專題08矩形存在性問題

(2024?濟寧二模)

1.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線,=依2+笈+4°<0)與彳軸交于人(-2,0),3(4,0)兩

(1)試求拋物線的解析式；

⑵直線,=履+1(%>0)與y軸交于點。，與拋物線在第一象限交于點P,與直線BC交于點

s

M,記小=產(chǎn)"，試求機的最大值及此時點P的坐標；

,△CDM

⑶在(2)的條件下，機取最大值時，是否存在x軸上的點。及坐標平面內的點N,使得尸，

D,Q,N四點組成的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的。點和N點的坐

標；若不存在，請說明理由.

2.如圖，已知二次函數(shù)y=-Y+4〃吠-4〃/+加+1的頂點為3,點A、C的坐標分別是

A(O,-2),C(8,2),以AC為對角線作口ABC。.

(1)點8在某個函數(shù)的圖象上運動，求這個函數(shù)的表達式；

(2)若點。也在二次函數(shù)y=-/+4〃吠-47〃2+,〃+1的圖象上，求m的值;

(3)是否存在矩形ABCD,使頂點3、。都在二次函數(shù)＞=@-2%)2+根+1的圖象上？若存

在，請求出4的值；若不存在，請說明理由.

m

(2023?東源縣三模)

(1)求拋物線的解析式.

⑵點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作尸于點交x軸于點N,過點P

作尸?！▂軸交BC于點。，求尸Q+半PN的最大值及此時P點坐標.

(3)將拋物線＞=亦2+樂+4沿射線8平移2逐個單位，平移后得到新拋物線y'.D是新拋

物線對稱軸上一動點，在平面內確定一點E,使得以2、C、D、E四點為頂點的四邊形是矩

形.直接寫出點E的坐標.

(2023?羅定市三模)

4.如圖1,拋物線＞=￥^+法+0過磯3,0),C(0,-36)兩點，動點M從點B出發(fā)，以

圖1圖2

⑴求拋物線y=~~x2+bx+c的表達式；

⑵如圖1,過點M作DELx軸于點D,交拋物線于點E,當f=l時，求四邊形03EC的面

積；

（3汝口圖2,動點N同時從點。出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿08方向運動，WABW

繞點Af逆時針旋轉180。得到△GMF.

①當點N運動到多少秒時，四邊形是菱形；

②當四邊形NBPG是矩形時，將矩形NBBG沿x軸方向平移使得點P落在拋物線上時，直接

寫出此時點尸的坐標.

（2023秋?鐵東區(qū)校級月考）

5.如圖，已知二次函數(shù)>=加（"0）與一次函數(shù)，=笈-2的圖象相交于A（-l,-1）,8兩點.

⑴求m上的值及點B的坐標；

⑵在拋物線上求點P,使小PAB的面積是小A03面積的一半；（寫出詳細解題過程）

（3）點M在拋物線上，點N在坐標平面內，是否存在以A,B,M,N為頂點的四邊形是矩形,

若存在直接寫出M的坐標，若不存在說明理由.

（2023?歙縣校級模擬）

6.如圖，若二次函數(shù)y=方,+bx+4的圖象與％軸交于點A（-l，0）、B（4,0）,與V軸交于點C,

連接3c.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

⑵若點Q是拋物線上一動點，在平面內是否存在點K,使以點2、C、。、K為頂點，BC為

邊的四邊形是矩形？若存在請求出點K的坐標；若不存在，請說明理由.

(2024?淮陰區(qū)校級模擬)

7.如圖1,二次函數(shù)〉=-；/+云+。與無軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.點2坐標

為(6,0),點C坐標為(0,3),點尸是第一象限內拋物線上的一個動點，過點P作PDLx軸，

垂足為。，交直線于點E,設點P的橫坐標為機.

⑴求該二次函數(shù)的表達式；

⑵如圖2,過點P作PFLBC,垂足為F,當機為何值時，尸尸最大？最大值是多少？

(3)如圖3,連接CP,當四邊形OCPD是矩形時，在拋物線的對稱軸上存在點。，使原點。

關于直線CQ的對稱點O'恰好落在該矩形對角線所在的直線上，請直接寫出滿足條件的點Q

的坐標.

(2024?張店區(qū)二模)

8.如圖1,拋物線>=加+云+3(a70)與x軸交于點A(TO),3(3,0)與y軸交于點C,

連接AC,BC.

