數(shù)列（選填題12種考點分類）

和縱導(dǎo)圖

等差數(shù)列的概念

—定義

L-tttt,如果一個數(shù)列從第2萬起，姆一項與它的一項的差都等于

同一個常敢的數(shù)列叫等總數(shù)列.這個常數(shù)閭做等的數(shù)列的公iSd

通項公式

■—WI

公差型。的等若數(shù)列公）的圖象是點（”，缶）姐成的集合,

與一次點均勻分布在a線人"）=血+（6—刈上

J函數(shù)的-

關(guān)系屋0。逢增數(shù)列

單調(diào)性由d決定—d4<0。建減數(shù)列

d=00常數(shù)數(shù)列《無性）

等差中項

-三項成等差數(shù)列一°、4b三項成等差數(shù)列Q2A=a+b

項數(shù)相同

dxO-O下標(biāo).?n^p，L2tOaB?ah-%+aQ=2a?

F標(biāo)和同

項數(shù)可網(wǎng)可異

zl

d=■）O下標(biāo)0+np+q=2t0aM..=、+a.=2a「.i

下標(biāo)和同

易懵點

L數(shù)列中的n取值為正整數(shù)（狀認）

1

等差數(shù)列的前n項和

一’公式

-前融和公式-S.一叫+*%

函

數(shù)s.=:L.g-：)制d#o)

特

征

S.是關(guān)于”且無常數(shù)的一元二次函數(shù)『&$,=Alt1?碗4、”為常敏)

件質(zhì)

｛a.｝為凈菜數(shù)列.成的nJ#和S「JHS.,S:.-S..成等身塞列，公亞n'd

一若等差數(shù)為2的■數(shù)為加，0&?=1?<“+ji),s.-s?=”.”=山

T.分別是等月敕列，.、b.的Wn4i")

⑴Sx「(2n~1)?，衛(wèi)11二__^―>'?=*=0**1凡

?"'*Ts..g-l)b.1?.(2…b.

J卜.｝是尋星數(shù)列是學(xué)星數(shù)列，凡檸《為。公星為：d

前n項和的最值

若**?,咐從二次函數(shù)的角度者;

一函數(shù)法一當(dāng)re*.&有?小僚；

當(dāng)*。M.&有?大值.

當(dāng)”取?接近對稼"的正整數(shù)時，心取到?假.

不當(dāng)……3.由不等七"定

等

式

組

法

當(dāng)GOW,&有?小值.由不等式組?定.

>>1?,小。，射心今位量大僮，“所篇答之，

J性植法

>?!<?,/W,II￡44量小值.”所有@丘《之，.

2

等比數(shù)列

定義

一等比中項

L??G.)成等比數(shù)克，那么GOMflft?與?的等比中事，就時▼=“

項數(shù)相同

qf。。下標(biāo)BrhLp+crZtOa.??、=<

下標(biāo)和同

項數(shù)可同可異

o下的5干+聯(lián)2toa.?、=%?、=<=*.“

下標(biāo)和同

―孵盟思路

W

?數(shù)個4tdi等比數(shù)列.*.中網(wǎng)被為3?~??，“，…

比r<

數(shù)

列偶織個箝號加用的MA等比3談才...，3,3，f.”，??,叫…

的1T1

設(shè)

法

日個量或家比上同，不做?*分<1"精+是*41同時，諛片明“，Of3.4.

依9r(■片?率冬?t.?ev)<^-=

■垢f

定義法一?4

H斯

(fA4<*A1.?>2,weV),JNg］是等比3

列

數(shù)

等

是中］1

數(shù)

比八至法—若數(shù)列中."。且/u=QgH*@ir),知人｝是等比數(shù)為

列

通項若<k列｛?.)的iM公式可寫成A=<?<->

公式法

“，?均用#京*4L?ey).

