型三：抽用樣本估計總體............................................8

題型四：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差.........................14

題型五：正態(tài)分布問題...............................................24

02重難創(chuàng)新練......................................................28

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題型一：排列組合問題

1.已知一個基因由若干個堿基對組成，而一個堿基對由A,T,C,G四種堿基中任取兩個堿基配對排列

而成，其中A只能與T配對，C只能與G配對.如果〃個堿基對組成一個基因，那么"個堿基對組成的基因

個數(shù)為.

【答案】4-

【詳解】因為一個堿基對是由A,T,C,G四種堿基中任取兩個堿基配對排列而成，

其中A只能與T配對，C只能與G配對，

所以堿基對有A-T,T-A,C-G,G-C共有2A；=4個，

若"個堿基對組成一個基因，那么n個堿基對組成的基因個數(shù)為4".

故答案為：4".

2.在3x3的方格中，每個方格被涂上紅、橙、黃、綠四種顏色之一，若每個2x2的方格中的四個小方格的

顏色都不相同，則滿足要求的不同涂色方法的種數(shù)為.

【答案】72

【詳解】設(shè)四種顏色分別為對于第一個2x2的方格，共有用=24種不同的涂法，

假設(shè)第一個2x2的方格，涂如圖所示N2CD四種顏色，

①若第三列的一個方格涂A,第三列的第二方格涂C,則第三列的第三方格涂A或B,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緼時，則第三行的第一、二方格，分別涂48；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緽時，則第三行的第一、二方格，分別涂瓦/；

②若第三列的一個方格涂C,第三列的第二方格涂A,則第三列的第三方格涂C或3,

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢緾時，則第三行的第一、二方格，分別涂48；

當(dāng)?shù)谌械牡谌礁裢?時，則第三行的第二方格涂C,不合題意；

所以，共有3類涂法，則共有24x3=72種不同的涂色方法.

故答案為：72.

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□

□□□

3.在《紅樓夢》中有一道名為“茄餐”的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新筍、豆腐干、果干、茄子凈

肉六種原料，烹飪時要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，最后還需加入精心熬

制的雞湯，則烹飪“茄餐”時不同的下鍋順序共有種.

【答案】12

【詳解】將香菌、新筍、豆腐干看成一個元素，與其他3種原料一起共有4個元素排順序，

茄子凈肉在雞脯肉后下鍋，有C：=6種順序，

剩下兩個元素放入最后2個位置，有A；=2種順序，

貝I］有C；xA；=6x2=12種下鍋順序.

故答案為：12.

4.一組學(xué)生站成一排.若任意相鄰的3人中都至少有2名男生，且任意相鄰的5人中都至多有3名男生，則

這組學(xué)生人數(shù)的最大值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【詳解】如果人數(shù)大于6,考慮前7個人：ABCDEFG,

每相鄰的3人取成一組，則有ABC,BCD,CDE,DEF,EFG5組，

因為任意相鄰的3人中都至少有2名男生，所以這5個組里至少有10名男生，

即ABBCCCDDDEEEFFG這15人中至少有10名男生；

每相鄰的5人取成一組，則有4BCDE,BCDEF,CDEFG3組，

因為任意相鄰的5人中都至多有3名男生，所以這3個組里至多有9名男生，

即ABBCCCDDDEEEFFG這15人中至多有9名男生；

顯然矛盾，故人數(shù)不可能大于6,

當(dāng)人數(shù)為6時，用1表示男生，0表示女生，則可以101101.

故選：B.

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5.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，僅有兩人報同一項目的報名方法種數(shù)為（）

A.18B.24C.30D.36

【答案】D

【詳解】由題意，四名同學(xué)分為三組，其中一組2人，安排報名3個項目即可，

共有CjA；=6x6=36種不同的方法.

故選：D

6.初等數(shù)論中的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數(shù)學(xué)家證明.四平方和定理的內(nèi)容是：任

意正整數(shù)都可以表示為不超過四個自然數(shù)的平方和，例如正整數(shù)6=22+12+12+02.^25=a2+b2+c2+d2,

其中a,6,c,d均為自然數(shù)，則滿足條件的有序數(shù)組（見ac/）的個數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】28

【詳解】顯然a,AGd均為不超過5的自然數(shù)，下面進(jìn)行討論：

最大數(shù)為5的情況：

①25=5?+O2+（）2+O2,此時共有A；=4種情況.