（1）求該拋物線及直線BC的函數(shù)表達式；

（2汝口圖2,在2c上方的拋物線上有一動點P（不與2,C重合），過點P作尸D〃AC,交BC

于點。，過點尸作尸￡〃丫軸，交BC于點,E.在點P運動的過程中，請求出周長的最

大值及此時點尸的坐標；

⑶如圖3,若點P是該拋物線上一動點，問在點尸運動的過程中，坐標平面內是否存在點。

使以8,C,P,。為頂點為對角線的四邊形是矩形，若存在，請求出此時點。的坐標;

若不存在，請說明理由.

（2024?婁底二模）

9.如圖，拋物線y=x2+fox+c交X軸于A（-l,0）,3（3,0）兩點，交，軸于點C,點尸是拋

物線上一個動點.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）當點尸的坐標為（2,-3）時，求四邊形ACPB的面積；

⑶當動點尸在直線BC上方時，在平面直角坐標系內是否存在點Q,使得以8,C,P,Q

為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

（2024?榆次區(qū)三模）

10.綜合與探究

i3

如圖，拋物線/=7/-=%-4與工軸交于4,8兩點（點A在點3的左側），與y軸交于點

42

C（0,-4）,作直線AC,BC,尸3c是直線下方拋物線上一動點.

備用圖

⑴求4,8兩點的坐標，并直接寫出直線AC,8C的函數(shù)表達式.

⑵過點尸作尸?！?軸，交直線BC于點Q,交直線AC于點T.當尸為線段TQ的中點時，

求此時點P的坐標.

（3）在（2）的條件下，若N是直線BC上一動點，試判斷在平面內是否存在點M,使以

8,P,M,N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理

由.

參考答案:

1

1.(l)y=-—x?+x+4

2

(2)當f=2時，機取得最大值此時點P的坐標為(2,4)

(3)存在，乂g,3)9gM或N?他,一3),(80)

【分析】(1)先求出點。(0,4),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可；

(2)過點尸作尸E〃y軸交直線BC于E,連接CP,先求出直線3C的解析式為y=-x+4,

設/+—4],則E?,—r+4),pE=-^t2+2t,由△EMPSACMD得出

照=4|=-，產(chǎn)+]乙因止匕根=2^=照=-!/+；，，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質即可

DMCD63S^CDMDM63

求出m最大值及此時點P的坐標；

(3)分兩類進行討論：①當。P是矩形的邊時，有兩種情形，當四邊形尸。為矩形時，

如圖2,連接尸C,過點N"乍N、M，無軸于M,證明△PDC咨△QMM(AAS),APDC^DQ.O,

337

求出MM=C￡>=3,02=5，OM=OQl+QiM=^+2=~,從而得出滿足條件的。點和N

點的坐標；當四邊形尸。區(qū)&是矩形時，如圖2,過點。2作&K,無軸交CP的延長線于K,

過點M作N2T，x軸于T,證明APDCsAQFK,△OCP咨△MTQ式AAS),求出。&=8,

N2T=CD=3,OT=OQ2-Q2T=6,從而得出滿足條件的。點和N點的坐標；②當DP是

對角線時，設。(％。)，由Q是直角頂點，根據(jù)勾股定理得出方程/一2元+4=0,此方程無

解，此種情形不存在.

【詳解】(1)VA(-2,0),

,04=2,

OC=2OA,

.??。。=4,

???C(0,4),

???拋物線尸奴2+以+c經(jīng)過點A(_2,0),5(4,0),C(0,4),

4a-2b+c=0

<16〃+4Z?+c=0,

c=4

1

a=—

2

解得：<b=l,

c=4

；?該拋物線的解析式為>=-)/+%+4；

(2)如圖1,過點P作PE〃y軸交直線8C于E,連接CP,

設直線BC的解析式為y^kx+d,

???B(4,0),C(0,4),

.J4左+d=0

'[d=4'

[k=-l

解得：L，，

[d=4

...直線BC的解析式為y=-x+4,

設P.-'z+f+j,則E?,T+4),

PE=~t2+t+4-^-t+4)=-^t2+2t,

V直線y=』+l化>0)與y軸交于點D,

???r>(o,i),

CD=4—1=3,

,.?P￡〃y軸，即正石〃8,

???/\EMPs&CMD,

—與2+2，

???_P_M_=_P_E_=__±2i____=__1/2_|__2

DMCD363

qPM

??m二°ACPM

?q~DM

屋CDM

相=」產(chǎn)+斗=」（，一2）氣2

636V73

7

???當，=2時，機取得最大值“止匕時點尸的坐標為（2,4）；

（3）存在這樣的點Q、N,使得以P、。、Q、N四點組成的四邊形是矩形.