3

等比數(shù)列的前n項和

一前n”和公式

一公式一

函

&當(dāng)公比q=1時.因為叫工。,所以品=21.S.是”的正比例函數(shù).

角當(dāng)公比.W1時,設(shè)4='L,等比數(shù)列的前#項和公式是&

度

<-1

RPS?累”的拘數(shù)型函數(shù).

一前n事和的性質(zhì)

敷到｛??)為公比不為一1的等比數(shù)列(或公比為一1?且”不是偽數(shù)).

&為其和.Ms..”一&,&>一$?仍，成等比數(shù)八_____

-若｛?■｝是公比為4的等比數(shù)列,財&-=&《<"$0?,b仁N)

若g｝是公比為g的等比數(shù)外.5.,S.分別是數(shù)界的儀數(shù)”和與奇4t項和.

M：①?其前中，立="

$?

②?其的加+1項中

sS?=<>_g+?j_?，+…_dd.i=

1—(―<)1+f

—解18思路

的

n■1?個?:?i.?..?,?,其中■4■加公比.身工本量.

M

工拿零列方祖修皋“零.a*網(wǎng)W兩人枷?的力*武府滔尤.

和

運育??會網(wǎng)***杈*.><-.工*可6件一付小.

算1-f

解谷數(shù)列應(yīng)用題一審且?建《1——求解--還原

4

求通項方法

一公式法

公式-*.N2.n€、)卷■.”■§.“一§.(?wN)

前n項和與項'”數(shù)的夫系

條件特征

*見附久(I)S.、n(2｝S.、a,(3)S,,n、a.

前n項枳與項或項數(shù)關(guān)系

?.=i-(?>2A.tN)氐?.“=Lu(nw、")<1為數(shù)列｛?.｝的藥n*權(quán))

??_1?4

—*加法條件特表示含n的式子

一累乘法——條件特征|—攵=f(n)含有n的式子

■■

構(gòu)造等差數(shù)列

分式巴二號小??「恐

模型一分式里

制法：兩邊同時取例數(shù)，

整式：?.■?.T，匕???-1笈?.T.3=卜?.“■■兩，相或相*

模型二減果里

解法：西邊網(wǎng)酎除以京的部分

p?.?kp?<p,io描it的底.被與《做的累K機網(wǎng)》

J模型三向底指數(shù)型——

*小：同時除以p?Y注量指裳的次敕是由扇一事的下修?決定)

構(gòu)造等比數(shù)列(特定系數(shù)法》

‘模型三常數(shù)型

44#U：兩西邊.系做剜不何人拿做《.彩A?TP?.4

一模型二一次函數(shù)型

44#U：藥/“馬誼.樂數(shù)用不JR.加4一次.形如、.「A.Mb

-模型三指畋函數(shù)型

44#M：Cd*號0.4?不月.”▲??▲?JL底?與，的*?不問.好〉

5

求和方法

公式法

一通項特征^—透用與等差數(shù)列或等比數(shù)列

求

等』被刊前it，*?S.■-------------na.4-------------a

和,2予2

公

式i（”D

等比it列就“，“s.=qa-g'%,I）公比金字母酎一定要討奄

_____________________i-/_______________________

分蛆求和

-整式一

aB=b.土j印兩案數(shù)列相加減

n為奇效

J分段—?a

0n為H敕

6

坨，考點突破

考向一等差中項

【例1-1］（24-25高三上?山西?階段練習(xí)）己知數(shù)列｛?！埃堑炔顢?shù)列，相，〃都是正整數(shù)，則，+“=10"是

"2%"的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知由小+〃=10,可得見+冊=2%；

當(dāng)%=a（°為常數(shù)）時，由%+a?,=2%,推不出%+〃=10.

故"加+"=10"是"冊+am=2a5”的充分不必要條件

故選：C.