最大數(shù)為4的情況：

@25=42+32+02+02,此時共有A；=12種情況.

.?25=42+22+22+l2,此時共有A；=12種情況.

當(dāng)最大數(shù)為3時，32+32+22+22>25>32+32+22+12,沒有滿足題意的情況.

由分類加法計數(shù)原理，滿足條件的有序數(shù)組瓦G"）的個數(shù)是4+12+12=28.

故答案為：28.

7.在0,1,2,3,4,5這6個數(shù)中任取4個，可組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)（）

A.240B.300C.320D.360

【答案】B

【詳解】分步完成，

第一步，首位數(shù)字不能為零，有5種取法；

第二步，其余三位數(shù)可以從剩下的五位數(shù)中任取三位，共有A；=60種取法；

所以一共有5x60=300種，

故選：B.

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8.從0,1,2,5中取三個不同的數(shù)字，組成能被5整除的三位數(shù)，則不同三位數(shù)有（）

A.12個B.10個C.8個D.7個

【答案】B

【詳解】能被5整除的三位數(shù)末位數(shù)字得是0或5,

當(dāng)末位數(shù)字為0時，此時有A；=6個符合條件的三位數(shù)，

當(dāng)末位數(shù)字為5時，此時有2x2=4個符合條件的三位數(shù)，

因此一共有4+6=10個，

故選：B

9.甲、乙等5個人排成一列，則甲不在排頭的排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】96

【詳解】第一步，甲不在排頭的排法有C；種，第二步，安排其余四人的排法有A：種，

故由分步乘法可得甲不在排頭的排法有C；xA：=96種.

故答案為：96.

10.由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字，且1,3不相鄰的六位數(shù)的個數(shù)是（）

A.240B.288C.360D.480

【答案】D

【詳解】由12,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)的個數(shù)是A；=720,

1,3相鄰的六位數(shù)的個數(shù)是A；A；=240,

所以1,3不相鄰的六位數(shù)的個數(shù)是720-240=480.

故選：D.

題型二：二項式定理問題

H.在（4-：］的展開式中，x的系數(shù)是.

【答案】-5

【詳解】二項式展開式的通項為卻|=（-i）y1（0少=5且廠一）,

令寸^=1,解得r=1,所以＜二（—1）（%=—5x,

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所以工的系數(shù)是-5.

故答案為：-5

4432

12.^：(2x-l)=6Z4X+6Z3X+6Z2X+?1X+<70,貝!jq+2+43+。4=.

【答案】0

【詳解】取x=l,得。4+。3+。2+%+。0=(2xl—l)4=1,

取1=0,得旬=(一1)4=1,

所以％+%+/+。4=0.

故答案為：0

13.在(X-W)6的展開式中，常數(shù)項為()

X

A.60B.15C.-60D.-15

【答案】A

【詳解】二項式(X-］)6的展開式的通項為=C"6T(-1)’=(一2YC"6-3,,rGN,r<€,

由6-3r=0,得r=2,所以所求常數(shù)項為［=(-2)2晨產(chǎn)，=60.

故選：A

14.在卜-的展開式中，常數(shù)項為()

A.-15B.15C.-30D.30

【答案】B

【詳解】/=C"6T(一4丫=(T)，C"6-3"

令6-3r=0,得廠=2,

常數(shù)(一1戶a=15,

故選：B.

15.(1+x+x］的展開式中，f的系數(shù)是.

【答案】6

【詳解】對于(l+X+/)3的展開式，依據(jù)排列組合知識，

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相當(dāng)于從(1+》+/乂1+芯+/乂1+》+/)這3個因式中選出上個因式取元素％2,

再從剩下的3-左個因式中選出，,個因式取元素X,

最后再從剩下的3-左-r個因式中取元素1.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可知選取的情況種數(shù)為C：CLC；之;.