由（2）知：D（0,l）,P（2,4）,

圖2

當四邊形尸QQiM為矩形時，如圖2,連接PC,過點M作軸于相

則ZDCP=/N】MQ1=90°,

.?.NQNM+NN'QiM=90°,

??,四邊形尸。為矩形，

：.PD=N?,ZPDQ=/DQN=90°,

.??ZPDC+ZQ.DO=/NQM+DQ,O=90°,

?.?ZDOQl=90。，

.??ZQiDO+ZDQlO=90°f

.??ZPDC=NDQQ=Q[N]M,

APDCdQMM(AAS),

??.QiM=CP=2,MN】=CD=3,

,.?ZDCP=DOQ[=90°,ZPDC=NDQQ,

.??APDCsADQ。,

.?.絲=嗎即絲

CDCP32

3

?e-O2=「

37

???OM=OQX+Q{M=-+!=-,

???“別⑼加；

當四邊形尸DMQ是矩形時，如圖2,過點。2作QK，入軸交CP的延長線于K,過點也作

N2T_Lx軸于T,

??,四邊形尸DMQ是矩形，

??./。尸。2=90。，PD=N2Q2,

ZDPC+ZQ2PK=90°,

9：ZK=ZDCP=90°,

：.NPDC+NDPC=90。,

???ZPDC=ZQ2PK,

△尸OCs/^QPK,

.PK=KQ2即竺=±

?*DC~CP'3~2f

：.PK=6,

OQ2=8,

?.?ZPQ2K+ZPQ2O=ZPQ2O+N2QJ=90°,

???ZPQ2K=ZN2QJ,

ZPQ2K=NDPC,

/.ZN2Q2T=ZDPC,

ZDCP=N2TQ,=90°,

：.^DCP^/\N2TQ2（AAS）,

：.Q2T=CP=2,N2T=CD=3,

：.OT=O22-e2T=8-2=6,

.??M（6,-3）,2（8,0）；

②當OP是對角線時，設Q（x,o）,貝UQr>2=f+i,<2P-=（2-X）2+42,PD2=13,

..?。是直角頂點，

...QD2+QP2=PD2,

：.尤2+1+（2—無7+16=13,

整理得X2-2X+4=0,此方程無解，此種情形不存在；

綜上所述，或N2(6,—3)Q(8,0).

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質，待定系數(shù)法，相似三角形的判

定與性質，全等三角形的判定與性質，矩形的性質等知識，綜合性較強，熟練掌握二次函數(shù)

的圖象與性質，根據(jù)題意正確作出圖形，進行分類討論是解題的關鍵.

2.⑴yf+i

33±^/97

-16-

125

(3)存在,［或一/7

OZ4Z

【分析】(1)把二次函數(shù)的解析式化成頂點式，得出頂點3的坐標，再根據(jù)坐標特點寫出函

數(shù)解析式即可；

(2)由平移的性質，用機表示。點的坐標，再將。點坐標代入二次函數(shù)的解析式，得到機

的方程，解方程即可；

(3)根據(jù)平行四邊形ABCD是矩形，得NA4D=90。，由勾股定理列出方程求出加的值，再

根據(jù)頂點8、。都在二次函數(shù)y=f(%-2%)2+〃?+1的圖象上，求得加、〃的關系，進而求

解.

【詳解】（1）Vy=—X2+4mx—4m2+m+\=—（x—2m）2+m+l,

*.*m+1=—x2m+1,

2

???點5（2機加+1）在函數(shù)y=g%+l上，

所求函數(shù)的表達式為y=gx+i；

（2）?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB||DC,AB=DC,

二將沿BC方向平移可得DC,

VA（0,-2）,C（8,2）,5（2/71,m+1）,

把￡）（8—2〃?,一機一1）代入y=-Y+4mx-4/n2+m+l中，得

—m—1=—（8—2m）2+4m（8—2m）—4m2+m+1,

化簡為：8/M2-33m+31=0,

解得：利=江區(qū)

16

（3）??,平行四邊形ABCD是矩形，

???ABAD=90°,

???AB2^AD2=BD\

（2m）2+（m+3）2+（8—2m）2+（—m+1）2=（8—4m）2+（2m+2）2,

化簡得，5m2—14m—3=0,

解得：機=3或相=-y,

。點在二次函數(shù)y=-〃（％-2間?+根+1的圖象上，

—m—l=—H（8—4m）2+m+l,

m+1

?n=------------

?,8（2一加廣

1幾|

當根=3時，n=—,此時一=一,

2m6

1r_L5IIr_L"25

當相=——時，n=---,止匕時一=-----

5242m242

故存在矩形ABCD,使頂點3、。都在二次函數(shù)、=-〃（％-2加）+w+1的圖象上，一的值

m

為』或_二.