【例1-2】（2024?全國?模擬預(yù)測）在等差數(shù)列｛?！埃?，己知。3與。9是方程2/-龍+機=0的兩根，則

vn11

rD.—

42

【答案】B

7

【解析】因為的與。9是方程2x2-X+加=0的兩根，由韋達定理得生+為=；,

因為數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列，所以％+%]=&+%0=。3+。9=2。6=g，&=；，

z\log（ai+a+--+an）/\logllaz\log^4,2而。/77

所以口142=|11|46=|11|44=2町=2晦〒=呼，

故選：B.

【例1-3]（2025廣東潮州）已知等差數(shù)列｛%｝滿足+/為+%%+%/=10°，則%=（）

A.-B.5C.5或一5D.之或一』

222

【答案】C

【解析】由題%生+〃2〃7+。3。9+%。8=。3（%+〃9）+〃7（〃2+。8）=2〃5〃3+2%%=2a5（。3+%）=4。；=100,解得

%=±5,故選：C.

【例1-41（24-25高三上?廣東肇慶?階段練習(xí)）己知｛%｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，且。6+2%+須=20,則%?私

的最大值為（）

A.10B.20C.25D.50

【答案】C

【解析】由4+2%+%o=20,貝ij有2（%+/）=20,即%+。8=10,

由基本不等式%+1=1022冊Z得〃7%《25,當(dāng)且%=。8=5時，等號成立，

故的q的最大值為25.

故選：C.

【例1-5]（24-25山西太原）設(shè)正項等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S〃，若S2]=63,則一+——的最小值為.

【答案】j3

【解析】：正項等差數(shù)列｛%｝中，%=21%=63,;.%=3,;.%+%=2%=6,

/+9=0+13+%）=。+4+氣+%]

a56/1761%6（a5an）

當(dāng)且僅當(dāng)%7=2a5，即%=2,%7=4時等號成立.

8

故答案為:

考向二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)

【例2-1】（2024?四川巴中?模擬預(yù)測）已知S“是等差數(shù)列｛叫的前"項和，若S4=12,$8=40,則幾=（）

【答案】D

【解析】由題意可得S”，國-邑，成等差數(shù)列，所以2（\-邑）=邑+岳2-58，

因為$4=12,58=40,貝|56=12+兒-40,解得幾=84.故選：D.

【例2-2】（2024?河南周口）設(shè)S”為等差數(shù)列｛6｝的前〃項和，己知名=4,S6=10,貝?。?+出+%8=（）

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，邑，S6-S3,S9-S6,Sl2-S9,Sl5-Sl2,兒—幾成等差數(shù)列，

且$3=4,S6-S3=6,可知首項為4,公差為2,所以16+%7+%8=幾-凡=4+5x2=14.

故選：B.

【例2-3】（2025四川眉山）在等差數(shù)列&｝中，%=-2024,其前〃項和為S“，若親一斗=2,貝應(yīng)必=

10O

（）

A.2023B.-2023C.-2024D.2024

【答案】C

【解析】由｛為｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則$.=嗎+當(dāng)心4

所以2=%+-1,辿"（常數(shù)），貝仙叫也為等差數(shù)列.