所以可以得到(l+x+x2y的通項公式為：

C；CLC；二仁；產(chǎn)"，(x2『(左=0,1,2,3/e卜eZ|04rW3-耳).

根據(jù)通項公式，可得f的系數(shù)為C；C；C；+C；C；C；=6.

故答案為：6

16.二項式，展開式的各二項式系數(shù)之和為32,n=；該展開式中Y項的系數(shù)為

【答案】5-5

【詳解】二項式，展開式的各二項式系數(shù)之和為32,則有2,=32,得〃=5；

二項式上展開式的通項為=C"5-(_J|=(-l)rC；x5-2r,0<r<5,fl.reN,

令5-2r=3,解得廠=1,所以展開式中d項的系數(shù)為(-l)C；=-5.

故答案為：5；-5.

17.在的展開式中，常數(shù)項為.(用數(shù)字作答)

【答案】60

【詳解】由[x+的展開式的通項為小=Ck"[I]=《2k,

令6-3左=0,k=2,則月=或22彳°=60,

即在、+的展開式中，常數(shù)項為60,

故答案為：60.

is.在(Y-ly的展開式中，常數(shù)項為.

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【答案】-4

【詳解】，-1）4的展開式的通項&1=1（9廠］一￡［=（一1丫弓.產(chǎn)4，，

令12-4，=0,解得廠=3,故常數(shù)項為7；=（-1）3C：=-4.

故答案為：-4.

19.在［4+1］的展開式中，常數(shù)項是.

【答案】15

【詳解】由題意（6+3］的展開式的通項為卻|=C>（4廣=C）3「x'/=0,l,2,3,4,5,

令即r=l,則Cg3=C>3=15,所以+的展開式中的常數(shù)項為15.

故答案為：15.

20.已知（辦-1=］的展開式中，常數(shù)項為60,則。的值為（）

A.2B.2,-2C.3D.3,-3

【答案】B

6--k

【詳解】展開式的通項為KT=C：\axf-k=C/(-l)/?X2

3

令6——k=0,可得左=4,

2

因此，展開式中的常數(shù)項為4=c：（-1）4/=60.

則a?=4,a=±2.

故選：B.

題型三：抽用樣本估計總體

21.若a，Z,…，尤"的平均數(shù)為5,方差為4,則2%-3,2x2-3,…，2尤“-3的平均數(shù)為；方差

為.

【答案】716

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【詳解】因為七，/，…，X,的平均數(shù)為5,方差為4,

所以數(shù)據(jù)2%-3,2X2-3,…，2x“-3的平均數(shù)為：x=2x5-3=7,

方差為/=22x4=16.

故答案為：7；16.

22.為調(diào)查某校學(xué)生的校志愿者活動情況，現(xiàn)抽取一個容量為100的樣本，統(tǒng)計了這些學(xué)生一周內(nèi)的校志

愿者活動時長，并繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖，記數(shù)據(jù)分布在

[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400]的頻率分另IJ為工，力已知

⑴求力/的值；

(2)求樣本中在[150,300)內(nèi)的頻數(shù)；

(3)若全校共2000名學(xué)生，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計：全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動時長不少于250分鐘的人

數(shù).

【答案】(1)力=0.15,f6=0.1(2)65(3)600人

【詳解】(1)由圖知：＜=0.001x50=0.05,工=0.006x50=0.3,

=0.5-/；-/；=0.5-0.05-0.3=0.15,

人=人=0.15,%=工=0.05,

九+九=1一(工+力+力+%+力)=1一(0.5+0.15+0.05)=0.3,

由于&=2九，則％=0」.

(2)樣本中在[150,300)內(nèi)的頻率為力+&+八=0.3+0.2+0.15=0.65,

相應(yīng)的頻數(shù)為100x0.65=65.

(3)樣本中在[250,400]內(nèi)的頻率為%+〃+%=()15+0.1+0.05=0.3,

全校學(xué)生一周內(nèi)的校志愿者活動時長不少于250分鐘的人數(shù)估計值為：2000x0.3=600人.