6242

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質、平行四邊形的性質、矩形的性質與判定、勾股

定理，熟練掌握上述性質及其應用是解題的關鍵.

191

3.（l）y=——A+—x+4；

82

⑵與，尸3,35

（3）￡（-2,0）,￡（14,12）,￡（2,6）,E（2,-2）.

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可;

（2）延長尸。交x軸于“點，則軸，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到拽=即

5

2J5+g相+4）,根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可;

PQ+-^-PN=PQ+PH,

（3）求得平移后的拋物線解析式，再分情況討論求解即可.

1

a=—

16。一40+4=08

【詳解】（1）解：由題意得64Q+8Z?+4=0角軍得＜

b=-

2

該拋物線的解析式為丫=-：/+:尤+4；

o2

（2）由＞=-，2+4+4可得，c（O,4）

82

延長P。交x軸于H點，則軸,

...ZPMQ=ZPHB=90°

又「ZPQM=ZBQH

：.ZNPH=ZOBC

設直線5C：y=k+t

VC(O,4),8(8,0),則

Sk+t=0

?,?直線3C:y=-L+4,05=4,OC=2

2

BC=y/oC2+OB2=2下

?：cosNNPH=cosZOBC=2=—

5PN

：.^HpN=PH

5

2-J5

PQ+—^PN=PQ+PH

3+*4,Q—1+4

設尸m,_

2

111

PH=——m9+—m+4,PQ=——m9+m

828

2J?

PQ+—^PN=PQ+PH

=一工/根+4

42

A%。，開口向下，對稱軸為直線〃T,且。<，”8

...當加=3時，PQ+空PN有最大值學,

54

此時尸［吟

(3)由題意可得：拋物線>=-：/+:》+4沿射線8平移26個單位，即拋物線向右平移

82

了4個單位，向下平移了2個單位,

此時拋物線為：y=—(元—4)■!—(x—4)+4—2=—X2H—x—2

8282

1Q

則拋物線了=-弓/+彳光-2的對稱軸為尤=6

82

設￡)(6,〃)，E[x,y)

當以BC、DE為對角線時，由矩形的性質可得:

6+x=8x=2fx=2

<n+y=4角軍得〈y=6或〈丁=一2

(x-6)2+(y-n)2=82+42n=-2[n=6

即E（2,6）,￡（2,-2）；

當以8。、CE為對角線時，由矩形的性質可得:

x=8+6x=14

<4+y=n,解得<y=12

2222

x+(y-4)=2+?|"=16

即E(14,12)

當以BE、CD為對角線時，由矩形的性質可得:

8+x=6x=-2

<y=4+〃，解得-y=0

(x-8)2+y2=62+(n-4)2[n=-4

￡(-2,0),

綜上，￡（-2,0）,￡（14,12）,E（2,6）,E（2,-2）.

【點睛】此題為二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的平移，二次函

數(shù)與矩形的綜合，二次函數(shù)圖象與性質，三角函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎

知識，能夠靈活運用，學會分類討論的方法求解問題.

4.⑴丫二手尤2一瓜_3右

0、13班

⑶①當點N運動到1秒時，四邊形N2FG是菱形；②點F的坐標為［當至,-2君］或

【分析】（1）利用待定系數(shù)法將8、C兩點坐標代入拋物線>=竽/+法+。求解即可；

（2）當f=l時求得長度，并且利用平行線分線段成比例求得E點橫坐標，代入拋物線

解析式即可求得E點縱坐標，再根據(jù)3四邊形OBEC=§梯形ODEC+S^BDE求解即可；

（3）①根據(jù)題意可求出CW=f,BN=3-t,=再根據(jù)旋轉的性質易證四邊形NBFG

是平行四邊形，則四邊形N//G是菱形，只需BG_LNb即可，又可求出

cosZMBN=—=—,cosZCBG>=—=-,則2-=!，解出f的值即可；②當四邊形

BN3-tBC23-t2

NBFG是矩形時，只需NBNG=90°.由NBNG=ZBOC=90。，得出NG〃OC,利用平行

線分線段成比例，求得/=1;將矩形NBRW沿無軸方向平移時，點尸落在拋物線的圖象上,

即上=-26，再代入解析式即可求得點尸的坐標.