n2n+1n2

由決一'=2,貝U數(shù)歹的公差為1.所以2=>+僅一1卜1=一2°24+”-1=77-2025

108LnJn\

所以急=2024-2025=-1,所以=一2024故選：C

【例2-4］（24-25高三上?河北?期中）若兩個等差數(shù)列｛%｝,也｝的前〃項和分別為邑工，滿足

2"-1〃eN*),則詈=

了-3〃+6

【答案】A

9

13（%+〃13）

【解析】因為數(shù)列｛■陽均為等差數(shù)列，所以我=霍=看看

2

故選：A

【例2-5］（24-25湖北武漢）設(shè)等差數(shù)列｛%｝,｛"｝的前幾項和分別為S〃，Tn,若寸口，則］的值為

（）

19272727

A.—B.—C.■—D.—

26263238

【答案】B

【解析】因數(shù)列｛0“｝,但｝均為等差數(shù)列，故由*=粕，可設(shè)S"=〃（2"+l*,T"=n（3n-l）k,

為21k27

則%=4—S6=105后一78左=27左，々=4—4=70左一44左=26左，則U=K=?故選：B

b526k26

（、,、6n

【例2-7］（24-25高三上?河南?期末汜知S,,與7?分別是等差數(shù)列｛a?｝與等差數(shù)列他｝的前〃項和，且寧=不市

貝U——+&。25=（）

%+^2020"a+62022

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析1由等差數(shù)列的性質(zhì)可知4+%20=&+怎22=4+%25，

日廠p,?。2025_%+42025_$2025=6X2°25_

4+勰2。a+L-4+既25-Y-2025+2025一.歐

【例2-8】（2025?山東）已知等差數(shù)列｛為｝的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319,所有偶數(shù)項之和為290,

則該數(shù)列的中間項為（）

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛”,｝共有2〃+1項，

則$奇=%+%+。5+~+。2,+1，S偶=&+4+&+~+。2,，中間項為見+|，

aa卜

故S奇_S偶=%+(03_°2)+(4-%)--------^(2n+l_2n)=%+[+]■!-----d=%+nd—?n+1,

%=S奇-S倜=319-290=29,故選：B.

【例2-9】（2025安徽宣城）已知等差數(shù)列｛與｝共有2"（〃eN*）項，若數(shù)列｛。“｝中奇數(shù)項的和為190,偶數(shù)項的和

為210,4=1,則公差d的值為（）

10

55

A.2B.4C.一D.-

42

【答案】A

"(%+*)=na=190,S偶="叼=的")=〃。什]=210,

【解析】由題意5奇=n

2

所以，$假一5奇=〃(a“+i-a“)=〃d=210-190=20,

S奇一一na”一〃[1+(n-\)d~^—n+n(I)d=〃+20(〃-1)=190,

所以，〃=10,d=2.故選：A.

考向三等差數(shù)列中的最值

【例3-1】（2025,浙江?模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列｛。“｝的前〃項和是耳，前〃項積是4,若$6=3,$3=6,則（）

A.S“無最大值，北無最小值B.S"有最大值，1無最小值

C.J無最大值，70有最小值D.S“有最大值，4有最小值

【答案】D

3(%+%)_6

,3

2一為+"a=4

【解析】令數(shù)列公差為d,貝叫“、，即「作差可得34=-3,

6(%+%)%+。6=1

,6=

2―

所以d=_],則為=3,故%=4+(〃_l)d=3_(〃_1)=4_〃,

當(dāng)凡〉0得IV”<4,當(dāng)?！?0得〃=4,當(dāng)?！?lt;0得〃〉4,

顯然，當(dāng)"〃<4時（>0,〃24時北=0,所以北有最小值，

且s“=93=-為-/+歲，當(dāng)"=3或4時，S"有最大值.

222a

故選：D

【例3-2］（24-25高三上?海南?階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前“項和為S”，公差為d,若歿+%>。,

%<0，則下列結(jié)論正確的是（）

A.d<QB.當(dāng)"=8時，S”取得最大值

C.a2+a5+al2>0D.使得S,>0成立的最大自然數(shù)〃是15

【答案】ABC

【解析】因為等差數(shù)列｛%｝中，網(wǎng)+為>0，%<0,

所以。8>。，％<°，1=%-。8<0，A正確;

11

當(dāng)〃=8時，取得最大值，B正確；

由A知，數(shù)列前8項都大于0,所以〃2+。5+42=〃5+2〃7>0,C正確；

%=8（%+9）=8?+%）>0，4="a；。"，=17%<0,

故S”>0成立的最大自然數(shù)〃=16,D錯誤.

故選：ABC.