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23.若西,工2,…，尤”的平均數(shù)為5,方差為4,則2%-3,2馬-3,…,2%-3的平均數(shù)為；方差為.

【答案】716

【詳解】因為再,馬，…,x”的平均數(shù)為5,方差為4,

所以2毛一3,2乙一3,…,2x“-3的平均數(shù)為2x5-3=7,方差為2?x4=16.

故答案為：7；16

24.某地2013年調(diào)研了十萬名城鎮(zhèn)居民的稅后年收入(單位：千元)情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

收入范圍0?1515?2525?3535?4545?5555?6565?7575?8585?95

占比3.9%9.3%5.8%11.5%13.5%20%18%11.6%6.4%

則該地人均稅后年收入的中位數(shù)大約是()

A.46B.48C.56D.58

【答案】D

【詳解】由統(tǒng)計圖表可知3.9%+9.3%+5.8%+11.5%+13.5%=44%<0.5,

3.9%+9.3%+5.8%+11.5%+13.5%+20%=64%>0.5,

所以中位數(shù)在55?65之間，中位數(shù)大約是55+=05-044%rxl0=58,

故選：D

25.為了解某地區(qū)居民每戶月均用電情況，采用隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)調(diào)查了100戶居民，獲得了他們每戶

月均用電量的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)每戶月均用電量都在50?350kW?h之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后(每組為左閉右開區(qū)間)，

得到如下頻率分布直方圖：

.頻率

W

0.0060----------------——

0.0048-----------------------------

0.0036-.............——

0.0024----------------------------------

0.0008-----------------------------------------1

O50100150200250300350月均用電量/(kW?h)

(1)記頻率分布直方圖中從左到右的分組依次為第1組，第2組，…，第6組，從第5組和第6組中任取2

戶居民，求他們月均用電量都不低于300kW-h的概率；

(2)從該地區(qū)居民中隨機(jī)抽取3戶，設(shè)月均用電量在50?150kW-h之間的用戶數(shù)為X,以頻率估計概率，求

X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

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（3）該地區(qū)為提倡節(jié)約用電，擬以每戶月均用電量為依據(jù)，給該地區(qū)月均用電量不少于wkW-h的居民用戶每

戶發(fā)出一份節(jié)約用電倡議書，且發(fā)放倡議書的數(shù)量為該地區(qū)居民用戶數(shù)的2%.請根據(jù)此次調(diào)查的數(shù)據(jù)，估

計w應(yīng)定為多少合適？（只需寫出結(jié)論）.

【答案】⑴,；（2）X的分布列見解析,E（X）=0.9；（3）w應(yīng)定為325合適.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，100戶居民中，

第5組居民戶數(shù)為100x50x0.0024=12,第6組的居民戶數(shù)為100x50x0.0004=4,

所以從第5組和第6組中任取2戶居民，他們月均用電量都不低于300kW-h的概率為9=圣=啟=A.

（2）該地區(qū)月均用電量在50?150kW?h之間的用戶所占的頻率為（0.0024+0.0036）x50=0.3,

所以由題意可知X~8（3,0.3）,X的可能取值為04,2,3,

所以尸（X=0）=（1-OB）'=0343,尸（X=1）=C；x0.3x（1-0.3）2=0.441,

尸（X=2）=C；x0.32x（1-0.3）=0.189,尸（X=3）=0.33=0.027,

所以X的分布列為

X0123

P0.3430.4410.1890.027

E（X）=3x0.3=0.9.

（3）由頻率分布直方圖可知月均用電量在50?300kW?h之間的用戶所占的頻率為1-0.0008x50=0.96,

設(shè)月均用電量的樣本數(shù)據(jù)的第98百分位數(shù)為b,貝玲e（300,350）,

所以0.96+（6-300）x0.0008=0.98=6=325,

所以卬應(yīng)定為325合適.