【詳解】⑴解：：拋物線產(chǎn)孚1+云+。的圖象過8(3,0)，4。,-3⑹兩點,

x9+3/7+c=0b=—A/3

3,解得：＜

c=—3\/3

-373=c

:?拋物線的表達式為曠二手/一氐一3后;

(2)解：如圖：

AOB=3,OC=3y/3,

?*-BC=VOB2+OC2=6-

當，=1時，BM=2t=2.

VDMLAB,OC±AB,

：.DM//OC,

.BDBM口口BD2

----，即---=—，

OBBC36

???BD=L

：.OD=OB-OD=3-1=2.

KX773

在y=~~~--百x-3百中，令X=2,得：y-22-A/3X2-3^=-

33

一一空、

1/7A/33百\x2+L拽

=

?,S四邊形osECS梯形ODE。+S&BDE=—"x'--------------\-

23232

7

BM=2t.

???將ABMN繞點M逆時針旋轉180°得至！JZ\GMF,

；.BM=GM,NM=FM,

???四邊形N3方G是平行四邊形,

若四邊形NBFG是菱形，只需5GLNF,gpZBW=90°,

此時cos/MBN=g—It

BN3-t

在RtABOC中，cos/CBO==—=—,

BC62

2t1

??一，

3T2

3

解得：［=:，

3

答：當點N運動到《秒時，四邊形NB尸G是菱形;

②如圖:

由①得四邊形N3FG是平行四邊形.

當四邊形NBbG是矩形時，只需N3NG=90。.

???ZBNG=ZBOC=9Q°,

：.NG//OC,

.BNBG3-t4r

..——=——,即nn---=——

OBBBC36

解得：t=l.

???當點N運動1秒時，四邊形皿是矩形.

ANB=3-1=2,5G=4,

NG=yjBCP-NB2=2A/3?

將矩形沿x軸方向平移時，點F落在拋物線的圖象上，即％=-26.

當力=—時，即孚/一氐一3后=一2石,

3+7333-733

解得：X]------,X)

44

3+733

..?點廠的坐標為-2A/3或,-26.

4

【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查求函數(shù)解析式，勾股定理，平行線分線段成比例，特

殊四邊形的判定和性質，解直角三角形等知識，屬于中考壓軸題.利用數(shù)形結合的思想是解

題關鍵.

5.⑴。=—1,k=-l,8的坐標為(2,-4)

'1+石-3-5

⑵4

2'2

〈乙乙)

(3)陷(0,0),

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得。，上的值，解析式聯(lián)立，解方程組即可求得B的坐

標；

(2)設直線,=區(qū)-2與>軸的交點為G,則GQ-2),利用+求得AAO5

的面積.過點尸作尸C〃x交直線A8于點C,設P(加，-加)，分兩種情況列方程求解即可;

(3)分48為矩形的邊和A3為矩形的對角線利用勾股定理列方程求解.

【詳解】(1)解：：>過點A(-LT),

**.-1=axl,角率得a=_]

???一次函數(shù)y=kx-2的圖象相過點A(-l-1),

**?—l=-k—29解得左=—1；

y=-x-2x=-lx=2

解得或

y=-x2尸—iy=-4

???8的坐標為(2,T)；

(2)解：設直線y=r—2與y軸的交點為G,貝2),

S^OB=^AAOG+^ABOG=_x2xl+—x2x2=3?

過點尸作PC〃冗交直線A5于點C,

設尸(以_川),則。(蘇-2,一加2),

當點。在點尸的右側時,

(療-2+4^3(―)

1+A/5

解得m3=],,m4

2

'"乖-3+⑹

2，-2-

\/

(3)解：設M5一川)，

則AA/2=(—1—+(—1+〃2)=/—n2+*2.n+2,

BM2=(2-?)2+(-4+M2)2=n4-7;i2-4??+20,

AB2=(-l-2)2+(-1+4)2=18.