【例3-3】（2024湖北）（多選）設(shè)等差數(shù)列｛6｝的前〃項和為S“，公差為d,且滿足％>0,凡=與，則對S”描述

正確的有（）

A.耳4是唯一最大值B.凡是最大值

C.$29=0D.E是最小值

【答案】BC

［解析］由Su=S［8得S18_S"=%2+%3+…+%7+%8=7。15=0,%5=0，

而外>0則d<0,所以幾=凡是S”的最大值，A選項錯誤，B選項正確.

529=%；出9X29=29%5=0，C選項正確.

由于4<0,｛%｝是單調(diào)遞減數(shù)歹人所以5"=曰/沒有最小值，D選項錯誤.

故選：BC

【例3-4］（24-25高三上?山西呂梁?期末）（多選）已知數(shù)列｛與｝的通項公式為%=2〃-15,邑為其前〃項和，則下

列說法正確的是（）

A.｛?！埃鞘醉棡?13,公差為2的等差數(shù)列

B.是首項為-13,公差為1的等差數(shù)列

C."=7或8時，S,取得最小值

D.若S“>0,則正整數(shù)"的最小值為15

【答案】ABD

【解析】對于A,由題意得%=2〃-15,則0用=2（〃+1）-15=2〃-13,

貝U%+1—%=2〃-13—（2〃—15）=2,a1=—13,

則｛%｝是首項為-13,公差為2的等差數(shù)列，故A正確，

12

對于B,由等差數(shù)列求和公式得S“="㈠3+2〃T5）=〃2一Ma,

2

則工=〃一14,［fff—=?-1-14=?-15,

nn-\

故=77-14-5-15）=1,*=-13,

nn—\1

則，｝，是首項為-13,公差為1的等差數(shù)列，故B正確，

對于C,由已證得S"=/-14〃，

由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)力=7時，S“取最小值，故C錯誤，

對于D,令S“>0,即“2一14〃,0,解得">14,

則最小正整數(shù)〃為15,故D正確.故選：ABD.

考向四等比中項

【例4-1］（24-25江蘇鎮(zhèn)江）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝滿足。>aio=2%，則bg2（%出…%0%）等于（）

A.210B.211C.11D.9

【答案】C

【解4I】%,"io=2a8，**,^4^10=2a&q,二一七—2

q

11

log2（axa2?-?a10an）=log2a5a-,a6）=log,a6"=log,2=11

故選：C

【例4-2］（23-海南）己知正項等比數(shù)列｛%｝,若。2，&是方程/一130%+625=0的兩個實數(shù)根，則％=（）

A.±25B.15C.20D.25

【答案】D

【解析】：啰，。6是方程/-130工+625=0的兩個實數(shù)根，，；.a2-a6=625,：也｝為正項等比數(shù)列，

■.a4—Ja,a$—25.

故選：D

【例4-3］（23-24遼寧遼陽）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，若44+2%氏+&&=16,貝1］%+%=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】由a2a4+2%%+%4=16得a；+2%%+Y=16,即（/+%『=16,

因為等比數(shù)列｛對｝各項均為正數(shù)，所以%+%=4,

13

故選：D.

【例4-4］（24-25山東）若1,%，%，4成等差數(shù)列；1,仇，勿，4成等比數(shù)列，則幺產(chǎn)等于（）

“3

1.111

A.-B.±-C.±-D.-

2244

【答案】A

4-10,a.-a^1

【解析】由題設(shè)%-出=亍=1，且尺=44=1x4=4,又f=1X63=4>0,所以4=2,故%==］.

故選：A

【例4-5】（2025?山東青島?一模）已知公比不為±1的等比數(shù)列｛。"｝中，存在s,/eN*,滿足的,=尺，則；的最

小值為?

【答案】］19

【解析】設(shè)｛叫的公比為%（#±1），因為的,=心則可廣％產(chǎn)=（覺）2,故s+f=10,sJeN*.