26.已知某4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6,方差為3,現(xiàn)又加入一個數(shù)據(jù)6,此時這5個數(shù)據(jù)的方差為（）

24161412

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

【詳解】設(shè)這四個數(shù)為國,工2，工3，工4，

根據(jù)題意可得4（國+%+'3+%）=6,即%+/+%3+%4=24;

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且;[（X[-6）2+（X?-6）2+（退-6）2+（/-6）[=3,即（X[-6）2+（尤2-6）2+（尤3-6j+14-6j=12；

加入數(shù)據(jù)6以后5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為再+.+：+\+6=6,

故選：D

27.已知A,8兩組數(shù)據(jù)，其中A：2,3,4,5,6；B-11,4,13,14,12；A組數(shù)據(jù)的方差為:

若A,8兩組數(shù)據(jù)的方差相同，試寫出一個。值______.

【答案】210或15

2+3+4+5+6

【詳解】A組的平均數(shù)嚏=-------------------=4,

5

ll+a+13+14+12_。+50

8組的平均數(shù)P=

55

則A組的方差為

5

則B組的方差為

22222、

-l-l---+--a----+--1--35--+-1--4----+-1--2----1f—a+50hY2

解得a=10或15.

故答案為：2；10或15.

28.設(shè)數(shù)據(jù)1,2,3,4,5的第m百分位為/（加），A/={y|y=/（m）,meN,l<m<100},則集合M中元

素的個數(shù)為（）

A.5B.6C.9D.100

【答案】C

【詳解】設(shè)，="加％,其中〃=5,所以i=5x〃z%,

當(dāng)1W加<20時，0<i<l,貝心的比鄰整數(shù)為1,所以〃加）=1；

當(dāng)“7=20時，，=1,所以/（加）=上1^=1.5；

當(dāng)20〈加<40時，l<z<2,貝h,的比鄰整數(shù)為2,所以〃相）=2；

2+3

當(dāng)機(jī)=40時，i-2,所以/（加）=J=2.所

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當(dāng)40<加<60時，2<i<3,貝打的比鄰整數(shù)為3,所以〃m）=3；

3+4

當(dāng)機(jī)=60時，z=3,所以f（m）=2=3.5；

當(dāng)60〈機(jī)<80時，3<z<4,貝I"的比鄰整數(shù)為4,所以/（加）=4；

4+5

當(dāng)=80時，i=4,所以f（m）=2=4.5；

當(dāng)80（加<100時，4<z<5,則，的比鄰整數(shù)為5,所以/'（加）=5；

當(dāng)m=100時，f（m）=5-

綜上，M={1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5},

故選:C.

29.下圖是甲、乙兩地10月1日至7日每天最低氣溫走勢圖.

上溫度（℃）

。1,日2口3口4了5,日6口77日日

?甲乙

記這7天甲地每天最低氣溫的平均數(shù)為工，標(biāo)準(zhǔn)差為、；記這7天乙地每天最低氣溫的平均數(shù)為X，標(biāo)準(zhǔn)

差為$2.根據(jù)上述信息，下列結(jié)論中正確的是（）

A.Xi<X1,SX<s2B.X1<X2,SX>s2C.X1>X2,s1<s2D.Xl>X2,s1>s2

【答案】B

【詳解】甲地1至7日最低氣溫均低于乙地，則甲地最低氣溫平均值也會小于乙地，即工<三；

標(biāo)準(zhǔn)差時反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動強(qiáng)弱的量，

由圖可知甲地最低氣溫明顯波動性較大，則標(biāo)準(zhǔn)差值要大，即即>$2.

故選：B

30.有甲乙兩組數(shù)據(jù)

甲組：1222233355668891010121313

乙組：00001123456677101414141415

求：兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，以及25%分位數(shù)（第一四分位數(shù)），與75%分位數(shù)（第三四分位數(shù)）.

13/33

【答案】答案見解析

【詳解】甲乙兩組數(shù)據(jù)中位數(shù)均為5.5,

數(shù)據(jù)個數(shù)20,20x75%=15,因此甲組的75%分位數(shù)為至?="2=9.5,

22

乙組數(shù)的75%分位數(shù)為生■衿=四乎=12,

22

同理，甲組的25%分位數(shù)為2.5,乙組的25%分位數(shù)為1.