當AB為矩形的邊的邊時,

由題意得

n4-〃2+2"+2+18=n4-In2-4n+20，

整理得/J?+〃=0,

解得小=。，〃2=T（與A重合，舍去）

.,.必（0,0）.

當AB為矩形的對角線時,

由題意得

+2〃+2+—7〃2—4〃+20=18

整理得（篦-2）（〃+1乂〃2+"—1）=0,

解得小=土且，%=土叵，%=2（與3重合，舍去），%=-1（與A重合，舍去）

22

.f-1-75-3-75^1（-1+際-3+75

I22J\22J

綜上可知：陷（。,。），］苧，若5、.

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)

的性質，矩形的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何

圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.

6.⑴y=-%2+3%+4

⑵存在，K點的坐標為（-6,-2）或（6,2）

【分析】（1）將A（T，。）、8（4,0）代入、="2+陵+4,聯(lián)立方程組，求出a、6的值，即可

得出該二次函數(shù)的解析式；

（2）設。（〃7,-〃，+3〃什4）,當機＞0時，過點。作軸交”點，過K作KGIx軸交G

點，證明AC"鰻△3GK（A4S）,得到加=-療+3帆+4-4,則政=2,所以K（6,2）；當機＜0

時，設KC與x軸的交點為尸，8。與V軸的交點為“，過點。作QG/y軸交G點，過K作

KE/x軸交E點，證明AQHG%KFE（AAS）,則有一切=一4一（一加2+3根+4）,求得加=一2,

則GQ=2,可求K（-6,-2）,綜合即可得出K點的坐標.

【詳解】（1）解：把A（—1,0）、8（4,0）代入＞=加+打+4,

,f。一/?+4=0

可得：｛1（AUA八,

16Q+4Z?+4=0

a=-l

解得:

b=3

???該二次函數(shù)的表達式為產(chǎn)--+3%+4.

（2）解：存在，理由如下：

設Q（/n,-W+3m+4）,

當機＞0時，如圖1,

???矩形是以5C為邊，

AQK//BC,CQ1BC,KB^BC,

過點。作軸交H點，過K作KGJ_九軸交G點,

CQ=BK,OC=OB,

；?NOCB=NOBC=45?,

：.NHCQ=NGBK=45?,

：.ACHQ^BGK（AAS）,

HC=HQ=BG=GK,

m--m2+3m+4—4,

m=2或m=0（舍去）,

HQ=2,

K（6,2）；

當機＜0時，如圖2,

:矩形是以BC為邊，

：.QK//BC,KC±BC,BQVBC,

設KC與％軸的交點為尸，8。與y軸的交點為H,

過點。作QGJ_y軸交G點，過K作軸交E點,

；/OCB=/OBC=45?,

：.ZOBH=ZOHB^X5°,NFCO=NCFOF5。,

，OF=OC=OB=OH=4,/HQG=/EFKU5。,

KC=BQ,CF=HB,

FK=QH,

/.AQHG%KFE（AAS）,

/.QG=HG=EF=EK,

4-（-/+3〃什4）,

m=-2或r?i=4（舍去）,

GQ=2,

K（-6,-2）；

綜上所述，K點的坐標為K（-6,-2）或K（6,2）.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，靈活應用矩形和

等腰直角三角形的性質是解本題的關鍵.

7.（l）y=--x2+x+3

（2）當機為3時，PF最大,最大值是地

10

⑶點。的坐標為（2,；］或（2,-1）或（2,4）

【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）利用待定系數(shù)法求出直線8c的解析式，根據(jù)題意設尸（機，-;蘇+加+3）,則

根，-+從而可求出PE的長，根據(jù)勾股定理可求出3C.易證ABOCSDFE,得

BOPF

出/￥1=岑=土，代入數(shù)據(jù)，結合二次函數(shù)的性質求解即可；

nC

（3）設。（2J）,拋物線的對稱軸交x軸于點H,交“于點G,貝|GQ=3-,CG=2,

ZCGQ=90°.分類討論：①當點O'恰好落在該矩形對角線O尸所在的直線上時，②當點O'

恰好落在該矩形對角線CO上時和③當點O'恰好落在該矩形對角線。C的延長線上時，分別

畫出圖形，利用軸對稱的性質，銳角三角函數(shù)，三角形相似的判定和性質，勾股定理分析求

解即可.