當(dāng)且僅當(dāng)生=*,即s=2/時等號成立，止匕時s=次,/="，但s/eN*.

s/33

結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)s=7/=3時，414+；1=19

s，7321

當(dāng)s=6/=4時，-4+1i=4-1+-=—11,

s/6412

19114119

因為故的最小值為此時s=7,"3.

2112st21

19

故答案為：—

考向五等比數(shù)列的前n項和

【例5-1】（2024?全國?模擬預(yù)測）等比數(shù)列｛6｝的前"項和為S"，若S“=3+/4T,貝"=（）

A.-12B.-3C.3D.12

【答案】A

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,當(dāng)4=1時，S”=n4,不合題意;

%(j")一+生

當(dāng)qwl時，等比數(shù)列前〃項和公式S,=---------------qH-----

1-q1-q1-q

依題意S“=3+7-4"T=；X4"+3,得：；+3=0,解得：t=-U.

故選：A

14

【例5-2］（24-25安徽合肥）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”$3=2,$6=6,貝（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】因為｛%｝是等比數(shù)列，所以號石6-S3，Sg-$6成等比數(shù)列，

因為§3=2,5*6—5=4,所以89—86=8,即%+〃8+。9=8.

故選：D.

S］S

【例5-3］（24-25山西）已知等比數(shù)列｛2｝的前〃項和為國，若U=7,則于=（）

?64》12

【答案】B

【解析】設(shè)$3=用（加WO）,則$6=4加，

因為｛%｝是等比數(shù)列，所以$3,$6-$3,邑-$6,也成等比數(shù)列，且公比為"邑=3,

S1

所以S9—S6=9私品—Sg=27加，gpS=13m,5=40m,所以三^二為一二6.故選：B.

9123124Um1U

【例5-4］（23-24河南南陽）若正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且國-2邑=6,則知+為+為+%2的最小值

為（）

A.22B.24C.26D.28

【答案】B

【解析】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為式4>0）,

因為S”,$8-S”,品成等比數(shù)列，可得$4?（加-5）=（8-S”）2,

又因為又一2$4=6,即$8-邑=$4+6

(S-S)2_(S+6)2c361c

所以幾-$8=844二邑+不+12,

$4

36/36

所以%+%o+%i+%2=S]2—1=S4+—+12>2^1S4?—+12=24,

44

c36

當(dāng)且僅當(dāng)凡=不時，即邑=6時，等號成立,

d4

所以。9+%0++%2的最小值為24.

故選：B.

15

【例5-5］（23-24江蘇）已知等比數(shù)列｛%｝共有2〃項，其和為-240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,貝|公比4=

（）

.11

A.—2B.2C.—D.—

22

【答案】B

,、出一S,=80-80

【解析】設(shè)等比數(shù)列%的奇數(shù)項和為SJ禺?dāng)?shù)項和為邑，則，；解得?

必+?=一24UId2=—loU

S.-160c

而奇數(shù)項與偶數(shù)項的項數(shù)相同，所以公比4=苫=—7=2.

31—oU

故選：B

【例5-6】（2025?安徽）等比數(shù)列｛%｝共有2〃+1項，其中q=1,偶數(shù)項和為170,奇數(shù)項和為341,則〃=

A.3B.4C.7D.9

【答案】B

【解析】由題意知％+的+…+。2"+1=341,可得名+…+電"+1=341-%=340,又因為%+…+%=170,

所以="嚼=2，$2向=^^=341+170=511，解得〃=4，故選B-

考向六等比數(shù)列中的最值

【例6-1］（24-25浙江嘉興）（多選）等比數(shù)列｛叫的公比為0,且滿足%>1,?loo?ioi>1?