題型四：離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差

31.某甜品店打算推出三款新品，在前期市場調(diào)研時，將顧客按照年齡分為青少年組中年組和老年組，隨

機(jī)調(diào)查了200名顧客對這三款新品的購買意愿，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下（單位：人）：

青少年組中年組老年組

愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意

第一款402080202020

第二款303060403010

第三款501080201030

假設(shè)顧客的購買意愿相互獨(dú)立.用頻率估計概率.

（1）從顧客中隨機(jī)抽取1人，估計該名顧客愿意購買第一款新品的概率；

（2）從三個不同年齡組的顧客中各隨機(jī)抽取1人，記X為這3人中愿意購買第二款新品的人數(shù)，求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望EX；

⑶用“自=1（，=1,2,3）”表示顧客愿意購買第，款新品，"&=0（i=1,2,3）”表示顧客不愿意購買第7?款新品.直

接寫出方差嗎,。務(wù)黨3的大小關(guān)系.

【答案】⑴0.7⑵分布列見解析，￡（X）嗡⑶。?）＞。侑）=。侑）

【詳解】（1）由表可知200名顧客中愿意購買第一款新品的人數(shù)為40+80+20=140人，

用頻率估計概率，從顧客中隨機(jī)抽取1人，估計該名顧客愿意購買第一款新品的概率為1施40=0.7.

301

（2）用頻率估計概率，由表可知從青少年組中抽取1人，愿意購買第二款新品的概率為

30+302

從中年組中抽取1人，愿意購買第二款新品的概率為上一=3,

60+405

14/33

從老年組中抽取1人，愿意購買第二款新品的概率為拈1rl

由題意X的可能取值為0,1,2,3,

所以X的分布列為

X0123

11199

P

20402040

c1,11c9c937

E(X)—0x----F1x-----F2x----F3x—二—

v72040204020

40+80+207

（3）用頻率估計概率，由表可知顧客愿意購買第1款新品的概率為

200~Tof

30+60+303

顧客愿意購買第2款新品的概率為

2005

顧客愿意購買第3款新品的概率為———=—,

所以￡信）=￡侑）=lx5+0x1高=5，g）=lx|+0x（l

所以。俗）=。值）=0.21

所以。催）＞。信）=。值）.

32.有一種質(zhì)地均勻的“新型”骰子，其六面中有三面點數(shù)為1,兩面點數(shù)為2,一面點數(shù)為3,現(xiàn)連續(xù)擲兩

次該骰子，則這兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為（）

41-52

A.-B.-C.—D.一

9293

【答案】A

15/33

【詳解】記第一次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件A,擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件工，則尸（/）=。尸0）=|,

記第二次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件8,擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件加則='

則兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)為事件/n豆，

所以尸（/n耳+，ns）=尸（/n分卜尸（Tns卜尸卜尸卜尸（Tp6）

42244

=—X—+—X—=—.

66669

故選：A.

33.有一種質(zhì)地均勻的“新型”骰子，其六面中有三面點數(shù)為1,兩面點數(shù)為2,一面點數(shù)為3,現(xiàn)連續(xù)擲兩

次該骰子，則這兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為（）

4152

A.-B.-C.-D.一

9293

【答案】A

A_O

【詳解】記第一次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件A,擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件則尸（/）==/（1）=：,

66

4_o

記第二次擲出的點數(shù)為奇數(shù)為事件3,擲出的點數(shù)為偶數(shù)為事件瓦則打⑷二1尸門戶丁

則兩次擲出點數(shù)之和為奇數(shù)為事件/n豆+%n3，

所以P（/c豆+1c8）=尸（/c豆）+P（1c8）=P（/）P（否）+P（N）尸（8）

42244

=-x1——X—=——

66669

故選：A.

34.現(xiàn)有一種檢驗方法，對患X疾病的人化驗結(jié)果99%呈陽性，對未患X疾病的人化驗結(jié)果99.9%呈陰性.我

們稱檢驗為陽性的人中未患病比例為誤診率.已知一地區(qū)X疾病的患病率為0.0004,則這種檢驗方法在該地

區(qū)的誤診率為（）

A.0.716B.0.618C.0.112D.0.067

【答案】A

【詳解】記事件/:檢查結(jié)果呈陽性，事件3:被檢查確實患X疾病，

由題意可知，*5）=0.0004,尸（可=0.9996,尸（/忸）=0.99,尸（N同=0.001,

所以,尸（4）=尸⑶尸［同耳討到=0.0004x0.99-+0.9996xO.OOl=0.0013956,

16/33

因此，這種檢驗方法在該地區(qū)的誤診率為P(即)=需=g*=*^於。.716,

故選：A.