【詳解】（1）解：：拋物線了=-：/+區(qū)+。與X軸交于A、8兩點，與y軸交于點C,點8

坐標為（6,0）,點C坐標為（0,3）,

0=-9+6Z?+cb=l

解得:

c=3c=3

該二次函數(shù)的表達式為：尸-%、x+3；

（2）解：設BC的解析式為〉=區(qū)+"（%工0）,

⑹t+6'=0\k=~-

[b=3[b.=3

,.直線BC的解析式為：y=-1x+3.

??點P的橫坐標為優(yōu)，

P（機,一；機2+?1+3〔,則石]根,-；根+31,

\PE=-—m2+m+3-|-—m+3|=-—m2+—m.

412J42

/PFICE,PD_L尤軸，

\ZEPF+ZPEF=ZEBD+ZBED=90°.

:ZPEF=ZBED,

?.ZEPF=ZEBD.

：ZBOC=ZPFE=90°,

??小BOCs/FE,

,BOBC

,?PF-PE?

在RG5OC中，03=6,OC=3,

?*-BC=A/BO2+CO2-3A/5，

BOPE一品〃可+*

PF=

BC

當比為3時，PF最大，最大值是地；

10

(3)解：?.?拋物線解析式為y=-：f+x+3,

4

10

x——------------―/.

???拋物線的對稱軸為直線一2x1［一-

:點。在拋物線的對稱軸上，

故可設Q(2,t).

設拋物線的對稱軸交無軸于點巴交CP于點G,則GQ=3T,CG=2,ZCGQ=90°.

分類討論：①當點。’恰好落在該矩形對角線OP所在的直線上時，如圖，則C。垂直平分。0，,

即CQLOP,

.?.ZCOP+ZOCQ=90°.

又???四邊形oc尸。是矩形,

/.CP=OD=4,OC=3,NOb=90。，

...NPCQ+NOCQ=90。，

：.ZPCQ=ZCOPf

CP4

：.tanZPCQ=tanZCOP=—

OC3

Z.tmZPCQ=^GO-=~4,即3立-」t=上4,

CG323

解得：［=；，

②當點。恰好落在該矩形對角線8上時，如圖，連接交G"于點K,

???點O與點。'關于直線對稱,

???C0垂直平分00',

.??ZOCQ=ZDCQ.

?:GH〃OC,

.??ZCQG=ZOCQf

：.ZDCQ=ZCQG,

：.CK=KQ,

VC,尸關于對稱軸對稱，即點G是C尸的中點,

又???GH//OC//PD,

???點K是8的中點,

0+43+0,即小,|),

：.K

3

???GK=~,

2

/.CK=y/CG2+GK2=^22+j=|=KQ,

3

：.KQ=--t,

解得t=-l,

2(2,-1)；

③當點O’恰好落在該矩形對角線DC的延長線上時，如圖，過點O'作y軸于點K,

連接OO,交直線C0于點M,

???點。與點。關于直線CQ對稱，

CQ垂直平分

AZOCM=ZO'CM,ZOMC=Z.OMC=90°,O'C=OC=3.

:ZCfKC=ZDOC=90°,NOCK=ZDCO,

，△O'CKSADCO,

,O'KCKCO'O,KCK3

.?----=----=-----,即nn-----=

DOOCCD4T~5f

12Q

AO'K=—,CK=M，

924

OK=OC+CK=3+-=~,

55

1224

:點M是。。'的中點,

612

5'T

612

由C（0,3）,M得直線CM的解析式為y=]x+3,

5'T

當尤=2時，v=4？23=4,

-2

/.Q（2,4）.

綜上所述，點。的坐標為",J或（2,-1）或（2,4）.

【點睛】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標與圖形、二次函數(shù)的

圖象與性質、矩形的性質、相似三角形的判定與性質、對稱性質、銳角三角函數(shù)以及勾股定

理等知識，解答的關鍵是掌握相關知識的聯(lián)系與運用，運用數(shù)形結合和分類討論思想求解是

解答的關鍵.

8.（1）y=-x2+2x+3,y——x+3

（2）APDE的周長最大值：36+9A/HJ+90,尸的坐標為佶

5-舊1-755+^/51+V5

（3）點。的坐標為

2'2

【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質，直角三角形勾

股定理，分類討論是解題的關鍵.