（a1M-l）（a101-l）<0,記7；=%%%…%，則下列結(jié)論正確的是（）

A.0<^<1B.a100aW2-1>0

C.Tn>Tl00D.使7；<1成立的最小自然數(shù)〃等于201

【答案】AD

【解析】對于A選項，因為｛%｝為等比數(shù)列，且可>1,〃四臉〉1，

若q<0,則400401=晨0夕<0，不合乎題意，

若9=1,則％00=%01=%>1,這與（％00--1）<0矛盾，

右q>1,則401>。100>%〉1,與Sioo——1）<。矛盾，

若由（為00—所以q00〉1，故A正確；

對于B選項，由等比中項知400。102=溫1<1,所以%oo%02T<0,故B錯誤；

對于C選項,因為loi=Coo,a101<loo，故C錯誤;

16

對于D選項，由等比中項知:

^200=，牝,,°200=(4必200).(42〃199)…("lOo/oi)=(^100^101)>1，

%01=%,〃2^200,^201=(^1^201),(fl2fl200)，，，(fl100fl102)，fl101

="101,401…。101,4101=(。101)<1，故D正確;

故選：AD.

【例6-2】（2024?廣西）已知正項等比數(shù)列｛氏｝滿足。8=8,%|+4巧2=：，則為。2…％取最大值時"的值為（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛。,｝的公比為4（4>。），有為*守+0/,

由函數(shù)〃力=^+4/卜>0）單調(diào)遞增，且可得q=；.

有為=2,%。=；,由數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減，

所以取得最大值時”的值為9,

故選：B.

【例6-3】（2024?湖北）（多選）設(shè)｛?！埃ā?*）是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，K“是其前〃項的積，且

K5<K6,（=降>/,則下列選項中成立的是（）

A.0<^<1B.%=1

C.&D.（與鳥均為K,,的最大值

【答案】ABD

【解析】AB選項，由已知數(shù)列各項均為正，因此乘積K“也為正，公比《>0,

又（<（,（=&>&,黃=%>1,黃=%=1，B正確；

又7^=。8<1,故4=」='<1,即0<9<1,A正確；

K：。6%

C選項，由〃7=1得a5a9=。6。8="7=1，所以K4=Kg,

而生=">1,K5>K,,因此長9<（，C錯誤；

q

D選項，由上知％>a2>--->a6>l=a7>a8>???,

｛&｝先增后減，勺與鳥均為K“的最大值，D正確.

17

故選：ABD

【例6-4】（2025?遼寧沈陽?一模）已知等比數(shù)列｛“"｝的前"項的積為力,,即1=囚出/…。“一4,又已知

%=4應(yīng)=；,則（的最大值為.

【答案】8

【解析】因為｛4｝為等比數(shù)列，且％=4,q=g,所以%=4xg：'=23-'＞0,由。工103-心0.

所以為＞°2＞。3=1＞。4＞。5＞…，所以心=4為4的最大值，且《=4x2=8.故答案為：8

考向七等差等比數(shù)列的實際應(yīng)用

【例7-1］（24-25河南安陽）洛陽龍門石窟是世界上規(guī)模最大的石刻藝術(shù)寶庫，被聯(lián)合國教科文組織評為“中國

石刻藝術(shù)的最高峰".現(xiàn)有一石窟的某處共有378個"浮雕像"，分為6層，對每一層來說，上一層的數(shù)量是該層的

2倍，則從下往上數(shù)，第4層"浮雕像"的數(shù)量為（）

A.16B.32C.48D.64

【答案】C

【解析】由題意，從下往上"浮雕像”的數(shù)量成等比數(shù)列，設(shè)為｛與｝,

則及=378,公比4=2,所以&=羋*=63%=378，

3

所以q=6,所以第4層"浮雕像"的數(shù)量為a4=6x2=48.

故選：C

【例7-2】⑵24重慶）（多選）某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款，月利

率0.3%,分12個月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，將本金平均分配

到每一期進行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部

分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率：等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額的本息和，利息以

復(fù)利計算.下列說法正確的是（）

（參考：1.00311?1.0335,1.00312-1.0366：計