35.某批產(chǎn)品由一等品、二等品、三等品及次品構(gòu)成.隨機(jī)抽取20件，統(tǒng)計情況如下表:

等級一等品二等品三等品次品

件數(shù)10631

以頻率估計概率.

(1)若從這批產(chǎn)品中任取一件，試估計“其為一等品或二等品”的概率；

⑵在抽取的20件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，求其中“既有一等品又有二等品”的概率；

(3)若改進(jìn)技術(shù)后，產(chǎn)品為一等品的概率提升為:從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，其中恰好有5件一等品

的概率記為Pi，恰好有7件一等品的概率記為2,請直接寫出口與2的大小關(guān)系.

411

【答案】⑴小2)而⑶回<2

【詳解】(1)設(shè)/="若從這批產(chǎn)品中任取一件，其為一等品或二等品”，

()202051

(2)設(shè)/="在抽取的20件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件，既有一等品又有二等品”，

DzD._10x6x4+Cf0x6+10xCj_11

(3)px<p2,

因為R=C：o

A_42

所以--------<s1

Pi45

36.乒乓球比賽有兩種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取

得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利.

(1)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用7

局4勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9.已知甲、乙兩人采用兩種賽制各共進(jìn)行了加(〃?eN*)

場比賽，請根據(jù)小概率值a=0.010的K?獨(dú)立性檢驗，來推斷賽制是否對甲獲勝的場數(shù)有影響.

(2)若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為0,沒有平局.記事件“甲只要取得3局比

17/33

賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為/,事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為3,試證明:

P(A)=P⑻.

(3)甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是P(P>0.5),沒有平局.若采用“賽滿2〃-1局，勝方

至少取得“局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為尸(〃).若采用“賽滿2〃+1局，勝方至少取得〃+1局勝利”的

賽制，甲獲勝的概率記為尸(〃+1),試比較？(")與P5+D的大小.

附：K++其中〃="+6+°+l

2

P(K>k0)0.050.0250.010

k。3.8415.0246.635

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析；(3)P(〃+D>尸(〃).

【詳解】(1)由題設(shè)，賽制與甲獲勝情況列聯(lián)表如下,

甲獲勝場數(shù)乙獲勝場數(shù)

5局3勝0.8m0.2mm

7局4勝0.9m0.1mm

1.7m0.3m2m

f-rjp,2m(0.08m2-0.18m2)22m^2mic”

所以K-=——-----------------------=——,右——>6.635=>m>169.1925,

1.7mx0.3mxmxm5151

當(dāng)機(jī)W170時，根據(jù)小概率值a=0.010的K,獨(dú)立性檢驗，推斷賽制對甲獲勝的場數(shù)有影響.

當(dāng)機(jī)<170時，根據(jù)小概率值a=0.010的K,獨(dú)立性檢驗，沒有證據(jù)認(rèn)為推斷賽制對甲獲勝的場數(shù)有影響.

(2)由題意,P(A)=p3+p-C^2(l-p)+p-Cy(l-pY

—p3+3p3(l-p)+6p3(i—p)2

=6p5-l5p4+10p3,

P(2)=C；/(1-p)2+C：p4(l-0+C?5(l-

=[07/(]_p)2+5p4(]_,)+p5

-IQp5—20p4+10p3+5p4-5p5+p5

=6p5-15p4+10p3,

18/33

綜上，P(A)=P(B),得證.