（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

（2）證明尸s4poE,得求出直線2C的解析式，設點尸的坐標（加,-/+2加+3）,則

3Q

點E的坐標（機一口+3）,得?￡=TT?+2m+3-（一機+3）；當徵=3時，/）￡取得最大值I，

3

即，當機=]時，APDE的周長取得最大值；

（3）設點尸的坐標（根，-療+2機+3）,設點。的坐標（%,%）,分所求情況討論：當點尸在

CMPM

y軸右邊的拋物線上時，當A。加SAWS時，ZBPC=90°,則一二——，列方程求解徵；

PNBN

當點尸在y軸左邊的拋物線上時，同理求解.

【詳解】(1)解：(1)將點A(TO),3(3,0)代入y=M+6x+3,

/曰]〃-/?+3=0

得，(94+38+30'

[a=-1

解，得“、，

[b=2

所以，該拋物線的函數(shù)表達式為>=-犬+2了+3,

設直線8C的函數(shù)表達式為y=丘+〃，

將點C(0,3),3(3,0)代入>=丘+〃，

伍=3

得，[3k+n=0

解，得]“=：，

[n=3

所以，直線8c的函數(shù)表達式為y=-x+3；

(2)如圖，過點A作AP〃y軸，交BC于點、F,

yjk

因為，軸，

所以，AF//PE,

所以，ZAFC=ZPED,

因為，PD//AC,

所以，ZACD=ZPDC,

所以，ZACF=ZPDE,

在AACF和ZPDE中，

ZAFC=ZPED

ZACF=ZPDE

所以，Z\ACFSAPDE

的周長=PE

所入△ACT的周長一壽'

由直線BC：y=r+3和點A（-1,O）,

得點尸坐標為（T4）,

所以，AF=4,

AC=yjAO2+OC2=Vl+9=>/io>CF=V2AO=A/2.

所以，△ACR的周長=AF+AC+C尸=4+9+&,

所以，△/>出的周長=堂.△ACR的周長=4+炳+0.2后,

AF4

設點P的坐標+2m+3）,則點E的坐標（八一根+3）,

所以，PE=-m2+2m+3-（-m+3）

=—m2+3m

（3丫9

I2j4

3Q

所以，當機=：時，F(xiàn)E取得最大值：，

24

即，當機=3時，△"）￡的周長取得最大值：4+布+凡2=36+9加+90

24416

此時點尸的坐標為||,‘）；

（3）設點P的坐標（加,-1+2m+3）,設點Q的坐標（為,%）

①當點尸在y軸右邊的拋物線上時，存在N3PC=9O。即可存在點。使以2,C,P,。為頂

點BC為對角線的四邊形是矩形，過點尸作MN〃x軸，交y軸于點M,過點8且平行于y

軸的直線于點N,如圖（1）,

圖⑴

所以，PM=m,BN=—m'+2根+3,CM=-rrr+2m,PN=3-m,

因為，當△CMPS^PNB時,ZBPC=90°,

CMPM

所以,

PNBN

-m+2m

3-m—m+2m+3

解，得叫=1+^^,m2=］,(舍)

所以，點尸的坐標為［上乎，且普］,

I22)

由題意，易得線段BC的中點坐標為

因為，點。與點P關于線段3c的中點成中心對稱,

(5-^5l-x/5^1

所以，點。的坐標為—；

②當點P在y軸左邊的拋物線上時，存在N3PC=90。即可存在點。使以3,C,P,為頂點

BC為對角線的四邊形是矩形，過點尸作MN〃y軸，交x軸于點M交過點C且平行于x

軸的直線于點如圖(2),

2

P-mm-2m

即1N，一-------=-------，

-nr+2m+33-m

解，得叫=I+',m2=]f

L5-用

所以，點尸的坐標為

同理，因為點。與點尸關于線段BC的中點成中心對稱,

3、1-755+A/53?5-A/51+A/5

所以,%=”一——--------，——x2-----------=--------

2Q222

‘5+61+B

所以,點Q的坐標為

〈乙2'乙2）

綜上所述，點。的坐標為上手［或上手

\)\7

9.(l)y=x2-2x-3

⑵9

⑶存在，點。的坐標為(-5,2)或手，匚/

【分析】(1)把A(-LO),3(3,0)代入y=x2+"+c中求解，得出拋物線的函數(shù)表達式即可;

(2)連接AC、CP、BP、OP,過點尸作PELAfi于點E,利用點的坐標得出出線段。4、

OB、OC、OE>PE的長度，再根據(jù)S四邊形ACPB~,AOAC+SA℃P+"OBP,進行計算即可；

(3)當BC為矩形的邊時，四邊形BCQP為矩形，P8