(3)考慮賽滿2〃+1局的情況，以賽完2〃-1局為第一階段，第二階段為最后2局，

設(shè)“賽滿2〃+1局甲獲勝”為事件C,結(jié)合第一階段結(jié)果，要使事件C發(fā)生，有兩種情況：

第一階段甲獲勝，記為4；第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了〃-1局，記為4，

c=&c+(C)=(4C)+(4C),

則A2C,得尸尸尸

若第一階段甲獲勝，即賽滿2"-1局甲至少勝“局，有甲至少勝〃+1局和甲恰好勝〃局兩種情況，

甲至少勝〃+1局時，無論第二階段的2局結(jié)果如何，最終甲獲勝；

甲恰好勝〃局時，有可能甲不能獲勝，此時第二階段的2局比賽甲均失敗，概率為C:/'(l-p)"T(l-p)2,

所以p(4O=P(〃)一(I-py-1(I-p)2,

若第一階段乙獲勝，且甲恰好勝了1局，那么要使甲最終獲勝，第二階段的2局甲全勝，得

2

尸(40=尸(4)P(C|4)=(I-pyP,

所以尸(〃+i)=尸(以=尸5)-Ga。"。一p)"T(i了+c^p-Xi-pyp2,

則P(n+1)-尸(〃)=C"(1_p)"p2_(1_(1,p)2

=c：〃"+|(i—一弓1。"(1一。)向

n

=c^_lp(i-py[p-(i-p)]

=2CD"(T，

由p>g,所以2G“一/'(1一必"5-；)>0,得尸("+1)>尸(〃).

37.某校舉辦知識競賽，已知學(xué)生甲是否做對每個題目相互獨(dú)立，做對4SC三道題目的概率以及做對時

獲得相應(yīng)的獎金如表所示.

題目ABC

4j_J_

做對的概率

54

獲得的獎金/元204080

規(guī)則如下：按照4民。的順序做題，只有做對當(dāng)前題目才有資格做下一題.

[注：甲最終獲得的獎金為答對的題目相對應(yīng)的獎金總和.]

(1)求甲沒有獲得獎金的概率；

19/33

(2)求甲最終獲得的獎金X的分布列及期望；

(3)如果改變做題的順序，最終獲得的獎金期望是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個順序最終獲得的獎金期望

最大？(不需要具體計算過程，只需給出判斷)

【答案】(1)；(2)分布列見解析，40(元)(3)不同，按照4SC的順序獲得獎金的期望最大，理由見解析.

【詳解】(1)甲沒有獲得獎金，則題目/沒有做對，

41

設(shè)甲沒有獲得獎金為事件"，則尸(M)=l-g=M

(2)分別用4瓦。表示做對題目48,C的事件，則48,C相互獨(dú)立.

由題意，X的可能取值為0,20,60,140.

-41-4/1、2

P(X=0)=JPU)=l--=-;P(^=20)=PUS)=-x^l--l=-;

P(X=60)=P(ABC)=1x一京P(X=140)=P(ABC)=}.

所以甲最終獲得的獎金X的分布列為

X02060140

231

P

551010

1231

E(X)=0x—+20x—+60x—+140x—=40(元).

V7551010

(3)不同，按照的順序獲得獎金的期望最大，理由如下:

由(2)知，按照48,。的順序獲得獎金的期望為40元，

若按照4GB的順序做題,

則獎金X的可能取值為0,20,100,140.

P(X=0)=l于4下1"=2。)=4川(f下3

P(X=100)=-x-x|1--U—;P(X=140)=-x-x-=—.

54I1054210

1311

?M>30X-+20X-+100X^)+140X—=36x;；

若按照反4c的順序做題，

則獎金X的可能取值為0,40,60,140.

「(x=o)=w；p(x=4o)=m

20/33

P(X=60)=|xlx^l-^=Api40)1411

；j(X==—x—x—=

25410,

1131

故期望值為0x—+40x—+60x—+140x——=36元;

2101010

若按照8,C,N的順序做題,

則獎金X的可能取值為0,40,120,140.

"=0)=ifP(X=40)=卜卜一5.

P(X=120)=?*「]=—;P(X=140)=L141

—X—=一

4024510

1131

故期望值為Ox—+40x——+60x——+140x—=36元，

2101010

若按照C,42的順序做題,

則獎金X的可能取值為0,80,100,140.

尸(X=°)=l-；=>(X=80)